chuyên đề khảo sát hàm số 2009

LÝ THUYẾT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN GIẢI TÍCH
Kiến thức bổ sung

Cách xét dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai
( ) ( )
0
2
≠++=
acbxaxxf
( )



<
≤∆
⇔∈∀≤
0
0
0
a
Rxxf
( )



>
≤∆
⇔∈∀≥
0

0
0
a
Rxxf
Nếu chưa có điều kiện
0
≠
a
thì phải xét trường hợp
0
=
a

Nhắc lại công thức so sánh nghiệm

Cho phương trình bậc hai:
( ) ( )
00
2
≠=++=
acbxaxxf
có hai nghiệm
21
xx
<
và hai số
βα
<
. Ta có:
•

( )
0.
21
<⇔<<
αα
faxx
•
( )







<−
>
>∆
⇔<<
0
2
0.
0
21
α
αα
S
faxx
•
( )








>−
>
>∆
⇔<<
0
2
0.
0
21
α
αα
S
faxx
•
( )
( )



<
>
⇔<<<
0.

0.
21
β
α
βα
fa
fa
xx
•
( )
( )



>
<
⇔<<<
0.
0.
21
β
α
βα
fa
fa
xx
•
( )
( )




<
<
⇔<<<
0.
0.
21
β
α
βα
fa
fa
xx
•
( )
( )









<<
>
>
>∆

⇔<<<
βα
β
α
βα
2
0.
0.
0
21
S
fa
fa
xx
 KHẢO SÁT HÀM SỐ
Một số dạng toán ứng dụng đạo hàm
Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số
( )
xfy
=
I. Định nghĩa
Cho hàm số
( )
xfy
=
xác định trên
( )
ba,
1.
f

tăng trên
( )
ba,
nếu với mọi
( )
baxx ,,
21
∈
mà
21
xx
<
thì
( ) ( )
21
xfxf
<
.
2.
f
giảm trên
( )
ba,
nếu với mọi
( )
baxx ,,
21
∈
mà
21

xx
<
thì
( ) ( )
21
xfxf
>
.
3.
( )
bax ,
0
∈
được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó
( )
xf
′
không nh hay
bằng 0.
II. Định lý:
1. Định lý Lagrăng: Nếu hàm số
( )
xfy
=
liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
và có đạo hàm
trên khoảng
( )

ba,
thì tồn tại một điểm
( )
bac ,
∈
sao cho
( ) ( ) ( )( )
abcfafbf
−
′
=−
hay
( )
( ) ( )
ab
afbf
cf
−
−
=
′
2. Cho hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng
( )
ba,
.
• Nếu
( )
0

>
′
xf

( )
bax ,
∈∀
thì hàm số
( )
xfy
=
đồng biến trên
( )
ba,
.
• Nếu f’(x)<0
( )
bax ,
∈∀
thì hàm số
( )
xfy
=
nghịch biến trên
( )
ba,
.
( Nếu
( )
0

=
′
xf
tại một số hữu hạn điểm trên khoảng
( )
ba,
thì định lý vẫn còn đúng ).
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
B
1
: Tìm tập xác định
B
2
: Tính
( )
xf
′
, cho
( )
0
=
′
xf
giải tìm
x
B
3
: Vẽ bảng biến thiên suy ra tính đơn điệu của hàm số
• Nếu
( )

0
>
′
xf
hàm số đồng biến
• Nếu
( )
0
<
′
xf
hàm số đồng biến
• Nếu
( )
0
=
′
xf
hàm số không đổi dấu trên TXĐ
Dạng 2: Định m để hàm số đơn điệu trên tập xác định
B
1
: Tính
( )
xf
′
B
2
: Sử dụng điều kiện để hàm số đơn điệu của dạng 1
B

3
: Giải tìm m.
Dạng 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng
( )
βα
;
Phương pháp giải tương tự dạng 2.
Chủ đề 2. Cực trị của hàm số
( )
xfy
=
1.Định nghĩa: Cho hàm số
( )
xfy
=
xác định trên
( )
ba,
và điểm
( )
bax ,
0
∈
.
•
0
x
đgl điểm cực đại
( ) ( )
Dbaxba

⊂⊃∃⇔
;:;
0
và
( ) ( ) ( ) { }
00
\;, xbaxxfxf
∈∀<
•
0
x
đgl điểm cực tiểu
( ) ( )
Dbaxba
⊂⊃∃⇔
;:;
0
và
( ) ( ) ( ) { }
00
\;, xbaxxfxf
∈∀>
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số
( )
xfy
=
liên tục
( )
ba,

có đạo hàm tại
( )
bax ,
0
∈
và đạt
cực trị tại điểm đó thì
( )
0
0
=
′
xf
.
Định lí 1:
Giả sử hàm số
( )
xfy
=
liên tục trên khoảng
( )
ba,
chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên các
khoảng
( )
0
, xa

và
( )
bx ,
0
. Khi đó:
a. Nếu
( )
0
0
<
′
xf

( )
0
, xax
∈∀
và
( )
0
>
′
xf

( )
bxx ,
0
∈∀
thì hàm số
f

đạt cực tiểu
tại điểm
0
x
.
b. Nếu
( )
0
0
>
′
xf

( )
0
, xax
∈∀
và
( )
0
<
′
xf

( )
bxx ,
0
∈∀
thì hàm số
f

đạt cực đại tại
điểm
0
x
.
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi
x
đi qua
0
x
, đạo hàm đổi dấu thì điểm
0
x
là điểm cực
trị ( dương sang âm là cực đại, âm sang dương là cực tiểu ).
Định lí 2. Giả sử hàm số
( )
xfy
=
có đạo hàm cấp một trên khoảng
( )
ba,
chứa
điểm
0
x
,
( )
0
0

=
′
xf
và
f
có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm
0
x
.
1. Nếu
( )
0
0
>
′′
xf
thì
0
x
là điểm cực tiểu.
2. Nếu
( )
0
0
<
′′
xf
thì
0
x

là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1.
( )
0
0
=
′
xf
,
( )
0
0
>
′′
xf
⇒
0
x
là điểm cực tiểu.
2.
( )
0
0
=
′
xf
,
( )
0

0
<
′′
xf
⇒
0
x
là điểm cực đại.
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
( )
xfy
=
Áp dụng 1 trong 2 quy tắc sau:
Quy tắc 1:
B
1
: Tìm
( )
xf
′
B
2
: Cho
( )
0
=
′
xf
giải tìm các
i

x
B
3
: Xét dấu
( )
xf
′
. Nếu
( )
xf
′
đổi dấu khi
x
qua điểm
i
x
thì hàm số đạt cực trị tại
i
x
.
Quy tắc 2:
B
1
: Tìm
( )
xf
′
B
2
: Cho

( )
0
=
′
xf
giải tìm các
i
x
B
3
: Tìm
( )
xf
′′
và tính các
( )
i
xf
′′
• Nếu
( )
0
<
′′
i
xf
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
i
x
• Nếu

( )
0
>
′′
i
xf
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
i
x
Dạng 2: Bài toán có tham số m
Tùy vào giả thiết đề bài mà có hướng giải
Chú ý: Nếu hàm số
( )
xfy
=
đạt cực trị tại
ax
=
thì ta có
( )
0
=
′
af
Chủ đề 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
( )
xfy
=
Cho hàm số
( )

xfy
=
xác định trên
RD
⊂
• Nếu tồn tại
Dx
∈
0
sao cho
( ) ( )
Dxxfxf
∈∀≤
0
thì số
( )
0
xfM
=
đgl giá trị lớn
nhất của hàm số
f
trên
D
, kí hiệu
( )
xfM
Dx
∈
=

max
• Nếu tồn tại
Dx
∈
0
sao cho
( ) ( )
Dxxfxf
∈∀≥
0
thì số
( )
0
xfm
=
đgl giá trị lớn
nhất của hàm số
f
trên
D
, kí hiệu
( )
xfm
Dx
∈
=
min
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
( )
xfy

=
trên đoạn
[ ]
ba;
B
1
: Tìm
( )
xf
′
B
2
: Cho
( )
0
=
′
xf
giải tìm các
[ ]
bax
i
;
∈
B
3
: Tính các giá trị
( )
i
xf

,
( ) ( )
bfaf ,
B
4
: So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của
f
trên đoạn
[ ]
ba;
, số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của
f
trên đoạn
[ ]
ba;
.
Chủ đề 4. Tiệm cận
1. Tiệm cận đứng:
Nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình
0
xx
=
là tiệm cận đứng

của đồ thị (C).
2. Tiệm cận ngang:
Nếu
0
lim ( )
x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình
0
xy
=
là tiệm cân ngang
của đồ thị (C).
3. Tiệm cận xiên:
Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞
− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =
hoặc

lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4. Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= −
.
Khảo sát hàm số
1. Hàm số bậc 3
( )
0
23
≠+++=
adcxbxaxy
 Yêu cầu khảo sát:
 TXĐ
 Sự biến thiên:
•
y
x

−∞→
lim
;
y
x
+∞→
lim
• Bảng biến thiên
 Tính
y
′
, cho
0=
′
y
giải tìm các giá trị
i
x
( giá trị cực trị )
 Vẽ bảng biến thiên
 Tính
y
′′
, cho
0
=
′′
y
giải tìm
x

và suy ra điểm uốn, cho điểm đặc biệt và vẽ đồ thị
2. Hàm số trùng phương
( )
0
24
≠++=
acbxaxy
 Yêu cầu khảo sát: tương tự như hàm số bậc 3
Chú ý: nếu phương trình
0
=
′′
y
có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì đồ thị (C )
3. Hàm số
( )
0,0
≠−≠
+
+
=
bcadc
dcx
bax
y
 Yêu cầu khảo sát:
 TXĐ
 Sự biến thiên:
•
c

a
yy
xx
==
+∞→−∞→
limlim
suy ra đường thẳng
c
a
y
=
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
•
y
c
d
x
−
−→
lim
và
y
c
d
x
+
−→
lim
suy ra đường thẳng
c

d
x
−=
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm
số
• Bảng biến thiên
 Tính
y
′

 Nếu
Dxy
∈∀<
′
0
thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
 Nếu
Dxy
∈∀>
′
0
thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
 Cho vài điểm đặc biệt và vẽ đồ thị
4. Hàm số
( )
0,0
2
≠
′
≠

′
+
′
++=
′
+
′
++
=
aa
bxa
r
qpx
bxa
cbxax
y
 Yêu cầu khảo sát:
 TXĐ
 Sự biến thiên:
•
yy
xx
+∞→−∞→
lim;lim
•
y
a
b
x
−

′
′
−→
lim
và
y
a
b
x
+
′
′
−→
lim
suy ra đường thẳng
a
b
x
′
′
−=
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm
số đã cho.
•
( )
[ ]
( )
[ ]
0limlim
=+−=+−

−∞→+∞→
qpxyqpxy
xx
suy ra đường thẳng
qpxy
+=
là tiệm cận
xiên của đồ thị hàm số đã cho
• Bảng biến thiên
 Tính
y
′