Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO




BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ
NHIỄU ĐƠN ĐIỆU


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


Chuyên ngành : Toán ứng dụng
Mã số : 60 46 36

Thái Nguyên, năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X
∗
X . A : X → X
∗
ϕ : X → R ∪{+∞}
f ∈ X
∗
x
0
∈ X
A(x
0
) − f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X,
x
∗
, x x
∗
∈ X
∗

x ∈ X
A ϕ
x
τ
α
∈ X
A
h
(x
τ
α
) + αU
s
(x
τ
α
− x
∗
) − f
δ
, x − x
τ
α

+ ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(x
τ

α
) ≥ 0, ∀x ∈ X
(A
h
, f
δ
, ϕ
ε
) (A, f, ϕ) τ = (h, δ, ε)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X
A A
h
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
X
X
∗
X
R
n
n
∅
x := y x y
∀x x
∃x x
inf
x∈X
F (x) {F (x) : x ∈ X}
I

A
T
A
a ∼ b a b
A
∗
A
D(A) A
R(A) A
x
k
→ x {x
k
} x
x
k
 x {x
k
} x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X
∗
X
D ⊂ X x, y ∈ D
λ ∈ [0, 1]
λx + (1 − λ)y ∈ D.
D ⊂ X ϕ : D → R ∪ {±∞}.
ϕ
D ∀x, y ∈ D ∀λ ∈ [0, 1]
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 −λ)ϕ(y);

D ∀x, y ∈ D, x = y ∀λ ∈ (0, 1)
ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 −λ)ϕ(y);
D ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) τ ∈ R, τ > 0
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 −λ)ϕ(y) −
1
2
λ(1 − λ)τx − y
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
⇒ ⇒
ϕ ϕ
domϕ = {x ∈ D : ϕ(x) < +∞}.
ϕ ϕ = ∅ ϕ(x) >
−∞, ∀x ∈ D.
ϕ x
0
∈ domϕ
{x
n
} ⊂ domϕ x
n
→ x
0
ϕ(x
0
) ≤ lim
n→∞
inf ϕ(x
n

).
ϕ x
0
∈ domϕ
{x
n
} ⊂ domϕ x
n
 x
0
ϕ(x
0
) ≤ lim
n→∞
inf ϕ(x
n
).
ϕ X
ϕ x ∈ X.
ϕ : X → R ∪{+∞} ϕ
ϕ X. x
∗
∈ X
∗
ϕ x ∈ X
ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x
∗
, x − y, ∀y ∈ X.
ϕ x ϕ
x, ∂ϕ(x),

∂ϕ(x) = {x
∗
∈ X
∗
: ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x
∗
, x − y, ∀y ∈ X}.
ϕ x ∂ϕ(x) = ∅.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ϕ : X → R. ϕ
x ∈ X
ϕ

(x, y) = lim
λ→0
ϕ(x + λy) −ϕ(x)
λ
.
ϕ

(x, y) = x
∗
, y ϕ
x ∈ X, ϕ

(x, y) ϕ x, ϕ

(x)
ϕ x.
ϕ : X → R

x ∈ X, A : X → X
∗
ϕ(x + y) −ϕ(x) = A(x), y+ w(x, y)
lim
y→0
w(x, y)
y
= 0,
x + y ∈ X. A(x), y
A(x) = ϕ

(x) ϕ x.
ϕ x ∈ X
X
F : X → R ∪ {±∞}
A
F
F (x) ≥ F (x
0
) + A(x
0
), x − x
0
, ∀x, x
0
∈ X.
X
F : X → R ∪ {±∞}
A x
0

∈ X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
0
min
x∈X
F (x);
A(x
0
), x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X;
A(x), x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
X
x + y < 2 x, y ∈ X x = y = 1, x = y.
X
{x
n
} x
n
 x
x
n
 → x x
n
→ x.
A : X → X
∗

A
A(x) − A(y), x −y ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
x = y A(x) − A(y), x −y > 0, ∀x, y ∈ X;
τ > 0
A(x) − A(y), x −y ≥ τx −y
2
, ∀x, y ∈ X.
A R
2
x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
A(x) =


0 1
−1 0




x
1
x
2



= (x
2
− x
1
). A
x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, y = (y
1
, y
2
) ∈ R
2
A(x) =
(x
2
, −x
1
), A(y) = (y
2
, −y
1
) A(x) −A(y) = (x
2
−y
2

, −x
1
+ y
1
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A(x) −A(y), x −y = (x
2
−y
2
)(x
1
−y
1
) + (−x
1
+ y
1
)(x
2
−y
2
) = 0.
A
X D ⊆ X
A : X → X
∗
A
x
0

∈ D x
n
→ x
0
Ax
n
→ Ax
0
;
x
0
∈ D t
n
→ 0 x
0
+ t
n
x ∈ D, 0 ≤ t
n
≤ t(x
0
), ∀x
A(x
0
+ t
n
x)  Ax
0
;
x

0
∈ D x
n
→ x
0
Ax
n
 Ax
0
{x
n
} ⊂ D
x
n
 x
0
Ax
n
→ Ax
0
;
C
A(x) − A(y) ≤ Cx − y, ∀x, y ∈ X;
D D.
A D
D.
A : X → X
∗
A x ∈ X
A


(x) : X → X
∗
A(x + y) −A(x) = A

(x)y + w(x, y), ∀y ∈ X
x + y ∈ X
lim
y→0
w(x, y)
y
= 0.
A

(x)y A

(x)
A x.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X
∗
X A : X → X
∗
ϕ : X → R ∪{+∞}
X
f ∈ X
∗
x
0
∈ X

A(x
0
) − f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
S x
0
x
0
∈ S
S
∗
ϕ X
A : X → X
∗
ϕ : X → R ∪ {+∞}
X (1.1)
x
0
∈ X
f − A(x
0
) ∈ ∂ϕ(x
0
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A(x
0

) − f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X
⇔ ϕ(x
0
) − ϕ(x) ≤ A(x
0
) − f, x − x
0
, ∀x ∈ X
⇔ ϕ(x
0
) − ϕ(x) ≤ x
0
− x, f − A(x
0
), ∀x ∈ X
⇔ f − A(x
0
) ∈ ∂ϕ(x
0
).
A
F
F : X → R ∪ {±∞} ϕ : X → R ∪ {+∞}
F
A
x

0
min
x∈X
{F (x) + ϕ(x)};
A(x
0
), x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X
A(x), x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X
ϕ
x
0
∈ X
f

(x
0
) = 0,
f(x) = F (x) + ϕ(x)
F
1
= F + ϕ.
(i) ⇔ (ii) x

0
F
1
(x
0
) ≤ F
1
(x), ∀x ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x = (1 − λ)x
0
+ λx
1
, ∀x
1
∈ X, λ ∈ (0, 1),
F
1
(x
0
) ≤ F
1

(1 − λ)x
0
+ λx
1

⇔ F (x
0

) + ϕ(x
0
) ≤ F

(1 − λ)x
0
+ λx
1

+ ϕ

(1 − λ)x
0
+ λx
1

.
ϕ
ϕ

(1 − λ)x
0
+ λx
1

≤ (1 − λ)ϕ(x
0
) + λϕ(x
1
),

F (x
0
) + ϕ(x
0
) ≤ F

(1 − λ)x
0
+ λx
1

+ (1 − λ)ϕ(x
0
) + λϕ(x
1
).
λ ∈ (0, 1) λ
1
λ

F

(1 − λ)x
0
+ λx
1

− F (x
0
)


+ ϕ(x
1
) − ϕ(x
0
) ≥ 0.
λ → 0, F A
A(x
0
), x
1
− x
0
 + ϕ(x
1
) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x
1
∈ X.
x
0
(ii) F
A
F (x) ≥ F (x
0
) + A(x
0
), x − x
0

, ∀x ∈ X
⇔F (x) − F (x
0
) − A(x
0
), x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
(ii)
F (x) + ϕ(x) −

F (x
0
) + ϕ(x
0
)

≥ 0, ∀x ∈ X,
F
1
(x) − F
1
(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
x
0
∈ min
x∈X
F

1
(x), x
0
∈ min
x∈X
{F (x) + ϕ(x)}.
(ii) ⇔ (iii) A
A(x) − A(x
0
), x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(ii)
A(x), x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
x = (1 −λ)x
0
+ λx
1
, x
1
∈ X, λ ∈ (0, 1).
A(x), x − x
0
 = A((1 − λ)x
0

+ λx
1
), (1 − λ)x
0
+ λx
1
− x
0

= λA((1 − λ)x
0
+ λx
1
), x
1
− x
0
 ≥ 0.
x
0
(iii)
λA

(1 − λ)x
0
+ λx
1

, x
1

− x
0
 + ϕ((1 − λ)x
0
+ λx
1
) − ϕ(x
0
) ≥ 0.
ϕ
λA

(1 − λ)x
0
+ λx
1

, x
1
− x
0
 + λϕ(x
1
) − λϕ(x
0
) ≥ 0.
λ λ → 0 ii) x
1
x.
ϕ x

0
F A
F

(x
0
) + ϕ

(x
0
) = A(x
0
) = 0.
✷
n
p(σ) σ
i x
i
σ
x
:=

n
i=1
x
i
. ϕ
i
(x
i

) i
x
i
i
f
i
(x) = x
i
p

n

i=1
x
i

− ϕ
i
(x
i
), i = 1, , n.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
i
≥ 0 i = 1, , n
x
i
β
i
∈ (0, +∞]

x
i
≤ β
i
i = 1, , n p


n
i=1
x
i

i
x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
n
) 1, , n
x
∗
i
f
i
i x
∗
j

j = i
j = 1, , n x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
n
) x
∗
i
max
0≤x
i
≤β
i
{x
i
p(x
i
+ σ
∗
i
) − ϕ
i
(x
i
)},
σ

∗
i
=

n
j=1,j=i
x
∗
j
i = 1, , n
p(σ) ϕ
i
X = R
n
+
, A
i
(x) = −p(σ
x
) − x
i
p

(σ
x
), i = 1, , n
K = Π
n
i=1
K

i
, K
i
= {t ∈ R : 0 ≤ t ≤ β
i
}, i = 1, , n.
x
∗
∈ K
A(x
∗
), x − x
∗
 +
n

i=1

ϕ
i
(x
i
) − ϕ
i
(x
∗
i
)

≥ 0, ∀x ∈ K.

β
i
< +∞
i = 1, , n β
i
< +∞ ϕ
i
i = 1, , n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
0
∈ domϕ
lim
x→+∞
A(x), x − x
0
 + ϕ(x)
x
= +∞
(1.1)
(1.1)
A(x) − f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X, x
0
∈ X.
A
A(x)−f, x−x

0
 ≥ A(x
0
)−f, x−x
0
 ≥ ϕ(x
0
)−ϕ(x), ∀x ∈ X, x
0
∈ X.
x = x
t
= tx
0
+ (1 −t)z t ∈ [0, 1] z
X
(1 − t)A(x
t
) − f, z −x
0
 + ϕ(tx
0
+ (1 − t)z) −ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀z ∈ X.
ϕ
(1 − t)A(x
t
) − f, z −x
0

 + tϕ(x
0
) + (1 −t)ϕ(z) −ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀z ∈ X.
A(x
t
) − f, z −x
0
 + ϕ(z) −ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀z ∈ X.
t → 1
✷
S S
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X
X
∗
A : X → X
∗
ϕ : X → R ∪ {+∞}
S (1.1)
S = ∅ S
∗
(1.1)
(i) x
1
, x

2
S, z = tx
1
+ (1 − t)x
2
,
t ∈ [0, 1] z ∈ S.
A(x) − f, x − x
1
 + ϕ(x) − ϕ(x
1
) ≥ 0, ∀x ∈ X
A(x) − f, x − x
2
 + ϕ(x) − ϕ(x
2
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
t 1 −t, t ∈ [0, 1]
A(x) − f, x − z+ ϕ(x) −

tϕ(x
1
) + (1 − t)ϕ(x
2
)

≥ 0, ∀x ∈ X.
ϕ
ϕ(z) ≤ tϕ(x
1

) + (1 − t)ϕ(x
2
).
A(x) − f, x − z+ ϕ(x) −ϕ(z) ≥ 0, ∀x ∈ X,
z ∈ S, S
S {x
n
} ⊂ S x
n
→ x
0
.
A(x
n
) − f, x − x
n
 + ϕ(x) − ϕ(x
n
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
A h X A d ϕ
n → ∞,
A(x
0
) − f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x

0
∈ S, S
(ii) x
0
, y
0
∈ S
∗
x
0
 = min
x∈S
x
y
0
 = min
x∈S
x.
λ ∈ [0, 1], z = λx
0
+ (1 − λ)y
0
z = λx
0
+ (1 − λ)y
0

≤ λx
0
 + (1 − λ)y

0

≤ λ min
x∈S
x + (1 − λ) min
x∈S
x.
≤ min
x∈S
x.
S x
0
, y
0
∈ S
∗
⊂ S ∀λ ∈ [0, 1]
z = λx
0
+ (1 − λ)y
0
 ≥ min
x∈S
x.
z = λx
0
+ (1 − λ)y
0
 = min
x∈S

x.
z ∈ S
∗
S
∗
{x
n
} ⊂ S
∗
⊂ S x
n
→ x
0
, S x
0
∈ S.
x
n
 = min
x∈S
x,
lim
n→∞
x
n
 = x
0
 = min
x∈S
x

x
0
∈ S
∗
, S
∗
S
∗
✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
•
ϕ K X
ϕ(x) =



0 , x ∈ K
+∞ ,
x
0
∈ K
A(x
0
) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
K X
A(x) = f.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x

∗
X
X X
∗
f ∈ X
∗
x
0
∈ X
A(x
0
) − f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X,
A : D(A) ≡ X → X
∗
h
ϕ : D(ϕ) ≡ X → R
X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
0
(A, f, ϕ)
S (A, f, ϕ)
(A
h
, f
δ

, ϕ
ε
) τ = (h, δ, ε)
f
δ
∈ X
∗
: f
δ
− f ≤ δ, δ → 0
A
h
: X → X
∗
h D(A
h
) = D(A) = X
A
h
(x) − A(x) ≤ hg(x), ∀x ∈ X,
g(t) t ≥ 0
ϕ
ε
: X → R X
c
ε
R
ε
ϕ
ε

(x) ≥ −c
ε
x x > R
ε
|ϕ
ε
(x) − ϕ(x)| ≤ εd(x), ∀x ∈ X, ε → 0,
d(t) g(t)
|ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(y)| ≤ C
0
x − y, ∀x, y ∈ X, C
0
> 0.
x
0
∈ X
x
τ
α
∈ X
A
h
(x
τ
α
) + αU

s
(x
τ
α
− x
∗
) − f
δ
, x − x
τ
α
+
+ ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(x
τ
α
) ≥ 0, ∀x ∈ X,
x
∗
∈ X U
s
X X
∗
U
s
(x), x = x
s

, U
s
(x) = x
s−1
, s ≥ 2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α
X
∗
U : X → X
∗
d
X U
(2.4)
x
ε
∈ domϕ
ε
. A
h
A
h
(x
τ
α
) + αU
s
(x
τ
α

− x
∗
), x
τ
α
− x
ε
 + ϕ
ε
(x
τ
α
)
x
τ
α

≥ αx
τ
α
− x
∗

s−1

x
τ
α
− x
∗

 − x
∗
− x
ε


− A
h
(x
ε
)

1 +
x
ε

x
τ
α


− c

,
x
τ
α
 > R
ε
.

A
h
+ αU
s
ϕ
ε
.
α > 0 f
δ
∈ X
∗
x
1
, x
2

A
h
(x
1
) + αU
s
(x
1
− x
∗
) − f
δ
, x − x
1


+ ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(x
1
) ≥ 0, ∀x ∈ X;

A
h
(x
2
) + αU
s
(x
2
− x
∗
) − f
δ
, x − x
2

+ ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(x
2

) ≥ 0, ∀x ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x = x
2
, x = x
1
A
h
(x
1
) −A
h
(x
2
), x
2
−x
1
+ αU
s
(x
1
−x
∗
) −U
s
(x
2
−x
∗

), x
2
−x
1
 ≥ 0.
A
h
U
s
,
x
1
= x
2
.
✷
x
τ
α
. x
0
x
∗
x
0
− x
∗
 = min
x∈S
x − x

∗
, ∀x
∗
∈ X.
x
τ
α
x
∗
X
X
∗
A : D(A) ≡ X → X
∗
ϕ : X → R ∪{+∞}
U
s
U
s
(x) − U
s
(y), x −y ≥ m
s
x − y
s
, m
s
> 0
S (2.1)
lim

α→0
δ + h + ε
α
= 0.
{x
τ
α
} (2.1)
x
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S = ∅ x
0
∈ S x = x
τ
α
x = x
0
A
h
(x
τ
α
) + αU
s
(x
τ
α
− x
∗

) − f
δ
, x
0
− x
τ
α
 + ϕ
ε
(x
0
) − ϕ
ε
(x
τ
α
)
+ A(x
0
) − f, x
τ
α
− x
0
 + ϕ(x
τ
α
) − ϕ(x
0
) ≥ 0.

αU
s
(x
τ
α
− x
0
), x
τ
α
− x
0
 ≤ αU
s
(x
0
− x
∗
), x
0
− x
τ
α

+ A
h
(x
τ
α
) − A

h
(x
0
) + A
h
(x
0
) − A(x
0
), x
0
− x
τ
α

+ f − f
δ
, x
0
− x
τ
α
)
+ ϕ
ε
(x
0
) − ϕ(x
0
) + ϕ(x

τ
α
) − ϕ
ε
(x
τ
α
).
A U
s
m
s
x
τ
α
− x
0

s
≤ U
s
(x
τ
α
− x
∗
) − U
s
(x
0

− x
∗
), x
τ
α
− x
0

≤
hg(x
τ
α
) + δ
α
x
τ
α
− x
0

+ U
s
(x
0
− x
∗
), x
0
− x
τ

α

+
ε
α
[d(x
0
) + d(x
τ
α
)].
{x
τ
α
} α → 0 x
τ
α
 x ∈ X
A
h
A
h
(x) + αU
s
(x − x
∗
) − f
δ
, x − x
τ

α

+ ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(x
τ
α
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
ϕ
ϕ(x) ≤ lim
α→0
inf ϕ(x
τ
α
).
{x
τ
α
} d(t)
ϕ(x
τ
α
) ≤ ϕ
ε
(x
τ
α
) + C

2
ε
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên