Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 năm học 20222023

MỤC LỤC
ĐỀ 01. ........................................................................................................................................ 5
ĐỀ 02 ......................................................................................................................................... 9
ĐỀ 03 ....................................................................................................................................... 12
ĐỀ 04 ....................................................................................................................................... 15
ĐỀ 05 ....................................................................................................................................... 21
ĐỀ 06 ....................................................................................................................................... 26
ĐỀ 07 ....................................................................................................................................... 31
ĐỀ 08 ....................................................................................................................................... 35
ĐÊ 09 ....................................................................................................................................... 41


ĐỀ 10 ....................................................................................................................................... 52
ĐỀ 11 ....................................................................................................................................... 55
ĐỀ 12 ....................................................................................................................................... 59
ĐỀ 13 ....................................................................................................................................... 59
ĐỀ 14 ....................................................................................................................................... 68
ĐỀ 15 ....................................................................................................................................... 72
ĐỀ 16 ....................................................................................................................................... 79
ĐỀ 17 ....................................................................................................................................... 83
ĐỀ 18 ....................................................................................................................................... 87
ĐỀ 19 ....................................................................................................................................... 91
ĐỀ 20 ....................................................................................................................................... 96
ĐỀ 21. .................................................................................................................................... 100
ĐỀ 22 ..................................................................................................................................... 106
ĐỀ 23 ..................................................................................................................................... 112
ĐỀ 24 ..................................................................................................................................... 112
ĐỀ 25 ..................................................................................................................................... 117
ĐỀ 26 ..................................................................................................................................... 122
ĐỀ 27 ..................................................................................................................................... 127
ĐỀ 28 ..................................................................................................................................... 136

ĐÊ 29 ..................................................................................................................................... 145
ĐỀ 30 ..................................................................................................................................... 149
ĐỀ 31 ..................................................................................................................................... 154
ĐỀ 32 ..................................................................................................................................... 159
ĐỀ 33 ..................................................................................................................................... 164
ĐỀ 34 ..................................................................................................................................... 169
ĐỀ 35 ..................................................................................................................................... 176
ĐỀ 36 ..................................................................................................................................... 181
ĐỀ 37 ..................................................................................................................................... 186
ĐỀ 38 ..................................................................................................................................... 191
ĐỀ 39 ..................................................................................................................................... 196
ĐỀ 40 ..................................................................................................................................... 201
ĐỀ 41. .................................................................................................................................... 207
ĐỀ 42 ..................................................................................................................................... 213
ĐỀ 43 ..................................................................................................................................... 217
ĐỀ 44 ..................................................................................................................................... 222
ĐỀ 45 ..................................................................................................................................... 226
ĐỀ 46 ..................................................................................................................................... 232
ĐỀ 47 ..................................................................................................................................... 238
ĐỀ 48 ..................................................................................................................................... 244
ĐÊ 49 ..................................................................................................................................... 250
ĐỀ 50 ..................................................................................................................................... 256
ĐỀ 51 ..................................................................................................................................... 261
ĐỀ 52 ..................................................................................................................................... 268
ĐỀ 53 ..................................................................................................................................... 275
ĐỀ 54 ..................................................................................................................................... 279
ĐỀ 55 ..................................................................................................................................... 285
ĐỀ 56 ..................................................................................................................................... 291
ĐỀ 57 ..................................................................................................................................... 297

ĐỀ 58 ..................................................................................................................................... 301
ĐỀ 59 ..................................................................................................................................... 306
ĐỀ 60 ..................................................................................................................................... 312
ĐỀ 61. .................................................................................................................................... 317
ĐỀ 62 ..................................................................................................................................... 323
ĐỀ 63 ..................................................................................................................................... 328
ĐỀ 64 ..................................................................................................................................... 331
ĐỀ 65 ..................................................................................................................................... 337
ĐỀ 66 ..................................................................................................................................... 343
ĐỀ 67 ..................................................................................................................................... 349
ĐỀ 68 ..................................................................................................................................... 354
ĐÊ 69 ..................................................................................................................................... 358
ĐỀ 70 ..................................................................................................................................... 365
ĐỀ 71 ..................................................................................................................................... 372
ĐỀ 72 ..................................................................................................................................... 376
ĐỀ 73 ..................................................................................................................................... 381
ĐỀ 74 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 75 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 76 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 77 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 78 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 79 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 80 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 81. .................................................................................................................................... 387
ĐỀ 82 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 83 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 84 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 85 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 86 ..................................................................................................................................... 387

ĐỀ 87 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 88 ..................................................................................................................................... 387
ĐÊ 89 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 90 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 91 ..................................................................................................................................... 387
ĐỀ 92 ..................................................................................................................................... 392
ĐỀ 93 ..................................................................................................................................... 399
ĐỀ 94 ..................................................................................................................................... 405
ĐỀ 95 ..................................................................................................................................... 413
ĐỀ 96 ..................................................................................................................................... 419
ĐỀ 97 ..................................................................................................................................... 424
ĐỀ 98 ..................................................................................................................................... 431
ĐỀ 99 ..................................................................................................................................... 436
ĐỀ 100 ................................................................................................................................... 441
ĐỀ 101. .................................................................................................................................. 446
ĐỀ 102 ................................................................................................................................... 452
ĐỀ 103 ................................................................................................................................... 459
ĐỀ 104 ................................................................................................................................... 465
ĐỀ 105 ................................................................................................................................... 471


ĐỀ 106 ................................................................................................................................... 477
ĐỀ 107 ................................................................................................................................... 483
ĐỀ 108 ................................................................................................................................... 488
ĐÊ 109 ................................................................................................................................... 494
ĐỀ 110 ................................................................................................................................... 500
ĐỀ 111 ................................................................................................................................... 506
ĐỀ 112 ................................................................................................................................... 512
ĐỀ 113 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 114 ................................................................................................................................... 519

ĐỀ 115 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 116 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 117 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 118 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 119 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 120 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 121. .................................................................................................................................. 519
ĐỀ 122 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 123 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 124 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 125 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 126 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 127 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 128 ................................................................................................................................... 519
ĐÊ 129 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 130 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 131 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 132 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 133 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 134 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 135 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 136 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 137 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 138 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 139 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 140 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 141. .................................................................................................................................. 519
ĐỀ 142 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 143 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 144 ................................................................................................................................... 519

ĐỀ 145 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 146 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 147 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 148 ................................................................................................................................... 519
ĐÊ 149 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 150 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 151 ................................................................................................................................... 519
ĐỀ 152 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 153 ................................................................................................................................... 520


ĐỀ 154 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 155 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 156 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 157 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 158 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 159 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 160 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 161. .................................................................................................................................. 520
ĐỀ 162 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 163 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 164 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 165 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 166 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 167 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 168 ................................................................................................................................... 520
ĐÊ 169 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 170 ................................................................................................................................... 520
ĐỀ 01. Cẩm Thủy
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN CẨM

THỦY
ĐỀ THI SỐ 87
Bài 1: (4,0 điểm)
1. Cho biểu thức: P 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
NĂM HỌC: 2022-2023
Thời gian làm bài:90 phút

0,5 x 2  x  2 x3  8
2
:

1  0,5x
x  2 x 2  x

a) Rút gọn biểu thức P;
b)Tìm x để P 
2. Cho a 

1
.
1 x

x
x2
.
Tính
theo
giá

trị
của
biểu
thức:
.
a
P

x2  x  1
x4  x2  1

Bài 2: (4,0 điểm)
1
x2

a

1  x2
x2 1
a) Giải phương trình khi a  2;

1. Cho phương trình: x  a 2 x 

b)Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Đa thức f  x  khi chia cho x  1 dư 4, khi chia cho x 2  1 dư 2 x  3 . Tìm phần dư
khi chia f  x  cho  x  1  x2  1 .
Bài 3:(4,0 điểm)
1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x2 y  1  x2  2 xy  2 x  y
2. Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn
được 2 số gọi là a và b sao cho  a 2  b2  11

Bài 4:(6,0 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB . Cho biết tia CN cắt tia
DA tại E , tia Cx vng góc với tia CE cắt tia AB tại F . Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng EF .
a) Chứng minh B, D, M thẳng hàng;


b) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC.
c) Xác đình vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFBE có diện tích
bằng 3 lần diện tích hình vng ABCD.
Bài 5:(2,0 điểm)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn điều kiện: a  b  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
A  a2 

3 a

4a b

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ VÀO 10 THPT MÔN TOÁN
TRƯỜNG THCS ABC
Năm học: 2022-2023
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: (4,0 điểm)
1. Cho biểu thức P 

0,5 x 2  x  2 x3  8
2
:


1  0,5x
x  2 x 2  x

a) Rút gọn biểu thức P;
b)Tìm x để P 
2. Cho a 

1
.
1 x

x
x2
.
Tính
theo
giá
trị
của
biểu
thức:
.
a
P

x2  x  1
x4  x2  1

Lời giải

1. Cho biểu thức P 
a)Khi đó: P 
b)Để P 

0,5 x  x  2 x  8
2
. ĐKXĐ x  0, x  2
:

1  0,5x
x  2 x 2  x
2

3

x2  2 x  4
x2
2
1
2
x2
1
.





2
2 x

 x  2  x  2x  4 x  x  2 x  2 x  x  2 x  x  2 x

1
1
1
1
1
2 x 1
 
 
0
0
1 x
x 1 x
x x 1
x  x  1

1

2 x  1  0
x
1


TH1 
2   x 1

2
 x  x  1  0
0  x  1

1

2 x  1  0
x


 x0
TH2: 
2

 x  x  1  0
x  0  x  1

1
2

Vậy x  0   x  1 là giá trị cần tìm.
x2
x2
x2
x
2. Ta có: P  4 2 
 2
a 2
2
2
2
2
x  x  1  x  1  x

 x  x  1 x  x  1 x  x  1

- Nếu x  0  a  0  P  0
- Nếu x  0  P  a.

x
1
1
a2
a2

a

a

.
Vậy:
P

1
x2  x  1
x2  x  1
2a  1
 2 2a  1
2
a
x

Bài 2: (4,0 điểm)
1. Cho phương trình: x  a 2 x 

1
x2

a

1  x2
x2 1


a) Giải phương trình khi a  2;
b)Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Đa thức f  x  khi chia cho x  1 dư 4, khi chia cho x 2  1 dư 2 x  3 . Tìm phần dư
khi chia f  x  cho  x  1  x2  1 .
Lời giải
1
x2
. ĐKXĐ x  1

2

1  x2
x2  1
x2
1
1
Khi đó ta có: 3x  2  2  2  3x  2  1  x 
x 1 x 1
3
2

x
1
b)Với x  1 ta có: 1  a 2  x  a  2  2  1  a 2  x  1  a
x 1 x 1
1  a 2  0
a  1

Phương trình có nghiệm duy nhất khi: 1  a  1  a  0
1  a  1 a  2



1. a) Thay a  2 vào phương trình ta được: x  4 x 

1. Giả sử f  x    x  1  x 2  1 .g  x  + ax 2  bx  c

+ Vì f  x  chia cho x  1 dư 4 nên f  1  4  a  b  c  4 (1)
Mà f  x    x  1  x2  1 .g  x  + a  x 2  1  bx  c  a   x 2  1  x  1 .g  x   a   bx  c  a
b  2
b  2
(2)

c  a  3 c  a  3
3
9
Thay (2) vào (1) ta được: a  2  a  3  4  a   b  2, c 
2
2
3
9

Vậy đa thức dư là: x 2  2 x 
2
2

+ Vì f  x  chia cho x 2  1 được thương là 2 x  3 nên: 

Bài 3: (0,0 điểm)
1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x2 y  1  x2  2 xy  2 x  y
2. Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn
được 2 số gọi là a và b sao cho  a 2  b2  11
Lời giải
1. Ta có:

x2 y  1  x2  2 xy  2 x  y   x 2  2 x  1 y  x 2  2 x  1   x 2  2 x  1 y   x 2  2 x  1  4 x

+ Vì x, y  Z  x2  2x 1  0 nên y  1 


2  x 2  2x  1  4
x  2x 1
2

Z 

2 x  x  2
4x
4x
Z  2
Z  2
Z

x  2x 1
x  2x 1
x  2x 1
2

4
 Z  4  x 2  2 x  1
x  2x 1
2

Bảng giá trị nguyên tương ứng:
-1
1
-2
2
-4
4
x2  2 x 1
0
2
loại
1
-1
3
Loại
Loại
x
y
1
-7

-1
-1
7
Vậy  x, y   0;1 ,  2; 7  , 1; 1 ,  1; 1 , 3;7 
2. Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn
được 2 số gọi là a và b sao cho  a 2  b2  11
Trong 11 số nguyên tố phân biệt lẻ lớn hơn 2 có ít nhất 9 số ngun tố lẻ lớn
hơn 5 nên theo ngun lí Diricle ln có ít nhất 2 số khi chia cho 5 có cùng số dư.


Giả

sử

hai

số

nguyên

tố

lẻ

lớn

a, b  a  b  5   a  b  5   a  b  a  b  5   a  b
2

2



hơn 5
5 (1)

đó

là

hai

số

+) Vì a, b là hai số ngun tố lẻ lớn hơn 5 nên  a  b  và  a  b  là hai số chẵn

 a  b  2

  a  b  a  b  4   a 2  b 2  4

 a  b  2
+) Vì a, b là hai số nguyên tố lẻ lớn hơn 5

(2)

2

a  1 mod 3
 2
  a 2  b2   0  mod 3   a 2  b 2  3


b  1 mod 3

(3)

+) Vì ƯCLN(3,4,5) = 1 (4)
Nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra:  a 2  b2  3.4.5   a 2  b2  60
Bài 4: (0,0 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB . Cho biết tia CN cắt tia
DA tại E , tia Cx vng góc với tia CE cắt tia AB tại F . Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng EF .
a) Chứng minh B, D, M thẳng hàng;
b) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC ;
c) Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích
bằng 3 lần diện tích hình vng ABCD.
Lời giải

E
M
A

F

B
N
I

D

C

a) +) Vì AEF vng tại A , trung tuyến AM nên AM  ME  MF
+) CEF vuông tại C , trung tuyến CM nên CM  ME  MF
 MA  MC  M thuộc trung trực của AC (1)
Mặt khác: Do ABCD là hình vng nên BA  BC  DA  DC  BD là trung trực của
AC (2). Từ (1) và (2) suy ra B, D, M thẳng hàng.
b) +)Vì: MCF  MCE  900  DCE  MCE  MCF  DCE
Xét DCE và BCF có:
D  B  900  gt 
DC  BC ( gt

MCF  DCE (c/m trên)
 DCE  BCF ( g.c.g )  CE  CF  CEF vuông cân tại C  CM cũng là đường

phân

giác

ECF  ECM  450  ACB  ACE  BCE  BCE  BCM  450  ACE  BCM (3)

+) Vì: EAC  450  900  1350  MBC  EAC  MBC  1350 (4)

của


Từ (3) và (4) suy ra EAC đồng dạng với MBC.
c) Đặt AE  x  0  x  a   S ACFE  S ACF  S AEF  S ABC  SDCE  S AEF
1
1
1

1
1
1
AB 2  DC.DE  AE. AF  a 2  a  a  x   x  a  a  x 
2
2
2
2
2
2
1
1
 a 2  ax  x 2  ax
2
2

 S ACFE 
 S ACFE

Theo đề bài:
1
1
S ACFE  3S ABCD  a 2  ax  x 2  ax  3a 2  x 2  3ax - 4a 2  0   x  a  x  4a   0
2
2
Vì 0  x  a  x  a  AE  AB  a  AEN  BCN  g.c.g   AN  BN

Hay N là trung điểm của AB .
Bài 5: (0,0 điểm)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn điều kiện: a  b  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức:
A  a2 

3 a

4a b

Lời giải
1
b

a
b

a
b

+) Từ a  b  1  2 ab  a  b  1  4a   4a 2     4a 2
+) Khi đó:
3 a
3
1 
1
1 
1 1
9


  a2 
 4a 2  3  a 2    3  a 2     3.3. 3 a 2 . .  

4a b
4a
4a 
8a 8a 
8a 8a
4


1
Dấu "=" xảy ra khi a  b 
2
9
1
Vậy GTLN của A 
khi a  b 
4
2
A  a2 

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
ĐỀ 02 . Tam Kỳ
PHÒNG GIÁO DỤC THÀNH PHỐ TAM KỲ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8_NĂM HỌC 2022-2023
Câu 1. (5,0 điểm)
6x 1

6x 1

x 2  36


 2
1) Cho biểu thức A   2
.
2
 x  6 x x  6 x  12 x  12
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A với x 

1

94 5
2) Phân tích đa thức thành nhân tử :  x  x  1 x2  x  2  12
2

Câu 2. (3,0 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu a2  b2  c2  ab  ac  bc thì a  b  c
2) Cho đa thức f  x   x3  3x2  3x  4 . Với giá trị nguyên nào của x thì giá tri của đa thức
f  x  chia hết cho giá trị của đa thức x 2  2
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình nghiệm nguyên 5x4  10 x2  2 y 6  4 y3  6  0
2) Giải phương trình sau :

1
6y
2
 2

3 y  10 y  3 9 y  1 1  3 y

2


Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là
điểm đối xứng của C qua P
a) Tứ giác AMDB là hình gì ? Vì sao ?
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB . Chứng minh EF / / AC và ba
điểm E, F , P thẳng hàng
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí
của điểm P
Câu 5. (2,0 điểm)
1) Chứng minh rằng n4  7  7  2n2  chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ
2) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P

1
1 1


16 x 4 y z

ĐÁP ÁN
Câu 1. (5,0 điểm)
6x 1

6 x 1

x 2  36



 2
3) Cho biểu thức A   2
.
2
 x  6 x x  6 x  12 x  12

c) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
6 x  1  x 2  36
 6x 1
A 2
 2
.
2
 x  6 x x  6 x  12 x  12
 6x 1
6 x  1   x  6  x  6 


.
2
 x  x  6  x  x  6   12  x  1
6 x  1 x  6    6 x  1 x  6   x  6  x  6  12( x 2  1)

1
1

.

.


2
2
x  x  6  x  6 
x
12  x  1
12  x  1 x

d) Tính giá trị của biểu thức A với x 
x

1
94 5

 A

1
94 5

1
 94 5  2 5
x

4) Phân tích đa thức thành nhân tử :  x2  x  1 x2  x  2  12
Đặt x2  x  1  t  x2  x  2  t  1
Khi đó t  t  1  12   t  3 t  4   x2  x  2  x 2  x  5  ( x  1)( x  2)( x 2  x  5)
Câu 2. (3,0 điểm)
3) Chứng minh rằng nếu a2  b2  c2  ab  ac  bc thì a  b  c
a 2  b2  c 2  ab  ac  bc  2a 2  2b2  2c 2  2ab  2ac  2bc
 2a 2  2b2  2c 2  2ab  2bc  2ac  0   a  b    b  c    c  a   0
2

2

2

Vì  a  b   0;  a  c   0;  b  c   0
2
2
2
Nên  a  b    a  c    b  c   0  a  b  c
4) Cho đa thức f  x   x3  3x2  3x  4 . Với giá trị nguyên nào của x thì giá tri của đa
thức f  x  chia hết cho giá trị của đa thức x2  2
Chia f  x  cho x2  2 được thương là x  3 dư x  2
Để f  x  chia hết cho x2  2 thì x  2 x2  2
2

2

2


  x  2  x  2   x 2  2   6  x 2  2 

Mà x2  2  2  x2  2 3;6  x 1; 2
Thử lại ta thấy x  1, x  2 thỏa mãn
Vậy với x  1, x  2 thì f  x  chia hết cho x2  2
Câu 3. (4,0 điểm)
3) Giải phương trình nghiệm nguyên 5x4  10 x2  2 y 6  4 y3  6  0
5 x 4  10 x 2  2 y 6  4 y 3  6  0   5 x 4  10 x 2  5    2 y 6  4 y 3  2   13
 5  x 4  2 x 2  1  2  y 6  2 y 3  1  13  5  x 2  1  2  y 3  1  13

2

2

 x 2  1 Z
x  Z

Vì 
 3
 y  1 Z
yZ

 y3  1  2
 y 3  1  y  1
 x  1  1  x  0  2  y  1  8   3
 3
 y  1  2
 y  3(VN )
Vậy phương trình có một nghiệm ngun  x; y    0;1
2

3

2

4) Giải phương trình sau :
ĐKXĐ : y  3; y  

1 

1
6y
2
 2

(1)
3 y  10 y  3 9 y  1 1  3 y
2

1
3

1
6y
2


 3 y  1 y  3  3 y  1 3 y  1 3 y  1

 3 y  1  6 y  y  1  2  y  3 3 y  1
 3 y  1  6 y 2  18 y  6 y 2  16 y  6  5 y  5  y  1(tmdkxd )

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1
Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là
điểm đối xứng của C qua P

B

A

F
I

E

M
P

O

D
d) Tứ giác AMDB là hình gì ? Vì sao ?
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có O là trung điểm của AC, P là trung điểm của MC

C


Hay PO là đường trung bình của ACM hay AM / / PO
Vậy BD / / AM hay tứ giác AMDB là hình thang
e) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB . Chứng minh EF / / AC và
ba điểm E, F , P thẳng hàng
Do AM / / BD hay OBA  MAE (đồng vị)
Xét OAB cân ta có : OBA  OAB
Gọi I là giao điểm của MA và EF , ta thấy AEI cân ở I hay IAE  IEA
Suy ra FAE  OAB hay EF / / AC 1
Mặt khác IP là đường trung bình của MAC suy ra IP / / AC  2 
Từ (1) và (2) suy ra E, F , P thẳng hàng
f) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào
vị trí của điểm P

Chứng minh MAF ∽ DBA( g.g ) 

MF AD
không đổi

FA AB

Câu 5. (2,0 điểm)
3) Chứng minh rằng n4  7  7  2n2  chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ
n4  7  7  2n2   n4  14n2  49   n2  7 

2

n là số nguyên lẻ nên n  2k  1 k  Z 

Khi đó  n2  7    2k  12  7    4k 2  4k  1  7   4  k 2  k  2   16 k  k  1  2
k , k  1 là hai số nguyên liên tiếp nên k  k  1 chia hết cho 2
2

2

2

2

2

 k  k  1  2 chia hết cho 2 nên  k  k  1  2 chia hết cho 4
2

16  k  k  1  2 chia hết cho 64
2

Vậy n4  7  7  2n2  chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ
2) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1 1


16 x 4 y z
 1
1
1 1
1 1  y
x   z
x   z y  21
P

   x  y  z

 

 
 

16 x 4 y z
 16 x 4 y z   16 x 4 y   16 x z   4 y z  16
y
x 1
Theo BĐT Cô si ta có :


 . Dấu bằng xảy ra khi y  2 x
16 x 4 y 4
z
x 1
Tương tự
  . Dấu bằng xảy ra khi z  4 x
16 x z 2
z y
  1 , Dấu bằng xảy ra khi z  2 y
4y z
49
1
2
4
. Dấu bằng xảy ra khi x  ; y  ; z 
P
16
7
7
7
49
1
2
4
Vậy Min P  khi với x  ; y  ; z 
16
7
7
7

thức : P 

ĐỀ 03. Đơng Kinh 22-23
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH
ĐỀ THI HSG TOÁN 8 – NĂM HỌC 2022-2023


Bài 1. (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 5 x 2  26 x  24
b) x 2  6 x  5
1
3
3
c) x 3  x 2  x  1
8
4
2
4
2
d ) x  2015 x  2014 x  2015

Bài 2. (6 điểm)
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến :

 6 x  7  2 x  3   4 x  1  3x 

7


4

x y
b) Tính giá trị biểu thức P 
. Biết x2  2 y 2  xy  x  y  0; y  0
x y
c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức  x  2 x  4 x  6  x  8  2015 cho đa thức
x2  10 x  21

d) Tính tổng các hệ số trong khai triển 1  2x 
e) Chứng minh rằng : A  n2  4n  3 8, n là số tự nhiên lẻ
f) Tìm hệ số a để ax5  5x4  9 x 1
Bài 3. (7 điểm) Cho hình vng ABCD. Qua A vẽ hai đường vng góc với nhau lần lượt
cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S
a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân
b) QR cắt PS tại H, M , N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là
hình chữ nhật
c) Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC
Bài 4. (3 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  13x2  y 2  4 xy  2 y  16x  2015
2021

b) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a  b  1. Chứng minh a3  b3  ab 

1
2

ĐÁP ÁN
Bài 1. (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 5 x 2  26 x  24  5 x 2  20 x  6 x  24  5 x  x  4   6  x  4    x  4  5 x  6 

b) x 2  6 x  5  x 2  5 x  x  5  x  x  5    x  5    x  5  x  1
3

2

1
3
3
1 
1 
1 
1

c) x3  x 2  x  1   x   3.  x  .1  3.  x  .12  13   x  1
8
4
2
2 
2 
2 
2


3

d ) x 4  2015 x 2  2014 x  2015   x 4  x   2015 x 2  2015 x  2015

 x  x  1  x 2  x  1  2015  x 2  x  1   x 2  x  1 x 2  x  2015 

Bài 2. (6 điểm)
g) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến :

 6 x  7  2 x  3   4 x  1  3x 


7
7 77
2
2
  12 x  18 x  14 x  21  12 x  7 x  3x  
4
4
4

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x
h) Tính giá trị biểu thức P 

x y
. Biết x2  2 y 2  xy  x  y  0; y  0
x y


x2  2 y 2  xy  x2  xy  2 y 2  0   x  y  x  2 y   0

Vì x  y  0  x  2 y  0  x  2 y  A 

2y  y 1


2y  y 3

i) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức  x  2 x  4 x  6  x  8  2015 cho đa
thức x2  10 x  21

P( x)   x  2  x  4  x  6  x  8  2015   x 2  10 x  16  x 2  10 x  24   2015

Đặt t  x2  10 x  21 t  3; t  7  , biểu thức P(x) được viết lại :
P( x)   t  5 t  3  2015  t 2  2t  2020

Do đó khi chia t 2  2t  2000 cho t ta có số dư là 2000
2021
j) Tính tổng các hệ số trong khai triển 1  2x 
Gọi f  x   1  2 x   f 1  1  2.1   1  1
Vậy tổng các hệ số trong khai triểm bằng 1
k) Chứng minh rằng : A  n2  4n  3 8, n là số tự nhiên lẻ
A   n  1 n  3 , vì n là số lẻ, đặt n  2k  1,  k  N   A   2k  2 2k  4 8
l) Tìm hệ số a để ax5  5x4  9 x 1
Theo định lý Bơ zu ta có : dư của f  x   ax5  5x4  9 khi chia cho x  1 là f 1  a  5  9  a  4
Để có phép chia hết thì a  4  0  a  4
Bài 3. (7 điểm) Cho hình vng ABCD. Qua A vẽ hai đường vng góc với nhau lần
lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S
2020

2020

2020

Q

C
P

H

D N
S

B
M
A
R

e) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân
ADQ  ABR vì chúng là hai tam giác vng (2 góc có cạnh tương ứng vng góc) và
DA  BD (cạnh hình vuông). Suy ra AQ  AR nên AQR là tam giác vuông cân


Chứng minh tương tự ta có ABP  ADS
f) QR cắt PS tại H, M , N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là
hình chữ nhật
AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN  SP và
AM  RQ

Mặt khác : PAN  PAM  45  MAN  90 . Vậy tứ giác AHMN có ba góc vng nên nó
là hình chữ nhật
g) Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR
Theo giả thiết : QA  RS , RC  SQ nên QA và RC là hai đường cao của SQR
Vậy P là trực tâm SQR
h) Chứng minh MN là đường trung trực của AC

1
2

Trong tam giác vuong cân AQR thì MA là trung tuyến nên AM  QR  MA  MC , nghĩa là
M cách đều A và C
Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP , ta có NA  NC
nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC
Bài 4. (3 điểm)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  13x2  y 2  4 xy  2 y  16x  2015
A  13x 2  y 2  4 xy  2 y  16 x  2015  y 2  4 xy  2 y  13x 2  16 x  2015
 y 2  2 y  2 x  1   2 x  1  9 x 2  12 x  2015
2

  y  2 x  1   3x  2   2010
2

2

2
3

Chứng tỏ A  10 , dấu bằng xảy ra khi x  ; y  
2
3

Vậy Min A  2010  x  ; y  

1
3

1
3

d) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a  b  1. Chứng minh a3  b3  ab 
1
2

1
2

Ta có : a3  b3  ab  1  a3  b3  ab   0
  a  b   a 2  b2  ab   ab 

1
1
 0  a 2  b2   0  do a  b  1
2
2
2
2
2
2
 2a  2b  1  0  2a  2 1  a   1  0 (vì b  1  a)
2

1
1


 2a 2  2  4a  2a 2  1  0  4  a 2  a    0  4  a    0 a  2 

4
2



Từ (1) và (2) ta có đpcm
ĐỀ 04. Thanh Thủy
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 THCS
NĂM HỌC: 2022-2023
Đề chính thức
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề.
Đề thi có: 02 trang
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm).
Hãy chọn phương án trả lời đúng

1
2


Câu 1. Tổng của ba số a, b, c bằng 9, tổng các bình phương của chúng bằng 53, khi đó giá
trị của biểu thức ab + bc + ca là
A. 12.
B. 13.
C. 14.
D. 15.
2
Câu 2. Để đa thức f ( x)  10 x  7 x  a chia hết cho đa thức 2x – 3 thì giá trị của a bằng
A. 10.

B. -12.
C. 12.
D. -10.
2
Câu 3. Số giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 2n  3n  3 chia hết cho giá trị của
biểu thức 2n – 1 là
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
x 2  2 xy
Câu 4. Cho 3x - y = 3z và 2x + y = 7z. Giá trị biểu thức: A  2
x  y2

A. -2.

B.

5
3

C.

3
2

( x  0, y  0) là

D.

8
13

1  5x
có giá trị khơng nhỏ hơn 1 là
x 1
1
5
1
A. x  1.
B.  x  1 .
C. x  .
D. x  hoặc x  1.
3
5
3
4
2
2
2
Câu 6. Giả sử x  2021x  2020x  2021  ( x  Ax  1)( x  x  B) , khi đó giá trị của B  A là

Câu 5. Giá trị của x để phân thức

A. 2018.
B. 2019.
C. 2020.
D. 2021.
Câu 7. Một ngày trong năm được gọi là ngày nguyên tố nếu như số chỉ ngày và số chỉ tháng
của ngày đó đều là số nguyên tố. Ví dụ, ngày 29/3 được xem là một ngày nguyên tố vì 29

và 3 đều là số ngun tố, cịn 28/3 khơng là ngày ngun tố vì 28 là hợp số. Hỏi trong năm
2019 có tổng cộng bao nhiêu ngày nguyên tố?
A. 52.
B. 51.
C. 54.
D. 60.
2020
2019
Câu 8. Số nghiệm của phương trình x  2019  x  2020  1 là
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. Vô số nghiệm .
2
 4  m ( x  1) có nghiệm âm là
x 1
B. 4  m  6 .
C. 4  m  6 .
D. m = 4 hoặc m =

Câu 9. Giá trị của m để phương trình
A. 4  m  6 .

6.
Câu 10. Trong tam giác ABC, đường trung tuyến AM, K là một điểm nằm trên AM sao cho
AK 1
2
 , BK cắt AC ở N. Biết diện tích tam giác ABC bằng 60cm , khi đó diện tích tam
KM 2

giác AKN là
A. 20cm2 .
B. 30cm2 .
C. 3cm2 .
D. 2cm2.
Câu 11. Cho tam giác ABC có A  1200 , AB = 3cm, AC = 6cm. Độ dài đường phân giác AD
bằng
A. 2cm.
B. 4cm.
C. 3cm.
D. 5cm.
Câu 12. Một hình thang cân có đường chéo vng góc với cạnh bên, biết đáy nhỏ bằng
14cm đáy lớn bằng 50cm. Diện tích hình thang đó là
A. 766 cm2 .
B. 756 cm2 .
C. 758cm2 .
D. 768cm2.
Câu 13. Một đa giác lồi có n cạnh, số đường chéo là n  150 . Số cạnh của đa giác đó là
A. n  21 .
B. n  13 .
C. n  20 .
D. n  16 .
Câu 14. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm. Các đường trung tuyến BD và CE
vng góc với nhau. Độ dài BC là
A.

3
.
2

B. 2 5 .

C.

5
.
2

D.

5
.
3

Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH  BC,  H  BC  . Biết HB = 9cm,


HC = 16cm. Độ dài cạnh AB, AC lần lượt là
A. 15cm và 20cm.
B. 12 cm và 23cm.
C. 14cm và 21cm.
17cm.
Câu 16.
Một quả bóng đá được khâu từ 32 miếng da. Mỗi miếng
ngũ giác màu đen khâu với 5 miếng màu trắng, và mỗi
miếng lục giác màu trắng khâu với 3 miếng màu đen, như
hình vẽ. Số miếng màu trắng là
A. 22
B. 24
C. 20

D. 18

D. 18cm và

II. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để n3  n2  7n  10 là số nguyên tố
b) Cho a, b, c là ba số nguyên thỏa mãn a  b  c  (a  b)(b  c)(c  a) . Chứng minh
rằng  a  b    b  c    c  a  chia hết cho 81
Câu 2 (3,0 điểm).
3

3

3

a) Cho 4a 2  15ab  3b 2  0; b  4a . Tính giá trị của biểu thức: T 
b) Giải phương trình:

5a  b 3b  2a

4 a  b 4a  b

2x
x
5
 2

x  x 1 x  x 1 3
2

Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn (ABH. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC
lần lượt tại I và K.
a) Chứng minh  ABC đồng dạng  EFC.
b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự
tại N và D. Chứng minh HI = HK.
c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh:

AH BH CH


6
HE HF HG

Câu 4 (2,0 điểm).
1 1 2021
 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x z
y
x y
yz
P

2021x  y 2021z  y

a) Cho x, y, z  0 thỏa mãn

b) Cho tam giác ABC. Đường thẳng xy đi qua A và cắt cạnh BC tại M. Gọi H, K là chân

đường vng góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đường thẳng xy để tổng
BH + CK đạt giá trị lớn nhất.
.......................HẾT.......................
Họ và tên thí sinh: ................................................................... SBD: ..................
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ
ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 THCS
NĂM HỌC: 2022-2023
MƠN: TỐN
Đáp án có : 05 trang
1. Phần trắc nghiệm khách quan( 8 điểm)


Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
Đáp
án
C B A D B C
A B A D A D C B A C
đúng
Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
2. Phần tự luận ( 12 điểm)

Đáp án

Điểm

Câu 1 (3,0 điểm)
a) (1,5 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên n để n3  n2  7n  10 là số nguyên tố

1,5

Đặt A = n3  n2  7n  10   n  2   n2  n  5

0,5

Để A là số nguyên tố thì n  2  1 hoặc n2  n  5  1
Nếu n  2  1  n  3 khi đó ta có A  7 là số nguyên tố
Nếu n2  n  5  1  n2  n  6  0   n  2 n  3  0  n  2 (vì n là số tự nhiên)
Khi đó ta có A  0 khơng là số ngun tố
Vậy n = 3 thì n3  n2  7n  10 là số nguyên tố
b) (1,5 điểm). Cho a, b, c là ba số nguyên thỏa mãn a  b  c  (a  b)(b  c)(c  a) .

0,25
0,25
0,25
0,25

Chứng minh rằng  a  b    b  c    c  a  chia hết cho 81

1,5

Chỉ ra được HĐT : Nếu x  y  z  0 thì x3  y3  z 3  3xyz

0,25

3

3

3

Áp dụng ta có  a  b    b  c    c  a   3 a  b b  c  c  a   3 a  b  c 
3

3

3

Nếu a, b, c là ba số chia cho 3 có số dư khác nhau thì (a  b)(b  c)(c  a) khơng
chia hết cho 3 cịn a  b  c chia hết cho 3  vô lý
Nếu ba số a, b, c tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 3 thì (a  b)(b  c)(c  a)
chia hết cho 3 còn a  b  c không chia hết cho 3  vô lý
Suy ra a, b, c chia cho 3 có cùng số dư  (a  b)(b  c)(c  a) 27  a  b  c 27
 3(a  b  c) 81 . Vậy  a  b    b  c    c  a  chia hết cho 81
3

3

3

0,5
0,25

0,25
0,25

Câu 2 (3,0 điểm).

5a  b 3b  2a

4 a  b 4a  b
5a  b 3b  2a (5a  b)(4a  b)  (4a  b)(3b  2a) 12a 2  15ab  4b 2

=
T

4 a  b 4a  b
16a 2  b 2
(4a  b)(4a  b)

1,5

Thay 15ab  4a 2  3b 2 vào T ta được

0,5

a) Cho 4a 2  15ab  3b 2  0; b  4a . Tính giá trị của biểu thức T 

T

16a  b
1
16a 2  b 2

2

0,5

2

b) Giải phương trình.

0,5
2x
x
5
 2

x  x 1 x  x 1 3
2

1,5

Ta có .
1 3
1
3

  ( x  ) 2   0 x 

4 4
2
4
  DK : x  R

1 3
1
3
x 2  x  1  x 2  x    ( x  )2   0 x 

4 4
2
4

x2  x  1  x2  x 

0,25


Đáp án
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình suy ra
cho x ta có:

Điểm
x0

.Chia cả tử và m u

2x
x
5
2
1
5
 2

 


1
1
3
3
x  x 1 x  x 1
x 1 
x 1
x
x

0,25

2

Đặt

x

1
y
x

ta có .
0,25

2
1

5

  5 y 2  3 y  14  0
y 1 y  1 3
y  2
 ( y  2)(5 y  7)  0  
y   5
7


Nếu y =2
Nếu

x

0,25

1
2
 2   x  1  0  x  1
x
2

y

0,25

7
1 7
7

51

x 
x  
0
5
x 5
10  100


(vô nghiệm )
0,25

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn (ABnhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vng góc với
HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K.
a. Chứng minh  ABC đồng dạng  EFC.
b. Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB
theo thứ tự tại N và D. Chứng minh HI = HK
c. Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh:

4,0

AH BH CH


6
HE HF HG

A

F
K

G
H

I

B

E

M

C

0,25

N

D

a) Chỉ ra được AEC# BFC (g – g) 

CE CA

CF CB

0,5


Đáp án

Điểm

CE CA
và C : chung   ABC #  EFC (c – g – c)

CF CB
b) Vì CN // IK nên HM  CN  M là trực tâm của  HNC  MN  CH
Ta có MN  CH mà CH  AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD
Do M là trung điểm BC nên  NC = ND

Xét  ABC và  EFC có

Xét ADC có IK // CD theo định lý ta- lét ta có
c) Ta có:

IH
AH HK
 HI = HK


ND AN NC

AH S AHC S ABH S AHC  S ABH S AHC  S ABH





HE SCHE S BHE SCHE  S BHE
S BHC

BH S BHC  S BHA
CH S BHC  S AHC
và


BF
S AHC
CG
S BHA
AH BH CH S AHC  S ABH S BHC  S BHA S BHC  S AHC





HE HF HG
S AHC
S BHC
S BHA
S
S
S
S
S
S

= AHC  ABH  BHC  BHA + BHC  AHC  6 ( Theo BĐT cô-si)
S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA

Tương tự ta có

Dấu ‘=’ xảy ra khi tam giác ABC đều, mà theo gt thì AB < AC nên khơng xảy ra dấu
bằng.
Câu 4 (2,0 điểm).

0,75
0,5
0,5
0,5

0,25
0,25

0,25

0,25

1 1 2021
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
x z
y
x y
yz
P


2021x  y 2021z  y

a) Cho x, y, z  0 thỏa mãn

b) Cho tam giác ABC. Đường thẳng xy đi qua A và cắt cạnh BC tại M. Gọi H,
K là chân đường vng góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đường
thẳng xy để tổng BH + CK đạt giá trị lớn nhất.
a) Từ giả thiết

1 1 2021
2021xz
 
y
, Thay vào biểu thức P và biến đổi ta
x z
y
xz

2,0

0,25

được
x  2022 z z  2022 x
2
2022  x



 

2021x
2021z
2021 2021  z
x z
Áp dụng BĐT cô si ta có   2
z x
2
2022.2 4046
Suy ra P 


2021 2021
2021
P

 1 1 2021
  
y
Dấu “=” xảy ra   x z
x  z

 1 1 2021
4046
  
y
Vậy Min P 
 x z
2021
x  z


z

x

0,25

0,25

0,25


Đáp án

Điểm

b) Hình vẽ
A

H

B

C

M

K

Ta có S ABM  S ACM  S ABC tức là

1
1
AM .BH  AM .CK  S ABC  AM .( BH  CK )  2S ABC
2
2

0,5

Ta thấy SABC không đổi nên BH + CK lớn nhất khi AM nhỏ nhất, tức là AM  BC
Vậy trong trường hợp này BH + CK lớn nhất bằng BC khi xy  BC
0,5
ĐỀ 05. Thuận Thành
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THUẬN
THÀNH
Bài 1: (6,0 điểm)
1. Cho biểu thức A 

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH
GIỎI
NĂM HỌC: 2022-2023
Thời gian làm bài: 150 phút

3x  3
x3  x2  x  1

a. Rút gọn A . Tìm x để A nhận giá trị nguyên.
b. Tìm giá trị lớn nhất của A .
2. Cho f  x   ax 2  bx  c với a, b, c là các số thỏa mãn: 13a  b  2c  0 .
Chứng tỏ rằng: f  2  . f  3  0
Bài 2: (6,0 điểm)

1. Cho M  (n2  2n  5)3  (n  1)2  2018
Chứng minh rằng M chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n .
2. Tìm giá trị trị nhỏ nhất của biểu thức: N  a4  2a3  3a2  4a  5.
3. Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2  a  3b2  b
Chứng minh rằng: a  b và 2a  2b  1 là các số chính phương.
Bài 3: (6,0 điểm)
Cho ABC vng tại A lấy điểm H bất kì trên cạnh BC . Gọi E , F lần lượt là điểm đối
xứng của H qua AB và AC
1. Chứng minh tứ giác BEFC là hình thang.
2. Tìm vị trí của H để BEFC trở thành một hình bình hành, hình chữ nhật được khơng. ?
3. Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất?
Bài 4: (2,0 điểm)
Có hay khơng hai số ngun dương a và b có tổng bằng 2022 và tích của chúng chia hết
cho 2022.


= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =


ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
HUYỆN THUẬN THÀNH
NĂM HỌC: 2020 – 2021
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: (6,0 điểm)
1. Cho biểu thức

A

3x  3
x3  x2  x  1

a. Rút gọn A . Tìm x để A nhận giá trị nguyên.
b. Tìm giá trị lớn nhất của A .
2. Cho f  x   ax 2  bx  c với a, b, c là các số thỏa mãn: 13a  b  2c  0 .
Chứng tỏ rằng: f  2  . f  3  0
Lời giải
3
2
1. a. Điều kiện xác định: x  x  x  1  0  ( x  1)( x2  1)  0  x  1  0  x  1
3x  3
3( x  1)
3

 2
2
2
x  x  x  1 ( x  1)( x  1) x  1
3
Vì x2  1  1 nên 0  A  2  3 . Do đó A  Z  A 1; 2;3
x 1
3
*) A  1  2  1  x 2  2  x   2(tm)
x 1
3
1
1
*) A  2  2  2  x 2   x   (tm)
x 1
2
2

3
*) A  3  2  3  x 2  0  x  0(tm)
x 1


Vậy các giá trị cần tìm x   2 ;0;  1 
2



A

3

b.Với nhận xét ở trên A  3 và A  3  x  0  tm  . Do đó Amax  3 khi x  0 .
2.
Ta có f  2  4a  2b  c
f  3  9a  3b  c

 f  2  f  3  13a  b  2c  0
Do đó: f (2)   f (3)  f (2). f (3)  0 (đpcm).
Bài 2: (6,0 điểm)
1. Cho M  (n2  2n  5)3  (n  1)2  2018
Chứng minh rằng M chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n .
2. Tìm giá trị trị nhỏ nhất của biểu thức: N  a4  2a3  3a2  4a  5.
3. Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2  a  3b2  b
Chứng minh rằng: a  b và 2a  2b  1 là các số chính phương.
Lời giải
3
1. Ta có x  x 6 ( x  N ) . Khi đó :

3
M   n 2  2n  5    n 2  2n  5    n 2  2n  5  (n  1) 2  2018


3
  n 2  2n  5    n 2  2n  5    2022


3
Áp dụng kết quả trên ta có :  n2  2n  5   n2  2n  5 6 mà 2022 6 nên M 6




2.
N  a 4  2a 3  3a 2  4a  5
  a 4  2a 3  a 2   2  a 2  2a  1  3
  a 2  a   2  a  1  3  3
2

2

a 2  a  0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

a  1  0

 a 1

Vậy Nmin  3 khi a=1
3.

2a 2  a  3b2  b   2a 2  2b2    a  b   b2   a  b  2a  2b  1  b 2 (1)

Gọi  a  b; 2a  2b  1  d .
Khi đó : b2   a  b  2a  2b  1 d 2  b d
Mà a  b d  a d  2a  2b d   2a  2b  1   2a  2b  d  1 d  d  1
Như vậy: (a  b;2a  2b  1)  1. Từ đó, theo (1) suy ra: a  b và 2a  2b  1là các số chính
phương.
Bài 3: (6,0 điểm)
Cho ABC vng tại A lấy điểm H bất kì trên cạnh BC . Gọi E , F lần lượt là điểm đối
xứng của H qua AB và AC
1. Chứng minh tứ giác BEFC là hình thang.
2. Tìm vị trí của H để BEFC trở thành một hình bình hành, hình chữ nhật được khơng.
3. Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất?
Lời giải
1. Theo giả thiết suy ra:
 EBH  2 ABC

 FCH  2 ACB
 EBH  FCH  2 ABC  2 ACB  180o

B
E
H

A

C

F
Mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía nên BE //CF
 EBCF là hình thang.


2.Vì EBCF là hình thang có hai đáy là BE, CF nên:
+ Để EBCF là hình bình hành thì cần thêm EB  CF
Mà EB  BH ; CF  HC  EB  CE  BH  HC  H là trung điểm của BC .
Vậy BECF là hình bình hành khi H là trung điểm của BC .
+ Để BECF là hình chữ nhật thì điều kiện trước hết EBCF là hình bình hành, khi đó H là
trung điểm BC và EBH  90o hay ABH  45o tức là ABC vuông cân tại A .
Vậy để BECF là hình chữ nhật thì cần ABC vng cân tại A và H là trung điểmcủa BC .
3. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của EH và AB , FH và AC .
Dễ thấy EHF vuông tại H nên SEHF 

EH .FH
 2 PH .QH
2

Theo địnhlý Ta-let ta có:
PH BH

AC BC
QH CH

AB BC
PH .QH BH .CH



AC. AB
BC 2
AC. AB
 PH .QH 
.BH .CH
BC 2

Cách 1) Mặt khác ta có:
0  ( BH  CH ) 2  ( BH  CH ) 2  4 BH .CH
AB. AC BC 2 AB. AC
.

BC 2
4
4
Đẳng thức xảy ra khi BH  CH hay H là trung điểm của BC .
Vậy EFH có diện tích lớn nhất khi H làtrung điểmcủa BC .
 BH .CH 

Cách 2)
Do BH + CH = BC không đổi, nên áp dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy ta có BH .CH
đạt giá trị lớn nhất khi BH  CH hay H là trung điểm của BC .
Vậy EFH có diện tích lớn nhất khi H làtrung điểmcủa BC .
Cách 3)
2
Áp dụng bất đẳng thức  a  b   4ab ta có:
BH .CH 

BC 2
AB. AC

 PH .QH 
4
4

Bài 4: (2,0 điểm)
Có hay khơng hai số ngun dương a và b có tổng bằng 2022 và tích của chúng chia hết cho
2022.
Lời giải
Giả sử tồn tại 2 số nguyên dương a, b thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tức là:
a  b  2022 (1)

*
ab  2022c, c  N (2)
a 2
b 2

Từ  2  suy ra: a.b  2.2.337.c  

a 2
b 2

Từ 1 suy ra nếu a hoặc b chia hết cho 2 thì số cịn lại cũng chia hết cho 2 . Do đó: 
 a 3 a 337
và 
b 3 b 337

Lập luận tương tự : 