PT bac hai va ung dung cua DL viet

E. Chuyên đề Giải, biện luận ph ơng
trình bậc hai
I.Lý thuyết
1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0
(a

0) (1) trong đó a, b, c là các hệ số đẵ biết, x là ẩn.
2. Công thức nghiệm:

= b
2
4ac

< 0 phơng trình vô nghiệm

= 0 phơng trình có nghiệm kép:
x
1
= x
2
= -
a
b
2


> 0 phơng trình có hai nghiệm
phân biệt:
x

1

a
b
2
+
=
; x
2

a
b
2

=
.

= b
2
ac. (
2bb
=

)

< 0 phơng trình vô nghiệm.

= 0 phơng trình có nghiệm kép:
x
1

= x
2
= -
a
b'

> 0 phơng trình có hai nghiệm
phân biệt:

a
b
x


+


=
1
; x
2

a
b ''

=
.
3. Hệ thức Vi-ét:
* Nếu x
1

, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thì







=
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
*ứng dụng:
+Nhẩm nghiệm:
- Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= 1; x

2
=
a
c

- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= - 1; x
2
=
a
c

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P và S
2
4P

0 thì hai số đó là hai nghiệm của phơng trình X
2
SX
+ P = 0 .
4. Một số bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
1. Tìm ĐK để PT bậc hai có nghiệm:
a = 0

0,

2. ĐK để PT bậc hai có hai nghiệm
phân biệt
a

0

0
>


,
;
5. ĐK để PT bậc hai có hai nghiệm
cùng dấu
a

0
,
,

0

p > 0
6. ĐK để PT bậc hai có hai nghiệm
trái dấu
a

0

,

0
p < 0
4. ĐK để PT bậc hai có hai nghiệm d-
ơng phân biệt
a

0

,

'
> 0(hai nghiệm dơng thì

,

'


0)
S > 0
P > 0
3. ĐK để PT bậc hai có hai nghiệm
âm phân biệt
a

0

,

'
> 0( hai nghiệm âm thì

,

'

>0
S < 0
P > 0
5.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi- ét:
1)
P
S
xx
xx
xx
=
+
=+
21
21
21
11
.
;

2)
( )
PSxxxxxxxxxxxx 2222
2
21
2
2121
2
221
2
1
2
2
2
1
=+=++=+
...
;
3)
2
2
2
21
2
2
2
1
2
2
2

1
211
P
PS
xx
xx
xx

=
+
=+
).(
;
4)
( )
( )
PSSPSSxxxxxxxxxxxxxxxx 3)3(.3).2().)((
32
21
2
221
2
1212
2
221
2
121
3
2
3

1
==+++=++=+
;
II.Bài tập áp dụng.
Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau:
TT PTBH KQ TT PTBH KQ
1 x
2
- 11x + 30 = 0 5; 6 41 x
2
- 16x + 84 = 0
2 x
2
- 10x + 21 = 0 3; 7 42 x
2
+ 2x - 8 = 0
3 x
2
- 12x + 27 = 0 3; 9 43 5x
2
+ 8x + 4 = 0
4 5x
2
- 17x + 12 = 0 12/5;1 44 x
2
– 2(
)23
+
x + 4
6

= 0
5 3x
2
- 19x - 22 = 0 22/3;-1 45 11x
2
+ 13x - 24 = 0
6 x
2
- (1+
2
)x +
2
= 0
2
;1 46 x
2
- 11x + 30 = 0
7 x
2
- 14x + 33 = 0 47 x
2
- 13x + 42 = 0
8 6x
2
- 13x - 48 = 0 48 11x
2
- 13x - 24 = 0
9 3x
2

+ 5x + 61 = 0 49 x
2
- 13x + 40 = 0
10 x
2
-
3
x - 2 -
6
= 0 50 3x
2
+ 5x - 1 = 0
11 x
2
- 24x + 70 = 0 51 5x
2
+ 7x - 1 = 0
12 x
2
- 6x - 16 = 0 52 3x
2
- 2
3
x - 3 = 0
13 2x
2
+ 3x + 1 = 0 53 x
2
- 2
2

x + 1 = 0
14 x
2
- 5x + 6 = 0 54
x
2
- 2
( )
13
−
x - 2
3
= 0
15 3x
2
+ 2x + 5 = 0 55 11x
2
+ 13x + 24 = 0
16 2x
2
+ 5x - 3 = 0 56 x
2
+ 13x + 42 = 0
17 x
2
- 7x - 2 = 0 57 11x
2
- 13x - 24 = 0
18 3x
2

- 2
3
x - 2 = 0 58 2x
2
- 3x - 5 = 0
19 -x
2
- 7x - 13 = 0 59 x
2
- 4x + 4 = 0
20
2
x
2
– 2(
)13
−
x -3
2

= 0
60 x
2
- 7x + 10 = 0
21 3x
2
- 2x - 1 = 0 61 4x
2
+ 11x - 3 = 0
22 x

2
- 8x + 15 = 0 62 3x
2
+ 8x - 3 = 0
23 2x
2
+ 6x + 5 = 0 63 x
2
+ x + 1 = 0
24 5x
2
+ 2x - 3 = 0 64 x
2
+ 16x + 39 = 0
25 x
2
+ 13x + 42 = 0 65 3x
2
- 8x + 4 = 0
26 x
2
- 10x + 2 = 0 66 4x
2
+ 21x - 18 = 0
27 x
2
- 7x + 10 = 0 67 4x
2
+ 20x + 25 = 0
28 5x

2
+ 2x - 7 = 0 68 2x
2
- 7x + 7 = 0
29 4x
2
- 5x + 7 = 0 69 -5x
2
+ 3x - 1 = 0
30 x
2
- 4x + 21 = 0 70 x
2
- 2
3
x - 6 = 0
31 5x
2
+ 2x -3 = 0 71 x
2
- 9x + 18 = 0
32 4x
2
+ 28x + 49 = 0 72 3x
2
+ 5x + 4 = 0
33 x
2
- 6x + 48 = 0 73 x
2

+ 5 = 0
34 3x
2
- 4x + 2 = 0 74 x
2
- 4 = 0
35 x
2
- 16x + 84 = 0 75 x
2
- 2x = 0
36 x
2
+ 2x - 8 = 0 76 x
4
- 13x
2
+ 36 = 0
37 5x
2
+ 8x + 4 = 0 77 9x
4
+ 6x
2
+ 1 = 0
38 x
2
2(
)23
+

x + 4
6
=
0
78 2x
4
+ 5x
2
+ 2 = 0
39 x
2
- 6x + 8 = 0 79 2x
4
- 7x
2
- 4 = 0
40 3x
2
- 4x + 2 = 0 80 x
4
- 5x
2
+ 4 = 0
Bài tập 2. Tìm x, y trong các trờng hợp sau:
a) x + y = 17, x.y = 180 e) x
2
+ y
2
= 61 , x.y = 30
b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40

c) x + y = 30, x
2
+ y
2
= 650 g) x - y = 5, x.y = 66
d) x + y = 11 x.y = 28 h) x
2
+ y
2
= 25 x.y = 12
Bài tập 3.Không giải phơng trình,hãy tính tổng và tích các nghiệm của phơng
trình sau.
a) x
2
+ 6x + 8 = 0 e) x
2
+ 13x + 42 = 0
b) 11x
2
+ 13x - 24 = 0 f) 11x
2
- 13x - 24 = 0
Tính giá trị của biểu thức A = x
1
2
+ x
2
2
.
Bài tập 4.a)Tìm một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:

6
23
+
và
6
23

.
b)Không giải phơng trình, hãy tìm tổng lập phơng các nghiệm của
phơng trình sau: 3x
2
- 5x - 2 = 0.
Bài tập 5.Với giá trị nào của b thì phơng trình:
a) 2x
2
+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5.
b) bx
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.
c) ( b - 1 )x
2
- ( b + 1 )x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 6.Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k phơng trình:
a) 7x
2
+ kx - 23 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
b) 12x
2
+ 70x + k
2

+ 1 = 0 không thể có hai nghiệm dơng.
c) x
2
- ( k + 1 )x + k = 0 có một nghiệm bằng 1.
Bài tập 7.Chứng tỏ rằng các phơng trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với
mọi giá trị của tham số m:
a) x
2
- 4x m
2
= 0 d) x
2
+ ( m + 3 )x + m + 1 = 0
b) 2x
2
- 3x + m - 1 = 0 e) x
2
- ( 1 + 2m )x + m = 0
c) x
2
+ 2( m - 2 )x + m
2
= 0 f) ( 2m
2
+1 )x
2
- 2( m
2
+ 2 )x + 1 = 0
Bài tập 8.Tìm điều kiện m để các phơng trình sau đây có nghiệm,vô nghiệm.

a) x
2
+ x - m = 0 d) x
2
- ( m - 1 )x + 1 = 0
b) 2x
2
- 3x + m - 1 = 0 e) x
2
+ 2x + m
2
= 0
c) x
2
+ 2( m - 2 )x + m
2
= 0 f) ( m
2
+1 )x
2
- 2( m + 3 )x + 1 = 0
Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô
nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép.
a) 3x
2
- 2x + m = 0 c) 4x
2
+ mx + m
2
= 0

b) 5x
2
+ 18x + m = 0 d) 4x
2
+ mx - 5 = 0
Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - 3 )x
2
- 2( a - 1 )x + a - 15 = 0 .
a)Giải phơng trình khi a = 13.
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 11.Cho phơng trình: x
2
+ ( m + 1 )x + m = 0 .
a)Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm.
b)Tính y = x
1
2
+ x
2
2
theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x
1
, x
2
là
nghiệm của phơng trình đẵ cho.
Bài tập 12.Cho phơng trình: x
2
- 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0 .
a)Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình theo m.

b)Tìm m sao cho 10 x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x
2
+ mx + 12 = 0 .
a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 14.Cho phơng trình: x
2
- 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0 .
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ không phụ
thuộc vào k.
c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức
2
311
2121
=++
xxxx
.
Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x

2
- 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0 .
a)Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b)Trong trờng hợp có nghiệm hãy tính theo m tổng S và tích P của các
nghiệm.
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng S và tích P.
Bài tập 16.Cho phơng trình: x
2
- (2m + 3 )x + m - 3 = 0 .
a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 17.Cho phơng trình: x
2
- 2( m - 1 )x + m - 1 = 0 .
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm bằng nhau.
Bài tập 18.Cho phơng trình: x
2
+
3
x -
5
= 0 , gọi hai nghiệm của phơng
trình là x
1
, x
2
. Không giải phơng trình tính giá trị của các biểu thức sau;
a)
21

11
xx
+
b)
2
2
2
1
xx
+
c)
2
2
2
1
11
xx
+
d)
3
2
3
1
xx
+
Bài tập 19.Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1 )x + m - 4 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình, chứng minh rằng biểu thức
)1()1(
1221
xxxxA
+=
không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài tập 20.Cho phơng trình: x
2
- m x + m - 1 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A
=
2
2
2
1
xx
+
.
Bài tập 21.Cho phơng trình: x
2

-2(m+1)x + m
2
+4m-3 = 0.
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?
b)Xác định m để hiệu giữa tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm đạt giá trị
lớn nhất?
Bài tập 22. Cho phơng trình : x
2
+(2m-5)x-3n = 0
a)Giải phơng trình khi m=3 và n=2/3
b) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2
c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?
Bài tập 23. Cho phơng trình: x
2
2(m-1)x +2m 3 = 0
a) Chứng minh với với mọi m phơng trình luôn có nghiệm
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và khi đó hãy tính
nghiệm còn lại.
Bài tập 24. Cho phơng trình : x
2
2(m+1)x +m
2
+ 2 =0
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

b)Tìm m để hai nghiệm x
1

, x
2
thoả mãn x
1
- x
2
=4
Bài tập 25. Cho phơng trình : x
2
-4x +m =0 (1)
a)Tính hoặc của phơng trình (1) theo m
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm ?
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
và x
2
thảo mãn
12
2
2
2
1
=+
xx
d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
và x
2
, hãy tìm giá trị của m để
biểu thức A=x

1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài tập 26. Cho phơng trình x
2
-8x +m =0 (1)
a)Giải phơng trình (1) khi m = 12
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c)Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
-
x
2
=2
Bài tập 27. Cho phơng trình : x
2
2(a-1)x + 2a 5 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a.
b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1,
, x
2
thoả

mãn : x
1
< 1 < x
2
.
Bài tập 28. Cho phơng trình : x
2
+ mx + m-2 =0.