Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN VĂN GIANG
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP
VỚI TOÁN TỬ NHIỄU KHÔNG ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
1 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 6
1.1. Một số khái niệm và kết quả của giải tích hàm phi tuyến . . 6
1.1.1. Một số tính chất hình học của không gian . . . . . . 6
1.1.2. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Phiếm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến
phân hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3. Ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . 16
2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử
nhiễu không đơn điệu 21
2.1. Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đơn điệu . . . 21
2.1.1. Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm . . . . 21
2.1.2. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không
đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1. Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ . . . . . . . . . 28
2.2.2. Tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . 33

Kết luận 40
Tài liệu tham khảo 41
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Mở đầu
Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X
∗
là không gian
liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., A : X → X
∗
là toán tử đơn điệu đơn trị và ϕ : X → R ∪ {+∞} là phiếm hàm lồi
chính thường nửa liên tục dưới. Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn
hợp (mixed variational inequality) được phát biểu như sau (xem [3]): với
f ∈ X
∗
, tìm x
0
∈ X sao cho
Ax
0
− f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X, (0.1)
ở đây x
∗
, x kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x
∗
∈ X

∗
tại
x ∈ X.
Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1), khi toán tử A không có tính
chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh và hàm ϕ không lồi mạnh, nói
chung là một bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm
của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đầu vào. Do đó việc giải số
của bài toán này gặp khó khăn, lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện
của bài toán có thể dẫn đến sai số bất kì trong lời giải. Vì thế, người ta
phải sử dụng những phương pháp giải ổn định sao cho khi sai số của dữ
kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của
bài toán ban đầu. Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi
và rất có hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Bằng phương
pháp này O. A. Liskovets [7] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa trên
việc giải bất đẳng thức biến phân: tìm phần tử x
τ
α
∈ X sao cho
A
h
x
τ
α
+ αU
s
(x
τ
α
− x
∗

) − f
δ
, x − x
τ
α

+ ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(x
τ
α
) ≥ 0, ∀x ∈ X,
(0.2)
ở đây (A
h
, f
δ
, ϕ
ε
) là các xấp xỉ của (A, f, ϕ), τ = (h, δ, ε), U
s
là ánh xạ
đối ngẫu tổng quát của X, α là một tham số (gọi là tham số hiệu chỉnh).
Năm 2008 Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy [2] đã đưa ra
cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α và đánh giá tốc độ hội tụ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
của nghiệm hiệu chỉnh x

τ
α
của bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh của
Liskovets (0.2) với toán tử ngược đơn điệu mạnh. Kết quả tương tự trong
trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu được nghiên cứu trong [8]. Nếu toán
tử nhiễu A
h
không đơn điệu thì bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh
(0.2) của Liskovets có thể không có nghiệm. Trong trường hợp này, mở
rộng kết quả với bất đẳng thức biến phân cổ điển của Liskovets, Nguyễn
Thị Thu Thủy [9] đã nghiên cứu bài toán hiệu chỉnh bất đẳng thức biến
phân hỗn hợp (0.1): tìm phần tử x
τ
α
∈ X sao cho
A
h
x
τ
α
+ αU
s
(x
τ
α
− x
∗
) − f
δ
, x − x

τ
α
 + ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(x
τ
α
)
≥ −µg(x
τ
α
)x − x
τ
α
, ∀x ∈ X, µ ≥ h,
(0.3)
ở đây µ là một số dương đủ bé.
Mục đích của luận văn nhằm trình bày kết quả trong [9] của Nguyễn
Thị Thu Thủy về hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán
tử nhiễu không đơn điệu.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
giới thiệu về bất đẳng thức biến phân hỗn hợp trong không gian Banach
phản xạ thực X. Một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến
phân hỗn hợp và bài toán thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp
được trình bày ở phần cuối của chương.
Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức
biến phân hỗn hợp (0.1) với toán tử nhiễu không đơn điệu. Cụ thể là
trình bày định lý tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh (0.3),

sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác của bất
đẳng thức biến phân (0.1), đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh khi toán tử A có tính chất ngược đơn điệu mạnh.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Thu Thủy,
trưởng Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên, người đã hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để tôi hoàn thành luận
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô công tác tại trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Khoa học tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin
thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã truyền thụ kiến thức
cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Tôi cũng xin cảm ơn cơ quan, bạn bè, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ,
động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này.
Người viết luận văn
Nguyễn Văn Giang
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Một số ký hiệu và chữ viết tắt
H không gian Hilbert thực
X không gian Banach thực
X
∗
không gian liên hợp của X
R
n
không gian Euclide n chiều
∅ tập rỗng

x := y x được định nghĩa bằng y
∀x với mọi x
∃x tồn tại x
inf
x∈X
F (x) infimum của tập {F (x) : x ∈ X}
I ánh xạ đơn vị
A
T
ma trận chuyển vị của ma trận A
a ∼ b a tương đương với b
A
∗
toán tử liên hợp của toán tử A
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền giá trị của toán tử A
x
k
→ x dãy {x
k
} hội tụ mạnh tới x
x
k
 x dãy {x
k
} hội tụ yếu tới x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp

1.1. Một số khái niệm và kết quả của giải tích hàm
phi tuyến
Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X
∗
là không gian
liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., kí hiệu x
∗
, x
là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x
∗
∈ X
∗
tại x ∈ X. Các
khái niệm và kết quả trong mục này chúng tôi tham khảo trong các tài
liệu [1], [3], [6] và [10].
1.1.1. Một số tính chất hình học của không gian
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu mặt
cầu đơn vị S = {x ∈ X : x = 1} của X là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ S
kéo theo x + y < 2 (nói cách khác biên của S không chứa bất kì một
đoạn thẳng nào).
Ví dụ 1.1. Không gian L
p
[a, b], 1 < p < ∞, là một không gian lồi chặt.
Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với
mọi ε > 0 tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãn
x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ε thì bất đẳng thức
x + y ≤ 2(1 − δ)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
đúng.

Định nghĩa 1.3. Không gian Banach thực X được gọi là không gian
có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu
X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử

x
n
 x

và sự hội tụ
chuẩn

x
n
 → x

luôn kéo theo sự hội tụ mạnh

x
n
− x → 0

.
Ví dụ 1.2. Không gian Hilbert là không gian có tính chất E-S.
1.1.2. Toán tử đơn điệu
Cho toán tử đơn trị A : X → X
∗
, như thường lệ ta ký hiệu miền
hữu hiệu của A là D(A), miền giá trị của A là R(A) và đồ thị của A là
GraA. Theo định nghĩa ta có:
D(A) = {x ∈ X : Ax = ∅},

R(A) := {y ∈ Y
∗
: y = Ax, x ∈ D(A)},
GraA := {(x, y) : y = Ax, x ∈ X}.
Định nghĩa 1.4. Toán tử A được gọi là
(i) đơn điệu nếu
Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
(ii) đơn điệu ngặt nếu x = y thì
Ax − Ay, x − y > 0, ∀x, y ∈ D(A);
(iii) đơn điệu đều nếu tồn tại hàm không âm δ (t) không giảm với
t ≥ 0, δ(0) = 0 và
Ax − Ay, x − y ≥ δ

x − y), ∀x, y ∈ D(A);
(iv) đơn điệu mạnh nếu ∃τ > 0, (τ = const) thỏa mãn
Ax − Ay, x − y ≥ τx − y
2
, ∀x, y ∈ D(A);
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
(v) ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số m
A
> 0 thỏa mãn
Ax − Ay, x − y ≥ m
A
 Ax − Ay 
2
, ∀x, y ∈ D(A).
Ví dụ 1.3. Cho toán tử A xác định trên R, A(x) = x với mọi x ∈ R.
Khi đó A là toán tử đơn điệu. Thật vậy, vì với mọi x, y ∈ R ta có:

Ax − Ay, x − y = x − y, x − y = (x − y)
2
≥ 0.
Định nghĩa 1.5. Cho X là không gian Banach phản xạ thực, D ⊆ X,
A : X → X
∗
. Toán tử A được gọi là:
(i) hemi-liên tục tại x
0
∈ D nếu A(x
0
+ t
n
x)  Ax
0
khi t
n
→ 0 với
véc tơ x tùy ý sao cho x
0
+ t
n
x ∈ D và 0 ≤ t
n
≤ t(x
0
);
(ii) demi-liên tục tại x
0
∈ D nếu với dãy bất kỳ {x

n
} ⊂ D sao cho
x
n
→ x
0
thì kéo theo Ax
n
 Ax
0
đúng.
Nhận xét 1.1. Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên X thì demi-
liên tục trên X.
Định nghĩa 1.6. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach
X vào không gian Banach Y . Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại
điểm x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o(h),
với mọi h thuộc một lân cận của điểm θ. Nếu tồn tại, thì T được gọi là
đạo hàm Fréchet của A tại x, và ta viết A

(x) = T .
Định nghĩa 1.7. Ánh xạ U
s
: X → 2
X
∗
được gọi là ánh xạ đối ngẫu
tổng quát của X nếu
U
s

(x) = {x
∗
∈ X
∗
: x
∗
, x = x
∗
x, x
∗
 = x
s−1
}, s ≥ 2.
Khi s = 2 thì U
s
thường được là U được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc của X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U được cho trong mệnh
đề sau đây.
Mệnh đề 1.1. (xem [1]) Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó,
1) U(x) là tập lồi, U(λx) = λU(x) với mọi λ ∈ R;
2) U là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X
∗
là không gian lồi chặt.
Nhận xét 1.2.
i) Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là
toán tử đơn vị I trong H.
ii) Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu,

nó tồn tại trong mọi không gian Banach.
Ví dụ 1.4. Với X = L
p
(Ω), 1 < p < ∞ và Ω là một tập đo được của
không gian R
n
thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U có dạng
(Ux)(t) = x
2−p
|x(t)|
p−2
x(t), t ∈ Ω.
Định lý 1.1. (xem [1]) Nếu X
∗
là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X
∗
là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên
tục. Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn
điệu chặt.
Định nghĩa 1.8. Toán tử A : X → X
∗
có tính chất Γ nếu từ sự hội tụ
yếu của dãy x
n
(x
n
 x) và Ax
n
− Ax, x

n
− x → 0 suy ra sự hội tụ
mạnh (x
n
→ x) khi n → ∞.
1.1.3. Phiếm hàm lồi
Cho D ⊂ X là một tập lồi khác rỗng, ϕ : X → R ∪ {+∞}. Miền hữu
hiệu của hàm ϕ được định nghĩa bởi
domϕ := {x ∈ X : ϕ(x) = 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Định nghĩa 1.9. Hàm ϕ được gọi là
(i) lồi trên D nếu với mọi x, y ∈ D và mọi λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
(ii) lồi chặt trên D nếu với mọi x, y ∈ D, x = y và mọi λ ∈ (0, 1) ta
có
ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
(iii) lồi mạnh trên D nếu với mọi x, y ∈ D, và mọi λ ∈ (0, 1) tồn tại
τ ∈ R, τ > 0 sao cho
ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y) −
1
2
λ(1 − λ)τ  x − y 
2
;
(iv) nửa liên tục dưới tại điểm x
0
∈ domϕ nếu với dãy {x
n
} bất kỳ

x
n
∈ domϕ sao cho x
n
→ x
0
thì ϕ(x) ≤ lim
n→∞
inf(ϕ(x
n
));
(v) nửa liên tục dưới yếu tại điểm x
0
∈ domϕ nếu với dãy {x
n
} bất
kỳ x
n
∈ domϕ sao cho x
n
 x
0
thì ϕ(x) ≤ lim
n→∞
inf(ϕ(x
n
)).
Định nghĩa 1.10. Hàm ϕ được gọi là chính thường trên X nếu domϕ =
∅ và ϕ(x) > −∞, ∀x ∈ X.
Mối liên hệ giữa hàm nửa liên tục dưới, nửa liên tục dưới yếu được

cho trong định lý sau đây:
Định lý 1.2. Nếu ϕ là hàm lồi, nửa liên tục dưới trên X thì ϕ là nửa
liên tục dưới yếu trên X.
Định nghĩa 1.11. Cho ϕ là hàm lồi trên X. Phiếm hàm x
∗
∈ X
∗
được
gọi là dưới gradient của hàm ϕ tại x ∈ X nếu
ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x − y, x
∗
, ∀y ∈ X.
Tập tất cả các dưới gradient của ϕ tại x được gọi là dưới vi phân của ϕ
tại x, kí hiệu là ∂ϕ(x), tức là
∂ϕ(x) = {x
∗
∈ X : ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x − y, x
∗
, ∀y ∈ X}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Hàm ϕ được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ϕ(x) = ∅.
Định nghĩa 1.12. Phiếm hàm ϕ được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm
x ∈ X nếu tồn tại x
∗
∈ X
∗
sao cho
lim
λ→+0

ϕ(x + λy) − ϕ(x)
λ
= x
∗
, y, ∀y ∈ X,
x
∗
được gọi là đạo hàm Gâteaux của ϕ tại x, kí hiệu là ϕ

(x).
Chú ý 1.1. Nếu ϕ là phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux tại x ∈ X thì ϕ
khả dưới vi phân tại x và ∂ϕ(x) = {ϕ

(x)}.
Mệnh đề 1.2. (xem [3]) Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} là phiếm hàm khả vi
Gâteaux. ϕ là phiếm hàm lồi khi và chỉ khi đạo hàm Gâteaux ϕ

là toán
tử đơn điệu từ X → X
∗
.
Chứng minh: Theo Chú ý 1.1, nếu ϕ là hàm lồi thì ϕ

(x) và ϕ

(y) là
dưới vi phân của ϕ tại x và y. Do đó:
ϕ

(x), y − x + ϕ(x) ≤ ϕ(y),

ϕ

(y), x − y + ϕ(y) ≤ ϕ(x).
Cộng hai vế với vế của các bất đẳng thức này ta được:
ϕ

(x) − ϕ

(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X,
tức là ϕ

là toán tử đơn điệu từ X vào X
∗
.
Ngược lại, giả sử ϕ là hàm khả vi Gâteaux và đạo hàm ϕ

là toán tử
đơn điệu từ X vào X
∗
. Ta xét hàm φ : [0, 1] → R được định nghĩa bởi:
φ(λ) = ϕ(x + λ(y − x)).
Đặt x + λ(y − x) = x
λ
, suy ra
φ

(λ) = ϕ

(x + λ(y − x), y − x.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
Với mọi 0 ≤ λ

< λ ≤ 1 ta có
φ

(λ) − φ

(λ

) = ϕ

(x
λ
) − ϕ

(x
λ

), y − x
=
1
λ − λ

ϕ

(x
λ
) − ϕ


(x
λ

), x
λ
− x
λ

.
Do ϕ

đơn điệu nên φ

(λ) − φ

(λ

) ≥ 0, suy ra φ

là hàm tăng. Vậy φ là
hàm lồi trên đoạn [0, 1] và
φ(λ) ≤ (1 − λ)φ(0) + λφ(1), ∀λ ∈ [0, 1].
Suy ra
ϕ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y), ∀λ ∈ [0, 1].
Vậy ϕ là hàm lồi.
✷
Tính lồi của hàm khả vi Gâteaux được cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3. (xem [3]) Cho ϕ là một hàm khả vi Gâteaux với đạo hàm
Gâtaeux là A, khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(i) ϕ là hàm lồi;

(ii) ϕ(x) ≥ ϕ(x
0
) + Ax
0
, x − x
0
, ∀x, x
0
∈ X.
1.2. Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều đã
được nhà toán học người Italia là G. Stampacchia và các đồng sự đưa ra
lần đầu tiên vào năm 1960 trong khi nghiên cứu các bài toán biên tự do.
Từ đó các phương pháp bất đẳng thức biến phân vô hạn chiều đã được
sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong các phương trình vật lý toán. Lớp
bài toán này được xuất hiện trong nhiều ứng dụng của toán học, phương
trình phi tuyến, mô hình cân bằng trong kinh tế và kỹ thuật Trong
mục này, chúng tôi phát biểu bài toán, các vấn đề có liên quan và ví dụ
thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
1.2.1. Phát biểu bài toán
Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X
∗
là không gian liên
hợp của X, A : X → X
∗
là một toán tử đơn trị và ϕ : X → R ∪ {+∞}
là một phiếm hàm lồi chính thường. Bài toán bất đẳng thức biến phân
hỗn hợp được phát biểu như sau: với f ∈ X

∗
, hãy tìm x
0
∈ X sao cho
Ax
0
− f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X. (1.1)
Chú ý rằng, nếu thêm giả thiết ϕ có dưới vi phân trên X thì bài toán
(1.1) có thể viết lại dưới một dạng khác được cho trong mệnh đề sau
đây.
Mệnh đề 1.4. (xem [3]) Cho A : X → X
∗
là toán tử đơn trị và ϕ :
X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới
và có dưới vi phân trên X. Khi đó bài toán (1.1) tương đương với bài
toán: tìm x
0
∈ X sao cho
f − Ax
0
∈ ∂ϕ(x
0
).
Chứng minh: Từ (1.1) ta có
Ax
0

− f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X
⇔ ϕ(x
0
) − ϕ(x) ≤ Ax
0
− f, x − x
0
, ∀x ∈ X
⇔ ϕ(x
0
) − ϕ(x) ≤ x
0
− x, f − Ax
0
, ∀x ∈ X
⇔ f − Ax
0
∈ ∂ϕ(x
0
).
✷
Trong trường hợp A là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm lồi
chính thường nửa liên tục dưới F , thì bất đẳng thức biến phân hỗn hợp
(1.1) tương đương với bài toán cực trị lồi không khả vi. Đó là nội dung
của mệnh đề sau (xem [1]).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Mệnh đề 1.5. Cho F và ϕ : X → R ∪ {+∞} là các hàm lồi chính
thường, nửa liên tục dưới, hàm F khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux
là A. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(i) x
0
là nghiệm của bài toán cực trị
min
x∈X
{F (x) + ϕ(x)}; (1.2)
(ii) Ax
0
, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X;
(iii) Ax, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
Nếu giả thiết hàm ϕ cũng khả vi, thì từ Mệnh đề 1.4 ta suy ra ngay
rằng bài toán (1.1) tương đương với bài toán: tìm x
0
∈ X sao cho
f

(x
0

) = θ,
với f(x) = F (x) + ϕ(x).
Chứng minh: Đặt F
1
= F + ϕ.
(i) ⇔ (ii) Thật vậy, nếu x
0
là nghiệm của bài toán cực trị (1.2) thì
F
1
(x
0
) ≤ F
1
(x), ∀x ∈ X.
Chọn x = (1 − λ)x
0
+ λx
1
, ∀x
1
∈ X, λ ∈ (0, 1), khi đó
F
1
(x
0
) ≤ F
1

(1 − λ)x

0
+ λx
1

⇔ F(x
0
) + ϕ(x
0
) ≤ F

(1 − λ)x
0
+ λx
1

+ ϕ

(1 − λ)x
0
+ λx
1

.
Do tính lồi của ϕ nên
ϕ

(1 − λ)x
0
+ λx
1


≤ (1 − λ)ϕ(x
0
) + λϕ(x
1
),
từ đó suy ra
F (x
0
) + ϕ(x
0
) ≤ F

(1 − λ)x
0
+ λx
1

+ (1 − λ)ϕ(x
0
) + λϕ(x
1
).
Vì λ ∈ (0, 1) nên chia cả hai vế bất đẳng thức trên cho λ ta được
1
λ

F

(1 − λ)x

0
+ λx
1

− F(x
0
)

+ ϕ(x
1
) − ϕ(x
0
) ≥ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Cho λ → 0, do F khả vi Gâteaux và đạo hàm Gâteaux là A nên suy ra
Ax
0
, x
1
− x
0
 + ϕ(x
1
) − ϕ(x
0
) ≥ 0.
Giả sử x
0
thỏa mãn (ii). Vì F là hàm lồi, khả vi Gâteaux nên theo Mệnh

đề 1.3 ta có
F (x) ≥ F(x
0
) + A(x
0
), x − x
0
, ∀x ∈ X
⇔F (x) − F (x
0
) − A(x
0
), x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Kết hợp với (ii) ta có:
F (x) + ϕ(x) −

F (x
0
) + ϕ(x
0
)

≥ 0, ∀x ∈ X,
hay
F
1
(x) − F
1

(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
Do đó x
0
∈ min
x∈X
F
1
(x), hay x
0
∈ min
x∈X
{F (x) + ϕ(x)}.
(ii) ⇔ (iii) Thật vậy, từ tính đơn điệu của A ta có:
Ax − Ax
0
, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Cộng bất đẳng thức trên với (ii) ta được
Ax
0
, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
Ngược lại, lấy x = (1 − λ)x
0

+ λx
1
, x
1
∈ X, λ ∈ (0, 1). Ta có
Ax, x − x
0
 = A((1 − λ)x
0
+ λx
1
), (1 − λ)x
0
+ λx
1
− x
0

= λA((1 − λ)x
0
+ λx
1
), x
1
− x
0
 ≥ 0.
Vì x
0
thỏa mãn (iii) nên ta có

λA

(1 − λ)x
0
+ λx
1

, x
1
− x
0
 + ϕ((1 − λ)x
0
+ λx
1
) + ϕ(x
1
) ≥ 0.
Do tính lồi của ϕ nên
λA

(1 − λ)x
0
+ λx
1

, x
1
− x
0

 + λϕ(x
1
) − λϕ(x
0
) ≥ 0.
Chia bất đẳng thức trên cho λ và cho λ → 0 ta thu được ii) với x
1
thay
bởi x.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Theo giả thiết ϕ là phiếm hàm lồi khả vi, x
0
là nghiệm của bài toán
cực trị (1.2), hàm F khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux là A suy ra
F

(x
0
) + ϕ

(x
0
) = Ax
0
= 0.
✷
1.2.2. Một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân
hỗn hợp
1) Nếu ϕ là hàm chỉ của tập lồi đóng K trong X, nghĩa là

ϕ(x) =

0 , nếu x ∈ K
+∞ , trong các trường hợp khác
thì bài toán (1.1) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân cổ
điển: tìm x
0
∈ K sao cho
Ax
0
− f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.3)
2) Khi K là toàn bộ không gian X thì bài toán bất đẳng thức biến phân
(1.3) có dạng phương trình toán tử
Ax = f.
1.2.3. Ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp
Ví dụ 1.5. Bài toán cân bằng mạng giao thông (xem [5]):
Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồng hữu hạn.
Gọi:
• N : tập hợp các nút của mạng.
• A : tập hợp các cạnh (mỗi cạnh được gọi là một đoạn đường).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Giả sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = . Mỗi phần tử của O được
gọi là điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích. Mỗi
điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp
cách cạnh (được gọi là một đường tuyến). Ký hiệu:
• f
i

a
: là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A.
Đặt f là véc tơ có các thành phần là f
i
a
với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp
các phương tiện giao thông).
• c
i
a
: là chi phí khi sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường
A.
Đặt c là véc tơ có các thành phần là c
i
a
với i ∈ I và a ∈ A.
• d
i
w
: là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên tuyến đường
w = (O, D) với 0 ∈ D, D ∈ D.
Giả sử rằng chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c(f)
là một hàm của f.
• λ
i
w
: là mức độ chi phí trên tuyến đường w của phương tiện giao
thông i.
• x
i

w
: là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈
O × D. Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau thỏa mãn:
d
i
w
=

p∈P
w
x
i
p
∀i ∈ I, w ∈ O × D (1.4)
trong đó, P
w
ký hiệu tập hợp các tuyến đường của w = (O, D) (nối
điểm nguồn O và điểm đích D). Theo phương trình (1.4), thì nhu cầu sử
dụng loại phương tiện i trên tuyến w bằng đúng tổng mật độ giao thông
của phương tiện trên mọi tuyến đường nối điểm nguồn và điểm đích của
tuyến đường đó. Khi đó ta có:
f
i
a
=

p∈P
w
x
i

p
δ
ap
∀i ∈ I, w ∈ O × D (1.5)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
trong đó:
δ
ap
=

1 , nếu a ∈ p
0 , nếu a /∈ p
Với mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt
c
i
p
=

a∈A
c
i
a
δ
ap
(1.6)
Như vậy, c
i
p
là một chi phí khi sử dụng phương tiện i trên tuyến đường

p. Đặt d là véc tơ có các thành phần là d
i
w
(i ∈ I, w ∈ O ×D) và đặt f là
véc tơ có các thành phần là d
i
a
(i ∈ I, a ∈ O × D). Một cặp (d
∗
, f
∗
) thỏa
mãn các điều kiện (1.4) và (1.5) được gọi là điểm cân bằng của mạng
giao thông nếu:
c
p
i
(f
∗
)

= λ
i
w
(d
∗
) , khi x
i
p
> 0

> λ
i
w
(d
∗
) , khi x
i
p
= 0
với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường p. Theo định nghĩa này, tại điểm cân
bằng đối với mọi loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi
phí sẽ thấp nhất khi có lưu lượng giao thông trên tuyến đó. Trái lại, chi
phí sẽ không phải thấp nhất.
Đặt K = {(f, d) | ∃x ≥ 0 sao cho (1.4) và (1.5) đúng}. Khi đó ta có
định lý sau.
Định lý 1.3. (xem [5]) Mỗi cặp véc tơ (f
∗
, d
∗
) ∈ K là một điểm cân
bằng của mạng giao thông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bất đẳng thức
biến phân sau: tìm (f
∗
, d
∗
) ∈ K sao cho
(c(f
∗
)), λ(d
∗

)), (f, d) − (f
∗
, d
∗
) ≥ 0 với ∀(f, d) ∈ K.
Ví dụ 1.6. Bài toán kinh tế bán độc quyền (xem [4]):
Giả sử có n công ty cùng sản xuất một sản phẩm và lợi nhuận p
i
của
mỗi công ty i phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của tất cả các công
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
ty σ :=

n
i=1
x
i
. Ký hiệu h
i
(x
i
) là chi phí của công ty i khi sản xuất ra
lượng hàng hóa x
i
.
Giả sử rằng lợi nhuận của công ty i được cho bởi
f
i
(x

1
, , x
n
) = x
i
p
i
(
n

i=‘
x
i
) − h
i
(x
i
), i = 1, , n, (1.7)
trong đó p(

n
j=1
x
j
) là giá của một đơn vị sản phẩm, phụ thuộc vào tổng
sản phẩm, còn hàm chi phí của mỗi công ty i chỉ phụ thuộc vào mức độ
sản xuất của công ty đó.
Đặt U
i
⊂ R, (i = 1, , n) là tập chiến lược của công ty i. Lẽ dĩ nhiên,

mỗi công ty cần xác định cho mình một mức độ sản xuất để đạt được
lợi nhuận cao nhất. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, việc tất cả
các công ty đều có lợi nhuận cực đại là khó có thể được. Vì vậy người ta
dùng đến khái niệm cân bằng.
Một điểm x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
n
) ∈ U := U
1
× × U
n
được gọi là điểm cân
bằng Nash nếu
f
i
(x
∗
1
, , x
∗
i−1
, y
1
, x
∗

i+1
, , x
∗
n
) ≤ f
i
(x
∗
1
, , x
∗
n
), ∀y
i
∈ U
i
, ∀i = 1, , n.
Trong mô hình cân bằng Cournot cổ điển, hàm chi phí và hàm lợi nhuận
của công ty là hàm affine có dạng
p
i
(σ) ≡ p(σ) = α
0
− βσ, α
0
≥ 0, β > 0, với σ =

n
i=1
x

i
,
h
i
(x
i
) = µ
i
x
i
+ ξ
i
, µ
i
≥ 0, ξ
i
≥ 0, i = 1, , n.
Ta đặt:
A =






β 0 0 . . . 0
0 β 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . β







Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
˜
A =






0 β β . . . β
β 0 β . . . β
. . . . . . . . . . . . . . .
β β β . . . 0






và
α
T
= (α
0

, , α
0
), µ
T
= (µ
1
, , µ
n
).
Theo [5], điểm x
∗
là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi x
∗
là nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân: tìm điểm x ∈ U sao cho

˜
Ax + µ − α, y − x + y
T
Ay − x
T
Ax ≥ 0, ∀y ∈ U.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Chương 2
Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến
phân hỗn hợp với toán tử nhiễu
không đơn điệu
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu

không đơn điệu. Chương được chia làm 3 phần. Phần thứ nhất trình bày
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân
hỗn hợp. Phần thứ hai sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng
thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu. Các kết quả
của chương này được tham khảo trong các tài liệu [7], [9].
2.1. Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp
đơn điệu
2.1.1. Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm
Trong chương này ta luôn giả thiết X là không gian Banach phản
xạ thực có tính chất Ephimov-Stechkin, X và X
∗
là các không gian lồi
chặt. Để tiện cho việc trình bày, ta nhắc lại bài toán bất đẳng thức biến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
phân hỗn hợp đã được đề cập ở Chương 1: cho f ∈ X
∗
, hãy tìm phần tử
x
0
∈ X sao cho
Ax
0
− f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X, (2.1)
ở đây A : D(A) ≡ X → X
∗

là một toán tử đơn trị, đơn điệu h-liên tục
và bị chặn, ϕ : D(ϕ) ≡ X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính
thường, nửa liên tục dưới trên X.
Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) được
trình bày trong định lý sau (xem [6]).
Định lý 2.1. Nếu tồn tại phần tử u ∈ dom ϕ thỏa mãn
lim
x→∞
Ax, x − u + ϕ(x)
x
= ∞, (2.2)
thì (2.1) có ít nhất một nghiệm.
Bổ đề 2.1. (xem [1]) Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) tương đương
với
Ax − f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X, x
0
∈ X. (2.3)
Chứng minh: Vì A là toán tử đơn điệu, nên từ (2.1) suy ra
Ax − f, x − x
0
 ≥ Ax
0
− f, x − x
0

≥ ϕ(x

0
) − ϕ(x), ∀x ∈ X, x
0
∈ X.
Từ đây suy ra (2.3) đúng.
Ngược lại, giả sử ta có (2.3). Thay x trong (2.3) bởi x
t
= tx
0
+(1−t)y,
t ∈ [0, 1], y là phần tử bất kỳ của X, ta được
(1 − t)Ax
t
− f, y − x
0
 + ϕ(tx
0
+ (1 − t)y) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀y ∈ X.
Sử dụng tính lồi của hàm ϕ, từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra
(1 − t)Ax
t
− f, y − x
0
 + tϕ(x
0
) + (1 − t)ϕ(y) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀y ∈ X.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Từ đây suy ra,
Ax
t
− f, y − x
0
 + ϕ(y) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀y ∈ X.
Cho t → 1 ta nhận được (2.1).
✷
Giả thiết tập nghiệm S của bất đẳng thức biến phân (2.1) là khác
rỗng. Khi đó ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.2. (xem [1]) Tập nghiệm S của bài toán (2.1) là tập lồi đóng.
Chứng minh: Giả sử x
1
, x
2
là hai phần tử khác nhau của S. Khi đó
theo Bổ đề 2.1, ta có
Ax − f, x − x
1
 + ϕ(x) − ϕ(x
1
) ≥ 0, ∀x ∈ X,
và
Ax − f, x − x
2
 + ϕ(x) − ϕ(x

2
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
Nhân các bất đẳng thức này tương ứng với t và t − 1 rồi cộng chúng với
nhau ta nhận được
Ax − f, x − y + ϕ(x) −

tϕ(x
1
) + (1 − t)ϕ(x
2
)

≥ 0, ∀x ∈ X, (2.4)
ở đây, y = tx
1
+ (1 − t)x
2
. Vì ϕ là hàm lồi nên
ϕ(y) ≤ tϕ(x
1
) + (1 − t)ϕ(x
2
).
Kết hợp với (2.4) ta suy ra
Ax − f, x − y + ϕ(x) − ϕ(y) ≥ 0, ∀x ∈ X.
Do đó, y ∈ S và tính lồi của tập S được chứng minh.
Bây giờ ta chỉ ra S là tập đóng. Thật vậy, giả sử x
n
∈ S và x
n

→ x
0
.
Khi đó,
Ax
n
− f, x − x
n
 + ϕ(x) − ϕ(x
n
) ≥ 0, ∀x ∈ X. (2.5)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
Vì A là toán tử đơn điệu, h-liên tục trên X nên A là toán tử d-liên tục.
Kết hợp với ϕ là phiếm hàm nửa liên tục dưới, cho n → ∞ trong (2.5)
ta nhận được (2.1), tức là x
0
∈ S.
✷
2.1.2. Phương pháp hiệu chỉnh
Bài toán (2.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa
nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (A, f, ϕ).
Cho R
∗
= (0, δ
∗
] × (0, h
∗
] × (0, ε
∗

] với δ
∗
, h
∗
, ε
∗
là các hằng số dương.
Giả sử các dữ kiện (A, f, ϕ) của (2.1) được cho xấp xỉ bởi (A
h
, f
δ
, ϕ
ε
)
với các giá trị của các đại lượng τ = (h, δ, ε) ∈ R
∗
cho trước thỏa mãn
các điều kiện sau:
(1) f
δ
∈ X
∗
: f
δ
− f ≤ δ, δ → 0;
(2) A
h
: X → X
∗
là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, D(A

h
) = D(A) =
X và
A
h
(x) − A(x) ≤ hg(x), ∀x ∈ X, (2.6)
ở đây g(t) là một hàm không âm và bị chặn với t ≥ 0;
(3) ϕ
ε
: X → R là hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên X và
tồn tại các hằng số dương c
ε
và r
ε
thỏa mãn
ϕ
ε
(x) ≥ −c
ε
x với x > r
ε
và
|ϕ
ε
(x) − ϕ(x)| ≤ εd(x), ∀x ∈ X, ε → 0, (2.7)
ở đây d(t) có tính chất giống như g(t).
Theo các giá trị gần đúng được cho, ta đòi hỏi sự ổn định khi xấp xỉ
nghiệm x
0
∈ S của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1). Để hiệu chỉnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên