Xstk chương 6 lý thuyết mẫu

EUREKA! UNI – YOUTUBE

XÁC SUẤT THỐNG KÊ
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT MẪU
Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Văn Cao, Ngơ Văn Thứ, Trần Thái Ninh. (2016). Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê
toán. NXB ĐH KTQD.
2. Nguyễn Mạnh Thế, Phạm Ngọc Hưng, Bùi Dương Hải. (2020). Giáo trình Lý thuyết xác suất trong
kinh tế và tài chính. NXB ĐH KTQD.

Free Video Playlists
1. ĐẠI SỐ:

/>
3. GIẢI TÍCH:

/>
2. GIẢI TÍCH 1:

/>
4. GIẢI TÍCH 2:

/>
6. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ:

/>
5. TOÁN CAO CẤP NEU:
7. KINH TẾ LƯỢNG:

/> />
8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: />DONATE cho Eureka! Uni
* Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh

*Momo: 0986.960.312


Thống kê

Mô tả

Thống kê
mẫu
Ước lượng
điểm

Suy diễn

bảng biểu,
đồ thị

Lý thuyết
xác suất

Khoảng tin
cậy

kiểm định
giả thuyết

CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT MẪU


Eureka! Uni - YouTube

3

Eureka Uni (facebook.com)

6.1. TỔNG THỂ, MẪU VÀ CÁC THAM SỐ
6.2. TÍNH TỐN CÁC THỐNG KÊ MẪU

6.3. BÀI TOÁN SUY DIỄN CHO THỐNG KÊ MẪU
6.1.1. Tổng thể và tham số tổng thể
Tổng thể (Population): tập hợp tất cả phần tử mang dấu hiệu nghiên
cứu.

Dấu hiệu nghiên cứu: định tính hoặc định lượng.

Biến 𝑋𝑋 đo lường, miêu tả cho dấu hiệu nghiên cứu.
Kích thước: 𝑁𝑁, ∞.

Phần tử: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑁𝑁 .

Tham số tổng thể ↔ tham số của biến ngẫu nhiên 𝑋𝑋.
Tham số/kí hiệu
Trung bình: 𝑚𝑚, 𝜇𝜇
Phương sai: 𝜎𝜎 2
Độ lệch chuẩn: 𝜎𝜎

Tần suất/tỷ lệ/xác suất : 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑝𝑝
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Cơng thức tính với 𝑁𝑁
𝑁𝑁

1
𝑚𝑚 = � 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑁𝑁
𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

1
𝜎𝜎 2 = �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑚𝑚)2
𝑁𝑁
𝑖𝑖=1

𝜎𝜎 = �𝜎𝜎 2
𝑝𝑝 =

𝑀𝑀𝐴𝐴
𝑁𝑁

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


4

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

Mô tả tổng thể

- Liệt kê giá trị

- Quy luật phân phối xác suất
- Đồ thị

6.1.2. Mẫu và thống kê mẫu
Mẫu (Sample): tập hợp hữu hạn phần tử được lấy ra từ tổng thể.
Kích thước:

𝑛𝑛

Mẫu ngẫu nhiên:

𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , 𝑋𝑋3 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛

Biến 𝑋𝑋 đo lường, miêu tả cho dấu hiệu nghiên cứu.
Mẫu cụ thể:

Thống kê mẫu:

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛

Thống kê: kí hiệu

𝑔𝑔 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )

Trung bình: 𝑥𝑥̅
Mốt: 𝑥𝑥0 , 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑋𝑋), 𝑥𝑥𝑚𝑚

Trung vị: 𝑥𝑥𝑑𝑑 , 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑋𝑋)

Sai lệch trung bình: 𝑚𝑚𝑚𝑚

(Phương sai mẫu không điều chỉnh)
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Cơng thức tính tốn
𝑛𝑛

1
𝑥𝑥̅ = � 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1

Xuất hiện nhiều nhất
trong mẫu

Chia mẫu thành 2 nửa
bằng nhau về số lượng.
𝑛𝑛

1
𝑚𝑚𝑚𝑚 = �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


5

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)
𝑛𝑛

Phương sai: 𝑠𝑠 2

1
𝑠𝑠 2 =
�(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2
𝑛𝑛 − 1

(Phương sai mẫu có điều chỉnh)

𝑖𝑖=1

Hệ số điều chỉnh là 𝑛𝑛/(𝑛𝑛 − 1)

Độ lệch chuẩn: 𝑠𝑠

𝑠𝑠 = �𝑠𝑠 2

Tần suất/tỷ lệ: 𝑓𝑓(𝐴𝐴) = 𝑓𝑓 = 𝑝𝑝̂

𝑝𝑝̂ =

(Độ lệch chuẩn mẫu có điều chỉnh)
Mơ tả mẫu

𝑚𝑚𝐴𝐴
𝑛𝑛

Liệt kê

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛

Phân nhóm

Bảng phân phối tần số (dạng 1)
𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑛𝑛1

𝑥𝑥3

𝑛𝑛2

…

𝑛𝑛3

…

𝑛𝑛𝑖𝑖 : số lần xuất hiện của 𝑥𝑥𝑖𝑖 trong mẫu.
𝑛𝑛 = 𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛3 + ⋯ + 𝑛𝑛𝑘𝑘 .
𝑘𝑘

1
𝑥𝑥̅ = � 𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 ,
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1

Bảng phân phối tần suất
𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

𝑥𝑥𝑘𝑘

𝑛𝑛𝑘𝑘

𝑘𝑘

1

𝑠𝑠 2 =
� 𝑛𝑛𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2
𝑛𝑛 − 1
𝑖𝑖=1

𝑥𝑥3

…

𝑥𝑥𝑘𝑘

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


6

Eureka! Uni - YouTube

𝑝𝑝̂ 𝑖𝑖 =

𝑛𝑛𝑖𝑖
𝑛𝑛

𝑝𝑝̂1

Eureka Uni (facebook.com)

𝑝𝑝̂ 2

𝑝𝑝̂ 3

…

𝑛𝑛𝑖𝑖 : số lần xuất hiện của 𝑥𝑥𝑖𝑖 trong mẫu.
1 = 𝑝𝑝̂1 + 𝑝𝑝̂ 2 + 𝑝𝑝̂ 3 + ⋯ + 𝑝𝑝̂ 𝑘𝑘 .
𝑘𝑘

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

Bảng phân phối tần số dạng 2
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2

𝑛𝑛𝑖𝑖

𝑛𝑛1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3
𝑛𝑛2

𝑘𝑘

𝑛𝑛
𝑠𝑠 2 =
� 𝑝𝑝̂𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2
𝑛𝑛 − 1

𝑥𝑥̅ = � 𝑝𝑝̂ 𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 ,

𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑝𝑝̂ 𝑘𝑘

𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥4

…

𝑛𝑛3

…

𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥4

…

𝑥𝑥𝑘𝑘 − 𝑥𝑥𝑘𝑘+1

Khi tính tốn, chọn giá trị trung bình của khoảng để tính.
𝑥𝑥1∗ =

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2
,
2

𝑥𝑥2∗ =

≤ 𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3

Bảng phân phối tần số dạng 3
𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖

𝑛𝑛1

𝑛𝑛2

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3
𝑥𝑥𝑘𝑘 + 𝑥𝑥𝑘𝑘+1
, … , 𝑥𝑥𝑘𝑘∗ =
2
2

𝑛𝑛3

𝑛𝑛𝑘𝑘

≥ 𝑥𝑥𝑘𝑘

…

𝑛𝑛𝑘𝑘

Chọn khoảng cách của lớp gần nhất làm khoảng cách cho lớp ngồi
cùng.

Ví dụ

𝑥𝑥𝑖𝑖

Quy đổi

≤2

2−3

3−5

1,5

2,5

4

1−2

2−3

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

3−5

≥5

5−7
6

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

𝑛𝑛𝑖𝑖

7

35

60

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

70

Eureka Uni (facebook.com)

40

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

8

Eureka Uni (facebook.com)

EUREKA! UNI – YOUTUBE

XÁC SUẤT THỐNG KÊ
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT MẪU
Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Văn Cao, Ngô Văn Thứ, Trần Thái Ninh. (2016). Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê
toán. NXB ĐH KTQD.
2. Nguyễn Mạnh Thế, Phạm Ngọc Hưng, Bùi Dương Hải. (2020). Giáo trình Lý thuyết xác suất trong
kinh tế và tài chính. NXB ĐH KTQD.

Free Video Playlists
1. ĐẠI SỐ:

/>
3. GIẢI TÍCH:

/>
2. GIẢI TÍCH 1:

/>
4. GIẢI TÍCH 2:

/>
6. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ:

/>
5. TOÁN CAO CẤP NEU:
7. KINH TẾ LƯỢNG:

/> />
8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: />DONATE cho Eureka! Uni
* Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

*Momo: 0986.960.312

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


9

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

6.1. TỔNG THỂ, MẪU VÀ CÁC THAM SỐ
6.2. TÍNH TỐN CÁC THỐNG KÊ MẪU

6.3. BÀI TOÁN SUY DIỄN CHO THỐNG KÊ MẪU

Tổng thể

Mẫu
𝑋𝑋�

𝑚𝑚, 𝜇𝜇

𝑆𝑆 2 , 𝑆𝑆 ∗ 2

𝜎𝜎 2
𝑝𝑝

𝑝𝑝̂

6.3.1. Phân phối xác suất của một số thống kê mẫu quan
trọng
6.3.1.1. Trung bình mẫu
Mẫu ngẫu nhiên 𝑊𝑊 = {𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 } chứa 𝑋𝑋𝑖𝑖 là các biến độc lập và có
cùng phân phối xác suất (IID – Independent & Identically Distributed).

Trường hợp 𝑋𝑋~𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎 2 )

𝑛𝑛

1
𝜎𝜎 2
𝑋𝑋� = � 𝑋𝑋𝑖𝑖 ~𝑁𝑁 �𝜇𝜇, �
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


10

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

𝑋𝑋� − 𝜇𝜇 (𝑋𝑋� − 𝜇𝜇)√𝑛𝑛
⇒ 𝑍𝑍 = 𝜎𝜎 =
~𝑁𝑁(0,1)
𝜎𝜎
√𝑛𝑛

𝐸𝐸 (𝑍𝑍) = 𝐸𝐸 �

1
1
𝑋𝑋� − 𝜇𝜇
�
� − 𝜇𝜇) =
(
=
𝐸𝐸
𝑋𝑋
�
𝜎𝜎
𝜎𝜎 [𝐸𝐸 (𝑋𝑋) − 𝜇𝜇] = 0
𝜎𝜎
√𝑛𝑛
√𝑛𝑛
√𝑛𝑛

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑍𝑍) = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 �

1
1
𝑋𝑋� − 𝜇𝜇
� − 𝜇𝜇) =
(
=
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑋𝑋
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋�) = 1
�
𝜎𝜎
𝜎𝜎 2
𝜎𝜎 2
𝑛𝑛
𝑛𝑛
√𝑛𝑛

Trường hợp 𝑋𝑋 không phân bố chuẩn, 𝐸𝐸 (𝑋𝑋) = 𝑚𝑚, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = 𝜎𝜎 2
Nếu 𝑛𝑛 > 30, theo định lý giới hạn trung tâm:
𝑛𝑛

1
𝜎𝜎 2
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑋𝑋� = � 𝑋𝑋𝑖𝑖 ~ 𝑁𝑁 �𝑚𝑚, �
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1

𝑋𝑋� − 𝑚𝑚

(𝑋𝑋� − 𝑚𝑚)√𝑛𝑛
⇒ 𝑍𝑍 =
=
𝜎𝜎
𝜎𝜎/√𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

~ 𝑁𝑁(0,1)

6.3.1.2. Phương sai mẫu
Mẫu ngẫu nhiên 𝑊𝑊 = {𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 } chứa 𝑋𝑋𝑖𝑖 là các biến IID.
Trường hợp 𝑋𝑋~𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎 2 )
𝑛𝑛

1
𝑆𝑆 2 =
�(𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋�)2 ,
𝑛𝑛 − 1

𝑆𝑆 ∗ 2

𝑖𝑖=1

Liên hệ giữa 𝑁𝑁(0,1) và 𝜒𝜒 2 (𝑛𝑛):

𝑛𝑛

1
= �(𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝜇𝜇)2
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1

𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼

𝑍𝑍1 , 𝑍𝑍2 , … 𝑍𝑍𝑛𝑛 ~ 𝑁𝑁(0,1)

𝜒𝜒 2 = 𝑍𝑍12 + 𝑍𝑍22 + ⋯ + 𝑍𝑍𝑛𝑛2 ~𝜒𝜒 2 (𝑛𝑛)

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


11

Eureka! Uni - YouTube

Áp dụng:

𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼

𝑋𝑋𝑖𝑖 ~ 𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎 2 ) ⇒ 𝑍𝑍𝑖𝑖 =

Eureka Uni (facebook.com)

𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝜇𝜇 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
~ 𝑁𝑁(0,1)

𝜎𝜎

(𝑛𝑛 − 1)𝑆𝑆 2
~𝜒𝜒 2 (𝑛𝑛 − 1),
⇒ 𝜒𝜒 =
2
𝜎𝜎
2

𝑛𝑛𝑆𝑆 ∗ 2
𝜒𝜒 = 2 ~𝜒𝜒 2 (𝑛𝑛)
𝜎𝜎
2

Trường hợp 𝑋𝑋 không phân bố chuẩn, 𝐸𝐸 (𝑋𝑋) = 𝑚𝑚, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = 𝜎𝜎 2
Nếu 𝑛𝑛 > 30, theo định lý giới hạn trung tâm:
2
(
)
𝑛𝑛
−
1
𝑆𝑆
⇒ 𝜒𝜒 2 =
𝜎𝜎 2

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

~ 𝜒𝜒 2 (𝑛𝑛 − 1),

∗2
𝑛𝑛𝑆𝑆
𝜒𝜒 2 = 2
𝜎𝜎

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

~ 𝜒𝜒 2 (𝑛𝑛)

6.3.1.3. Tần suất mẫu
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼

Mẫu ngẫu nhiên 𝑊𝑊 = {𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 } chứa các biến 𝑋𝑋𝑖𝑖 ~ 𝐴𝐴(𝑝𝑝)
Nếu 𝑛𝑛 > 100 (hoặc 𝑛𝑛 > 30 và 𝑝𝑝 không quá gần 0 và 1):
𝑛𝑛

1
𝑝𝑝̂ = � 𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛

⇒ 𝑍𝑍 =

𝑖𝑖=1

𝑝𝑝̂ − 𝑝𝑝

�𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)
𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

~ 𝑁𝑁 �𝑝𝑝,

=

𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)
�
𝑛𝑛

(𝑝𝑝̂ − 𝑝𝑝)√𝑛𝑛

�𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

~ 𝑁𝑁(0,1)

6.3.2. Các khoảng suy diễn với xác suất cho trước
Với mức xác suất (lớn: 90%, 95%, 99%) 1 − 𝛼𝛼 cho trước ⇒ khoảng giá

trị cho các thống kê của mẫu ngẫu nhiên:

𝑃𝑃(𝑔𝑔1 < 𝐺𝐺 < 𝑔𝑔2 ) = 1 − 𝛼𝛼

6.3.2.1. Trung bình mẫu

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook

12

Eureka! Uni - YouTube

𝑍𝑍 =

𝑋𝑋� − 𝜇𝜇
𝜎𝜎/√𝑛𝑛

Biểu thức giá trị tới hạn mức 𝛼𝛼:

Eureka Uni (facebook.com)

~𝑁𝑁(0,1)

𝑃𝑃(𝑍𝑍 > 𝑧𝑧𝛼𝛼 ) = 𝛼𝛼

⇒ 𝑃𝑃(𝑍𝑍 < 𝑧𝑧𝛼𝛼 ) = 1 − 𝛼𝛼

𝑋𝑋� − 𝜇𝜇
𝑃𝑃 �
< 𝑧𝑧𝛼𝛼 � = 1 − 𝛼𝛼
𝜎𝜎/√𝑛𝑛

𝑃𝑃 �𝑋𝑋� < 𝜇𝜇 +

𝜎𝜎

√𝑛𝑛

𝑧𝑧𝛼𝛼 � = 1 − 𝛼𝛼

Khoảng suy diễn tối đa (bên trái) cho 𝑋𝑋� là:
𝜎𝜎
𝑧𝑧𝛼𝛼
𝑋𝑋� < 𝜇𝜇 +
𝑛𝑛
√

Khoảng suy diễn tối thiểu (bên phải) cho 𝑋𝑋� với mức xác suất 1 − 𝛼𝛼 là:
⇒ 𝑃𝑃(𝑍𝑍 > 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ) = 1 − 𝛼𝛼
𝑃𝑃(𝑍𝑍 > −𝑧𝑧𝛼𝛼 ) = 1 − 𝛼𝛼

𝑋𝑋� − 𝜇𝜇
𝑃𝑃 �
> −𝑧𝑧𝛼𝛼 � = 1 − 𝛼𝛼
𝜎𝜎/√𝑛𝑛

𝑃𝑃 �𝑋𝑋� > 𝜇𝜇 −

𝜎𝜎

√𝑛𝑛

𝑋𝑋� > 𝜇𝜇 −

𝑧𝑧𝛼𝛼 � = 1 − 𝛼𝛼
𝜎𝜎

√𝑛𝑛

𝑧𝑧𝛼𝛼

Khoảng suy diễn hai phía (đối xứng) cho 𝑋𝑋� là:
𝜇𝜇 −

𝜎𝜎

√𝑛𝑛

𝑧𝑧𝛼𝛼 < 𝑋𝑋� < 𝜇𝜇 +
2

𝜎𝜎

√𝑛𝑛

𝑧𝑧𝛼𝛼
2

6.3.2.2. Phương sai mẫu
Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


13

Eureka! Uni - YouTube

Đã biết 𝜇𝜇

Eureka Uni (facebook.com)

𝑛𝑛𝑆𝑆 ∗ 2
𝜒𝜒 = 2 ~𝜒𝜒 2 (𝑛𝑛)
𝜎𝜎
2

Chưa biết 𝜇𝜇

2
(
)
𝑛𝑛
−
1
𝑆𝑆
𝜒𝜒 2 =
~ 𝜒𝜒 2 (𝑛𝑛 − 1)
2
𝜎𝜎

Biểu thức giá trị tới hạn mức 𝛼𝛼:

2(𝑛𝑛−1)

𝑃𝑃 �𝜒𝜒 2 > 𝜒𝜒𝛼𝛼

2(𝑛𝑛−1)

⇒ 𝑃𝑃 �𝜒𝜒 2 < 𝜒𝜒𝛼𝛼

� = 𝛼𝛼

� = 1 − 𝛼𝛼

(𝑛𝑛 − 1)𝑆𝑆 2
2(𝑛𝑛−1)
𝑃𝑃 �
<
𝜒𝜒
� = 1 − 𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝜎𝜎 2
𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛−1)
𝑃𝑃 �𝑆𝑆 <
𝜒𝜒
� = 1 − 𝛼𝛼
𝑛𝑛 − 1 𝛼𝛼
2

Khoảng suy diễn tối đa cho 𝑆𝑆 2 với mức xác suất 1 − 𝛼𝛼 là:
𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛−1)
𝑆𝑆 <
𝜒𝜒
𝑛𝑛 − 1 𝛼𝛼
2

𝑆𝑆

∗2

𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛)
<
𝜒𝜒
𝑛𝑛 𝛼𝛼

Khoảng suy diễn tối thiểu cho 𝑆𝑆 2 là:
𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛−1)
𝑆𝑆 >
𝜒𝜒
,
𝑛𝑛 − 1 1−𝛼𝛼
2

Khoảng suy diễn hai phía cho 𝑆𝑆 2 là:

𝑆𝑆

∗2

𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛)
>
𝜒𝜒
𝑛𝑛 1−𝛼𝛼

𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛−1)
𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛−1)

2
𝜒𝜒 𝛼𝛼 < 𝑆𝑆 <
𝜒𝜒𝛼𝛼
𝑛𝑛 − 1 1− 2
𝑛𝑛 − 1 2

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


14

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛)
𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛)
∗2
𝜒𝜒 𝛼𝛼 < 𝑆𝑆 <
𝜒𝜒𝛼𝛼
𝑛𝑛 1− 2
𝑛𝑛 2

6.3.2.3. Tần suất mẫu
𝑍𝑍 =

𝑝𝑝̂ − 𝑝𝑝

�𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)
𝑛𝑛

~𝑁𝑁(0,1)

Biểu thức giá trị tới hạn mức 𝛼𝛼:

𝑃𝑃(𝑍𝑍 > 𝑧𝑧𝛼𝛼 ) = 𝛼𝛼

Khoảng suy diễn tối thiểu cho 𝑋𝑋� với mức xác suất 1 − 𝛼𝛼 là:
𝑝𝑝̂ > 𝑝𝑝 −

Khoảng suy diễn tối đa cho 𝑋𝑋� là:

𝑝𝑝̂ < 𝑝𝑝 +

�𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)
√𝑛𝑛

�𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)

Khoảng suy diễn hai phía cho 𝑋𝑋� là:
𝑝𝑝 −

�𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)
√𝑛𝑛

6.3.3. Bài tập vận dụng

√𝑛𝑛

𝑧𝑧𝛼𝛼 < 𝑝𝑝̂ < 𝑝𝑝 +
2

𝑧𝑧𝛼𝛼
𝑧𝑧𝛼𝛼

�𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)
√𝑛𝑛

𝑧𝑧𝛼𝛼
2

Ví dụ 1. Theo thống kê, thời gian xem TV trong tuần của một học sinh

tiểu học là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 15 giờ và

độ lệch chuẩn bằng 6 giờ. Khảo sát ngẫu nhiên 36 học sinh tiểu học.
a. Với mức xác suất 90%, thời gian xem TV trung bình của nhóm
học sinh này tối thiểu bao nhiêu giờ?
b. Với mức xác suất 95%, thời gian xem TV trung bình của nhóm
học sinh này rơi vào trong khoảng nào?

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


15

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

c. Với mức xác suất 99%, độ phân tán về thời gian xem TV của
nhóm học sinh này là bao nhiêu giờ?

Giải

Gọi 𝑋𝑋 (giờ) là thời gian xem TV trong tuần của một học sinh tiểu học.
𝑋𝑋~𝑁𝑁(𝜇𝜇 = 15, 𝜎𝜎 2 = 62 )

������) là thời gian xem TV trong tuần của học sinh tiểu học thứ 𝑖𝑖
𝑋𝑋𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,36

trong 36 học sinh (giờ).

𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼

𝑋𝑋𝑖𝑖 ~ 𝑁𝑁(𝜇𝜇 = 15, 𝜎𝜎 2 = 62 )

a. Ta có: 1 − 𝛼𝛼 = 0,9 ⇒ 𝛼𝛼 = 0,1
𝜎𝜎
𝑋𝑋� > 𝜇𝜇 −
𝑧𝑧𝛼𝛼
√𝑛𝑛
𝜇𝜇 = 15, 𝜎𝜎 = 6, 𝑛𝑛 = 36, 𝑧𝑧0,1 = 1,282
6
× 1,282 ⇒ 𝑋𝑋� > 13,718
𝑋𝑋� > 15 −

√36
Vậy, với xác suất 90%, thời gian xem TV trung bình của 36 học
sinh tối thiểu là 13,718 (giờ)
b. Ta có: 1 − 𝛼𝛼 = 0,95 ⇒ 𝛼𝛼 = 0,05 ⇒ 𝑧𝑧
𝜎𝜎
𝜎𝜎
𝜇𝜇 −
𝑧𝑧𝛼𝛼 < 𝑋𝑋� < 𝜇𝜇 +
𝑧𝑧𝛼𝛼
2
𝑛𝑛
𝑛𝑛
√
√ 2
𝜇𝜇 = 15, 𝜎𝜎 = 6, 𝑛𝑛 = 36, 𝑧𝑧𝛼𝛼 = 𝑧𝑧0,025 = 1,96

15 −

6

√36

2

× 1,96 < 𝑋𝑋� < 15 +

6

√36

⇒ 13,04 < 𝑋𝑋� < 16,96

× 1,96

Vậy, với xác suất 95%, thời gian xem TV trung bình của 36 học sinh nằm

trong khoảng:

(13,04; 16,96) (giờ)

c. Khoảng tin cậy 2 phía cho phương sai mẫu là:

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

16

Eureka Uni (facebook.com)

𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛)
𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛)
∗2
𝜒𝜒 𝛼𝛼 < 𝑆𝑆 <
𝜒𝜒𝛼𝛼
𝑛𝑛 1− 2
𝑛𝑛 2

2(𝑛𝑛)
𝛼𝛼
1−
2

𝜎𝜎 2 = 62 , 𝑛𝑛 = 36, 1 − 𝛼𝛼 = 0,9 ⇒ 𝛼𝛼 = 0,1 ⇒ 𝜒𝜒
2(𝑛𝑛)

𝜒𝜒𝛼𝛼
2

2(𝑛𝑛)

= 𝜒𝜒0,05 ≈ 54,57

2(36)

= 𝜒𝜒0,95 ≈ 25,7

62
62
∗2
25,7 < 𝑆𝑆 <
54,57 ⇒ 5,07 < 𝑆𝑆 ∗ < 7,39
36
36

Vậy, với xác suất 90%, độ phân tán về thời gian xem TV của 36 học sinh
này nằm trong khoảng:

(5,07; 7,39) (giờ)

𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛−1)
𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛−1)
2
𝜒𝜒 𝛼𝛼 < 𝑆𝑆 <
𝜒𝜒𝛼𝛼
𝑛𝑛 − 1 1− 2
𝑛𝑛 − 1 2
62
62
2
× 25,7 < 𝑆𝑆 <
54,57
35
35

Ví dụ 2
Trọng lượng sản phẩm sản xuất là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với
trung bình là 120gr, độ lệch chuẩn 2,8 gr. Nếu lấy ngẫu nhiên 100 sản

phẩm, với mức xác suất 95% thì:

a) Trọng lượng trung bình của các sản phẩm tối đa bao nhiêu?

b) Phương sai trọng lượng của các sản phẩm tối thiểu bao nhiêu?

c) Tỉ lệ sản phẩm nặng hơn 122,8 gr khoảng bao nhiêu?

d) Nếu lấy ngẫu nhiên 400 sản phẩm, thì trong đó có tối đa bao nhiêu
sản phẩm nhẹ hơn 122,8 gr?

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

17

Eureka Uni (facebook.com)

Giải

a) Khoảng suy diễn tối đa cho giá trị của 𝑋𝑋� là:
𝜎𝜎
𝑋𝑋� < 𝜇𝜇 +
𝑧𝑧𝛼𝛼
𝑛𝑛
√
𝜇𝜇 = 120; 𝜎𝜎 = 2,8; 𝑛𝑛 = 100, 1 − 𝛼𝛼 = 0,95 ⇒ 𝛼𝛼 = 0,05
⇒ 𝑧𝑧0,05 = 1,645
Tự thay số
b) Khoảng suy diễn tối thiểu cho giá trị của phương sai mẫu (điều
chỉnh) là:
𝜎𝜎 2 2(𝑛𝑛−1)
2
𝑆𝑆 >

𝜒𝜒
𝑛𝑛 − 1 1−𝛼𝛼
2(99)
𝜎𝜎 2 = 2,82 ; 𝑛𝑛 = 100, 1 − 𝛼𝛼 = 0,95 ⇒ 𝜒𝜒0,95 tự tra bảng
Tự thay số
c) Xác suất để chọn được một sản phẩm nặng hơn 122,8gr là:
𝑃𝑃(𝑋𝑋 > 122,8) = ⋯
= 𝑝𝑝0 (tự tính 𝑝𝑝0 theo công thức xác suất quy luật Chuẩn)
Khoảng suy diễn cho tỉ lệ mẫu là:
𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)
𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)
𝑝𝑝 − �
𝑧𝑧𝛼𝛼 < 𝑝𝑝̂ < 𝑝𝑝 + �
𝑧𝑧𝛼𝛼
𝑛𝑛
𝑛𝑛
2
2

1 − 𝛼𝛼 = 0,95 ⇒ 𝛼𝛼 = 0,05 ⇒ 𝑧𝑧0,025 = 1,96; 𝑛𝑛 = 100, 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝0
Tự thay số và kết luận
d) Gọi 𝑚𝑚 (nguyên) là số sản phẩm nhẹ hơn 122,8gr trong 400 sản
phẩm.
⇒ Tỉ lệ sản phẩm nặng hơn 122,8gr trong 400 sản phẩm là:
400 − 𝑚𝑚
𝑝𝑝̂ =
400
⇒ Để xác định giá trị tối đa cho 𝑚𝑚, ta dùng khoảng suy đoán tối
thiểu cho 𝑝𝑝̂
𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)

𝑝𝑝̂ > 𝑝𝑝 − �
𝑧𝑧𝛼𝛼
𝑛𝑛

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Kinh tế lượng - Eureka! Uni | Facebook