“Phát triển năng lực mô hình hóa toán học khi dạy học giải bài tập tổ hợp – xác suất cho học sinh lớp 11 trường thpt hoằng hóa 4”

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

SINH VIÊN: ĐINH THỊ HỒI
MSV: 1661010027

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TOÁN HỌC KHI
DẠY HỌC GIẢI ÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHO HỌC SINH
LỚP 11 TRƢỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
CHUN NGÀNH: SƢ PHẠM TỐN HỌC

GVHD:ThS. NGUYỄN THỊ THU

Thanh Hóa, năm 2020

i


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học
khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng
Hóa 4” đã đƣợc hồn thành tại Trƣờng Đại học Hồng Đức. Trong quá trình làm
khóa luận tốt nghiệp em đã nhận đƣợc rất nhiều sự giúp đỡ để hồn tất khóa luận.
Trƣớc tiên, em xin chân thành cảm ơn cô giáo Th.S Nguyễn Thị Thu đã tận tình
hƣớng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho em trong suốt q trình thực hiện
khóa luận tốt nghiệp này.
Xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên, trƣờng Đại học
Hồng Đức, những ngƣời đã truyền đạt kiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian
học tập vừa qua.

Sau cùng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các bạn sinh viên lớp K19
– Đại học Sƣ phạm Tốn đã ln động viên, giúp đỡ em trong q trình làm khóa luận.
Đồng thời xin gửi lời cám ơn đến các thầy, cô và các em học sinh Trƣờng THPT
Hoằng Hóa 4 đã nhiệt tình tham gia thử nghiệm sƣ phạm giúp em hồn thành khóa
luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và năng lực hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi những sai sót,
mong thầy cơ và bạn đọc đóng góp, cho ý kiến để khóa luận đƣợc hồn thiện hơn, góp
phần nâng cao chất lƣợng của đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thanh Hóa, tháng 5 năm 2020
Sinh viên

Đinh Thị Hoài

ii


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ i
MỤC LỤC ............................................................................................................ iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 3
3.1. Nghiên cứu làm rõ những vấn đề lí luận về phát triển năng lực mơ hình hóa
tốn học khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trƣờng
THPT Hoằng Hóa 4............................................................................................... 3
3.2. Điều tra thực trạng dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất lớp 11 trƣờng
THPT Hoằng Hóa 4............................................................................................... 3

3.3. Quy trình tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất nhằm phát triển
năng lực mô hình hóa tốn học cho học sinh lớp 11 trƣờng THPT Hoằng Hóa 4.
............................................................................................................................... 3
3.4. Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của các tình
huống đã đề xuất.................................................................................................... 3
4. Phạm vi và đối tƣợng nghiên cứu ..................................................................... 3
4.1. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 3
4.2. Đối tƣợng nghiên cứu..................................................................................... 3
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................... 3
5.1. Nhóm phƣơng pháp nghiên cứu lí luận. ......................................................... 3
5.2. Nhóm phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn. ..................................................... 3
5.3. Phƣơng pháp xử lí thống kê tốn học kết quả thực nghiệm: Sử dụng phƣơng
pháp thống kê toán học trong nghiên cứu khoa học giáo dục để xử lí số liệu. ..... 3
6. Giả thuyết khoa học........................................................................................... 3
7. Cấu trúc của khóa luận ...................................................................................... 3
NỘI DUNG ........................................................................................................... 5

iii


CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP
TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11, TRƢỜNG THPT HOẰNG
HÓA 4 ................................................................................................................... 5
1.1. Năng lực, năng lực tốn học, năng lực mơ hình hóa tốn học ....................... 5
1.1.1. Năng lực ...................................................................................................... 5
1.1.2. Năng lực tốn học........................................................................................ 6
1.1.3. Năng lực mơ hình hóa tốn học .................................................................. 7
1.1.4. Phát triển năng lực mơ hình hóa toán học cho học sinh ............................. 8
1.2. Nội dung dạy học giải bài tập “Tổ hợp – Xác suất” ...................................... 9

1.2.1. Yêu cầu cần đạt ........................................................................................... 9
1.2.2. Nội dung .................................................................................................... 10
1.2.2.1. Hai quy tắc đếm cơ bản .......................................................................... 11
1.2.2.2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ..................................................................... 11
1.2.2.3. Nhị thức Niu-tơn .................................................................................... 12
1.2.2.4. Biến cố và xác suất của biến cố ............................................................. 12
1.2.2.5. Các quy tắc tính xác suất ........................................................................ 13
1.2.2.6. Biến ngẫu nhiên rời rạc .......................................................................... 14
1.3. Thực trạng ở trƣờng THPT Hoằng Hóa 4 .................................................... 14
1.4. Thực trạng dạy học phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh ở
trƣờng THPT Hoằng Hóa 4 ................................................................................. 15
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 .................................................................................... 16
CHƢƠNG 2. TỔ CHỨC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT CHO
HỌC SINH LỚP 11 TRƢỜNG THPT HOẰNG HÓA 4 NHẰM PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC ...................................................... 17
2.1. Quy trình tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp
11 nhằm phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học ............................................ 17
2.1.1. Giáo viên xác định đƣợc những mục tiêu cần đạt đƣợc khi dạy học giải bài
tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 ......................................................... 17

iv


2.1.2. Giáo viên thiết kế các bài toán thực tiễn của chủ đề “Tổ hợp – Xác suất”
nhằm phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học ................................................. 18
2.1.3. Học sinh thực hiện mơ hình hóa các bài tốn thực tiễn “Tổ hợp – Xác
suất” ở trên .......................................................................................................... 19
2.1.4. Học sinh xây dựng chiến lƣợc giải dựa vào sự định hƣớng của giáo viên 19
2.1.5. Học sinh giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bài toán thực tiễn 20
2.1.6. Giáo viên và học sinh đánh giá bài học .................................................... 20

2.2. Phƣơng pháp chung giải bài toán thực tiễn trong dạy học giải bài tập “Tổ
hợp – Xác suất” lớp 11 ........................................................................................ 20
2.2.1. Phƣơng pháp chung giải bài toán .............................................................. 20
2.2.2. Phƣơng pháp giải bài toán thực tiễn.......................................................... 22
2.3. Hệ thống bài tốn có nội dung thực tiễn trong dạy học giải bài tập Tổ hợp –
Xác suất lớp 11 .................................................................................................... 25
2.3.1. Những bài toán thực tiễn liên quan đến tổ hợp ......................................... 25
2.3.1.1. Những bài toán thực tiễn liên quan đến đếm số phƣơng án................... 25
BÀI TẬP TỰ GIẢI ............................................................................................. 30
2.3.1.2. Những bài toán thực tiễn của tổ hợp liên quan đến thành lập số từ các số
cho trƣớc .............................................................................................................. 34
2.3.1.3. Những bài toán thực tiễn của tổ hợp có liên quan đến yếu tố hình học. 40
2.3.2. Những bài toán thực tiễn liên quan đến xác suất ...................................... 44
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 .................................................................................... 56
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ....................................................... 57
3.1. Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm ............................................................ 57
3.2. Tổ chức và nội dung của thực nghiệm sƣ phạm .......................................... 57
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm................................................................................. 57
3.2.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 57
3.3. Một số giáo án nhằm phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh
khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất lớp 11 trƣờng THPT Hoằng Hóa 4 58
3.3.1. Giáo án số 1 ............................................................................................... 58
3.3.2. Giáo án số 2 ............................................................................................... 61
v


3.3.1. Giáo án số 3 ............................................................................................... 64
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm ....................................................... 68
3.4.1. Đánh giá định tính ..................................................................................... 68
3.4.2. Đánh giá định lƣợng .................................................................................. 70

3.4.2.1

Đề kiểm tra 1 tiết chƣơng 2. Tổ hợp – Xác suất ................................. 70

3.4.2.2. Đáp án và thang điểm ............................................................................. 73
3.4.2.3. Kết quả thử nghiệm ............................................................................... 74
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 .................................................................................... 75
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 77

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, Việt Nam đang hƣớng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại, ngang
tầm với các nƣớc trong khu vực và thế giới và trong đó “học để làm” là một trong bốn
trụ cột của giáo dục. Chƣơng I, điều 8, khoản 2 của Luật Giáo dục năm 2019 nêu rõ
“Chương trình giáo dục phải bảo đảm tính khoa học và thực tiễn; kế thừa, liên thơng
giữa các cấp học, trình độ đào tạo; tạo điều kiện cho phân luồng, chuyển đổi giữa các
trình độ đào tạo, ngành đào tạo và hình thức giáo dục trong hệ thống giáo dục quốc
dân để địa phương và cơ sở giáo dục chủ động triển khai kế hoạch giáo dục phù hợp;
đáp ứng mục tiêu bình đẳng giới, yêu cầu hội nhập quốc tế. Chương trình giáo dục là
cơ sở bảo đảm chất lượng giáo dục toàn diện”. Và trong chƣơng II, mục 1, điều 30,
khoản 1 Luật Giáo dục năm 2019 quy định “Nội dung giáo dục phổ thơng phải bảo
đảm tính phổ thơng, cơ bản, tồn diện, hướng nghiệp và có hệ thống; gắn với thực
tiễn cuộc sống, phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi của học sinh, đáp ứng mục tiêu giáo
dục ở mỗi cấp học”; khoản 3 quy định “Phương pháp giáo dục phổ thơng phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng từng
môn học, lớp học và đặc điểm đối tượng học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học,

hứng thú học tập, kỹ năng hợp tác, khả năng tư duy độc lập; phát triển toàn diện
phẩm chất và năng lực của người học; tăng cường ứng dụng công nghệ thơng tin và
truyền thơng vào q trình giáo dục”. Những quy định trên đã khẳng định giáo dục
Việt Nam đang hƣớng tới mục tiêu đảm bảo học đi đôi với hành, nội dung dạy học gắn
liền với thực tiễn cuộc sống. Giáo dục cần chuyển từ giúp ngƣời học “học được cái gì”
sang học thì phải “làm được cái gì”. Nói cách khác giáo dục phổ thơng bảo đảm phát
triển phẩm chất và năng lực ngƣời học thông qua nội dung giáo dục với những kiến thức,
kĩ năng cơ bản, thiết thực, hiện đại; hài hồ đức, trí, thể, mĩ; chú trọng thực hành, vận
dụng kiến thức, kĩ năng đã học để giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống.
Tốn học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ
năng toán học cơ bản đã giúp con ngƣời giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống
một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển.
Mơn Tốn ở trƣờng phổ thơng góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất
chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ
năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh đƣợc trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực
1


tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tƣởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa
Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa
học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hóa học, Sinh học, Cơng nghệ, Tin học để thực hiện
giáo dục STEM.
Nội dung mơn Tốn thƣờng mang tính logic, trừu tƣợng, khái qt. Do đó, để
hiểu và học đƣợc Tốn, chƣơng trình Tốn ở trƣờng phổ thơng cần đảm bảo sự cân đối
giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể.
Thống kê và Xác suất là một trong ba thành phần bắt buộc của giáo dục toán
học trong nhà trƣờng, góp phần tăng cƣờng tính ứng dụng và giá trị thiết thực của giáo
dục toán học. Thống kê và Xác suất tạo cho học sinh khả năng nhận thức và phân tích
các thơng tin đƣợc thể hiện dƣới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suất của
nhiều sự phụ thuộc trong thực tế, hình thành sự hiểu biết về vai tr của thống kê nhƣ là

một nguồn thông tin quan trọng về mặt xã hội, biết áp dụng tƣ duy thống kê để phân
tích dữ liệu. Từ đó, nâng cao sự hiểu biết và phƣơng pháp nghiên cứu thế giới hiện đại
cho học sinh.
Bởi những tiềm năng to lớn trong việc phát triển năng lực mơ hình hóa cho học
sinh khi dạy học Thống kê và Xác suất, mà Tổ hợp - Xác suất là một bộ phận quan
trọng của nó nên chúng tơi lựa chọn đề tài khóa luận là: Phát triển năng lực mơ hình
hóa tốn học khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11
trƣờng THPT Hoằng Hóa 4.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những vấn đề lý luận và thực tiễn về năng lực mơ hình hố tốn
học của học sinh lớp 11 trƣờng THPT Hoằng Hóa 4 khi dạy học giải bài tập Tổ hợp –
Xác suất từ đó đề xuất quy trình tổ chức dạy học giải và đƣa ra hệ thống bài tập Tổ
hợp – Xác suất nhằm phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức của học sinh, góp
phần đổi mới phƣơng pháp dạy học nâng cao chất lƣợng và hiệu quả dạy học tốn ở
trƣờng THPT Hoằng Hóa 4 hiện nay.

2


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu làm rõ những vấn đề lí luận về phát triển năng lực mơ hình hóa
tốn học khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trường
THPT Hoằng Hóa 4
3.2. Điều tra thực trạng dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất lớp 11 trường THPT
Hoằng Hóa 4
3.3. Quy trình tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất nhằm phát triển năng
lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4.
3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của các tình
huống đã đề xuất.
4. Phạm vi và đối tƣợng nghiên cứu

4.1. Phạm vi nghiên cứu
- Bài tập Tổ hợp - Xác suất
- Lớp 11, Trƣờng THPT Hoằng Hóa 4, huyện Hoằng Hóa, tỉnh Thanh Hóa.
4.2. Đối tượng nghiên cứu.
Quy trình phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học thơng qua dạy học giải bài tập
Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trƣờng THPT Hoằng Hóa 4.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận, phân tích tổng hợp
và hệ thống hóa một số vấn đề lí luận liên quan đến đề tài, khái quát hóa các nhận
định độc lập.
5.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Sử dụng phương pháp điều tra thực
tiễn, khảo sát và thực nghiệm.
5.3. Phương pháp xử lí thống kê tốn học kết quả thực nghiệm: Sử dụng phương
pháp thống kê toán học trong nghiên cứu khoa học giáo dục để xử lí số liệu.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu thiết kế và thực hiện đƣợc quy trình phát triển năng lực mơ hình hóa tốn
học khi dạy học giải bài tập Tổ hợp - Xác suất cho học sinh thì sẽ hình thành và phát
triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy
học mơn Tốn lớp 11 trƣờng THPT Hoằng Hóa 4 theo hƣớng tiếp cận năng lực.
7. Cấu trúc của khóa luận
Ngồi phần mở đầu và phần kết luận, khóa luận đƣợc trình bày theo ba chƣơng:
3


Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát triển năng lực mơ hình hóa
tốn khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trƣờng THPT
Hoằng Hóa 4.
Chƣơng 2. Tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất lớp 11 trƣờng
THPT Hoằng Hóa 4 nhằm phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.

4


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TỔ
HỢP – XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11, TRƢỜNG THPT HOẰNG HÓA 4
1.1. Năng lực, năng lực tốn học, năng lực mơ hình hóa tốn học
1.1.1. Năng lực
Năng lực đƣợc nhiều nhà tâm lý học, nhà triết học, nhà giáo dục học trong và
ngồi nƣớc quan tâm nghiên cứu. Chƣơng trình giáo dục phổ thông ở Việt Nam sau
năm 2015 theo định hƣớng hình thành và phát triển năng lực. Khái niệm này cho đến
ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau.
- Theo quan điểm di truyền học, năng lực phụ thuộc vào yếu tố bẩm sinh của di
truyền và yếu tố môi trƣờng sống của con ngƣời và xem nh yếu tố giáo dục. Các nhà
tâm lí học Mác xit khơng tuyệt đối hố vai tr của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với
năng lực mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập trong việc hình thành năng
lực. Có thể hiểu, năng lực là những đặc trưng tâm lý của cá nhân thích hợp để hồn
thành có kết quả tốt hoạt động nào đó.
- Nhấn mạnh đến tính mục đích của năng lực, Phạm Minh Hạc - Nguyên chủ
tịch Hội khoa học Tâm lý - Giáo dục Việt Nam định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ
hợp các đặc điểm tâm lý của một con người c n gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lý của
một nhân cách , tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết
quả của một hoạt động nào đấy”[8].
- Theo quan điểm của những nhà tâm lý học Năng lực là tổng hợp các đặc điểm,
thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất
định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiểu quả cao.
- Theo Từ điển Bách khoa Việt Nam (năm 2005): Năng lực là đặc điểm của cá
nhân thể hiện mức độ thông thạo, tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc

chắn một hay một số dạng hoạt động nào đó. Năng lực gắn liền với những phẩm chất
về trí nhớ, tính nhạy cảm, trí tuệ, tính cách của cá nhân. Năng lực có thể phát triển trên
cơ sở năng khiếu (đặc điểm sinh lý của con ngƣời, trƣớc hết là của hệ thần kinh trung
ƣơng), song không phải là bẩm sinh, mà là kết quả phát triển của xã hội và của con
ngƣời (đời sống xã hội, sự giáo dục và rèn luyện, hoạt động của cá nhân).

5


- Theo chƣơng trình giáo dục phổ thơng tổng thể của Bộ giáo dục, Năng lực là
thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập,
rèn luyện, cho phép con ngƣời huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc
tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí, ... thực hiện thành cơng một loại hoạt
động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.
Khóa luận định nghĩa năng lực theo định nghĩa Năng lực của chƣơng trình giáo
dục phổ thơng tổng thể của Bộ giáo dục. Theo đó, Chƣơng trình giáo dục phổ thơng
hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:
a) Những năng lực chung đƣợc hình thành, phát triển thơng qua tất cả các môn
học và hoạt động giáo dục: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác,
năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo;
b) Những năng lực đặc thù đƣợc hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số
môn học và hoạt động giáo dục nhất định: năng lực ngơn ngữ, năng lực tính tốn, năng
lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể
chất [9].
1.1.2. Năng lực toán học
Năng lực toán học là một vấn đề mà ở nhiều nƣớc trên thế giới đều có sự quan
tâm đặc biệt cả trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện, trong đó đặc biệt chú ý đến
việc phát hiện và bồi dƣỡng học sinh có năng khiếu về Tốn. Đến nay vẫn chƣa có
đƣợc định nghĩa thống nhất về năng lực Toán. Song từ những nghiên cứu về năng lực
tốn học, có thể thấy:

- Năng lực tốn học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh,
giúp họ nắm vững và vận dụng tƣơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ
năng, kĩ xảo trong mơn Tốn.
- Năng lực Tốn học đƣợc hình thành, phát triển, thể hiện thơng qua (và gắn
liền với) các hoạt động của học sinh nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong
mơn Tốn: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài
tốn, …
- Năng lực Tốn học đƣợc hình thành, phát triển, thể hiện thơng qua (và gắn
liền với) các hoạt động của học sinh nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong
mơn Tốn: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài
tốn, ... [10]
6


Theo chƣơng trình giáo dục phổ thơng tổng thể, Năng lực tính tốn của học sinh
đƣợc thể hiện qua các hoạt động sau đây:
- Nhận thức kiến thức toán học;
- Tƣ duy toán học;
- Vận dụng kiến thức, kĩ năng đã học.
Năng lực tính tốn đƣợc hình thành, phát triển ở nhiều môn học, hoạt động giáo
dục, phù hợp với đặc điểm của mỗi môn học và hoạt động giáo dục. Biểu hiện tập
trung nhất của năng lực tính tốn là năng lực tốn học, đƣợc hình thành và phát triển
chủ yếu ở mơn Tốn.
Mơn Tốn góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học
(biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính tốn) bao gồm các thành phần cốt lõi sau:
năng lực tƣ duy và lập luận tốn học; năng lực mơ hình hố toán học; năng lực giải
quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phƣơng
tiện học tốn.
1.1.3. Năng lực mơ hình hóa tốn học
Trong chƣơng trình sách giáo khoa mơn Tốn của Việt Nam có tƣơng đối ít các

bài tốn về mơ hình hóa, chỉ chiếm khoảng 2% đến 5% số lƣợng các bài tốn, bài tập.
Bài tốn có thể đƣợc xây dựng từ vấn đề thực tiễn hoặc từ các vấn đề thuộc các mơn
học khác nhƣ Sinh học, Hóa học hay Vật lí. Sau đó, các cơng cụ và ngơn ngữ tốn học
đƣợc sử dụng để thiết lập các mơ hình. Đây gọi là q trình tốn học hóa. Bài tốn sau
đó đƣợc giải bằng kiến thức tốn học. Kết quả đƣợc phiên dịch lại để có câu trả lời
trong tình huống thực tế ban đầu. Cuối cùng, sự phù hợp của kết quả phải đƣợc kiểm
tra. Quy trình mơ hình hóa tốn học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây:
- Giai đoạn 1 (Tốn học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả thuyết để
đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các cơng cụ và ngơn ngữ tốn học.
- Giai đoạn 2 (Giải bài tốn): Sử dụng các cơng cụ và phƣơng pháp tốn học
thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài tốn đã đƣợc tốn học hóa.
- Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài tốn đối với tình
huống trong thực tế (bài tốn ban đầu).
- Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của
mơ hình hóa toán học cũng nhƣ lời giải của bài toán, xem lại các cơng cụ và phƣơng
pháp tốn học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mơ hình đã xây dựng.
7


Vậy năng lực mơ hình hóa tốn học là gì? Có nhiều định nghĩa khác nhau về
năng lực mơ hình hóa tốn học và nó gồm có nhiều kĩ năng thành phần. Năng lực mơ
hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện q trình mơ hình hóa nhằm đạt
đƣợc mục tiêu xác định. Nhƣ vậy, có thể hiểu năng lực mơ hình hóa tốn học là khả
năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mơ hình hóa trong dạy học Tốn
nhằm giải quyết vấn đề Tốn học đƣợc đặt ra.
Năng lực mơ hình hoá toán học là một trong năm thành phần cốt lõi của năng
lực tốn học. Năng lực mơ hình hố tốn học thể hiện qua việc:
- Xác định đƣợc mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phƣơng trình, bảng biểu, đồ
thị,...) cho tình huống xuất hiện trong bài tốn thực tiễn.
- Giải quyết đƣợc những vấn đề toán học trong mơ hình đƣợc thiết lập.

- Thể hiện và đánh giá đƣợc lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến đƣợc mơ
hình nếu cách giải quyết khơng phù hợp.
Cụ thể với cấp trung học phổ thơng thì nó là:
- Thiết lập đƣợc mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phƣơng trình, sơ đồ, hình
vẽ, bảng biểu, đồ thị,...) để mơ tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn.
- Giải quyết đƣợc những vấn đề toán học trong mơ hình đƣợc thiết lập.
- Lí giải đƣợc tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu đƣợc từ các tính
tốn là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không). Đặc biệt, nhận biết đƣợc cách
đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết,
tổng quát hoá, ...) để đƣa đến những bài toán giải đƣợc.
Nhƣ vậy, phát triển năng lực mơ hình hóa trong dạy học giúp học sinh sử dụng
các kĩ năng tốn học có hiệu quả hơn và hiểu sâu kiến thức hơn.
1.1.4. Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh
Theo quan điểm của Triết học, Phát triển là phạm trù triết học chỉ ra tính chất
của những biến đổi đang diễn ra trên thế giới. Phát triển là một thuộc tính của vật chất.
Mọi sự vật và hiện tƣợng của hiện thực không tồn tại trong trạng thái khác nhau từ khi
xuất hiện đến lúc tiêu vong,… nguồn gốc của phát triển là sự thống nhất và đấu tranh
giữa các mặt đối lập.
Trong dạy học: “Phát triển” là “rèn luyện” những tri thức cập nhật trên cơ sở
những cái đã có để củng cố, mở mang, phát triển thêm, có giá trị làm tăng hệ thống
những tri thức, kĩ năng, làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao hiệu quả học tập.
8


Định hƣớng đổi mới dạy học trong giai đoạn hiện nay là: “Chuyển mạnh quá
trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm
chất ngƣời học” (Nghị quyết số 29 – NQ/TW, ngày 04/11/2013). Từ quan điểm hoạt
động giáo dục, Nguyễn Bá Kim khẳng định: “Năng lực có thể và chỉ có thể đƣợc hình
thành, phát triển và biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt động của chính ngƣời
học”. Nhƣ vậy, để phát triển một năng lực cụ thể cho ngƣời học, cần tạo ra cho học

sinh những tình huống học tập mà ở đó, học sinh phải thể hiện mức độ thành thạo của
các kĩ năng khi tiến hành các hoạt động đặc thù của năng lực đó.
Trên cơ sở mối quan hệ mật thiết giữa năng lực và hoạt động, có thể xác định
bản chất của việc bồi dƣỡng năng lực toán học cho học sinh là nhằm nâng cao hiệu quả
học tập, hồn thiện một q trình dạy học. Nói một cách khái quát, phát triển năng lực
tốn học cho học sinh là q trình tổ chức, rèn luyện cho học sinh vận dụng kiến thức,
kĩ năng toán học để thực hiện các hoạt động học tập tương thích với thành tố và các
biểu hiện đặc trưng của từng năng lực.
Trên cơ sở của rèn luyện năng lực tốn học và năng lực mơ hình hóa tốn học,
ta có thể khẳng định rằng: “Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học là q trình tổ
chức cho học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng và các phẩm chất cần thiết cho hoạt
động mơ hình hóa tốn học để thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mơ hình
hóa nhằm giải quyết các vấn đề toán học đặt ra.
1.2. Nội dung dạy học giải bài tập “Tổ hợp – Xác suất”
1.2.1. Yêu cầu cần đạt
- Vận dụng đƣợc quy tắc cộng và quy tắc nhân trong một số tình huống đơn
giản (Ví dụ: đếm số khả năng xuất hiện mặt sấp – ngửa khi tung một đồng xu…).
- Vận dụng đƣợc sơ đồ hình cây trong các bài toán đếm đơn giản các đối tƣợng
trong Tốn học, trong các mơn học khác cũng nhƣ trong thực tiễn (Ví dụ: đếm số hợp
tử tạo thành trong Sinh học hoặc đếm số trận đấu trong một giải thể thao…).
- Tính đƣợc số các hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Tính đƣợc số các hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay.
- Nhận biết đƣợc một số khái niệm về xác suất cổ điển: phép thử ngẫu nhiên,
không gian mẫu, biến cố (biến cố là tập con của không gian mẫu), biến cố đối, định
nghĩa cổ điển xác suất, nguyên lý xác suất bé.

9


- Nhận biết đƣợc một số khái niệm về xác suất cổ điển: hợp và giao các biến

cố; biến cố độc lập.
- Mô tả đƣợc không gian mẫu, biến cố trong một số thí nghiệm đơn giản (Ví
dụ: tung đồng xu hai lần, tung đồng xu ba lần, tung xúc xắc hai lần).
- Tính đƣợc xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản bằng phƣơng
pháp tổ hợp (trƣờng hợp xác suất phân bố đều).
- Tính đƣợc xác suất trong một số thí nghiệm lặp bằng cách sử dụng sơ đồ cây
(Ví dụ: tung xúc xắc hai lần, tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần tung
bằng 7)
- Mơ tả đƣợc các tính chất cơ bản của xác suất.
- Tính đƣợc xác suất của biến cố đối.
- Tính đƣợc xác suất của biến cố hợp bằng cách sử dụng cơng thức cộng.
- Tính đƣợc xác suất của biến cố giao bằng cách sử dụng công thức nhân (cho
trƣờng hợp biến cố độc lập).
- Tính đƣợc xác suất của biến cố trong một số bài tốn đơn giản bằng phƣơng
pháp tổ hợp.
- Tính đƣợc xác suất trong một số bài toán đơn giản bằng cách sử dụng sơ đồ cây.
1.2.2. Nội dung
Chƣơng “Tổ hợp – Xác suất” ở sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao
gồm những nội dung sau:
- Quy tắc cộng, nhân.
- Chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp.
- Nhị thức Niu-tơn.
- Phép thử và biến cố.
- Xác xuất của biến cố và các tính chẩ cơ bản của xác suất.
- Biến cố xung khắc, công thức cộng xác suất.
- Biến cố độc lập, công thức nhân xác suất.
- Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc.
Chƣơng “Tổ hợp – Xác suất” ở sách Đại số và giải tích 11 cơ bản gồm những
nội dung sau:
- Quy tắc đếm.

- Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp.
10


- Nhị thức Niu-tơn.
- Phép thử và biến cố.
- Xác suất của biến cố.
1.2.2.1. Hai quy tắc đếm cơ bản
Quy tắc cộng: Giả sử một cơng việc có thể đƣợc thực hiện theo phƣơng án A
hoặc phƣơng án B. Có n cách thực hiện phƣơng án A và m cách thực hiện phƣơng án
B. Khi đó, cơng việc có thể đƣợc thực hiện bởi n + m cách.
Quy tắc nhân: Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm hai cơng đoạn A và B.
Cơng đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì cơng
đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó, cơng việc có thể đƣợc thực hiện bởi n.m cách.
1.2.2.2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
 Hoán vị:
- Định nghĩa: Cho tập hợp A có n  n  1 phần tử. Khi xếp n phần tử này theo một
thứ tự, ta đƣợc một hoán vị các phần tử của tập hợp A (gọi tắt là hoán vị của tập A).
- Định lý: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn  n!  n  n  1 n  2 ...1
 Chỉnh hợp:
- Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k  n . Khi lấy ra k
phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta đƣợc một chỉnh hợp chập k của n
phần tử của tập A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
- Định lý: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử 1  k  n là:

Ank  n  n  1 n  1 ...  n  k  1 .
Chú ý:
- Với 0  k  n thì ta có thể viết công thức của chỉnh hợp dƣới dạng Ank 

n!

.
 n  k !

- Ta quy ƣớc 0! = 1 và An0  1 .
 Tổ hợp:
- Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k  n . Mỗi tập con
của k có n phần tử đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ
hợp chập k của A), ký hiệu Cnk .

11


- Định lý: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử (1  k  n ) là:
Ank n  n  1 n  2  ...  n  k  1
C 

k!
k!
k
n

Chú ý:
- Với 1  k  n ta có thể viết cơng thức tính số tổ hợp dƣới dạng: Cnk 

n!
.
k ! n  k  !

- Ta quy ƣớc Cn0  1 , ta coi  là một tổ hợp chập 0 của một tập hợp có n phần tử.
 Hai tính chất cơ bản của số tổ hợp: Cho các số nguyên dƣơng n và số nguyên k với

1  k  n . Khi đó:

Cnk  Cnnk và Cnk1  C kn Cnk 1
1.2.2.3. Nhị thức Niu-tơn
- Công thức nhị thức Niu-tơn

 a  b

n

 Cn0 a n  Cn1a n1b  ...  Cnk a nk bk  ...  Cnnb
n

  Cnk a n k bk
k 0

(Quy ƣớc a0 = b0 = 1)
Nhận xét: Các số hạng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n+1 số

C0n , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn1 , Cnn .
1.2.2.4. Biến cố và xác suất của biến cố
 Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
- Kết quả của nó khơng đốn trƣớc đƣợc;
- Có thể xác định đƣợc tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của các phép thử.
Phép thử thƣờng đƣợc ký hiệu chữ T.
 Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đƣợc gọi là không gian mẫu
của phép thử và đƣợc ký hiệu bởi chữ  (đọc là ô-mê-ga).
 Biến cố
- Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà xảy ra hay không xảy ra của A tùy
thuộc vào kết quả của T.

- Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, đƣợc gọi là một kết quả thuận lợi cho
A.

12


- Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho A ký hiệu là  A . Khi đó, ngƣời ta nói biến
số A đƣợc mơ tả bởi tập  A .
 Xác suất của biến cố
- Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu  là một
tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan
đến phép thử T và  A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một
số, ký hiệu là P(A), đƣợc xác định bởi công thức:

P  A 

A


- Chú ý: Từ định nghĩa trên suy ra: 0  P  A  1, P    1, P    0
1.2.2.5. Các quy tắc tính xác suất
 Quy tắc cộng xác suất
- Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, ký hiệu là A  B
đƣợc gọi là hợp của hai biến cố A và B.
Tổng quát: Cho k biến cố A1 , A2 ,..., Ak . Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố
A1 , A2 ,..., Ak xảy ra”, ký hiệu là A1  A2  ...  Ak đƣợc gọi hợp của k biến cố đó.

- Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B đƣợc gọi là xung
khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra. Hai biến cố A và B là hai
biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu  A B   .

- Quy tắc cộng xác suất: Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B
xảy ra là P  A  B   P  A  P  B  .
Tổng quát: Cho k biến cố

A1 , A2 ,..., Ak

đôi một xung khắc. Khi đó:

P  A1  A2  ...  Ak   P  A1   P  A2   ...  P  Ak 
- Biến cố đối: Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Khơng xảy ra A”, ký hiệu là A
đƣợc gọi là biến cố đối của A.
Định lý: Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối A là P  A  1  P  A
 Quy tắc nhân xác suất:
- Biến cố giao: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, ký hiệu là
AB, đƣợc gọi là giao của hai biến cố A và B.

13


- Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B đƣợc gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra
hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hƣởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.
- Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

P  AB   P  A P  B 
1.2.2.6. Biến ngẫu nhiên rời rạc
- Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc: Đại lƣợng X đƣợc gọi là một biến ngẫu nhiên
rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu
nhiên, khơng dự đốn trƣớc đƣợc.
- Kì vọng: Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị  x1 , x2 ,..., xn  . Kì vọng
của X ký hiệu là E(X), là một số đƣợc tính theo cơng thức:

E  X   x1 p1  x2 p3  ...  xn pn   xi pi . ở đó pi  P  X  xi  ,  i  1,2,..., n  .
n

i 1

- Phƣơng sai: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị  x1 , x2 ,..., xn  . Phƣơng
sai của X, ký hiệu V(X) là một số công thức:

V  X    x1    p1   x2    p2  ...   xn    pn    xi    pi
2

2

2

n

2

i 1

ở đó, pi  P  X  xi  ,  i  1,2,..., n  và   E  X  .
- Độ lệch chuẩn: Căn bậc hai của phƣơng sai ký hiệu là   X  đƣợc gọi là độ lệch
chuẩn của X, nghĩa là   X   V  X 
1.3. Thực trạng ở trƣờng THPT Hoằng Hóa 4
Trƣờng THPT Hoằng Hóa 4 là một trƣờng thuộc huyện Hoằng Hóa, tỉnh Thanh
Hóa; trƣờng là một trong những trƣờng thuộc Top đầu về chất lƣợng đào tạo của Tỉnh.
Trƣờng tính đến nay đã thành lập đƣợc hơn 30 năm với chất lƣợng đội ngũ GV giảng
dạy luôn đạt kết quả cao. Trƣờng THPT Hoằng Hóa 4 có lƣợng học sinh đa dạng từ 11

xã phƣờng khác nhau trong huyện. Hơn nữa, nhà trƣờng thƣờng xun chăm lo các em
thuộc diện khó khăn, gia đình chính sách, chất độc màu da cam, học sinh nghèo có tinh
thần vƣợt khó trong học tập đƣợc trích từ quỹ chữ thập đỏ, khuyến khích để tặng quà
cho các em học sinh. Bên cạnh đó, nhà trƣờng có đội ngũ giáo viên trẻ năng động,
nhiệt huyết với nghề luôn quan tâm giúp đỡ các em học sinh. Ngày nay, trƣờng đã nỗ
lực phấn đấu cố gắng vƣơn lên nhờ lao động của các thầy cô giáo tâm huyết với nghề,
cán bộ cơng nhân viên nhiệt tình, nhà trƣờng đã đổi mới toàn diện dãy nhà cao tầng,
14


khang trang đƣợc xây dựng, khuôn viên trƣờng sạch sẽ thoáng mát để các em học sinh
học tập thật tốt.
1.4. Thực trạng dạy học phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh ở
trƣờng THPT Hoằng Hóa 4
- Ứng dụng toán học vào thực tiễn đƣợc coi là một vấn đề quan trọng và cần
thiết trong việc dạy học ở trƣờng phổ thông. Tuy nhiên, việc rèn luyện vận dụng toán
học vào thực tiễn cho học sinh hiện nay chƣa đƣợc đặt ra đúng mức, chƣa đáp ứng
đƣợc những yêu cầu cần thiết.
- Trong thực tế dạy học ở trƣờng phổ thông, giáo viên thƣờng chỉ quan tâm,
chú trọng việc hồn thành những kiến thức lí thuyết quy định trong chƣơng trình và
sách giáo khoa, sao nhẵng việc thực hành, đặc biệt là những bài tốn có nội dung thực
tiễn nên học sinh thƣờng lung túng thậm chí c n khơng hồn chỉnh đƣợc những bài
tốn có nội dung thực tiễn.
- Giảng dạy Toán “c n thiên về sách vở, hƣớng việc dạy Toán về việc giải
nhiều loại bài tập hầu hết khơng có nội dung thực tiễn”. Việc dạy học Tốn ở trƣờng
phổ thơng hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nh thực hành và ứng dụng toán học
vào đời sống. Mối liên hệ giữa Toán học và thức tế c n yếu. Theo tơi có thể có những
ngun nhân sau đây:
 Thứ nhất, do ảnh hƣởng trực tiếp của sách giáo khoa và tài liệu tham khảo: Số
lƣợng bài tập mang nội dung thuần túy Toán học cũng nhƣ kiến thức dành cho mỗi tiết

học khá nặng đã khiến cho giáo viên vất vả trong việc hoàn thành kế hoạch giảng dạy,
số lƣợng bài tốn, chất lƣợng và quy mơ bài tốn ứng dụng vào thực tiễn c n rất ít ở
các chủ đề mơn Tốn trong giảng dạy. Hơn nữa khả năng liên hệ kiến thức Toán học
vào thực tiễn của giáo viên c n nhiều khó khăn.
 Thứ hai, do yêu cầu vận dụng Tốn học vào thực tiễn khơng đƣợc đặt ra một
cách thƣờng xuyên cụ thể là trong các đề thi khơng có các bài tốn có nội dung thực
tiễn. Mặt khác, lối dạy phục vụ thi cử chỉ chú ý đến những gì để phục vụ cho học sinh
đi thi nhƣ hiện nay cũng là một nguyên nhân góp phần tạo nên tình trạng này. Ngồi ra
trong chƣơng trình đào tạp ở các trƣờng Đại học và Cao đẳng sƣ phạm tình hình ứng dụng
(trong giáo trình, trong đánh giá, trong thi cử…) cũng xảy ra tƣơng tự. Do vậy, nó ảnh
hƣởng trực tiếp đến tiềm năng dạy các vấn đề ứng dụng Tốn học của thầy cơ giáo.

15


KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
- Trong chƣơng này tôi đã nghiên cứu về năng lực nói chung, năng lực tốn học
nói riêng và cụ thể là năng lực mơ hình hóa toán học. Đồng thời trong chƣơng 1 cũng
nghiên cứu về cơ sở lí luận của dạy học phát triển năng lực mơ hình hóa.
- Ngồi ra trong chƣơng 1 tơi còn hệ thống lại nội dung chƣơng Tổ hợp – Xác
suất ở sách Đại số và giải tích lớp 11 và thực trạng dạy học chƣơng này ở trƣờng
THPT Hoằng Hố 4.
- Qua việc tìm hiểu lí luận và thực tiễn các vấn đề trên sẽ là cơ sở để xây dựng
quy trình tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp - Xác suất ở chƣơng 2.

16


CHƢƠNG 2. TỔ CHỨC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT CHO
HỌC SINH LỚP 11 TRƢỜNG THPT HOẰNG HĨA 4 NHẰM PHÁT TRIỂN

NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
2.1. Quy trình tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11
nhằm phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học

Giáo viên xác định đƣợc những mục tiêu cần đạt đƣợc khi dạy học giải bài
tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11

Giáo viên thiết kế các bài toán thực tiễn của Tổ hợp – Xác suất nhằm phát
triển năng lực mơ hình hóa tốn học.

Học sinh thực hiện mơ hình hóa các bài tốn thực tiễn Tổ hợp – Xác suất ở
trên.

Học sinh xây dựng chiến lƣợc giải dựa vào sự định hƣớng của giáo viên.

Học sinh giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bài toán thực tiễn.

Giáo viên và học sinh đánh giá bài học.
2.1.1. Giáo viên xác định được những mục tiêu cần đạt được khi dạy học giải bài
tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11
Xuất phát từ chƣơng trình tổng thể chƣơng trình giáo dục phổ thơng, chƣơng
trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, giáo viên cần xác định nội dung chính mà học
sinh cần học, thơng qua nội dung này, các năng lực nào đƣợc rèn luyện và phát triển
thuận lợi; từ đó xác định các năng lực và các cấp độ cần đạt.

17


Để phát triển đƣợc năng lực mơ hình hóa tốn học khi giải bài tập Tổ hợp – Xác
suất cho học sinh lớp 11 cần những mục đích sau:

- Thiết lập đƣợc mơ hình hóa tốn học bao gồm: cơng thức, phƣơng trình, sơ
đồ, hình vẽ, … của Tổ hợp – Xác suất để mơ tả tình huống đặt ra trong một số bài toán
thực tiễn.
- Giải quyết đƣợc những vấn đề toán học của Tổ hợp – Xác suất trong mơ hình
đƣợc thiết lập.
- Lí giải đƣợc tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu đƣợc từ các tính
tốn là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) trong Tổ hợp – Xác suất. Đặc
biệt, nhận biết đƣợc cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh các yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ,
bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hóa, …) để đƣa đến những bài toán Tổ hợp – Xác
suất giải đƣợc.
2.1.2. Giáo viên thiết kế các bài toán thực tiễn của chủ đề “Tổ hợp – Xác suất”
nhằm phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học
Trên cơ sở các nội dung cần học và các năng lực cần đạt; giáo viên lựa chọn,
thiết kế các bài toán Tổ hợp – Xác suất thực tiễn tƣơng ứng. Các bài toán Tổ hợp –
Xác suất thực tiễn có thể là những bài tốn đƣợc chế tác ra từ các bài tốn truyền
thống, cũng có thể là những bài toán xuất phát từ những vấn đề thực trong thực tiễn.
Các bài toán này cần đảm bảo yêu cầu gần gũi với học sinh, sát thực với thực tiễn
trong cuộc sống hằng ngày. Để cho bài toán Tổ hợp – Xác suất bám sát với thực tiễn,
giáo viên có thể kèm theo các hình ảnh, bảng biểu, … để minh họa. Điều này làm cho
học sinh thấy thú vị hơn, một mặt vì nó sinh động hơn nhiều các bài tốn truyền thống,
mặt khác các em ln cảm thấy mình đang giải quyết một vấn đề thực trong cuộc
sống. Tuy nhiên, không phải nội dung nào cũng có thể tìm đƣợc hình ảnh để minh họa,
những vấn đề của thực tiễn vì thế mà để tạo ra các bài tốn Tổ hợp – Xác suất thực tiễn
thì nó có thể làm mất nhiều thời gian, cơng sức của các thầy cơ. Các bài tốn thực tiễn
này cần đảm bảo các yêu cầu:
Một là, lời giải tối ƣu của bài toán Tổ hợp – Xác suất phải là nội dung mà các
em cần học.
Hai là, để đi đến kết quả có thể có bằng nhiều cách nhƣng bằng cách nào cũng
cần phải đảm bảo các em phải thực hiện một số hoạt động vừa sức để rèn luyện và
phát triển các năng lực đặt ra.

18


Ngoài những yếu tố ở trên giáo viên cần xác định các phƣơng pháp, phƣơng
tiện và hình thức tổ chức dạy học cho thật phù hợp với yêu cầu của bài toán Tổ hợp –
Xác suất thực tiễn. Chẳng hạn nhƣ một số phƣơng pháp dạy học khám phá, dạy học
giải quyết vấn đề, dạy học thông qua kiểm tra, dạy học thông qua tr chơi, … Một số
phƣơng tiện thiết yếu cần phục vụ: bảng thông minh, máy chiếu, tranh ảnh, dụng cụ
học tập (thƣớc kẻ, compa, kéo, giấy, …), phiếu học tập, phiếu hoạt động nhóm, … Tùy
vào yêu cầu hoạt động của từng bài, giáo viên có thể thiết lập ra các phƣơng tiện cần
có trong mỗi bài dạy. Hình thức tổ chức dạy học cũng có tác động lớn đến hiệu quả
học tập của học sinh. Hiện nay trong nền giáo dục Việt Nam, hình thức lớp bài vẫn là
hình thức dạy học chính thống phổ biến nhất, đã có một số tiết học ngoại khóa nhƣng
mang tính tun truyền hơn là tạo mơi trƣờng học tập thực sự. Tuy nhiên, ta có thể sử
dụng một cách linh hoạt làm đổi mới cách tổ chức sao cho phù hợp: tranh luận, đối
thoại, nhóm, kiểm tra, chơi tr chơi, …
2.1.3. Học sinh thực hiện mơ hình hóa các bài toán thực tiễn “Tổ hợp – Xác suất” ở
trên
Trong trƣờng hợp học sinh chƣa tìm ra đƣợc cách chuyển từ bài toán thực tiễn
về bài toán Tổ hợp – Xác suất thì giáo viên sẽ hƣớng dẫn học sinh chuyển bài toán Tổ
hợp – Xác suất từ thế giới thực sang thế giới toán học bằng cách xác định các vấn đề
về thực tiễn theo các khái niệm toán học và xác định các yếu tố Tổ hợp – Xác suất
tƣơng thích cho bài tốn thực tiễn. Sau đó đặt giả thiết, khái qt hóa, mơ hình hóa
theo ngơn ngữ tốn, chuyển thành các vấn đề của Tổ hợp – Xác suất. Cuối cùng, từ bài
toán thực tiễn các em học sinh đã chuyển về bài toán thuần túy.
2.1.4. Học sinh xây dựng chiến lược giải dựa vào sự định hướng của giáo viên
Việc tổ chức dạy học theo quan điểm này tôi thấy khác với một số bài giảng
truyền thống, nó có thể phá vỡ khơng khí nghiêm trang thƣờng thấy, thay vào đó là các
tiết học sẽ sơi nổi và đơi khi náo nhiệt hơn bình thƣờng. Giáo viên khơng cịn là trung
tâm, khơng truyền thụ kiến thức một chiều. Sau khi đã chuyển bài toán Tổ hợp – Xác

suất thực tiễn về bài toán thuần túy học sinh vận dụng các kiến thức mà mình đã đƣợc
học để giải quyết bài toán Tổ hợp – Xác suất sao cho phù hợp nhất. Một bài toán Tổ
hợp – Xác suất có thể có nhiều hƣớng giải quyết, mỗi một hƣớng giải sẽ phát triển
theo một cách khác nhau. Từ đó dẫn đến việc học sinh sẽ phát triển các khả năng phân
tích vấn đề, giải quyết vấn đề theo nhiều hƣớng khác nhau. Do đó sẽ chọn đƣợc đƣờng
19