Bài toán đường tròn 9 điểm của Euler

ĐƯỜNG TRÒN Ơ-LE
(ĐƯỜNG TRÒN CHÍN ĐIỂM)
Trong nhà trường phổ thông mỗi học sinh yêu thích môn Toán chắc chắn đều biết các
bài toán nổi tiếng liên quan đến các nhà toán học nổi tiếng là tác giả của các bài toán này. Bài
toán vòng tròn 9 điểm Euler là một bài toán nổi tiếng như vậy. Bài toán vòng tròn Euler được
phát biểu như sau:
Trong một tam giác bất kỳ 9 điểm sau: ba điểm là chân các đường cao, 3 điểm là trung
điểm các cạnh và 3 điểm là trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh của tam giác
sẽ nằm trên một vòng tròn. Vòng tròn này được gọi là vòng tròn Euler. Vì có 9 điểm nên người
at còn gọi là vòng tròn 9 điểm Euler.
Trong hình ảnh dưới đây, các bạn sẽ được quan sát và tương tác trực tiếp với tam giác
ABC và với vòng tròn 9 điểm Euler này. Vòng tròn Euler được thể hiện qua 9 điểm E, D, G, L,
M, H, J, F trên hình vẽ.
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AG, CF, BH cắt nhau tại Q. Gọi L, K, J lần lượt là
trung điểm của CQ, BQ, AQ. Gọi D, E, M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BA, AC.
Khi đó có một đường tròn đi qua 9 điểm: D, E, M, G, F, H, K, J, L được gọi là đường
tròn 9 điểm hay đường tròn Ơle.
Các điểm đặc biệt khi nhìn từ định lý Van Oben
1/ Trọng tâm của tam giác:
Với N, Bm, CE là ba đường trung tuyến của tam giác, áp dụng định lý Van Oben ta có:
Nghĩa là mỗi trung tuyến bị trọng tâm G chia theo tỉ số kể từ đỉnh.
2/ Tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Giả sử tam giác ABC có ba đường phân giác trong là: AA', BB', CC' cắt nhau tại I
tam giác có 3 cạnh với độ dài là a, b, c.
Theo định lý Van Oben thì:
3/ Điểm Gergonne:

Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh của tam
giác (như hình)
Giao điểm của đường thẳng nối các đỉnh với các tiếp điểm đó cắt nhau tại G thì G được gọi là
điểm Gergonne

Ta có bài toán cơ bản: và
Khi đó áp dụng định lý Van Oben ta có:
(p là nửa chu vi của tam giác)
4/ Điểm Nagel:

Gọi A', B', C' lần lượt là các tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, góc B,
góc C với các cạnh BC, CA, AB.
Giao điểm của 3 đường thẳng AA', BB', CC' cắt nhau tại K, K gọi là điểm Nagel
Áp dụng định lý Van Obel ta có: