Đường Tròn Euler.pdf

CHUYÊN ĐỀ: ĐƯỜNG TRÒN EULER (ĐƯỜNG TRÒN 9 ĐIỂM)
1. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE , CF đồng quy tại H ( D  BC , E  AC ,
F  AB ). Gọi I , J , K , M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , AC , AB, AH , BH , CH .
a) Chứng minh D, E , F , I , J , K , M , N , P cùng nằm trên một đường tròn, từ đó suy ra
KP, NJ , MI đồng quy.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , O ' là tâm đường tròn đi qua 9
điểm D, E , F , I , J , K , M , N , P . Chứng minh O ' là trung điểm của HO , từ đó suy ra
1
O ' M  OA .
2
Hướng dẫn:
A

M
E
J

K
O'

F

O

H
N
B

P
D

I

C

a) Dễ thấy KJPN , MJIN là các hình chữ nhật nên nội tiếp đường trịn đường kính
KP  NJ  MI . Cịn các chân đường cao nhìn các đường kính 1 góc vng  đpcm.
Chi tiết hơn nhưng vẫn cịn thiếu mắm muối:
KJ , NP là đường trung bình ABC , HBC  KJ //NP, KJ  NP  KJPN là hình
bình hành. BC  AD, KJ //BC  KJ  AD ; mà KN //AD (đường trung bình ABH )
 KN  KJ  KJPN là hình chữ nhật nên nội tiếp đường trịn đường kính KP, NJ .
Tương tự có MJIN là hình chữ nhật nên nội tiếp đường trịn đường kính NJ , MI .
 6 điểm K , M , J , P, I , N cùng thuộc đường trịn đường kính KP  NJ  MI .
  NEJ
  PFK
  900  D, E , F thuộc đường trịn đường kính KP  NJ  MI .
MDI

OI
IJ 1
1

  OI  HA  HM
HA AB 2
2
 OIHM là hình bình hành có O ' là trung điểm IM nên O ' là trung điểm của HO ,
1
từ đó suy ra O ' M là đường trung bình HAO  O ' M  OA .
2
b) Dễ thấy OI //HM và OIJ ∽ HAB 

2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi M là trung điểm của BC . Lấy điểm D trên đoạn
thẳng BM sao cho đường thẳng qua D vng góc với BC cắt đoạn thẳng AC tại E . Gọi F
là giao điểm của tia BE và đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM ( E nằm giữa B và F ).
  FAE
.
Chứng minh DAE
3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O ) , có H là trực tâm. Vẽ đường kính AD.
Gọi M là trung điểm của BC ; I , J , K theo thứ tự là hình chiếu của D lên BH , CH và BC.
Chứng minh bốn điểm I , J , K , M cùng nằm trên một đường tròn.
Trang 1