Giáo án- Chương 7: Lý thuyết mẫu

PHẦN II. THỐNG KÊ
Chương VII. LÝ THUYẾT MẪU

§1. Khái niệm về phương pháp mẫu
1.1. Mẫu và đám đông

+ Tập hợp tất cả các phần tử mà ta cần quan tâm
đến một (hay một vài) dấu hiệu chung về lượng
(hay chất) của các phần tử được gọi là đám đông.
Dấu hiệu này thay đổi qua các phần tử tạo nên đại
lượng ngẫu nhiên X.


+ Các đặc trưng của X là các đặc trưng của đám
đông.
+ Xét về lượng, ta quan tâm đến 2 đặc trưng sau
Trung bình đám đông m= M(X),
Phương sai đám đông s2 = D(X).
+ Xét về chất, ta quan tâm đến tỉ lệ p của các phần
tử có tính chất A nào đó và X = {0; 1}.


+ Tập hợp nhỏ n phần tử được chọn ra từ đám đông
để quan sát gọi là mẫu.

1.2. Phương pháp mẫu
Phương pháp mẫu là chọn ra n phần tử đại diện cho
đám đông, sau khi nghiên cứu n phần tử này bằng
các công cụ thống kê ta rút ra kết luận cho toàn thể
đám đông.
+ Ta chỉ xét các kết quả quan sát độc lập.

1.3. Mẫu tổng quát và mẫu cụ thể
+ Mẫu gồm n phần tử quan sát độc lập (X1,X2,…,Xn)
là mẫu tổng quát (mẫu ngẫu nhiên) với kích thước
mẫu là n.
+ Tiến hành quan sát, ta được các giá trị cụ thể
X j = x j, j = 1, n thì (x1,x2,…,xn) là mẫu cụ thể.


+ Khi xét lý thuyết ta dùng mẫu tổng quát, thực
nghiệm thì ta dùng mẫu cụ thể.

+ Xác suất nghiên cứu đám đông để hiểu về mẫu
còn thống kê thì ngược lại.


1.4. Sắp xếp số liệu thực nghiệm
1.4.1. Sắp xếp theo các giá trị khác nhau
Giả sử mẫu (X1,X2,…,Xn) có k quan sát khác nhau là
X1,X2,…,Xk ( k £ n) và Xi có tần số ni với
n1 + n2 + ... + nk = n.


VD Kiểm tra ngẫu nhiên 50 sinh viên, kết quả
X 2
ni 4

4
6

5
6
20 10

7
5

8
2

9
2

10
1


1.4.1. Sắp xếp dưới dạng khoảng
Nếu mẫu (X1,X2,…,Xn) có nhiều quan sát khác
nhau, khoảng cách giữa các quan sát không đồng
đều hoặc các Xi khác nhau rất ít thì ta sắp xếp
chúng dưới dạng khoảng.


+ Xét khoảng ( xmin, xmax ) chứa toàn bộ quan sát
Xi. Chia ( xmin, xmax ) thành các khoảng bằng nhau
(hay lớp ).
+ Số khoảng tối ưu là 1 + 3,322lgn, độ dài khoảng

xmax - xmin
là h =
.
1 + 3, 322lgn


VD Đo chiều cao của 100 thanh niên, ta có bảng
Lớp (khoảng)

Tần số ni

148 – 152
152 – 156
156 – 160
160 – 164
164 – 168

5
20
35
25
15

Tần suất
0,05
0,2
0,35
0,25
0,15

ni
n


§2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐÁM ĐÔNG
VÀ MẪU
2.1. Các đặc trưng tương ứng (xem bảng tr. 119)

X 1 + ... + X n
Chú ý Tỉ lệ mẫu Fn =
và trung
n
X 1 + ... + X n
bình mẫu X n =
khác nhau ở chỗ
n
trong Fn, các Xn chỉ có phân phối Bernoulli:

ìï 0, nếu phần tử không có tính chất A
ï
Xi = í
ïï 1, nếu phần tử có tính chất A
ïỵ


2.2. Liên hệ giữa đặc trưng của mẫu
và đám đông
Khi cỡ mẫu n khá lớn (cỡ hàng chục trở lên) thì các
đặc trưng mẫu xấp xỉ các đặc trưng tương ứng của
đám đông

2

X n » m, Fn » p, $
S » s2, S2 » s2.

Trong thực nghiệm

2

xn » m, fn » p, $s » s , s » s .
2

2

2


2.3. Kỳ vọng và phương sai các đặc trưng mẫu
2.3.1. Tỉ lệ mẫu Fn

(

)

X 1 + ... + X n
M ( Fn ) = M
= p,
n

(kỳ vọng của tỉ lệ mẫu bằng tỉ lệ đám đông).

(

)

X 1 + ... + X n
pq
D ( Fn ) = D
=
,
n
n
(các Xi có phân phoái Bernoulli).


2.3.2. Trung bình mẫu

M ( X n ) = m= M(X ).
s2
D(X )
D( X n ) =
=
.
n
n

2.3.3. Kỳ vọng của phương sai mẫu

n
1

2
$
M S =
s.
n

( )
2

Mẫu có hiệu chỉnh

M( S ) = s
2

2

(sử dụng khi xét ước lượng không chệch).


§3. PHÂN PHỐI CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU

3.1. Phân phối của tỉ lệ mẫu Fn

pq
Với n khá lớn thì Fn Ỵ N p,
.
n

(

)

3.2. Phân phối của trung bình mẫu
2
ỉ
s ư
2
÷
a/ Với n ³ 30, s đã biết thì X n ẻ N ỗ
m
,
ữ
ỗ
ữ
ố nứ

ổ S ữ
ử
b/ Vụựi n 30, s chửa bieỏt thỡ X n ẻ N ỗ
m, ữ
ỗ
ố n÷
ø
2

2


Với n < 30, ta chỉ xét X và Xi có phân phối chuẩn
2

ỉ
ư
s ÷
2
c/ s đã biết thì X n ẻ N ỗ
m, ữ
.
ỗ
ố nữ
ứ

d/ s chửa bieỏt thỡ ta xét Tn- 1
2

Xn - m
=
S
n

có phân phối Student với n – 1 bậc tự do.


Cho biết a và n ta tính được tan- 1 sao cho

P [ Tn- 1 > t

n- 1
a

P [ Tn- 1 £ t

n- 1
a

]=a

] = 1- a.

VD Cho n = 9, a = 0, 05

P [ T9- 1 > t

9- 1
0,05

] = 0, 05 Þ t

9- 1
0,05

= 2, 306.


3.3. Phân phối của phương sai mẫu
Giả sử đám đông X Ỵ N ( ms
, ) , khi đó
2

n

2
n $2
n- 1 2
1
S = 2 S = 2 å ( Xi - Xn )
2
s
s
s i =1
2
sẽ có phân phối c n- 1.


§4. THỰC HÀNH TÍNH
CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU CỤ THỂ
+ Trong mẫu có m phần tử có tính chất A mà ta

m
quan tâm thì fn = .
n

+ Phương sai mẫu có hiệu chỉnh
n

2
1
n $2
S =
Xi - Xn ) =
S.

(
å
n - 1 i =1
n- 1
2


4.1. Tính xn

x1 + x2 + ... + xn
xn =
.
n

a/ Nếu xj lặp lại nj lần thì

n

1
xn = å x jnj .
n j=1