Chuyen de ham so luong giac va phuong trinh luong giac toan 11 canh dieu

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1. GĨC LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA
GĨC LƯỢNG GIÁC
I

LÝ THUYẾT.

I. GĨC LƯỢNG GIÁC
1. Góc hình học và số đo của chúng

Quan hệ giữa độ và radian
°

π
 180 
1° =
rad và 1rad = 
 .
180
 π 
2. Góc lượng giác và số đo của chúng
a. Khái niệm: Trong mặt phẳng cho hai tia Ou , Ov . Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương
(hay chỉ theo chiều âm) từ tia Ou đến trùng với tia Ov , thì ta nói: tia Om qt một góc lượng

giác với tia đầu Ou , tia cuối Ov và kí hiệu là ( Ou , Ov ) .

Nhận xét: Góc lượng giác ( Ou , Ov ) chỉ được xác định khi ta biết được chiều chuyển động quay
của tia Om từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov . Ta quy ước: chiều quay ngược với chiều quay của
kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng với chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm.
πa
Khi tia Om quay góc a° thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo a° hay (
rad
180
). Vì thế, mỗi một góc lượng giác đều có 1 số đo, đơn vị đo góc lượng giác là độ hoặc radian.
Nếu góc lượng giác ( Ou , Ov ) có số đo là α thì ta kí hiệu là sd ( Ou , Ov ) = α hoặc

( Ou, Ov ) = α .

Sưu tầm và biên soạn

Page 1


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
b. Tính chất:

Cho hai tia Ou , Ov thì có vơ số góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov . Mỗi góc lượng giác
như thế đều kí hiệu là ( Ou , Ov ) . Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên
của 360° .
Hệ thức Chasles: với 3 tia Ou , Ov, Ow bất kì ta có:

( Ou, Ov ) + ( Ov, Ow ) = ( Ou, Ow) + k.2π ( k ∈  )
II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Đường tròn lượng giác

Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A (1;0 )

A ' ( −1;0 ) , B ( 0;1) , B ' ( 0; −1) .
Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác
có số đo α là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho

( OA, OM ) = α .

+
O

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giả sử M ( x; y ) là điểm trên đường trịn lượng giác, biểu diễn góc
lượng giác có số đo α .
• Hồnh độ x của điểm M gọi là cơsin của α và kí hiệu là cos α
, cos α = x
• Tung độ y của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sin α ,

sin α = y
• Nếu cos α ≠ 0, tỉ số

tg α ): tan α =

sin α
.
cos α

• Nếu sin α ≠ 0, tỉ số

cotg α ) : cot α =

sin α
gọi là tang của α và kí hiệu là tan α (người ta cịn dùng kí hiệu
cos α

cos α
gọi là cơtang của α và kí hiệu là cot α (người ta cịn dùng kí hiệu
sin α

cos α
.
sin α

Sưu tầm và biên soạn

Page 2


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các giá trị sin α , cos α , tan α , cot α được gọi là các giá trị lượng giác của cung α .
Chú ý:
a) Ta cũng gọi trục tung là trục sin, cịn trục hồnh là trục cơsin
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
1) sin α và cos α xác định với mọi α ∈ .
Hơn nữa, ta có:
sin (α + k 2=
π ) sin α , ∀k ∈ ;
cos (α + k =
2π ) cos α , ∀k ∈ .

−1 ≤ sin α ≤ 1
−1 ≤ cos α ≤ 1.

2) tan α xác định với mọi α ≠ π + kπ ( k ∈  ) .
2

3) cot α xác định với mọi α ≠ kπ ( k ∈  ) .
4) Dấu của các giá trị lượng giác của góc
đường trịn lượng giác.

α

phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

c. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Sưu tầm và biên soạn

Page 3


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

α

0

sin α

0

cos α

1

tan α

0

cot α

Không xác định

π

π

π

π

6

4

3

2

1
2

2
2

3
2

1

3
2
1

2
2

1
2

0

3

3

1

3

Không xác định

1

1
3

0

Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
sin 2 α + cos 2 α =
1

π
1
1 + tan 2 α =
, α ≠ + kπ , k ∈ 
2
2
cos α
1
1 + cot 2 α =
, α ≠ kπ , k ∈ 
sin 2 α
tan α .cot α = 1, α ≠

kπ
, k ∈
2

3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Sưu tầm và biên soạn

Page 4


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Góc đối nhau

Góc bù nhau

Góc phụ nhau

cos(−α ) =
cos α

sin(π − α ) =
sin α

π

sin  − α  =
cos α
2



sin(−α ) =
− sin α

cos(π − α ) =
− cos α

π

cos  − α  =
sin α
2


tan(−α ) =
− tan α

tan(π − α ) =
− tan α

π

tan  − α  =
cot α
2


cot(−α ) =
− cot α

cot(π − α ) =
− cot α

π

cot  − α  =
tan α
2


Góc hơn kém

II

π

Góc hơn kém

π
2

sin(π + α ) =
− sin α

π

sin  + α  =
cos α
2



cos(π + α ) =
− cos α

π

− sin α
cos  + α  =
2


tan(π + α ) =
tan α

π

tan  + α  =
− cot α
2


cot(π + α ) =
cot α

π

cot  + α  =
− tan α
2



HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Sưu tầm và biên soạn

Page 5


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRỊN
Một cung trịn có số đo a° (hoặc α rad) có độ dài là l =
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:

aπ R
(hoặc l = α R )
180

Một đường trịn có bán kính 10. Tính độ dài cung trịn có số đo 30o
Một bánh xe máy có đường kính 60. Nếu xe chạy với vận tốc 50(km / h) thì trong 5 giây bánh
xe quay được bao nhiêu vịng.
Một đu quay ở cơng viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất
bao lâu để đu quay quay được góc 270° ?
Một đồng hồ treo tường có kim giờ dài 10, 25cm , kim phút dài 13, 25cm . Trong 30 phút kim
giờ vạch nên cung trịn có độ dài bao nhiêu?

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC LƯỢNG GIÁC HOẶC MỘT BIỂU THỨC

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản trong các bài toán:
1) sin 2 α + cos 2 α =
1

1
π
2) 1 + tan 2 α =
, α ≠ + kπ , k ∈ 
2
cos α
2

1
3) 1 + cot 2 α =
, α ≠ kπ , k ∈ 
sin 2 α

4) tan α .cot α = 1, α ≠

5) tan α =
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
Câu 8:

sin α
.
cos α

Cho cos=

x

6) cot α =

kπ
, k ∈
2

cos α
.
sin α

2  π

 − < x < 0  . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
5  2


3 π

 < x < π  . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
5 2

π
3 
Cho tan=
x
 −π < x < −  . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
4 
2

Cho sin=
x

Cho cot=
x

3 
3π
π < x <
4 
2


 . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.


Biết tan α = 2 và 1800 < α < 2700 . Tính giá trị của biểu thức: sin α + cosα
3sin α + cos α
Câu 10: Cho tan α = 2 . Tính giá trị của biểu thức: A =
sin α − cos α
2sin x − cos x
Câu 11: Cho tan x = 3 . Tính P =
.
sin x + cos x

Câu 9:

1
cot a − tan a

. Giá trị của biểu thức A =
bằng
3
tan a + 2 cot a
2sin x − 5cos x
Câu 13: Cho tan x = −4. Giá trị của biểu thức A =
là
3cos x + sin x
2sin α − cos α
Câu 14: Cho tan α = 3 , khi đó giá trị của biểu thức P =
là
3sin α − 5cos α
1
π
1
Câu 15: Cho góc α thỏa mãn − < α < 0 và cos α = . Giá trị của biểu thức=
bằng
P sin α +
cos α
2
2
Câu 12: Cho sin a =

Sưu tầm và biên soạn

Page 6


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
sin 4   3sin 3  cos   cos 2 

.
sin 2   sin 2  cos 2   2cos 2 
tan ( 8π − a ) + 2 cot (π + a )
π
1 với − < α < 0 . Tính giá trị biểu thức P =
Câu 17: Cho 2 tan a − cot a =
2
 3π

3 tan 
+ a
 2


Câu 16: Cho tan α = 2 . Tính giá trị của biểu thức P 

M sin x − cos x
Câu 18: Cho sin x + cos x =
m . Tính giá trị của biểu thức:=
Câu 19: Cho

sin 4 α cos 4 α
1
sin 8 α cos8 α
A
+
=Tính giá trị của biểu thức:
=
+
a3

b3
a
b
a+b

DẠNG 3: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GĨC CĨ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
Câu 20: Tính giá trị của biểu thức: S = 3 − sin 2 90° + 2 cos 2 60° − 3 tan 2 45°

 5π

− α  + cos (13π + α ) − 3sin (α − 5π ) .
 2


D sin 
Câu 21: Rút gọn biểu thức=

Câu 22: Tính giá trị của biểu thức: sin 2 100 + sin 2 200 + sin 2 300 + ... + sin 2 700 + sin 2 800
Câu 23: Tính giá trị của biểu thức:
M = cos 2 100 + cos 2 200 + cos 2 300 + cos 2 400 + cos 2 500 + cos 2 600 + cos 2 700 + cos 2 800 + .
+ cos 2 900 + cos 2 1000 + cos 2 1100 + cos 2 1200 + cos 2 1300 + cos 2 1400 + cos 2 1500 + cos 2 1600 +
+ cos 2 1700 + cos 2 1800

DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 24: Rút gọn
biểu thức A
=

(1 – sin x ) .cot
2

2

x + (1 – cot 2 x )

Câu 25: Rút gọn biểu thức M = ( sin x + cos x ) + ( sin x − cos x ) .
2

Câu 26: Rút gọn biểu thức

2

(

C= 2 cos 4 x + sin 4 x + cos 2 x sin 2 x

( sin x − cos x )
A=

) − ( cos
2

8

x + sin 8 x

)

2

−1
tan x − sin x.cos x
Câu 28: Tính giá trị của biểu thức A = sin 6 α + cos 6 α + 3sin 2 α cos 2 α .
Câu 27: Đơn giản biểu thức

1 + sin α
1 − sin α
+
1 − sin α
1 + sin α
2
DẠNG 5: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 29: Cho 0 < α <

π

. Tính

Câu 30: Giá trị lớn nhất của Q  sin 6 x  cos 6 x bằng:
Câu 31: Giá trị lớn nhất của biểu thức
=
M 7 cos 2 x − 2 sin 2 x là.
Câu 32: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = cot 4 a + cot 4 b + 2 tan 2 a. tan 2 b + 2
Câu 33: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc x biết:
3
3
1

a. sin x   với   x 
. b. cos x  với 0  x  .

2
2
5
4
c. cos x 

3
với 0  x  900 .
5

d. cos x  

5
với 1800  x  2700 .
13

Sưu tầm và biên soạn

Page 7


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 34: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc x biết
2
4

a) cos x 
với   x  0 . b) cos x  với 270  x  360 .
5
2

5
c) sin x 


5
1
với  x   d) sin x   với 180  x  270 .
13
2
3

Câu 35: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc x biết
a) tan x  3 với   x 
c) tan x  

3
.
2

b) tan x  2 với


1
với  x  
2
2


 x .
2

d) cot x  3 với   x 

3
.
2

Câu 36: Tính giá trị lượng giác của các biểu thức sau:
5cot x  4 tan x
2sin x  cos x
a) Cho tan x  2. Tính: A1 
, A2 
.
5cot x  4 tan x
cos x  3sin x
b) Cho cot x  2. Tính: B1 
c) Cho cot x  2. Tính: C1 

3sin x  cos x
sin x  3cos x
, B2 
.
sin x  cos x
sin x  3cos x

2sin x  3cos x
2
, C2 
.
2

3sin x  2 cos x
cos x  sin x cos x


3
cot x  tan x
d) Cho sin x  , 0  x  . Tính: E 
.
cot x  tan x
5
2

8 tan 2 x  3cot x 1
1
0
0
e) Cho sin x  ,90  x  180 . Tính: F 
.
5
tan x  cot x

Câu 37: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos 2 x  sin 2 x  1 2sin 2 x .

b) 2 cos 2 x 1  1 2sin 2 x

c) 3  4sin 2 x  4 cos 2 x 1

d) sin x cot x  cos x tan x  sin x  cos x

Câu 38: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin 4 x  cos 4 x  1 2sin 2 x.cos 2 x

b. cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x  sin 2 x

c. 4 cos 2 x  3  1 2sin x1  2sin x

d. 1  cos xsin 2 x  cos x  cos 2 x  sin 2 x

Câu 39: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin 4 x  cos 4 x  1 2 cos 2 x  2sin 2 x 1
c. tan 2 x  sin 2 x  tan 2 x.sin 2 x
Câu 40: Chứng minh các đẳng thức sau:
1
a. tan x  cot x 
sin x.cos x
c.

1
1

1
1  tan x 1  cot x

b. sin 3 x.cos x  sin x.cos3 x  sin x.cos x
d. cot 2 x  cos 2 x  cot 2 x.cos 2 x

b.

1 cos x

sin x

sin x
1  cos x


1 
1  1   tan 2 x  0
d. 1
 cos x 
 cos x 

Sưu tầm và biên soạn

Page 8


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 41: Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến x :
a) A   sin 4 x  cos 4 x  2sin 2 x .
b) B  sin 4 x  cos 2 x sin 2 x  cos 2 x .
c) B  cos 4 x  cos 2 x sin 2 x  sin 2 x

Sưu tầm và biên soạn

Page 9


CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1. GĨC LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA
GĨC LƯỢNG GIÁC
I

LÝ THUYẾT.

I. GĨC LƯỢNG GIÁC
1. Góc hình học và số đo của chúng

Quan hệ giữa độ và radian
°

π
 180 
1° =
rad và 1rad = 
 .
180
 π 
2. Góc lượng giác và số đo của chúng
a. Khái niệm: Trong mặt phẳng cho hai tia Ou , Ov . Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương
(hay chỉ theo chiều âm) từ tia Ou đến trùng với tia Ov , thì ta nói: tia Om qt một góc lượng
giác với tia đầu Ou , tia cuối Ov và kí hiệu là ( Ou , Ov ) .

Nhận xét: Góc lượng giác ( Ou , Ov ) chỉ được xác định khi ta biết được chiều chuyển động quay
của tia Om từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov . Ta quy ước: chiều quay ngược với chiều quay của
kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng với chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm.
πa
Khi tia Om quay góc a° thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo a° hay (
rad
180
). Vì thế, mỗi một góc lượng giác đều có 1 số đo, đơn vị đo góc lượng giác là độ hoặc radian.
Nếu góc lượng giác ( Ou , Ov ) có số đo là α thì ta kí hiệu là sd ( Ou , Ov ) = α hoặc

( Ou, Ov ) = α .

Sưu tầm và biên soạn

Page 1


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
b. Tính chất:

Cho hai tia Ou , Ov thì có vơ số góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov . Mỗi góc lượng giác
như thế đều kí hiệu là ( Ou , Ov ) . Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên
của 360° .
Hệ thức Chasles: với 3 tia Ou , Ov, Ow bất kì ta có:

( Ou, Ov ) + ( Ov, Ow ) = ( Ou, Ow) + k.2π ( k ∈  )
II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Đường tròn lượng giác

Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A (1;0 )

A ' ( −1;0 ) , B ( 0;1) , B ' ( 0; −1) .
Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác
có số đo α là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho

( OA, OM ) = α .

+
O

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giả sử M ( x; y ) là điểm trên đường trịn lượng giác, biểu diễn góc
lượng giác có số đo α .
• Hồnh độ x của điểm M gọi là cơsin của α và kí hiệu là cos α
, cos α = x
• Tung độ y của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sin α ,

sin α = y
• Nếu cos α ≠ 0, tỉ số

tg α ): tan α =

sin α
.
cos α

• Nếu sin α ≠ 0, tỉ số

cotg α ) : cot α =

sin α
gọi là tang của α và kí hiệu là tan α (người ta cịn dùng kí hiệu
cos α

cos α
gọi là cơtang của α và kí hiệu là cot α (người ta cịn dùng kí hiệu
sin α

cos α
.
sin α

Sưu tầm và biên soạn

Page 2


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các giá trị sin α , cos α , tan α , cot α được gọi là các giá trị lượng giác của cung α .
Chú ý:
a) Ta cũng gọi trục tung là trục sin, cịn trục hồnh là trục cơsin
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
1) sin α và cos α xác định với mọi α ∈ .
Hơn nữa, ta có:
sin (α + k 2=
π ) sin α , ∀k ∈ ;
cos (α + k =
2π ) cos α , ∀k ∈ .

−1 ≤ sin α ≤ 1
−1 ≤ cos α ≤ 1.

2) tan α xác định với mọi α ≠ π + kπ ( k ∈  ) .
2

3) cot α xác định với mọi α ≠ kπ ( k ∈  ) .
4) Dấu của các giá trị lượng giác của góc
đường trịn lượng giác.

α

phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

c. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Sưu tầm và biên soạn

Page 3


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

α

0

sin α

0

cos α

1

tan α

0

cot α

Không xác định

π

π

π

π

6

4

3

2

1
2

2
2

3
2

1

3
2
1

2
2

1
2

0

3

3

1

3

Không xác định

1

1
3

0

Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
sin 2 α + cos 2 α =
1

π
1
1 + tan 2 α =
, α ≠ + kπ , k ∈ 
2
2
cos α
1
1 + cot 2 α =
, α ≠ kπ , k ∈ 
sin 2 α
tan α .cot α = 1, α ≠

kπ

, k ∈
2

3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Sưu tầm và biên soạn

Page 4


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Góc đối nhau

Góc bù nhau

Góc phụ nhau

cos(−α ) =
cos α

sin(π − α ) =
sin α

π

sin  − α  =
cos α
2


sin(−α ) =
− sin α

cos(π − α ) =
− cos α

π

cos  − α  =
sin α
2


tan(−α ) =
− tan α

tan(π − α ) =
− tan α

π

tan  − α  =
cot α
2


cot(−α ) =
− cot α

cot(π − α ) =
− cot α

π

cot  − α  =
tan α
2


Góc hơn kém

II

π

Góc hơn kém

π
2

sin(π + α ) =
− sin α

π

sin  + α  =
cos α
2


cos(π + α ) =
− cos α

π

− sin α
cos  + α  =
2


tan(π + α ) =
tan α

π

tan  + α  =
− cot α
2


cot(π + α ) =
cot α

π

cot  + α  =
− tan α
2


HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Sưu tầm và biên soạn

Page 5


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRỊN
Một cung trịn có số đo a° (hoặc α rad) có độ dài là l =

aπ R
(hoặc l = α R )
180

Câu 1:

Một đường trịn có bán kính 10. Tính độ dài cung trịn có số đo 30o
Lời giải
π .30
π .30
là l =
Độ dài cung trịn có số đo 30°
=
.R
.10  5, 26(cm)
180
180

Câu 2:

Một bánh xe máy có đường kính 60. Nếu xe chạy với vận tốc 50(km / h) thì trong 5 giây bánh
xe quay được bao nhiêu vòng.

Lời giải
 50.1000

: (0, 6.π )  .5  36,9 .
Trong một phút bánh xe quay được: 
 3600


Câu 3:

Một đu quay ở cơng viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất
bao lâu để đu quay quay được góc 270° ?
Lời giải
Tính được: 270
=
°

270
3
3
=
π
=
π
.2π

180
2
4

Vậy đu quay quay được góc 270° khi nó quay được
Ta có: Đu quay quay được 1 vòng trong
Đu quay quay được
Câu 4:

3
vòng
4

1
phút
3

3 1 1
3
vòng trong . = phút.
4 3 4
4

Một đồng hồ treo tường có kim giờ dài 10, 25cm , kim phút dài 13, 25cm . Trong 30 phút kim
giờ vạch nên cung trịn có độ dài bao nhiêu?
Lời giải
Trong 6 giờ kim giờ vạch nên một cung có số đo là π ( rad ) , vậy trong 30 phút kim giờ vạch
nên cung có số đo là

π

12

( rad ) . Khi đó độ dài cung tròn mà kim giờ vạch ra trong 30 phút là

π

l = R.α
25.
2,68 ( cm ) .
=
⇒ l 10,=
12

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC LƯỢNG GIÁC HOẶC MỘT BIỂU THỨC
Sử dụng công thức lượng giác cơ bản trong các bài toán:
1) sin 2 α + cos 2 α =
1
1
π
2) 1 + tan 2 α =
, α ≠ + kπ , k ∈ 
2
cos α
2

Sưu tầm và biên soạn

Page 6

CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1
3) 1 + cot 2 α =
, α ≠ kπ , k ∈ 
sin 2 α

4) tan α .cot α = 1, α ≠

Câu 5:

5) tan α =

sin α
.
cos α

6) cot α =

cos α
.
sin α

Cho cos=
x

Vì −

π
2

kπ
, k ∈
2

2  π

 − < x < 0  . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
5  2

Lời giải

< x < 0 ⇒ sin x < 0
2

 2  1
1 ⇒ sin x =
1 − cos x = 1 − 
Ta có sin x + cos x =
 =
 5 5
2

2

Vậy sin x = −

2

2

1
.
5

1
2
−
sin x
1
cos x
5 =
5 =
=
− ; cot x =
=
−2
tan x =
2
cos x
2
sin x − 1
5
5

Câu 6:

Cho sin=
x

Vì

π
2

3 π

 < x < π  . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
5 2

Lời giải

< x < π ⇒ cos x < 0
2

 3  16
1 − sin x =
1−   =
1 ⇒ cos x =
Ta có sin x + cos x =
 5  25
2

2

2

2

4
Vậy cos x = − .

5
3
4
−
sin x
3
cos
4
x
5 =
5=
tan x =
=
− ; cot x =
=
−
3
cos x − 4
4
sin x
3
5
5
Câu 7:

Cho tan=
x

3 
π

 −π < x < −  . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
4 
2
Lời giải

Sưu tầm và biên soạn

Page 7


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Vì −π < x < −

π
2

⇒ cos x < 0

1
1 4
tan x.cot x =
1 ⇒ cot x = ==
tan x 3 3
4
2

Ta có

1
16

 3  25
=
1 + tan 2 x =
1 +   =⇒ cos 2 x =
2
cos x
25
 4  16

4
Vậy cos x = − .
5
sin x
3  4
3
tan x = ⇒ sin x =
tan x.cos x =.  −  =
−
cos x
4  5
5

Câu 8:

Cho cot=
x

3 
3π
π < x <

4 
2

Vì π < x <

3π
⇒ sin x < 0
2


 . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.

Lời giải

1
1 4
tan x.cot x =
1 ⇒ tan x = ==
cot x 3 3
4
2

1
16
 3  25
=
1 + cot 2 x =
1 +   =⇒ sin 2 x =
Ta có
2

sin x
25
 4  16
4
Vậy sin x = − .
5
cos x
3  4
3
cot x = ⇒ cos x =
cot x.sin x =.  −  =
−
sin x
4  5
5

Câu 9:

Biết tan α = 2 và 1800 < α < 2700 . Tính giá trị của biểu thức: sin α + cosα
Lời giải

1
1
1
cos 2α = 2 =
⇒ cosα =
±
.
1 + tan α 5
5

Do 1800 < α < 2700 nên cosα < 0 cos α < 0 . Suy ra, cosα = −

1
5

. sin α = tan α .cos α = −

2
5

.

3 5
−
Do đó, sin α + cosα =
.
5
Câu 10: Cho tan α = 2 . Tính giá trị của biểu thức: A =

3sin α + cos α
sin α − cos α

Sưu tầm và biên soạn

Page 8


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Lời giải

3sin α + cos α 3 tan α + 1
= = 7.
sin α − cos α
tan α − 1
2sin x − cos x
Câu 11: Cho tan x = 3 . Tính P =
.
sin x + cos x
A
=

3⇒
Ta có tan x =
Câu 12: Cho sin a =

Lời giải

2.3cos x − cos x 5cos x 5
sin x
=
3 ⇒ sin x =
3cos x. Khi=
= =
đó P
.
cos x
3cos x + cos x
4 cos x 4

1

cot a − tan a
. Giá trị của biểu thức A =
bằng
tan a + 2 cot a
3
Lời giải

cos a sin a
−
cot a − tan a
cos2 a − sin 2 a
a
a
sin
cos
Ta có A =
=
=
tan a + 2 cot a sin a
cos a sin 2 a + 2 cos2 a
+2
cos a
sin a

(1 − sin a=
) − sin a
sin a + 2 (1 − sin a )
2

=

2

2

1 − 2sin 2 a 7
=
2 − sin 2 a 17

2

Câu 13: Cho tan x = −4. Giá trị của biểu thức A =

Ta có: A
=

2sin x − 5cos x
=
3cos x + sin x

2sin x − 5cos x
là
3cos x + sin x
Lời giải

sin x
cos x
−5
tan x − 5 2. ( −4 ) − 5
cos x =

cos x 2=
= 13 .
cos x sin x
3 + tan x
3 + ( −4 )
+
3
cos x cos x

2

2sin α − cos α
là
3sin α − 5cos α
Lời giải

Câu 14: Cho tan α = 3 , khi đó giá trị của biểu thức P =

Chia cả tử và mẫu của P cho cos α ≠ 0 ta=
được: P
Câu 15: Cho góc α thỏa mãn −

2sin α − cos α
2 tan α − 1 5
= =
.
3sin α − 5cos α 3 tan α − 5 4

π

1
1
bằng
P sin α +
< α < 0 và cos α = . Giá trị của biểu thức=
2
cos α
2
Lời giải

Cách 1: Ta có: sin 2 α + cos 2 α =
1⇔ sin 2 α =
1 −cos 2 α
2

Với cos α =
Vì −

π
2

3
1
1 3
⇒ sin 2 α =
1 −  =
⇔ sin α =
±
2
2

2 4

< α < 0 nên sin α <0⇒sin α =−

3
.
2

Sưu tầm và biên soạn

Page 9


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Vậy: P =
sin α +

1
3 1
3
4− 3
=
−
+ =
−
+ 2= .
cos α
2 1
2
2

2

1

cos α = 2
π
⇒α =
− .
Cách 2: Theo giả thiết: 
3
− π <α <0
 2
Vậy P =
sin α +

1
 π
=
sin  −  +
cos α
 3

1
3
4− 3
=
−
+ 2=
.
2

2
 π
cos  − 
 3
sin 4   3sin 3  cos   cos 2 
.
sin 2   sin 2  cos 2   2cos 2 
Lời giải

Câu 16: Cho tan α = 2 . Tính giá trị của biểu thức P 

Do tan α = 2 nên cos α ≠ 0 . Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho cos 4 α ta được:
1
sin 4 α
sin 3 α cos α cos 2 α
tan 4 α − 3 tan 3 α +
−
+
3.
4
4
4
cos 2 α
cos α
cos α =
P = cos2 α
sin α sin 2 α cos 2 α
cos 2 α tan 2 α . 1 + tan 2 α + 2. 1
+
+

2.
cos 2 α
cos 2 α
cos 4 α
cos 4 α
cos 4 α
=

=

tan 4 α − 3 tan 3 α + ( tan 2 α + 1)

tan 2 α . ( tan 2 α + 1) + tan 2 α + 2. ( tan 2 α + 1)

=

tan 4 α − 3 tan 3 α + tan 2 α + 1
tan 4 α + 4 tan 2 α + 2

24 − 3.23 + 22 + 1
3
= − .
4
2
2 + 4.2 + 2
34

Vậy P = −

3

.
34

1 với −
Câu 17: Cho 2 tan a − cot a =

π
2

< α < 0 . Tính giá trị biểu thức P =

tan ( 8π − a ) + 2 cot (π + a )
 3π

3 tan 
+ a
 2


Lời giải

 tan a = 1
1
=
2 tan a − cot a =
1 ⇔ 2 tan a −
1⇔ 
.
 tan a = − 1
tan a


2
Vì −

π

1
< α < 0 nên tan a < 0 , suy ra tan a = − , cot a = −2
2
2

 3π

+ a =
− cot a .
− tan a ; cot (π + a ) =
cot a ; tan 
Ta có: tan ( 8π − a ) =
 2


Sưu tầm và biên soạn

Page 10


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1
tan ( 8π − a ) + 2 cot (π + a ) − tan a + 2 cot a 2 − 4 −7
.

=
=
= =
P
−3cot a
6
12
 3π

+ a
3 tan 
 2


M sin x − cos x
Câu 18: Cho sin x + cos x =
m . Tính giá trị của biểu thức:=
Lời giải
Ta có: M 2 =
sin 2 x − 2sin x.cos x + cos 2 x =
1 − 2sin x.cos x .
( sin x − cos x ) =
2

Mặt khác: M 2 =( sin x − cos x ) =( sin x + cos x ) − 4sin x.cos x =m 2 − 4sin x.cos x .
2

2

m2 − 1

Suy ra: 1 − 2sin x.cos x =
.
m 2 − 4sin x.cos x ⇔ sin x.cos x =
2
Do đó: M 2 =2 − m 2 ⇒ M = 2 − m 2 .
Câu 19: Cho

sin 4 α cos 4 α
1
sin 8 α cos8 α
A
=
+
+
=Tính giá trị của biểu thức:
a3
b3
a
b
a+b
Lời giải

Đặt cos

2

(1 − t )
α =t ⇒
a

2

t2
1
+ =
b a+b

ab
ab
ab
2
⇔ b (1 − t ) + at 2 = ⇔ at 2 + bt 2 − 2bt + b =
⇔ ( a + b ) t 2 − 2bt + b =
a+b
a+b
a+b
b
2
⇔ ( a + b ) t 2 − 2b ( a + b ) t + b 2 =
0 ⇔t=
a+b

Suy
ra cos 2 α
=
Vậy:

b
a
;sin 2 α

=
a+b
a+b

sin 8 α cos8 α
+
=
a3
b3

a

(a + b)

4

+

b

(a + b)

4

1

=

(a + b)

3

.

DẠNG 3: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
Câu 20: Tính giá trị của biểu thức: S = 3 − sin 2 90° + 2 cos 2 60° − 3 tan 2 45°
Lời giải
2

1
1
Ta có S =
3 − sin 90 + 2 cos 60 − 3 tan 45 =3 − 1 + 2.   − 3.12 = − .
2
2
2

2

°

°

2

°

2

 5π


− α  + cos (13π + α ) − 3sin (α − 5π ) .
 2


D sin 
Câu 21: Rút gọn biểu thức=

Lời giải

 5π

− α  + cos (13π + α ) − 3sin (α − 5π )
 2


D sin 
Ta có=

Sưu tầm và biên soạn

Page 11


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

π

= sin  − α  + cos (π + α ) + 3sin (π − α ) = cos α − cos α + 3sin α = 3sin α .
2


Câu 22: Tính giá trị của biểu thức: sin 2 100 + sin 2 200 + sin 2 300 + ... + sin 2 700 + sin 2 800
Lời giải
sin 2 100 + sin 2 200 + sin 2 300 + ... + sin 2 700 + sin 2 800
sin 2 100 + sin 2 200 + sin 2 300 + ...cos 2 30 + cos 2 200 + cos 2 100

Câu 23: Tính giá trị của biểu thức:
M = cos 2 100 + cos 2 200 + cos 2 300 + cos 2 400 + cos 2 500 + cos 2 600 + cos 2 700 + cos 2 800 + .

+ cos 2 900 + cos 2 1000 + cos 2 1100 + cos 2 1200 + cos 2 1300 + cos 2 1400 + cos 2 1500 + cos 2 1600 +
+ cos 2 1700 + cos 2 1800

Lời giải
Áp dụng cơng thức
1 ta có:
=
cos α cos (1800 − α ) , cos 2 α + sin 2 α =
=
M cos 2 100 + cos 2 200 + cos 2 300 + ... + cos 2 1700 + cos 2 1800
= cos 2 100 + cos 2 200 + ... + cos 2 800 + cos 2 900 + cos 2 800 + ... + + cos 2 200 + cos 2 100 + cos 2 900

(

= 2 cos 2 100 + cos 2 200 + cos 2 300 + ... + cos 2 800 + cos 2 900

)

(

)

2
= 2 sin 2 800 + ... + sin 2 500 + cos 2 500 + ... + cos 2 800 + cos=
900 8

DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 24: Rút gọn
biểu thức A
=

(1 – sin x ) .cot
2

2

x + (1 – cot 2 x )

Lời giải
=
A

(1 – sin x ) .cot
2

2

x + (1 – cot 2=
x ) cot 2 x − cos 2 x + 1 − cot 2 x = sin 2 x .

Câu 25: Rút gọn biểu thức M = ( sin x + cos x ) + ( sin x − cos x ) .

2

2

Lời giải
M = ( sin x + cos x ) + ( sin x − cos x ) = 1 + 2sin x cos x + 1 − 2sin x cos x = 2 .
2

2

(

Câu 26: Rút gọn biểu thức

C= 2 cos 4 x + sin 4 x + cos 2 x sin 2 x

) − ( cos
2

8

x + sin 8 x

)

Lời giải
Ta có :
cos8 x + sin 8 x
=

( cos

4

(

=
cos 2 x + sin 2 x

x + sin 4 x

)

2

)

2

− 2 cos 2 x sin 2 x =
1 − 2 cos 2 x sin 2 x

1 − 4 cos 2 x sin 2 x + 2 cos 4 x sin 4 x
− 2 cos 4 x sin 4 x =

Sưu tầm và biên soạn

Page 12

CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

(

1 − 2 cos 2 x sin 2 x
=

)

2

=
1 − 4 cos 2 x sin 2 x + 2 cos 4 x sin 4 x .

− 2 cos 4 x sin 4 x

Suy ra : C = 2 (1 − cos 2 x sin 2 x ) − (1 − 4 cos 2 x sin 2 x + 2 cos 4 x sin 4 x ) .
2

) (

(

C=
2 1 − 2 cos 2 x sin 2 x + cos 4 x sin 4 x − 1 − 4 cos 2 x sin 2 x + 2 cos 4 x sin 4 x

Câu 27: Đơn giản biểu thức

( sin x − cos x )
A=

=1 .

2

−1
tan x − sin x.cos x

( sin x − cos x )

)

Lời giải

2

−1
−2 cos x.sin x
−2 cos x.sin x cos x −2 cos 2 x
=
=
=
= −2 cot 2 x
2
2
tan x − sin x.cos x sin x − sin x.cos x
sin
x
sin x (1 − cos x )
cos x

Ta có: A =

Câu 28: Tính giá trị của biểu thức A = sin 6 α + cos 6 α + 3sin 2 α cos 2 α .
Lời giải
Ta có:

(

sin 6 α + cos 6 α =
sin 2 α + cos 2 α

)

2

(

)

− 3sin 2 α cos 2 α sin 2 α + cos 2 α =
1 − 3sin 2 α cos 2 α .

1 − 3sin 2 α cos 2 α + 3sin 2 α cos 2 α =
1.
Suy ra: A =
Câu 29: Cho 0 < α <

π
2

. Tính

1 + sin α
1 − sin α
+
1 − sin α
1 + sin α
Lời giải

1 + sin α
1 − sin α
+
1 − sin α
1 + sin α

=
Đặt A

 1 + sin α
1 − sin α
Khi
đó A 
=
+
1 + sin α
 1 − sin α
2

Vì 0 < α <

π
2

2


4
 =
2
 cos α

nên cos α > 0 do đó A =

2
cos α

DẠNG 5: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 30: Giá trị lớn nhất của Q  sin 6 x  cos 6 x bằng:
Lời giải
3
Ta có Q  sin 6 x  cos 6 x  1  sin 2 2 x .
4
3
3
1
3
Vì 0  sin 2 2 x  1    sin 2 2 x  0   1  sin 2 2 x  1 .
4
4

4
4

Nên giá trị lớn nhất là 1. .
Câu 31: Giá trị lớn nhất của biểu thức
=
M 7 cos 2 x − 2 sin 2 x là.
Sưu tầm và biên soạn

Page 13


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Lời giải
M =
7 (1 − sin 2 x ) − 2sin 2 x =
7 − 9sin 2 x .

Ta có: 0 ≤ sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈  ⇔ 0 ≥ −9sin 2 x ≥ −9, ∀x ∈  ⇔ 7 ≥ 7 − 2sin 2 x ≥ −2, ∀x ∈  .
Gía trị lớn nhất là 7 .
Câu 32: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = cot 4 a + cot 4 b + 2 tan 2 a. tan 2 b + 2
Lời giải
P =( cot 2 a − cot 2 b ) + 2 cot 2 a.cot 2 b + 2 tan 2 a.tan 2 b + 2
2

( cot
=( cot
= ( cot
=

2

a − cot 2 b ) + 2 ( cot 2 a.cot 2 b + tan 2 a.tan 2 b − 2 ) + 6

2

a − cot 2 b ) + 2 ( cot 2 a.cot 2 b + tan 2 a.tan 2 b − 2 cot a.cotb.tan a.tan b ) + 6

2

a − cot 2 b ) + 2 ( cot a.cot b − tan a.tan b ) + 6 ≥ 6

2
2
2

2

2
cot 2 a = cot 2 b
cot a = 1
⇔ 2
Dấu bằng xảy ra khi 
cot b = 1
cot a.cot b = tan a.tan b
π kπ
⇔ a =b = +
, ( k ∈ ) .
4 2

Câu 33: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc x biết:
3
3
1

a. sin x   với   x 
. b. cos x  với 0  x  .
5
2
4
2
c. cos x 

3
với 0  x  900 .
5

d. cos x  

5
với 1800  x  2700 .
13

Lời giải
sin x  0

3 cos x  0
a. Do   x 
.


tan x  0
2

cot x  0

sin x 3



tan x 

3
4 
cos x 4
2
Từ đó với sin x    cos x   1 sin x    
.
cos x 4
5
5 


cot x 


sin x 3


sin x  0




cos x  0
 
b. Do 0  x   
.

tan x  0
2 




cot x  0

Sưu tầm và biên soạn

Page 14


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


sin x
tan x 
 15
1
15 
cos x
2


Từ đó với cos x   sin x  1 cos x 
.

cos x
1
4
4
cot
x



sin x
15

sin x  0

cos x  0
0
c. Do 0  x  90  
.
tan x  0

cot x  0

sin x 4
tan x 

3

4
cos x 3
2

.
Từ đó với cos x   sin x  1 cos x   
cos x 3
5
5 

cot x 
sin x 4


sin x  0



cos x  0
d. Do 1800  x  2700  
.


tan x  0




cot x  0


sin x 12
tan x 

5
12 
cos x
5
2
Từ đó với cos x    sin x   1 cos x    
.
cos x
5
13
13 

cot x 
sin x 12

Câu 34: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc x biết
a) cos x 
c) sin x 

2
4

với   x  0 . b) cos x  với 270  x  360 .
5
2
5
5

1

với  x   d) sin x   với 180  x  270 .
13
3
2

Lời giải
sin x  0

cos x  0

a) Do   x  0  
.
tan x  0
2

cot x  0

sin x
1
tan x 

2
5

cos x
2
Từ đó với cos x 
.


 sin x   1 cos 2 x  

1
5
5
 2
cot x 
tan x

sin x  0

cos x  0
b) Do 270  x  360  
.
tan x  0

cot x  0

Sưu tầm và biên soạn

Page 15


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

sin x
3
tan x 


3
4
cos x
4
Từ đó với cos x   sin x   1 cos 2 x    
.

1
4
5 
5

cot x 
tan x
3

sin x  0

cos x  0

c) Do  x    
.
tan x  0
2

cot x  0

sin x
5
tan x 


12 
5
cos x
12
Từ đó với sin x 
.
 cos x   1 sin 2 x    
13 
13
cot x  1   12

tan x
5
sin x  0

cos x  0
d) Do 180  x  270  
.
tan x  0

cot x  0

tan x  sin x  2

2 2
1
cos x
4 .
 

Từ đó với sin x    cos x   1 sin 2 x  

3
3
1
2 2
cot x 
tan x


Câu 35: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc x biết
a) tan x  3 với   x 
c) tan x  

3
.
2

1

với  x  
2
2

a) tan x  3  cot x 

1
3

b) tan x  2 với


 x .
2

d) cot x  3 với   x 

3
.
2

Lời giải

sin x
9
 3  sin 2 x  9 cos 2 x  sin 2 x  9 1 sin 2 x  0  sin 2 x  .
cos x
10
sin x  0
3
Vì   x 
 
cos x  0
2

tan x  3 

10
3 10
; cos x  

.
10
10
1
b) tan x  2  cot x  
2
sin x
4
tan x  2 
 2  sin 2 x  4 cos 2 x  sin 2 x  4 1 sin 2 x  0  sin 2 x  .
cos x
5
sin x  0

Vì  x    
cos x  0
2

Do đó sin x  

Sưu tầm và biên soạn

Page 16