TỌA ÐỘ TRONG MẶT PHẲNG – LTÐH 2013 (Bài đăng sô´ 8)

TỌA ÐỘ TRONG MẶT PHẲNG – LTÐH 2013 (Bài đăng sô´ 8)
1)Cho tam gia´c ABC co´ A (- 3; 6 ), trực tâm H ( 2; 1 ), trọng tâm G ( ). Xa´c định tọa độ
ca´c đỉnh B và C
GIẢI:
- Gọi I là trung điểm của BC, ta co´ => I (
, đường thẳng BC đi qua I, co´ nên co´ pt: x – y – 3 = 0
 B ( b; b – 3 ) BC, I là trung điểm của BC nên suy ra C ( 7 – b; 4 – b )
* Vậy: B ( 6; 3 ),C ( 1; - 2 ) hoặc B ( 1; - 2 ), C ( 6; 3 )
2) Cho tam gia´c ABC co´ đỉnh A thuộc d: x – 4y – 2 = 0, BC // d, đường cao BH: x + y + 3 = 0
và trung điểm của cạnh AC là M ( 1; 1 ) Xa´c định tọa độ ca´c đỉnh A, B, C.
GIẢI:
Do AC vuông go´c BH và đi qua M ( 1; 1 ) nên co´ pt: x – y = 0
Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ: => A ( )
M là trung điểm AC nên C ( )
BC đi qua C và song song d nên BC: x – 4y + 8 = 0
Tọa độ B là nghiệm của hệ:
3) Cho ( C ): x
2
+ y
2
– 2x – 2y + 1 = 0
( C
’
): x
2
+ y
2
+ 4x – 5 = 0
cùng đi qua M ( 1; 0 ). Viê´t pt đường thẳng d đi qua M, că´t cả hai đường tròn tại A và B sao
cho MA = 2MB.
GIẢI:

( C ) co´ tâm I ( 1; 1 ); R = 1
( C
’
) co´ tâm I
’
( - 2; 0 ); R
’
= 3
d đi qua M nên co´ dạng: ax + by –a = 0 ( a
2
+ b
2
> 0 ). Gọi H, H
’
lần lượt là trung điểm MA,
MB. Do MA = 2MB nên MH = 2MH
’
=> IM
2
– IH
2
= 4 ( I
’
M
2
– I
’
H
2
)

Vơ´i a = 6b, chọn b = 1 =.> a = 6 => d
1
:6x + y – 6 = 0
Vơ´i a = - 6b, chọn b = - 1 => a = 6 => d
2
:6x – y – 6 = 0
4) Cho tam gia´c ABC cân tại A, AB:x – y – 3 = 0, BC: x – 2y + 8 = 0, đường thẳng AC đi qua
M ( 1; 2 ). Tìm tọa độ ca´c đỉnh A, B, C.
GIẢI: Tọa độ B là nghiệm của hệ:
A ( a; a -3 ) AB, M ( 1; 2 ) AC

=> A ( )
AC đi qua M, nên co´ pt: ( x – 1 ) – 7( y – 2 ) = 0 <=> x -7y + 13 = 0
Tọa độ C là nghiệm của hệ:
Vậy: A ( ), B ( 14; 11 ), C ( - 6, 1 )
5) Tam gia´c ABC cân tại A, AB: x + 2y – 2 = 0, AC: 2x + y + 1 = 0, điểm M ( 1; 2 ) thuộc
đoạn BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho co´ gia´ trị nhỏ nhâ´t.
GIẢI:
BC: a( x – 1 ) + b( y – 2 ) = 0
Tam gia´c ABC cân tại A nên: cos A = cos B <=>
Vơ´i: a = b ,ta chọn b = a = 1 => BC: x + y – 3 = 0, kê´t hợp vơ´i pt ca´c cạnh AB, AC để tìm
ra tọa độ B ( 4; - 1 ), C ( - 4; 7 )
Do => M thuộc đoạn thẳng BC
Vơ´i: a = - b ta chọn b = - 1 => BC: x – y + 1 = 0 => B ( 0; 1 ), C ( )
Do => M nằm ngoài đoạn thẳng BC
Vậy ta chọn B ( 4; - 1 ), C ( - 4; 7 )
Gọi I là trung điểm của BC => I ( 0; 3 )Ta co´:
Khi D
Vậy D ( 0; 3)
6 ) Tam gia´c ABC co´ trọng tâm G ( 1; ), đường trung trực của BC co´ pt: x – 3y + 8 = 0,

AB: 4x + y – 9 = 0. Xa´c định tọa độ A, B, C.
GIẢI:
A ( a; 9 – 4a ), B ( b; 9 – 4b ), do G là trọng tâm nên suy ra C ( 3 – a – b; -7 + 4a + 4b )
Trung điểm I ( ) của BC thuộc trung trực d của BC
=> (1). Mặt kha´c:
=> 3( 3 – 2b – a ) + 4a + 8b - 16 = 0 (2 ). Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra: a = 1, b = 3
Vậy A ( 1; 5 ), B ( 3; - 3 ), C ( - 1; 9 )
7 ) Cho d
1
: x – y + 1 = 0, d
2
: x – 2 = 0, M ( 2; 1 ) Lập pt đường tròn ( C ) đi qua M, co´ tâm I
trên d
1
và chă´n trên d
2
một dây cung co´ độ dài bằng 6.
GIẢI:
( C ) co´ tâm I ( a; a + 1 ), do d
2
// Oy và ( C ) că´t d
2
theo dây cung co´ độ dài MN
1
= 6 vơ´i
N
1
( 2; 7 ) hoặc MN
2
= 6 vơ´i N

2
( 2; -5 ) nên ta co´:

Vơ´i I
1
( 3; 4 ), ba´n ki´nh R
1
= I
1
M =
Vơ´i I
2
( -3; -2 ), ba´n ki´nh R
2
= I
2
M =
Vậy co´ hai pt đường tròn :
( C
1
): ( x – 3 )
2
+ ( y – 4 )
2
= 10
( C
2
): ( x +3 )
2
+ ( y + 2 )

2
= 34
8) Tam gia´c ABC co´ B ( - 2; 1 ), AC: 2x + y + 1 = 0, trung tuyê´n AM: 3x + 2y + 3 = 0. Ti´nh
S
ABC
.
HD: Từ 2 pt cạnh AC và AM ta tìm được A ( 1; - 3 ). Gọi C ( c; - 2c – 1 ) AC, co´ B ( -2; 1 )
=> trung điểm M của BC co´ tọa độ M ( ; - c ), thay tọa độ M vào pt cạnh AM => c = 0
=> C ( 0; - 1 ). Pt cạnh BC: x + y + 1 = 0
Ta co´: S
ABC
=
9) Cho E ( -1; 0 ) và ( C ): x
2
+ y
2
– 8x – 4y – 16 = 0. Viê´t pt d đi qua E và că´t ( C ) theo một
dây cung co´ độ dài ngă´n nhâ´t.
HD: ( C ) co´ tâm I ( 4; 2 ), R = 6; IE = < 6 => E nằm trong đường tròn ( C ).
Giả sử d đi qua E, d că´t ( C ) tại M, N. Gọi H là trung điểm MN => MN = 2. MH
Vậy để cho MN
min
thì d đi qua E, vuông go´c vơ´i IE. Từ đo´ viê´t được d: 5x + 2y + 5 = 0
10) Tam gia´c ABC co´ A ( 2; 1 ), trực tâm H ( 14; - 7 ), trung tuyê´n BM: 9x – 5y – 7 = 0
Tìm tọa độ ca´c đỉnh B, C.
HD: ptts của BM: => M ( - 2 + 5m ; - 5 + 9m ) , do M là trung điểm AC nên suy
ra C ( - 6 + 10m; - 11 + 18m ); B ( -2 + 5b; - 5 + 9b ) BM
:
Vơ´i m = , b = 1 ta được B ( 3; 4 ), C ( - 1; 2 )
Vơ´i m = ta được B (

11) Cho đường tròn ( C ): x
2
+ y
2
– 9 x – y + 18 = 0, A ( 1; 4 ), B ( - 1; 3 ). Gọi C và D là hai
điểm thuộc ( C ) sao cho ABCD là một hình bình hành . Viê´t pt đường thẳng CD.
HD: ( C ) co´ tâm I ( ), ba´n ki´nh R = . Vì ABCD là một hình bình hành nên
CD // AB => CD: x – 2y + m = 0
Gọi H là trung điểm CD => CH =
Vậy co´ hai pt đường thẳng CD thỏa yêu cầu bài toa´n là: x - 2y – 1 = 0 và x – 2y – 6 = 0
12) Cho ( C ): ( x - 1 )
2
+ ( y + 2 )
2
= 10, B ( 1; 4 ), C ( - 3; 2 ) . Tìm tọa độ điểm A thuộc ( C )
sao cho tam gia´c ABC co´ diện ti´ch bằng 19.
GIẢI:
Giả sử A ( x; y ) ( C ) => ( x – 1 )
2
+ ( y + 2 )
2
= 10 ( 1 )
BC: x – 2y + 7 = 0
S
ABC
=
Vơ´i: x – 2y =12, kê´t hợp vơ´i pt ( 1 ) ta được: y = hoặc y = - 5.Từ đo´ tìm ra tọa độ
A (
Vơ´i x – 2y + 26 = 0, kê´t hợp vơ´i pt ( 1 ) => vô nghiệm
Vậy co´ hai điểm A thỏa yêu cầu đề bài: A (

13) Cho tam gia´c ABC cân tại A, AB: x + 2y – 4 = 0; BC: 3x + y – 7 = 0. Tìm tọa độ ca´c đỉnh
A và C, biê´t rằng diện ti´ch tam gia´c ABC bằng và điểm A co´ hoành độ dương.
HD:
Ta co´ cos B = => tam gia´c ABC vuông cân tại A
B ( 2; - 1 ), A ( -2a + 4; a ), C ( c; - 3a + 7 )
S
ABC
=
Do A co´ hoành độ dương nên ta chọn a = 0, lu´c đo´ A ( 4; 0 ) => C ( c; -3c + 7 )
Vậy A (4; 0 ), C ( 3; - 2 )
14) Cho d: x – 2y + 5 = 0, ( C ): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 5 = 0. Qua điểm M thuộc d, ta kẻ hai tiê´p
tuyê´n MA, MB đê´n ( C ) ( A, B là hai tiê´p điểm ). Tìm tọa độ điểm M biê´t AB = 2
HD:
( C ) co´ tâm I ( 1; - 2 ), ba´n ki´nh R =
M ( 2m – 5; m ) d
Trong tam gia´c vuông IAM, đường cao AH, ta co´: AH =
Vậy M ( - 1; 2 )
15) Cho hình thoi ABCD co´ tâm I ( 2; 1 ), AC = 2CD. Ðiểm M ( 0; ) thuộc đường thẳng
AB, điểm N ( 0; 7 ) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ điểm B.
HD:
Gọi N
’
là điểm đô´i xư´ng của N qua I => N
’
( 4; -5 ). Ðường thẳng AB đi qua điểm M và N
’

,
nên co´ ptts: => B ( 4 -3t ; - 5 + 4t ) ; mặt kha´c pttq của AB:4x + 3y – 1 = 0
Gọi H là hình chiê´u vuông go´c của I trên AB, ta co´ IH = d ( I, AB ) = = 2
Ðặt IB = x => IA = 2x, trong tam gia´c vuông IAB co´:
Ta co´: IB
2
= ( 2 – 3t )
2
+ ( - 6 + 4t )
2
= 5
• Ca´ch kha´c: ( không cần viê´t ptts của AB ) ta co´ thể giải hệ pt:
Cu˜ng tìm được tọa độ B.
16) Cho hình chư˜ nhật ABCD co´ diện ti´ch bằng 22, AB: 3x + 4y + 1 = 0, CD: 2x – y – 3 = 0.
Tìm tọa độ ca´c đỉnh A, B, C, D. Biê´t điểm D co´ hoành độ dương.
GIẢI:
Tọa độ B là nghiệm cùa hệ:

Từ ( 1 ), ( 2 ) suy ra: AB = 2, AD = 11.
D ( d; 2d – 3 ) BD. Ta co´: AD = d ( D, AB ) = 11 <=>
=> D ( 6; 9 )
AD đi qua D, nên co´ pt: 4x – 3y – 3 = 0
Tọa đô A là nghiệm của hệ:
Trung điểm I của AB co´ tọa độ I (
17) Cho ( C ): x
2
+ y
2
– 2x – 4y -5 = 0, A ( 0; 1 ). Tìm tọa độ B và C thuộc ( C ) sao cho tam gia
´c ABC đều.

GIẢI:
( C ) co´ tâm I ( 1; 2 ), ba´n ki´nh R = , A ( 0; 1 ) ( C )
Tam gia´c ABC đều , I là trọng tâm, AI vuông go´c vơ´i BC tại trung điểm H của BC
BC đi qua điểm H,
Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:
Giải hệ trên tìm được: B ( hoặc ngược lại.
18) Cho hình vuông ABCD co´ đỉnh A thuộc d: x – y – 4= 0, đường thẳng BC đi qua M ( 4; 0 ),
đường thẳng CD đi qua N ( 0; 2 ), tam gia´c AMN cân tại A. Xa´c định tọa độ A, B, C, D.
GIẢI:
Giả sử A ( t; t – 4 ) d
AM
2
= AN
2
<=> ( t -4 )
2
+ ( t – 4 )
2
= t
2
+ ( t – 6 )
2
<=> t = - 1 => A ( - 1; - 5 )
BC đi qua M co´ dạng: ax + by – 4a = 0 ( a
2
+ b
2
> 0 )
CD đi qua N và vuông go´c vơ´i BC nên co´ dạng: bx – ay + 2a = 0
Vì ABCD là hình vuông nên: AB = AD

- Vơ´i 3a = - b, chọn a = 1, b = - 3, ta co´: AB: 3x + y + 8 = 0, CD: 3x + y – 2 = 0,
BC: x – 3y – 4 = 0 => B ( - 2; - 2 ), C ( 1; 1 ), D ( 2; - 4 )
- Vơ´i a = 3b, chọn b = 1, a = 3, ta co´: AB: x – 3y + 6 = 0, CD: x – 3y + 6 = 0,
BC: 3x + y – 12 = 0 => B ( 5; - 3 ), C ( 3; 3 ), D ( - 3; 1 )
19) Cho d: 3x + y – 4 = 0 và eli´p ( E ): . Viê´t pt d
’
vuông go´c d và că´t ( E ) tại
hai điểm A, B sao cho tam gia´c OAB co´ diện ti´ch bằng 3.
GIẢI:
Do d
’
vuông go´c d => d
’
: x – 3y + m = 0
Pt hoành độ giao điểm của d
’
và ( E ): 4x
2
+ ( x + m )
2
= 36 <=> 5x
2
+ 2mx + m
2
– 36 = 0 ( 1 )
d
’
că´t ( E ) tại 2 điểm phân biệt <=>
Vơ´i (x
2

– x
1
)
2
= ( x
1
+ x
2
)
2
– 4x
1
x
2
=
<=> ( 720 – 16m
2
).m
2
= 8100 <=> m
2
=
Vậy co´ hai pt d
’
thỏa yêu cầu đề bài: x – 3y
20) Cho ( E ): . Viê´t pt đường thẳng d // Oy và că´t ( E ) tại hai điểm A, B sao cho
AB = 4.
GIẢI:
d // Oy => d: x = a
Tung độ giao điểm của d và ( E ) là nghiệm của pt:

Vậy co´ hai pt đường thẳng d là: x =
21) Lập pt chi´nh tă´c của eli´p ( E ), biê´t rằng co´ một đỉnh và hai tiêu điểm của ( E ) tạo thành
một tam gia´c đều và chu vi hình chư˜ nhật của ( E ) là 12.(2 + ).
GIẢI: Gọi pt elip cần tìm (E):
C
2
= a
2
+ b
2
Vơ´i hai tiêu điểm F
1
(-c;0), F
2
(c;0)
Hai đỉnh trên trục nhỏ là: B
1
(0;-b), B
2
(0;b)
Hai đỉnh trên trục lơ´n là: A
1
(-a;0), A
2
(a;0)
• Theo đề ta suy ra B
1
F
1
F

2
đều hoặc B
2
F
1
F
2
đều
• Từ đo´ ta co´ hệ pt:
* Từ (1) và (2): a
2
-b
2
=
=> a
2
= <=> b
2
= <=> b= , thay vào (3) ta được:
a + b = 3(2+
=> a=6
Vơ´i a=6 => b= 3 , c=3
Vậy (E):
Bài 22: Cho (E): . Viê´t pt chi´nh tă´c của đường thẳng d đi qua điểm I(2;1) và că´t (E) tại
hai điểm M, N. Sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MN.
GIẢI: PTCT của d đi qua I(2;1) co´ dạng (a, b và
=>
M(2+at
1
; 1+bt

1
) d
N(2+at
2
; 1+bt
2
) d
* Trung điểm I của MN co´ tọa độ thỏa hệ pt
<=> => t
1
+ t
2
= 0 (vì a, b ) (1)
M, N => t
1
và t
2
là nghiệm của pt
<=>
<=> . Ðây là pt bậc hai ẩn sô´ t, pt luôn co´ hai
nghiệm phận biệt t
1
, t
2
. Theo Vi-e´t, ta co´: t
1
+ t
2
= (theo (1))
=> => 9a + 8b = 0, Chọn a=8, b= -9. Thì co´ (d):