bài tập toán tuyến tính có lời giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.33 MB, 277 trang )
NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’
THANH
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
TO
´
AN CAO C
ˆ
A
´
P
Tˆa
.
p1
D
a
.
isˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh
v`a H`ınh ho
.
c gia
’
it´ıch
NH
`
AXU
ˆ
A
´
TBA
’
NDA
.
IHO
.
CQU
ˆ
O
´
C GIA H
`
AN
ˆ
O
.
I
H`a Nˆo
.
i – 2006
Mu
.
clu
.
c
L`o
.
in´oid
ˆa
`
u 4
1Sˆo
´
ph´u
.
c6
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 6
1.2 Da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 8
1.3 Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod
un v`a acgumen . . . . . . . . 13
1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac . . . . . . . . 23
2D
-
ath´u
.
c v`a h`am h˜u
.
uty
’
44
2.1 D
-
ath´u
.
c 44
2.1.1 D
-
ath´u
.
c trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c C 45
2.1.2 D
-
ath´u
.
c trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c R 46
2.2 Phˆan th´u
.
ch˜u
.
uty
’
55
3 Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th ´u
.
c66
3.1 Ma trˆa
.
n 67
3.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa ma trˆa
.
n 67
3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe
´
n t´ınh trˆen ma trˆa
.
n 69
3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa
.
n 71
3.1.4 Ph´ep chuyˆe
’
nvi
.
ma trˆa
.
n 72
3.2 D
-
i
.
nh th ´u
.
c 85
3.2.1 Nghi
.
ch thˆe
´
85
3.2.2 D
-
i
.
nh th ´u
.
c 85
3.2.3 T´ınh chˆa
´
tcu
’
ad
i
.
nh th ´u
.
c 88
2MU
.
CLU
.
C
3.2.4 Phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh d
i
.
nh th ´u
.
c 89
3.3 Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n 109
3.3.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa 109
3.3.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap t`ım ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n 109
3.4 Ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o 118
3.4.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa 118
3.4.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap t`ım ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o 119
4Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh 132
4.1 Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 . . . . 132
4.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap ma trˆa
.
n 133
4.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2 Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . 143
4.3 Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t 165
5 Khˆong gian Euclide
R
n
177
5.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe
`
u v`a mˆo
.
tsˆo
´
kh´ai niˆe
.
mco
.
ba
’
nvˆe
`
vecto
.
177
5.2 Co
.
so
.
’
.D
-
ˆo
’
ico
.
so
.
’
188
5.3 Khˆong gian vecto
.
Euclid. Co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n 201
5.4 Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
nt´ınh 213
5.4.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa 213
5.4.2 Ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 213
5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4.4 Vecto
.
riˆeng v`a gi´a tri
.
riˆeng . . . . . . . . . . . . 216
6Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng d
ˆe
’
nhˆa
.
nda
.
ng du
.
`o
.
ng
v`a m˘a
.
tbˆa
.
c hai 236
6.1 Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 236
6.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237
6.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241
MU
.
CLU
.
C3
6.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao . . . . . . . . . 244
6.2 D
-
u
.
aphu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at cu
’
ad
u
.
`o
.
ng bˆa
.
c hai v`a m˘a
.
t
bˆa
.
c hai vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 263
L`o
.
i n´oi d
ˆa
`
u
Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa
.
p to´an cao cˆa
´
p n`ay du
.
o
.
.
c biˆen soa
.
n theo Chu
.
o
.
ng
tr`ınh To´an cao cˆa
´
p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho
.
cTu
.
.
nhiˆen cu
’
a
D
a
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
iv`ad˜a d u
.
o
.
.
cD
a
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i thˆong
qua v`a ban h`anh.
Mu
.
cd
´ıch cu
’
a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o
.
sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho
.
c
Tu
.
.
nhiˆen n˘a
´
mv˜u
.
ng v`a vˆa
.
ndu
.
ng d
u
.
o
.
.
c c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an cao
cˆa
´
p. Mu
.
c tiˆeu n`ay quyˆe
´
td
i
.
nh to`an bˆo
.
cˆa
´
utr´uc cu
’
a gi´ao tr`ınh. Trong
mˆo
˜
imu
.
c, d
ˆa
`
u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a
´
tnh˜u
.
ng co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t
v`a liˆe
.
tkˆenh˜u
.
ng cˆong th´u
.
ccˆa
`
n thiˆe
´
t. Tiˆe
´
pd
´o, trong phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
ch´ung tˆoi quan tˆam d
˘a
.
cbiˆe
.
tt´o
.
iviˆe
.
c gia
’
i c´ac b`ai to´an mˆa
˜
ub˘a
`
ng c´ach
vˆa
.
ndu
.
ng c´ac kiˆe
´
nth´u
.
cl´y thuyˆe
´
td
˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa
`
n B`ai
tˆa
.
p.O
.
’
d
ˆay, c´ac b`ai tˆa
.
pdu
.
o
.
.
cgˆo
.
p th`anh t`u
.
ng nh´om theo t`u
.
ng chu
’
d
ˆe
`
v`a d
u
.
o
.
.
cs˘a
´
pxˆe
´
p theo th´u
.
tu
.
.
t˘ang dˆa
`
nvˆe
`
d
ˆo
.
kh´o v`a mˆo
˜
i nh´om dˆe
`
u
c´o nh˜u
.
ng chı
’
dˆa
˜
nvˆe
`
phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i. Ch´ung tˆoi hy vo
.
ng r˘a
`
ng viˆe
.
c
l`am quen v´o
.
il`o
.
i gia
’
i chi tiˆe
´
t trong phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
s˜e gi´up ngu
.
`o
.
iho
.
c
n˘a
´
md
u
.
o
.
.
c c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an co
.
ba
’
n.
Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa
.
p n`ay c´o thˆe
’
su
.
’
du
.
ng du
.
´o
.
isu
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
ncu
’
a
gi´ao viˆen ho˘a
.
ctu
.
.
m`ınh nghiˆen c´u
.
u v`ı c´ac b`ai tˆa
.
pd
ˆe
`
uc´od´ap sˆo
´
,mˆo
.
t
sˆo
´
c´o chı
’
dˆa
˜
n v`a tru
.
´o
.
c khi gia
’
i c´ac b`ai tˆa
.
pn`ayd
˜a c´o phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
tr`ınh b`ay nh ˜u
.
ng chı
’
dˆa
˜
nvˆe
`
m˘a
.
tphu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an.
T´ac gia
’
gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca
’
mo
.
n c´ac thˆa
`
y gi´ao: TS. Lˆe D
`ınh
Ph `ung v`a PGS. TS. Nguyˆe
˜
n Minh Tuˆa
´
nd
˜ado
.
ck˜yba
’
n tha
’
ov`ad´ong
Co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t h`am biˆe
´
nph´u
.
c5
g´op nhiˆe
`
u´ykiˆe
´
n qu´y b´au vˆe
`
cˆa
´
utr´uc v`a nˆo
.
i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac
gia
’
vˆe
`
nh˜u
.
ng thiˆe
´
u s´ot cu
’
aba
’
n tha
’
o gi´ao tr`ınh.
M´o
.
i xuˆa
´
tba
’
nlˆa
`
nd
ˆa
`
u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho
’
i sai s´ot. Ch´ung
tˆoi rˆa
´
t chˆan th`anh mong d
u
.
o
.
.
cba
.
nd
o
.
c vui l`ong chı
’
ba
’
o cho nh˜u
.
ng
thiˆe
´
u s´ot cu
’
a cuˆo
´
n s´ach d
ˆe
’
gi´ao tr`ınh ng`ay du
.
o
.
.
c ho`an thiˆe
.
nho
.
n.
H`a Nˆo
.
i, M `ua thu 2004
T´ac gia
’
Chu
.
o
.
ng 1
Sˆo
´
ph´u
.
c
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 6
1.2 Da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 8
1.3 Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod
un v`a acgumen . 13
1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac . 23
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c
Mˆo
˜
ic˘a
.
psˆo
´
thu
.
.
c c´o th ´u
.
tu
.
.
(a; b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a mˆo
.
tsˆo
´
ph´u
.
cnˆe
´
u trˆen tˆa
.
pho
.
.
p c´ac c˘a
.
pd
´o quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau, ph´ep cˆo
.
ng v`a
ph´ep nhˆan d
u
.
o
.
.
cd
u
.
a v`ao theo c´ac d
i
.
nh ngh˜ıa sau dˆay:
(I) Quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau
(a
1
,b
1
)=(a
2
,b
2
) ⇐⇒
a
1
= a
2
,
b
1
= b
2
.
(I I) Ph´ep cˆo
.
ng
1.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 7
(a
1
,b
1
)+(a
2
,b
2
)
def
=(a
1
+ a
2
,b
1
+ b
2
).
1
(I II) Ph´ep nhˆan
(a
1
,b
1
)(a
2
,b
2
)
def
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
,a
1
b
2
+ a
2
b
1
).
Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aC. Ph´ep cˆo
.
ng (II) v`a ph´ep nhˆan
(I II) trong C c´o t´ınh chˆa
´
t giao ho´an, kˆe
´
tho
.
.
p, liˆen hˆe
.
v´o
.
i nhau bo
.
’
i
luˆa
.
t phˆan bˆo
´
v`a mo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
=(0, 0) d
ˆe
`
u c´o phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch d
a
’
o.
Tˆa
.
pho
.
.
p C lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng (go
.
i l`a tru
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c) v´o
.
i phˆa
`
n
tu
.
’
khˆong l`a c˘a
.
p (0; 0) v`a phˆa
`
ntu
.
’
d
o
.
nvi
.
l`a c˘a
.
p (1; 0).
´
Ap du
.
ng quy
t˘a
´
c (II I) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe
´
uk´yhiˆe
.
u i =(0,1) th`ı
i
2
= −1
Dˆo
´
iv´o
.
i c´ac c˘a
.
pda
.
ng d
˘a
.
cbiˆe
.
t(a, 0), ∀a ∈ R theo (II) v`a (III) ta
c´o
(a, 0) + (b,0)=(a + b,0),
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).
T`u
.
d
´ovˆe
`
m˘a
.
tda
.
isˆo
´
c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe
.
t
v´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c R:v`ıch´ung d
u
.
o
.
.
ccˆo
.
ng v`a nhˆan nhu
.
nh˜u
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c. Do
vˆa
.
y ta c´o thˆe
’
d
ˆo
`
ng nhˆa
´
t c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a; 0) v´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c a:
(a;0)≡ a ∀a ∈ R.
D
˘a
.
cbiˆe
.
t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.
D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b):
1
+
Sˆo
´
thu
.
.
c a d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phˆa
`
n thu
.
.
c a =Rez,sˆo
´
thu
.
.
c b go
.
i l`a phˆa
`
n
a
’
ov`ak´yhiˆe
.
ul`ab =Imz.
2
+
Sˆo
´
ph´u
.
c
z =(a, −b)go
.
il`asˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
pv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z
1
def. l`a c´ach viˆe
´
tt˘a
´
tcu
’
at`u
.
tiˆe
´
ng Anh definition (d
i
.
nh ngh˜ıa)
8Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
1.2 Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a; b) ∈ C d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
viˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng
z = a + ib. (1.1)
Thˆa
.
tvˆa
.
y, z =(a, b)=(a, 0) + (0,b)=(a,0) + (0,1)(b, 0) = a + ib
Biˆe
’
uth´u
.
c (1.1) go
.
i l`a da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b). T`u
.
(1.1)
v`a d
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p ta c´o
z = a − ib.
Du
.
´o
.
ida
.
ng d
a
.
isˆo
´
c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
c thu
.
.
c
hiˆe
.
n theo c´ac quy t˘a
´
c sau.
Gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o
(I) Ph´ep cˆo
.
ng: z
1
± z
2
=(a
1
± a
2
)+i(b
1
±b
2
).
(I I) Ph´ep nhˆan: z
1
z
2
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
)+i(a
1
b
2
+ a
2
b
1
).
(I II) Ph´ep chia:
z
2
z
1
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
1
+ b
2
1
+ i
a
1
b
2
− a
2
b
1
a
2
1
+ b
2
1
·
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. 1
+
T´ınh i
n
.T`u
.
d
´och´u
.
ng minh r˘a
`
ng
a) i
n
+ i
n+1
+ i
n+2
+ i
n+3
=0;
b) i ·i
2
···i
99
· i
100
= −1.
2
+
T`ım sˆo
´
nguyˆen n nˆe
´
u:
a) (1 + i)
n
=(1− i)
n
;
b)
1+i
√
2
n
+
1 − i
√
2
n
=0.
Gia
’
i. 1
+
Ta c´o i
0
=1,i
1
= i, i
2
= −1, i
3
= −i, i
4
=1,i
5
= i v`a
gi´a tri
.
l˜uy th`u
.
ab˘a
´
td
ˆa
`
ul˘a
.
pla
.
i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia
’
su
.
’
n ∈ Z v`a
n =4k + r, r ∈ Z,0 r 3. Khi d
´o
i
n
= i
4k+r
= i
4k
· i
r
=(i
4
)
k
i
r
= i
r
1.2. Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 9
(v`ı i
4
= i). T`u
.
d
´o, theo kˆe
´
t qua
’
trˆen ta c´o
i
n
=
1nˆe
´
u n =4k,
i nˆe
´
u n =4k +1,
−1nˆe
´
u n =4k +2,
−i nˆe
´
u n =4k +3.
(1.2)
T`u
.
(1.2) dˆe
˜
d`ang suy ra a) v`a b).
2
+
a) T`u
.
hˆe
.
th ´u
.
c(1+i)
n
=(1− i)
n
suy ra
1+i
1 −i
n
=1.
Nhu
.
ng
1+i
1 −i
= i nˆen
1+i
1 − i
n
= i
n
=1⇒ n =4k, k ∈ Z.
b) T`u
.
d
˘a
’
ng th ´u
.
c
1+i
√
2
n
+
1 −i
√
2
n
= 0 suy r˘a
`
ng
1+i
1 −i
n
= −1
v`a do d
´o i
n
= −1 ⇒ n =4k +2,k ∈ Z.
V´ı du
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u n l`a bˆo
.
icu
’
a3th`ı
−1+i
√
3
2
n
+
−1 − i
√
3
2
n
=2
v`a nˆe
´
u n khˆong chia hˆe
´
t cho 3 th`ı
−1+i
√
3
2
n
+
−1 − i
√
3
2
n
= −1.
Gia
’
i. 1
+
Nˆe
´
u n =3m th`ı
S =
−1+i
√
3
2
3
m
+
−1 −i
√
3
2
3
m
=
−1+3i
√
3+9− 3i
√
3
8
m
+
−1 − 3i
√
3+9+3i
√
3
8
m
=1
m
+1
m
=2.
10 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
2
+
Nˆe
´
u n =3m +1th`ı
S =
−1+i
√
3
2
3
m
−1+i
√
3
2
+
−1 − i
√
3
2
3
m
1 −i
√
3
2
=
−1+i
√
3
2
+
−1 − i
√
3
2
= −1.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nˆe
´
u n =3m +2tac˜ung c´o S = −1.
V´ı d u
.
3. T´ınh biˆe
’
uth´u
.
c
σ =
1+
1+i
2
1+
1+i
2
2
1+
1+i
2
2
2
···
1+
1+i
2
2
n
.
Gia
’
i. Nhˆan v`a chia biˆe
’
uth´u
.
cd
˜achov´o
.
i1−
1+i
2
ta c´o
σ =
1 −
1+i
2
2
n
2
1 −
1+i
2
=
1 −
1+i
2
2
n+1
1 −
1+i
2
·
Ta cˆa
`
n t´ınh
1+i
2
2
n+1
=
1+i
2
2
2
n
=
i
2
2
n
=
i
2
n
2
2
n
=
1
2
2
n
·
Do d
´o
σ =
1 −
1
2
2
n
1 −
1+i
2
=
2
1 −
1
2
2
n
1 −i
×
1+i
1+i
=
1 −
1
2
2
n
(1 + i)
V´ı d u
.
4. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c
√
4 − 3i du
.
´o
.
ida
.
ng d
a
.
isˆo
´
.
Gia
’
i. Theo d
i
.
nh ngh˜ıa ta cˆa
`
nt`ımsˆo
´
ph´u
.
c w sao cho w
2
=4− 3i.
Nˆe
´
u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı
4 − 3i =(a + bi)
2
= a
2
− b
2
+2abi.
1.2. Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 11
T`u
.
d
´o
a
2
− b
2
=4, (1.3)
2ab = −3. (1.4)
T`u
.
(1.4) ta c´o b = −
3
2a
.Thˆe
´
v`ao (1.3) ta thu d
u
.
o
.
.
c
4u
2
− 16u −9=0,u= a
2
⇐⇒
u
1
=
8+
√
100
4
=
8+10
4
=
18
4
=
9
2
,
u
2
=
8 −
√
100
4
=
8 − 10
4
= −
1
2
·
V`ı a ∈ R nˆen u 0 ⇒ u =
9
2
v`a do vˆa
.
y
a = ±
3
√
2
⇒ b = ∓
1
√
2
·
T`u
.
d
´o ta thu du
.
o
.
.
c
w
1,2
= ±
3
√
2
−
1
√
2
i
V´ı du
.
5. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c
z =
√
5+12i −
√
5 − 12i
√
5+12i +
√
5 −12i
v´o
.
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n l`a c´ac phˆa
`
n thu
.
.
ccu
’
a
√
5+12i v`a
√
5 −12i dˆe
`
u ˆam.
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i trong v´ıdu
.
4 ta c´o
√
5+12i = x + iy ⇒ 5+12i = x
2
−y
2
−2xyi
⇐⇒
x
2
− y
2
=5,
2xy =12.
12 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
Hˆe
.
n`ay c´o hai nghiˆe
.
m l`a (3; 2) v`a (−3; −2). Theo diˆe
`
ukiˆe
.
n, phˆa
`
n
thu
.
.
ccu
’
a
√
5+12i ˆam nˆen ta c´o
√
5+12i = −3 −2i.Tu
.
o
.
ng tu
.
.
ta
t`ım d
u
.
o
.
.
c
√
5 −12i = −3+2i.Nhu
.
vˆa
.
y
z =
−3 − 2i − (−3+2i)
−3 −2i +(−3+2i)
=
2
3
i
V´ı du
.
6. Gia
’
su
.
’
z = a + ib, z = ±1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng w =
z − 1
z +1
l`a
sˆo
´
thuˆa
`
na
’
o khi v`a chı
’
khi a
2
+ b
2
=1.
Gia
’
i. Ta c´o
w =
(a − 1) + ib
(a +1)+ib
=
a
2
+ b
2
− 1
(a +1)
2
+ b
2
+ i
2b
(a +1)
2
+ b
2
·
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng w thuˆa
`
na
’
o khi v`a chı
’
khi
a
2
+ b
2
− 1
(a +1)
2
+ b
2
=0⇐⇒ a
2
+ b
2
=1.
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
T´ınh
1.
(1 + i)
8
− 1
(1 − i)
8
+1
· (D
S.
15
17
)
2.
(1+2i)
3
+(1−2i)
3
(2 − i)
2
− (2 + i)
2
· (DS. −
11
4
i)
3.
(3 − 4i)(2 − i)
2+i
−
(3+4i)(2 + i)
2 −i
· (D
S. −
14
5
)
4.
1+
1 −i
√
2
1+
1 −i
√
2
2
1+
1 −i
√
2
2
2
···
1+
1 −i
√
2
2
n
.
(D
S. 0)
Chı
’
dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng c´ach gia
’
iv´ıdu
.
3.
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
a)
z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
;b)z
1
z
2
= z
1
· z
2
;c)
z
1
z
2
=
z
1
z
2
;
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 13
d) z
n
= (z)
n
;e)z + z = 2Re z;g)z −z = 2Im z.
6. V´o
.
i gi´a tri
.
thu
.
.
c n`ao cu
’
a x v`a y th`ı c´ac c˘a
.
psˆo
´
sau d
ˆay l`a c´ac c˘a
.
p
sˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p:
1) y
2
− 2y + xy − x + y +(x + y)i v`a −y
2
+2y +11−4i;
2) x + y
2
+1+4i v`a ixy
2
+ iy
2
− 3?
(D
S. 1) x
1
=1,y
1
=3;x
2
=9,y
2
= 5; 2) x
1,2
= −5, y
1,2
= ±5)
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng z
1
v`a z
2
l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p khi v`a chı
’
khi z
1
+ z
2
v`a z
1
z
2
l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c.
8. T´ınh:
1)
√
−5 − 12i.(DS. ±(2 −3i))
2)
√
24 + 10i.(DS. ±(5 + i))
3)
√
24 −10i.(DS. ±(5 −i))
4)
1+i
√
3+
1 −i
√
3. (DS. ±
√
6, ±i
√
2)
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1) 1 − C
2
8
+ C
4
8
− C
6
8
+ C
8
8
= 16;
2) 1 − C
2
9
+ C
4
9
− C
6
9
+ C
8
9
= 16;
3) C
1
9
−C
3
9
+ C
5
9
− C
7
9
+ C
9
9
= 16.
Chı
’
dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c nhi
.
th ´u
.
c Newton d
ˆo
´
iv´o
.
i(1+i)
8
v`a
(1 + i)
9
.
1.3 Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆodun v`a acgu-
men
Mˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib c´o thˆe
’
d
˘a
.
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
id
iˆe
’
m M(a; b)cu
’
a
m˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
ad
ˆo
.
v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
imˆo
˜
id
iˆe
’
m M(a; b)cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng dˆe
`
u
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib. Ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
u
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pl`a
d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. Ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
´o cho ph´ep ta xem c´ac sˆo
´
ph´u
.
c
nhu
.
l`a c´ac d
iˆe
’
m cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
adˆo
.
.M˘a
.
t ph˘a
’
ng d´odu
.
o
.
.
cgo
.
il`a
m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c. Tru
.
c ho`anh cu
’
an´od
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aTru
.
c thu
.
.
c, tru
.
c tung
14 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
du
.
o
.
.
cgo
.
il`aTru
.
ca
’
o. Thˆong thu
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib c´o thˆe
’
xem
nhu
.
vecto
.
−→
OM.Mˆo
˜
i vecto
.
cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng v´o
.
id
iˆe
’
mdˆa
`
u O(0, 0) v`a
d
iˆe
’
m cuˆo
´
ita
.
idiˆe
’
m M(a; b)dˆe
`
utu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib v`a
ngu
.
o
.
.
cla
.
i.
Su
.
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
u
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pgi˜u
.
atˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c C v´o
.
itˆa
.
pho
.
.
p
c´ac d
iˆe
’
m hay c´ac vecto
.
m˘a
.
t ph˘a
’
ng cho ph´ep go
.
i c´ac sˆo
´
ph´u
.
cl`ad
iˆe
’
m
hay vecto
.
.
V´o
.
i ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
csˆo
´
ph´u
.
c, c´ac ph´ep to´an cˆo
.
ng v`a tr`u
.
c´ac sˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
n theo quy t˘a
´
ccˆo
.
ng v`a tr`u
.
c´ac vecto
.
.
Gia
’
su
.
’
z ∈ C. Khi d
´odˆo
.
d`ai cu
’
a vecto
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z
d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆod
un cu
’
a n´o.
Nˆe
´
u z = a + ib th`ı
r = |z| =
√
a
2
+ b
2
=
√
z z.
G´oc gi˜u
.
ahu
.
´o
.
ng du
.
o
.
ng cu
’
a tru
.
c thu
.
.
c v`a vecto
.
z (d
u
.
o
.
.
c xem l`a g´oc
du
.
o
.
ng nˆe
´
u n´o c´o d
i
.
nh hu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
c chiˆe
`
u kim d
ˆo
`
ng hˆo
`
)du
.
o
.
.
cgo
.
il`a
acgumen cu
’
asˆo
´
z =0. D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
z = 0 acgumen khˆong x´ac d
i
.
nh.
Kh´ac v´o
.
i mˆod
un, acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c x´ac d
i
.
nh khˆong do
.
n tri
.
,n´o
x´ac d
i
.
nh v´o
.
isu
.
.
sai kh´ac mˆo
.
tsˆo
´
ha
.
ng bˆo
.
i nguyˆen cu
’
a2π v`a
Arg z = arg z +2kπ, k ∈ Z,
trong d
´o arg z l`a gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a acgumen du
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh b o
.
’
id
iˆe
`
u
kiˆe
.
n −π<arg z π ho˘a
.
c0 arg z<2π.
Phˆa
`
n thu
.
.
c v`a phˆa
`
na
’
ocu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib d
u
.
o
.
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
n qua
mˆod
un v`a acgument cu
’
a n´o nhu
.
sau
a = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 15
Nhu
.
vˆa
.
y, acgumen ϕ cu
’
asˆo
´
ph´u
.
cc´othˆe
’
t`ım t`u
.
hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
,
sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
·
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı du
.
1. T`ım mˆod
un cu
’
asˆo
´
z =
x
2
− y
2
+2xyi
xy
√
2+i
x
4
+ y
4
·
Gia
’
i. Ta c´o
|z| =
(x
2
−y
2
)
2
+(2xy)
2
(xy
√
2)
2
+(
x
4
+ y
4
)
2
=
x
2
+ y
2
x
2
+ y
2
=1.
V´ı du
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ∀z
1
,z
2
∈ C ta dˆe
`
u c´o:
(i) |z
1
+ z
2
| |z
1
| + |z
2
|; (ii) |z
1
− z
2
| |z
1
| + |z
2
|;
(iii) |z
1
+ z
2
| |z
1
|−|z
2
|; (iv) z
1
− z
2
| |z
1
|−|z
2
.
Gia
’
i. (i) Ta c´o
|z
1
+ z
2
|
2
=(z
1
+ z
2
)(z
1
+ z
2
)=|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+ 2Re(z
1
z
2
).
V`ı −|z
1
z
2
| Re(z
1
z
2
) |z
1
z
2
| nˆen
|z
1
+ z
2
|
2
|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+2|z
1
||z
2
| =(|z
1
| + |z
2
|)
2
⇒|z
1
+ z
2
| |z
1
| + |z
2
|.
(ii) V`ı |z
2
| = |−z
2
| nˆen
|z
1
−z
2
| = |z
1
+(−z
2
)|≤|z
1
| + |−z
2
| = |z
1
| + |z
2
|.
(iii)
´
Ap du
.
ng (ii) cho z
1
=(z
1
+ z
2
) − z
2
v`a thu du
.
o
.
.
c
|z
1
| |z
1
+ z
2
| + |z
2
|→|z
1
+ z
2
| |z
1
|−|z
2
|.
16 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
(iv) |z
1
− z
2
| = |z
1
+(−z
2
)|≥|z
1
|−|−z
2
| = |z
1
|−|z
2
|.
Nhˆa
.
nx´et. C´ac bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c (iii) v`a (iv) c`on c´o thˆe
’
viˆe
´
tdu
.
´o
.
i
da
.
ng
(iii)
∗
. |z
1
+ z
2
|
|z
1
|−|z
2
|
; (iv)
∗
. |z
1
−z
2
|
|z
1
|−|z
2
|
.
Thˆa
.
tvˆa
.
y ta c´o |z
1
+ z
2
| |z
1
|−|z
2
| v`a |z
1
+ z
2
| |z
2
|−|z
1
|. C´ac
vˆe
´
pha
’
i kh´ac nhau vˆe
`
dˆa
´
udod
´onˆe
´
ulˆa
´
yvˆe
´
pha
’
idu
.
o
.
ng th`ı thu d
u
.
o
.
.
c
(iii)
∗
.Bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c (iv)
∗
thu du
.
o
.
.
ct`u
.
(iii)
∗
b˘a
`
ng c´ach thay z
2
bo
.
’
i
−z
2
.
V´ı d u
.
3. Ch´u
.
ng minh d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|
2
=2(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
).
Gia
’
i th´ıch ´y ngh˜ıa h`ınh ho
.
ccu
’
ahˆe
.
th ´u
.
cd
˜ach´u
.
ng minh.
Gia
’
i. Gia
’
su
.
’
z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
. Khi d´o
z
1
+ z
2
= x
1
+ x
2
+ i(y
1
+ y
2
),
z
1
− z
2
= x
1
− x
2
+ i(y
1
−y
2
),
|z
1
+ z
2
|
2
=(x
1
+ x
2
)
2
+(y
1
+ y
2
)
2
,
|z
1
− z
2
|
2
=(x
1
− x
2
)
2
+(y
1
−y
2
)
2
.
T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|
2
=2(x
2
1
+ y
1
)
2
+2(x
2
2
+ y
2
2
)=2(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
).
T`u
.
hˆe
.
th ´u
.
cd
˜a c h ´u
.
ng minh suy r˘a
`
ng trong mˆo
˜
ih`ınh b`ınh h`anh tˆo
’
ng c´ac
b`ınh phu
.
o
.
ng d
ˆo
.
d`ai cu
’
a c´ac du
.
`o
.
ng ch´eo b˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac b`ınh phu
.
o
.
ng
d
ˆo
.
d`ai cu
’
a c´ac ca
.
nh cu
’
a n´o.
V´ı d u
.
4. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u |z
1
| = |z
2
| = |z
3
| th`ı
arg
z
3
− z
2
z
3
− z
1
=
1
2
arg
z
2
z
1
·
Gia
’
i. Theo gia
’
thiˆe
´
t, c´ac d
iˆe
’
m z
1
, z
2
v`a z
3
n˘a
`
m trˆen du
.
`o
.
ng tr`on
n`ao d
´o v ´o
.
i tˆam ta
.
igˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
.Tax´et c´ac vecto
.
z
3
−z
2
; z
3
−z
1
, z
1
v`a
z
2
(h˜ay v˜e h`ınh).
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 17
B˘a
`
ng nh˜u
.
ng nguyˆen do h`ınh ho
.
c, dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng
arg
z
3
− z
2
z
3
− z
1
= arg (z
3
−z
2
) − arg(z
3
− z
1
)
v`a g´oc n`ay nh`ın cung tr`on nˆo
´
id
iˆe
’
m z
1
v`a z
2
v`a g´oc o
.
’
tˆam
arg
z
2
z
1
= argz
2
− argz
1
c˜ung ch˘a
´
nch´ınh cung tr`on d´o. Theo di
.
nh l´y quen thuˆo
.
ccu
’
ah`ınh ho
.
c
so
.
cˆa
´
p ta c´o
arg
z
3
−z
2
z
3
−z
1
=
1
2
arg
z
2
z
1
·
V´ı d u
.
5. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u |z
1
| = |z
2
| = |z
3
| =1v`az
1
+z
2
+z
3
=0
th`ı c´ac d
iˆe
’
m z
1
, z
2
v`a z
3
l`a c´ac dı
’
nh cu
’
a tam gi´ac dˆe
`
unˆo
.
itiˆe
´
p trong
d
u
.
`o
.
ng tr`on d
o
.
nvi
.
.
Gia
’
i. Theo gia
’
thiˆe
´
t, ba d
iˆe
’
m z
1
, z
2
v`a z
3
n˘a
`
mtrˆendu
.
`o
.
ng tr`on
d
o
.
nvi
.
.Tat`ımd
ˆo
.
d`ai cu
’
a c´ac ca
.
nh tam gi´ac.
1
+
T`ım dˆo
.
d`ai |z
1
− z
2
|.Tac´o
|z
1
− z
2
|
2
=(x
1
− x
2
)
2
+(y
1
− y
2
)
2
= x
2
1
+ y
2
1
+ x
2
2
+ y
2
2
− (2x
1
x
2
+2y
1
y
2
)
=2(x
2
1
+ y
2
1
)+2(x
2
2
+ y
2
2
) − [(x
1
+ x
2
)
2
+(y
1
+ y
2
)
2
]
=2|z
1
|
2
+2|z
2
|
2
−2|z
1
+ z
2
|
2
.
Nhu
.
ng z
1
+ z
2
= −z
3
v`a |z
1
+ z
2
| = |z
3
|.Dod´o
|z
1
− z
2
|
2
=2|z
1
|
2
+2|z
2
|
2
−|z
3
|
2
=2· 1+2· 1 − 1=3
v`a t`u
.
d
´o
|z
1
− z
2
| =
√
3 .
2
+
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
ta c´o |z
2
− z
3
| =
√
3, |z
3
− z
1
| =
√
3. T`u
.
d
´o suy ra
tam gi´ac v´o
.
id
ı
’
nh z
1
, z
2
, z
3
l`a tam gi´ac dˆe
`
u.
18 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
V´ı d u
.
6. V´o
.
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n n`ao th`ı ba diˆe
’
m kh´ac nhau t`u
.
ng d
ˆoi mˆo
.
t z
1
,
z
2
, z
3
n˘a
`
m trˆen mˆo
.
tdu
.
`o
.
ng th˘a
’
ng.
Gia
’
i. 1
+
Nˆe
´
u c´ac diˆe
’
m z
1
, z
2
, z
3
n˘a
`
m trˆen du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng cho tru
.
´o
.
c
th`ı vecto
.
d
it`u
.
z
2
dˆe
´
n z
1
c´o hu
.
´o
.
ng nhu
.
cu
’
a vecto
.
d
it`u
.
d
iˆe
’
m z
3
dˆe
´
n
z
1
ho˘a
.
cc´ohu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
cla
.
i. D
iˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a c´ac g´oc nghiˆeng cu
’
a
c´ac vecto
.
n`ay d
ˆo
´
iv´o
.
i tru
.
c thu
.
.
c ho˘a
.
cnhu
.
nhau ho˘a
.
c sai kh´ac g´oc π.
Nhu
.
ng khi d
´o ta c´o
arg(z
1
−z
2
) = arg ( z
1
−z
3
)+kπ, k = 0, 1.
T`u
.
d
´o suy ra
arg
z
1
− z
2
z
1
− z
3
= arg(z
1
−z
2
) − arg(z
1
− z
3
)=kπ, k = 0, 1.
Nhu
.
vˆa
.
ysˆo
´
ph´u
.
c
z
1
− z
2
z
1
− z
3
c´o acgumen b˘a
`
ng 0 ho˘a
.
cb˘a
`
ng π,t´u
.
cl`asˆo
´
z
1
− z
2
z
1
− z
3
l`a sˆo
´
thu
.
.
c. D
iˆe
`
ukiˆe
.
nthudu
.
o
.
.
cl`ad
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
n.
2
+
Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d
´oc˜ung l`a diˆe
`
ukiˆe
.
ndu
’
. Gia
’
su
.
’
z
1
−z
2
z
1
−z
3
= α, α ∈ R.
Khi d
´oIm
z
1
− z
2
z
1
− z
3
=0. Hˆe
.
th ´u
.
c n`ay tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng v´o
.
ihˆe
.
th ´u
.
c
y
1
− y
3
y
1
− y
2
=
x
1
− x
3
x
1
− x
2
· (1.5)
Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng qua d
iˆe
’
m(x
1
,y
1
)v`a(x
2
,y
2
) c´o da
.
ng
y −y
1
y
2
− y
1
=
x − x
1
x
2
− x
1
· (1.6)
T`u
.
(1.5) v`a (1.6) suy ra d
iˆe
’
m(x
3
,y
3
)n˘a
`
m trˆen du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng d
´o.
V´ı du
.
7. X´ac d
i
.
nh tˆa
.
pho
.
.
pd
iˆe
’
m trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c tho
’
a m˜an c´ac
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 19
1) |z −2| + |z +2| =5;
2) |z −2|−|z +2| > 3;
3) Re z c;
4) Im z<0.
Gia
’
i. 1) D
˘a
’
ng th´u
.
c |z − 2| + |z +2| =5x´acd
i
.
nh qu˜y t´ıch nh˜u
.
ng
d
iˆe
’
mcu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng m`a tˆo
’
ng khoa
’
ng c´ach t`u
.
d
´odˆe
´
n hai diˆe
’
mcho
tru
.
´o
.
c F
1
= −2v`aF
2
= +2 l`a h˘a
`
ng sˆo
´
b˘a
`
ng 5. Theo di
.
nh ngh˜ıa trong
h`ınh ho
.
c gia
’
it´ıchd
´o l `a d u
.
`o
.
ng ellip v´o
.
i b´an tru
.
cl´o
.
nb˘a
`
ng
5
2
v`a tiˆeu
d
iˆe
’
m ±2.
2) Qu˜y t´ıch c´ac d
iˆe
’
mcu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng C tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
n
|z − 2|−|z +2|
=3l`ad
u
.
`o
.
ng hypecbˆon. D
˘a
’
ng th ´u
.
c
|z −2|−|z +2| =3
x´ac d
i
.
nh nh´anh bˆen tr´ai cu
’
adu
.
`o
.
ng hypecbˆon v`a bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
|z −2|−|z +2| > 3 x´ac d
i
.
nh phˆa
`
n trong cu
’
a nh´anh d´o.
3) Rez c ⇒ x c.D
´ol`anu
.
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng bˆen pha
’
id
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng
x = c (kˆe
’
ca
’
d
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng x = c).
4) V`ıImz = y ⇒ Im z<c⇒ y<c.D
´ol`anu
.
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng du
.
´o
.
i
d
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng y = c (khˆong kˆe
’
d
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng d
´o).
V´ı d u
.
8. X´ac d
i
.
nh tˆa
.
pho
.
.
pd
iˆe
’
m trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c C d
u
.
o
.
.
ccho
bo
.
’
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
1) |z| =Rez +1;
2) |z −1| 2|z − i|;
3) |z −2+i|u
2
− 2|z − 2+i|u +1> 0 ∀u ∈ R.
4) log
3
(2 + |z
2
+ i|)+log
27
1
(2 + |z
2
− i|)
3
=0.
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
z = x + iy. Khi d
´ot`u
.
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n
|z| =Rez +1⇒
x
2
+ y
2
= x +1⇒ y
2
=2x +1.
20 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
D´o l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh parabˆon v´o
.
id
ı
’
nh ta
.
idiˆe
’
m
−
1
2
;0
v´o
.
i tru
.
cd
ˆo
´
i
x´u
.
ng l`a tia
γ =
(x, y) ∈ R
2
: x −
1
2
,y =0
.
2) Gia
’
su
.
’
z = x + iy. Khi d
´ot`u
.
d
iˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho suy ra:
|x − 1+iy| 2|x + i(y − 1)|
⇒
(x − 1)
2
+ y
2
≥ 2
x
2
+(y − 1)
2
⇒
x +
1
3
2
+
y −
4
3
2
8
9
·
T`u
.
d
´o suy ra r˘a
`
ng diˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho x´ac di
.
nh h`ınh tr`on tˆam z
0
= −
1
3
+i
4
3
v`a b´an k´ınh
2
√
2
3
.
3) V`ı tam th´u
.
cbˆa
.
c hai (d
ˆo
´
iv´o
.
i u)o
.
’
vˆe
´
tr´ai cu
’
ad
iˆe
`
ukiˆe
.
nd˜acho
du
.
o
.
ng ∀u ∈ R nˆen biˆe
.
tsˆo
´
cu
’
a n´o ˆam, t´u
.
cl`a
|z −2+i|
2
−|z −2+i| < 0
⇒|z −2+i| < 1.
D
´o l`a h`ınh tr`on v´o
.
i tˆam ta
.
i z
0
=2−i v`a b´an k´ınh b˘a
`
ng 1.
4) T`u
.
d
iˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho ta thu du
.
o
.
.
c
log
3
2+|z
2
+ i|
2+|z
2
−i|
=0
⇒
2+|z
2
+ i|
2+|z
2
− i|
=1 v`a |z
2
+ i| = |z
2
−i|.
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng z
2
l`a sˆo
´
thu
.
.
cbˆa
´
tk`y. Nhu
.
ng khi d
´o z l`a sˆo
´
thu
.
.
cbˆa
´
t
k`y ho˘a
.
csˆo
´
thuˆa
`
na
’
obˆa
´
tk`y. Nhu
.
vˆa
.
ychı
’
c´o c´ac d
iˆe
’
mn˘a
`
m trˆen c´ac
tru
.
cto
.
ad
ˆo
.
l`a tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho.
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 21
1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1) |z
1
· z
2
| = |z
1
|·|z
2
|;
2) |z
1
±z
2
| |z
1
| + |z
2
|;
3) |z
1
±z
2
|
|z
1
|−|z
2
|
.
2. Xuˆa
´
t ph´at t`u
.
c´ac biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c, ch´u
.
ng minh:
1)
z
|z|
−1
|argz|;
2) |z −1|
|z|−1
+ |z||argz|.
3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u gi´a tri
.
ch´ınh argz = arg(a + ib) tho
’
a m˜an
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n −π<argz π th`ı n´o du
.
o
.
.
c t´ınh theo cˆong th´u
.
c
arg(a + ib)=
arctg
b
a
nˆe
´
u a>0,
arctg
b
a
+ π nˆe
´
u a<0,b 0,
arctg
b
a
− π nˆe
´
u a<0,b<0.
4. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u gi´a tri
.
ch´ınh arg(a + ib) tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n
0 arg (a + ib) < 2π th`ı
arg(a + ib)=
arctg
b
a
nˆe
´
u a>0,b>0,
arctg
b
a
+2π nˆe
´
u a>0,b<0,
arctg
b
a
+ π nˆe
´
u a<0.
Chı
’
dˆa
˜
n. Lu
.
u´yr˘a
`
ng gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a arctg
b
a
∈
−
π
2
,
π
2
.
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng |a + b|
2
+ |a −b|
2
=4|a|
2
nˆe
´
u |a| = |b|.
6. Ch´u
.
ng minh d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
|1 −
ab|
2
−|a −b|
2
=(1+|ab|)
2
−(|a| + |b|)
2
,a∈ C,b∈ C.
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c |z|
2
= zz.
22 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
7. Ch´u
.
ng minh d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
1) |a + b|
2
=(|a| + |b|)
2
− 2
|ab|−Re(ab)
.
2) |a
b +1|
2
+ |a −b|
2
=(|a|
2
+ 1)(|b|
2
+ 1).
8. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = −1v`a|z| =1d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
biˆe
’
u
diˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng
z =
1+ti
1 − ti
,t∈ R.
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n t qua z v`a ch´u
.
ng minh t =
t.
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
uRea 0th`ı|1+a|
1+|a|
√
2
·
Chı
’
dˆa
˜
n. C´o thˆe
’
ch´u
.
ng minh b˘a
`
ng pha
’
nch´u
.
ng.
10. Trong c´ac sˆo
´
ph´u
.
c tho
’
am˜and
iˆe
`
ukiˆe
.
n
|z −25i| 15
h˜ay t`ım sˆo
´
c´o acgument du
.
o
.
ng nho
’
nhˆa
´
t.
11. T`ım acgumen cu
’
a c´ac sˆo
´
ph´u
.
csaud
ˆay
1) cos
π
6
− i sin
π
6
· (D
S. −
π
6
)
2) −cos
π
3
+ i sin
π
3
· (D
S.
2π
3
)
3) cos ϕ − i sin ϕ.(D
S. −ϕ)
4) −cos ϕ − i sin ϕ.(D
S. π + ϕ)
5) sin ϕ + i cos ϕ.(D
S.
π
2
− ϕ)
6) sin ϕ −i cos ϕ.(D
S. ϕ −
π
2
)
7) −sin ϕ − i cos ϕ.(D
S.
−
π
2
−ϕ
)
1.4. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac 23
1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng
gi´ac
Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib =0d
ˆe
`
ubiˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng
z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) (1.7)
trong d
´o r = |z| =
√
a
2
+ b
2
, ϕ l`a mˆo
.
t trong c´ac acgumen cu
’
a n´o.
Ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
nd
´o d u
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z.D
ˆe
’
chuyˆe
’
nt`u
.
da
.
ng d
a
.
isˆo
´
sang da
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac ta chı
’
cˆa
`
nt`ım mˆod
un
v`a mˆo
.
t trong c´ac acgument cu
’
a n´o. V`ı mˆod
un v`a acgumen cu
’
atˆo
’
ng
(hiˆe
.
u) hai sˆo
´
ph´u
.
c kh´o c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n qua mˆod
un v`a acgumen cu
’
a
c´ac sˆo
´
ha
.
ng nˆen ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep tr`u
.
du
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac l`a khˆong
kha
’
thi. Ngu
.
o
.
.
cla
.
i, ph´ep nhˆan, ph´ep chia, ph´ep nˆang lˆen l˜uy th`u
.
av`a
khai c˘an d
u
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
nrˆa
´
ttiˆe
.
nlo
.
.
idu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac.
Gia
’
su
.
’
z
1
= r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
), z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
),
z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d
´o
1
+
z
1
z
2
= r
1
r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)]
2
+
z
1
z
2
=
r
1
r
2
[cos(ϕ
1
− ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
− ϕ
2
)], r
2
=0.
3
+
z
n
= r
n
[cos nϕ + i sin nϕ], n ∈ Z.
4
+
w
k
=
n
√
r
cos
ϕ +2kπ
n
+ i sin
ϕ +2kπ
n
, k =
0,n−1.
T`u
.
3
+
suy ra
[cos ϕ + i sin ϕ]
n
= cos nϕ + i sin nϕ. (1.8)
Cˆong th´u
.
c (1.8) d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a cˆong th´u
.
c Moivre.
Ph´ep to´an nˆang sˆo
´
e lˆen lu˜yth`u
.
aph´u
.
c z = x + iy d
u
.
o
.
.
cd
i
.
nh ngh˜ıa
bo
.
’
i cˆong th ´u
.
c
e
z
= e
x+iy
def
= e
x
(cos y + i sin y). (1.9)
Ch˘a
’
ng ha
.
n
24 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
e
1+i
= e(cos 1 + i sin 1),
e
πi/2
= cos
π
2
+ i sin
π
2
= i,
e
πi
= cos π + i sin π = −1.
T`u
.
(1.9) khi z = iϕ ta thu d
u
.
o
.
.
c cˆong th ´u
.
c
e
iϕ
= cos ϕ + i sin ϕ (1.10)
go
.
i l`a cˆong th´u
.
c Euler.
Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =0d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng
z = re
iϕ
, (1.11)
trong d
´o r = |z|, ϕ l`a mˆo
.
t trong c´ac acgumen cu
’
a n´o. Ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
n
(1.11) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng m˜ucu
’
asˆo
´
ph´u
.
c.C˜ung nhu
.
d
ˆo
´
iv´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng
gi´ac ta c´o:
1/ nˆe
´
u z
1
= r
1
e
iϕ
1
, z
2
= r
2
e
iϕ
2
th`ı
z
1
z
2
= r
1
r
2
e
i(ϕ
1
+ϕ
2
)
, (1.12)
z
1
/z
2
=
r
1
r
2
e
i(ϕ
1
−ϕ
2
)
, (1.13)
2/ nˆe
´
u z = re
iϕ
th`ı
z
n
= r
n
e
inϕ
, (1.14)
n
√
z =
n
√
re
i
ϕ+2kπ
n
,k= 0,n− 1 (1.15)
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Biˆe
’
udiˆe
˜
n c´ac sˆo
´
ph´u
.
csaud
ˆay du
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac
1) −1+i
√
3; 2) 2 +
√
3+i.
Gia
’
i. 1) T`ım mˆod
un v`a acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
cd
˜a cho:
r =
(−1)
2
+(
√
3)
2
= 2; tg ϕ = −
√
3 .
