SKKN TAM THỨC bậc HAI và ỨNG DỤNG

Đề tài:

“ TAM THỨC BẬC HAI & ỨNG DỤNG. ”
PHẦN I:MỞ ĐẦU
I.Lý do chọn đề tài:
Giải bài toán bằng cách sử dụng tam thức bậc hai là phần quan trọng
toán đại số 10.Nó cho phép chúng ta tiếp cận nhanh những bài toán về phương
trình bậc hai phức tạp, cụ thể định giá trị tham số để phương trình có nghiệm
trong khoảng và trong đoạn…vv.Chính vì vậy tôi chọn đề tài “TAM THỨC
BẬC HAI & ỨNG DỤNG . ”. Nó thật sự có ích trong khi tôi dạy phần đại số
lớp 10.Với hệ thống bài tập ít như thế này,nhưng tôi tin tưởng rằng nó là phần
không thể thiếu cho các em học sinh và các bạn đồng nghiệp tham khảo .Mong
bạn đọc, các đồng nghiệp có nhiều đóng góp quý báu .
xin cảm ơn.
II.Nhiệm vụ nghiên cứu:
Đưa ra một số bài toán về tam thức bậc hai cũng như những bài toán
liên quan đến phương trình bậc hai có cách giải và nhận xét rõ ràng với ứng
dụng ,cụ thể đặc biệt ,đặc biệt giúp học sinh lớp 10 tiếp cận nhanh đễ nắm khi
bước vào học môn toán Đại số ở trường THPT.
III.Đối tượng nghiên cứu:
-Đối tượng nghiên cứu học sinh cấp ba ,lớp 10.THPT.
-Cở sở nghiên cứu : Trường THPT -Ngọc Hồi-Kon Tum.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
1
1.Phương pháp tiếp cận :
Đưa ra những câu hỏi cho nhiều đối tượng học sinh ( Học sinh yếu, Trung
bình,Khá,Giỏi.) và dựa vào các câu trả lời để phân tích và thu thập để đến đề tài
nghiên cứu.chẳng hạn như :
 Trong bài toán về tam thức bậc hai dạng nào các em hứng thú học
và không hứng thú học ?
 Các em biết được bao nhiêu dạng ,bao nhiêu cách giải tam thức bậc

hai có logic và đầy đủ.
 Một bài toán định giá trị tham số để có nghiệm thuộc trong đoạn
,khoảng ,…vv thì giải theo cách.
2 .Phương pháp điều tra:
Thường xuyên gần với các em để nắm bắt tình hình học tập mọi đối
tượng ,đồng thời đặt ra một số câu hỏi dưới dạng trắc nghiệm cho tất cả
các đối tượng học sinh để thu thập thông tin của các em mà kịp thời sửa
chữa và hoàn thành.
3 . Đọc sách và tài liệu:
+SGK lớp 10.
+Giải toán đại số ( NXB giáo dục )-Trần Thành Minh.
4.Tích luỹ kinh nghiệm:
+Dựa vào việc lên lớp hàng ngày,phần tích luỹ kinh nghiệm trong giáo
án.
+Tham khảo kinh nghiệm bạn đọc và kinh nghiệm đồng nghiệp.
2
PHẦN II .KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
I.Thực trạng tình hình:
Là một tỉnh miền núi ,cơ sở vật chất và trang thiết bị trong giáo dục chưa
được đầy đủ,chưa đáp ứng thiết thực của giáo viên trong việc dạy và
học.Đặc biệt với mô hình trường THPT ở địa bàn huyện cao- xa tỉnh ,nên
rất được sự quan tâm của các ngành ,các cấp;cùng với sự quan tâm nhắc
nhở của BGH nhà trường ,đội ngũ giáo viên trẻ tự tin ,tin tưởng tuyệt đối
đường lối,chủ tương ,chính sách của đảng và của pháp luật nhà nước.Đó
là tiền đề quan trọng thúc đẩy sự nghiệp giáo dục của tỉnh nhà trong
tương lai. Riêng bản thân tôi, tôi an tâm công tác,còn riêng phần các em ý
thức học tập chưa cao .Các bậc phụ huynh còn chưa thật sự quan tâm sát
sao về sự nghiệp của tỉnh nhà.
II.Tồn tại, nguyên nhân và biện pháp.
1.Tồn tại:

- Chất lượng đầu vào còn thấp ,ý thức học tập của các em chưa cao.Ngoài
ra thành phần DTTS còn nhiều.
-Đội ngũ giáo viên còn trẻ ,kinh nghiệm giảng dạy còn chưa nhiều.
2.Nguyên nhân
-Đa số đời sống của các phụ huynh chưa được ổn định,an cư lập
nghiệp.Đó cũng là một yếu tố lớn ảnh hưởng đến chất lượng học tập của
các em.
-Sự quan tâm gia đình chưa tốt.Phương pháp lấy học sinh làm trung tâm
chưa được thật sự hiệu quả cao.
3
-Đội ngũ đoàn kết của giáo viên chưa thật sự cao, chưa thật sự về tính cần
tiến cao.
3.Biện pháp:
Tôi cố gắng đưa ra những bài toán từ dễ đến khó,có sự nhận xét ,bổ sung
và hoàn thiện đi lên.
III.Tam thức bậc hai và các bài tập.
A.Như đã nói trong phần mở đầu ,kiến thức về tam thức bậc hai là phần khó. Do
đó trong học và dạy cần đảm bảo các nội dung sau :
1. Giải phương trình bậc nhất.
2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất
3. Giải và biện luận phương trình dạng ax
2
+ bx +c =0 là phương trình bậc hai.
4. Định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Do đó trong giảng dạy giáo viên cần làm nổi bậc những nội dung đã nêu.Với mục
đích và yêu cầu như vậy khi giảng dạy tôi đưa ra một số lưu ý khi dạy và đồng
thời tôi cũng khai thác hệ thống một số bài tập trong sách giáo khoa để thấy rõ sự
vận dụng và quan điểm trên thể hiện như thế nào.
B.Các dạng bài tập.
Bài tập1 :

Hãy tìm nghiệm của tam thức bậc hai sau
a, f(x) = x
2
- 3x + 2
b, f(x) = x
2
– 5x +6
Giải
a,Tam thức có các hệ số: a+b+c=0,suy ra tam thức có hai nghiệm: x
1
=1,
x
2
= 2
b,Tam thức có:
∆
= 25 +24=49,suy ra tam thức có hai nghiệm : x
1
=2, x
2
=3
4
Nhận xét:
Nghiệm của tam thức chính là nghiệm phương trình bậc hai.Do đó trong khi
dạy ,giáo viên cần làm nổi bậc trọng tâm.
Bài tập2:
Hãy xét dấu tam thức sau :
a,f(x)= x
2
-3x +2

b,f(x)=-x
2
+ 9x -20
Giải.
a,Tam thức có dạng :a+b+c=0.Suy ra có hai nghiệm : x
1
= 1, x
2
= 2
BXD:

x -
∞
1 2 +
∞

f(x) + 0 - 0 +
Vậy : f(x) >o ,
∀
x
∈
(-
∞
;1)
∪
(2;+
∞
)
: f(x)<0 ,
)2;1(∈∀x

b,Tam thức có :
18081
=−=∆
.Suy ra có hai nghiệm : x
1
= 4 ,x
2
= 5
BXD.
x -
∞
4 5 +
∞

f(x) + 0 - 0 +
Vậy : f(x) >0 ,
);5()4;( +∞∪−∞∈∀x

:f(x) <0 ,
)5;4(∈∀x

Nhận xét:
Học sinh rất khó phân biệt trong việc tìm nghiệm tam thức.Do đó giáo viên cần
giảng rõ nghiệm của tam thức chính là nghiệm phương trình bậc hai để cho học
sinh nắm một cách dễ dàng.Ngoài việc tìm nghiệm còn có những giá trị lớn hơn
không hay nhỏ hơn không được gọi là dấu của tam thức bậc hai.
5
Bài tập3:
Giải bất phương trình:
a,16x

2
+40x +25 >0
b, x
2
- x – 6
0
≤
.
Giải.
a, Tam thức f(x) = 16x
2
+ 40x +25, có
∆

/
= 20
2
- 16.25 = 0.Suy ra :f(x)>0 ,
4
5
−≠∀x
Vậy 16x
2
+ 40x + 25 >0, có nghiệm,
4
5
−≠∀x
b,Tam thức:
f(x) = x
2

– x – 6, có
=∆
(-1)
2
– 4.1.(-6) = 25.Suy ra,tam thức có 2 nghiệm: x
1
=1,x
2
=-2
BXD.
x -
∞
-2 3 +
∞
f(x) + 0 - 0 +
Vậy nghiệm của bất phương trình :
32
≤≤−
x
Nhận xét:
Khi giáo viên dạy phần này cần giảng giải các em nắm tìm nghiệm của bất phương
trình là tìm những giá trị của x cùng chiều bất phương trình đã cho.
Bài tập4:
Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
x
2
+ 2(m+2)x -2m-1 =0,m tham số.(1)
Phương trình (1), 
∆

/
=(m+2)
2
+2m +1
≥
0
 (m+2)
2
+ 2m+1
0
≥
6
 m
2
+6m + 5
0
≥
(2)
Tam thức : f(m) = m
2
+ 6m +5 ( a+ b +c =0 )
Suy ra có hai nghiệm : m
1
= -1 ; m
2
= -5
BXD:
x -
∞
-5 -1 +

∞
f(x) + 0 - 0 +
Vậy nghiệm của bất phương trình(2) :
mm
≤−∨−≤
15
,hay
).;1[)5;( +∞−∪−−∞∈m
thì phương trình (1) luôn có nghiệm.
Nhận xét:
Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm,chúng ta quy về giải bất
phương trình theo tham số.Nghiệm của bất phương trình đó chính là điều kiện để
phương trình có nghiệm.
Bài tập 5.
Tìm những giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm :
a , (m-5)x
2
+ 4mx +m – 2 = 0 (1)
b , (m-2)x
2
+ 2(2m -3)x + 5m -6 = 0 (2)
Giải.
a , Nếu m-5 =0 m=5.Suy ra phương trình (1):-20x +3 = 0 
20
3
=x
là nghiệm.
Nếu m-5
5≠
 m

5≠
.Phương trình (1) có nghiệm 
∆

/

≥
0
4m
2
-(m-5)(m-2)
0≥
3m
2
+7m-10
0
≥

1
3
10
≥∨−≤ mm
Vậy
);1[]
3
10
;( +∞∪−−∞∈m
thì phương trình đã cho ở trên luôn luôn có nghiệm.
7
b, Nếu m-2 =0  m=2.

Suy ra phương trình (2): 2x+4=0 x=-2 là nghiệm phương trình .
Nếu m-2
0≠
 m
2≠
.Để phương trình(2) có nghiệm 
∆

/

≥
0

(2m-3)
2
–(m-2)(5m-6)
≥
0
 -m
2
+4m -3
≥
0 m
2
-4m +3
0
≤
 1
3≤≤ m
Vậy m =2

31
≤≤∧
m
thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Nhận xét:
Trong dạng bài toán này là hệ số a vẫn chứa tham số .Do đó khi trình bày phải xét a
= 0 và a
0≠
. Lập luận đưa về giải bất phương trình ta tìm nghiệm của bất phương
trình đã cho ,.Khi đó ta được giá trị của tham số để phương trình có nghiệm .
Bài tập 6:
Xác định m để tam thức sau dương với mọi x:
a, f(x) = 3x
2
+ 2 ( m-1 )x + m + 4
b , f(x) = 2x
2
+ (m-2)x –m + 4
Giải.
a, Để tam thức dương với mọi x thuộc số thực  a >0
∧
∆
<0
3>0 (hiển nhiên)
∧
(m-1)
2
– 3(m-4) < 0
 m
2

– 5m + 13 < 0 vô lí với mọi m thuộc số thực ( do
oa ><∆ ,0
)
Vậy không có giá trị nào của m để tam thức dương với mọi x.
b, Để tam thức dương với mọi x
⇔
a>o
∧
∆
<0

⇔
2>0(hiển nhiên)
∧
(m-2)
2
-8(4-m) <0
⇔
m
2
+ 4m -28 <0
⇔

242 −−
< m <
242 +−
,thì tam thức dương với mọi x
thuộc số thực .
8
Nhận xét :

Để giải bài toán này , giáo viên cần hướng dẫn học sinh dựa vào định lí về dấu bằng
cách lập luận tìm được nghiệm của bất phương trình ,khi đó tìm nghiệm theo m là
giá trị của bài toán đưa ra .
Bài tập 7:
Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau vô nghiệm :
a , (m+2)x
2
- 2(m-1)x + 4 <0 (1)
b, (m-3)x
2
+ (m+2)x – 4 >0 (2)
Giải.
a, Khi m +2 =0
⇔
m = -2.Suy ra (1) : 6x +4 < 0
⇔
x <-
3
2
(loại )
Khi m + 2
0
≠
⇔
m
2−≠
.Bất phương trình (1) vô nghiệm
⇔
m +2 >0
∧

∆
,

0≤

⇔
m + 2 >0
∧
m
2
– 6m – 7
0≤
⇔
m > -2
∧
- 1
7≤≤ m
⇔
- 1
7≤≤ m
thì bất phương trình đã cho vô nghiệm.
b, Khi m- 3 = 0
⇔
m = 3 .Suy ra bất phương trình (2) : 5x – 4 > 0
⇔
x >
5
4
(loại)

Khi m- 3
0
≠

⇔
m
3
≠
.Để bất phương trình đã cho vô nghiệm

⇔
m- 3 < 0
∧

0≤∆
⇔
m < 3
∧
m
2
+ 8m – 8
0≤
⇔
m < 3
∧
-22
2
≤≤
m

⇔

222
≤≤−
m
là giá trị cần tìm để bất phương trình vô
nghiệm
Nhận xét :
Dạng bài toán trên cho trong trường hợp hệ số còn chứa tham số .Do đó giáo viên
hướng dẫn các em xét a = 0 và a
0≠
, sau đó lập luận bất phương trình vô nghiệm
9
,dựa vào định lí về dấu tìm được giá trị của tham số để bất phương trình vô nghiệm .
Học sinh khó nắm trong dạng này nên các em khó trình bày trôi chảy bài toán .
Do đó trong khi dạy giáo viên cần phân tích diễn giải để học sinh dễ nắm trọng tâm
nội dung .
Bài tập 8 :
Cho bất phương trình : x
2
+ 2(m+2)x –m – 2
0≥
a, xác định m để bất phương trình vô nghiệm .
b, Xác định m để bất phương trình thỏa mãn với mọi
0≤x
Giải.
a, Do tam thức ở vế phải có đồ thị là parabol (hình vẽ) quay lên nên bất phương
luôn luôn có nghiệm .Vậy không có giá trị nào của m thì bất phương
trình vô nghiệm .
b, Bất phương trình thoả mãn với mọi x

0
≤
.Ta xét trong trường hợp x
2

⇔

∆
,

0≤

∨

∆
,
>0
∧
0
≤
x
1
<x
2
Ta có :

∆
,
= (m + 2)
2

+ (m +2 ) = (m + 2)(m +3)
Do đó :
∆
,
0
≤

⇔

23
−≤≤−
m
(1)
*
∆
,
>0
⇔
m <-3
m∨
>-2
*0
≤
x
1
< x
2

⇔
S = x

1
+ x
2
>0
∧
P = x
1
x
2

0≥


⇔
-2(m + 2) > 0
∧
-(m+2)
0
≥

⇔
m < -2
Kết luận :

∆
,
>0 ta được m < -3 (2)
Từ( 1) ,(2) ,suy ra m cần tìm là : m
2−≤

Vậy m
]2;( −−∞∈
là giá trị m để bất phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho .
Nhận xét :
10
Dạng bài toán này là mở rộng từ những bài toán đơn giản về dấu của tam thức bậc
hai . Do đó khi dạy giáo viên cần phân tích kỹ và rõ nội dung để học sinh dễ tiếp cận
.Xét các trường hợp và các khả năng xảy ra như thế nào ?
*Một số bài tập có liên quan(tham khảo …tự đưa ra cách giải .):
Bài tập 1
Phân tích đa thức P(x) = x
4
+ x
3
-2x
2
+ 7x + 3 thành tích của hai tam thức bậc hai .
Bài tập2.
Tìm điều kiện m để : f(x) = 2x
2
+ mx + 3
]1;1[,0 −∈∀≥ t
( Thi ĐHKT -1978 )
Bài tập3.
Cho phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 ,với 2a +3b +6c = 0
a, Đặt f(x) = ax
2
+ bx + c .Tính a ,b, c theo f(0) ,f(

2
1
) , f(1) .
Chứng tỏ rằng : f(0) ,f(
2
1
) , f(1) , không cùng âm hoặc không cùng dương .
b, Chứng minh phương trình trên có nghiệm x
)1;0(∈

( Thi ĐH – 1981)
Bài tập4.
Chứng minh phương trình : (1 – m)x
2
+ mx + 2(m-2) = 0
Luôn luôn có nghiệm với mọi m.
( Thi ĐH – 1977)
Bài tập 5.
Cho phương trình :
mx
2
- 2( m -1)x + m – 3 = 0 , m tham số.
a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
11
b, Tìm mọi giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu .
c, Tồn tại m hay không để cho phương trình có hai nghiệm âm .
d, Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2

thỏa mãn :
 -1<x
1
< 1 < x
2
 x
1
< -1 < 1 < x
2
e, Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm .
g, Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
.Chứng minh trên trục
hoành các điểm M( x
1
) , N( x
2
) luôn liên hợp điều hoà với hai điểm cố định A,B
( với mọi: m > -1 ) .Tìm các điểm A, B đó .
( Bộ Đề ĐH – 1987 )
• Kết quả vận dụng các biện pháp :
Sau một thời gian triển khai vận dụng ở khối 10 , kết quả thu được theo thống kê
như sau :
Khối Tổng
Số
Giỏi Khá Trung Bình Yếu Kém
10 40 S L % S L % S L % S L % S L %
3 7,5 13 32,5 20 50 4 10 0 0

(kiểm tra qua một lớp dạy , một số học sinh bất kỳ các lớp khác )
PHẦN III : KẾT LUẬN .
A.Kết luận :
12
Trên đây là những bài tập được giải nó bằng cách sử dụng tam thức bậc hai
là một phương pháp được xem như là tối ưu . Tôi cố gắng trình bày logic có hệ
thống của từng kiểu bài tam thức bậc hai ,từ dễ đến khó ,dễ nắm ,cụ thể : tìm
nghiệm tam thức bậc hai , xét dấu ,giải bất phương trình , định giá trị tham số để bất
phương trình bậc hai có nghiệm với mọi ẩn ,vô nghiệm ,và phương trình có nghiệm ;
Định giá trị tham số để bất phương có nghiệm trong khoảng , trong đoạn ,…vv.
Với cách trình bày như thế tôi tin tưởng rằng học sinh dễ nắm những dạng
toán về tam thức bậc hai một cách có hệ thống . Những kết quả nêu trên chỉ là
bước đầu , chắc chắn chưa phải là cách dạy hay nhất .Dù vậy tôi cũng xin trình bày
để đồng nghiệp, bạn đọc tham khảo .Mong các bạn coi đây như là một gợi ý trên con
đường tìm tới sáng tạo của mình .Rất mong sự đóng góp , góp ý của các bạn ,đồng
nghiệp ,của hội đồng sư phạm nhà trường .Xin trân thành cảm ơn.
B. Đề xuất - kiến nghị :
1. Đề xuất .
-Giáo viên cần nghiên cứu linh hoạt , khai thác triệt để ,để việc dạy theo phương
pháp nêu vấn đề kết hợp vấn đáp mới có hiệu quả .
-Giáo viên dạy nên để tinh thần học tập của các em phải thoải mái ,xử lý cân
bằng trong học tập.
2. Kiến nghị.
-Đối với ngành: các đề thi nên tránh đến việc đánh đố kiến thức đối với các
em,mà nên cho xen vào đó có suy nghĩ cao.
-Đối với giáo viên : Tăng cường kiểm tra kiến thức các em bằng các bài
thực hành .Nâng cao ý thức soạn giảng theo hướng đổi mới ,hạn chế việc truyền thụ
và kiểm tra theo hình thức buộc học sinh phải nhớ máy móc .
-Đối với học sinh :có ý thức học tập đúng đắn tích cực làm các bài thực
hành trên lớp. Có các dụng cụ học tập đầy đủ.

13

Tài liệu tham khảo:
1. SGK Đại Số 10 – Trần Văn Hạo .
2. Các ví dụ và các bài toán chọn lọc – Nguyễn Tiến Quang & Vũ Dương Thụy.
3. Phương pháp giải toán Đại Số - Nguyễn Trọng Khâm .

14

MỤC LỤC
Phần I. Mở Đầu :
I. Lý do chọn đề tài:…………………………….
II.Nhiệm vụ nghiên cứu …………………………….
III.Đối tượng và cơ sở nghiên cứu …………………………….
15
IV.Phương pháp nghiên cứu …………………………….
Phần II.Kết quả nghiên cứu …………………………….
I.Thực trạng tình hình …………………………….
II. Tồn tại , nguyên nhân và biện pháp
…………………………….
*kết quả …………………………….
Phần III. Kết luận…………………………….
16