Một vài ứng dụng mô hình biến ngẫu nhiên phức hợp trong các nghiên cứu thủy lợi - PGS.TS. Nguyễn Văn Bảo

Một vài ứng dụng mô hình biến ngẫu nhiên phức hợp trong các
nghiên cứu Thủy lợi

PGS.TS. Nguyễn Hữu Bảo
Phó Trưởng khoa CNTT - Trưởng Bộ môn Toán học

1. Đặt vấn đề
Khái niệm về các biến ngẫu nhiên phức hợp được đà đưa ra trong [1] từ năm 1989 và
từ đó tới nay hàng loạt các kết quả của tác giả nghiên cứu biến ngẫu nhiên phức hợp đÃ
được công bố. Định nghĩa về biến ngẫu nhiên phức hợp là biến ngẫu nhiên sao cho nó
được phân tích thành một tổng một số ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên k, k = 1, 2 ... N víi
N cịng lµ 1 biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm và độc lập với mọi k.
N

v

(1)

k 1

Đây là một mô hình xuất hiện nhiều trong nghiên cứu của "lý thuyết trò chơi", "lý
thuyết phục vụ đám đông", ... và chắc chắn có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu kinh tế, kỹ
thuật, đặc biệt là nghiên cứu Thủy lợi.
Ví dụ trong lĩnh vực nghiên cứu thủy văn, việc tính toán tổ hợp lưu lượng lũ trong
một lưu vực sông cố định phải là dựa trên tổng các lưu lượng của các nhánh sông, lượng
mưa trong cùng thời điểm, lượng xả của đập, lượng nhập khu giữa, v.v.... mà số các thành
phần tham gia cũng ngẫu nhiên.
Ví dụ trong nghiên cứu kỹ thuật tài nguyên nước, lượng nước tưới (hoặc tiêu) trong
canh tác cây trồng tại 1 lưu vực cố định không thể chỉ gồm tổng hữu hạn các nhu cầu mà số
nhu cầu này cũng phải coi là ngẫu nhiên (ví nhu cầu tưới cho các giống cây trồng được thay
đổi không cố định cho 1 loại cây trồng nào, lượng nước xả từ đập thủy điện được coi là

ngẫu nhiên khi phụ thuộc lượng mưa cũng ngẫu nhiên cùng thời điểm v.v...
Trong nghiên cứu kinh tế tài nguyên nước, ví dụ rõ rệt nhất là tính toán tổng nhu cầu
tiêu thụ nước sạch cho sinh hoạt (để tính toán chi phí nước sạch tại 1 thời điểm và tại 1 địa
bàn dân cư là tổng một số ngẫu nhiên các thành phần tiêu thụ nước tại thời điểm đó.
Và còn nhiều ví dụ khác trong hàng loạt lĩnh vực nghiên cứu thủy lợi khác. Rất tiếc là
cho tới nay, các ứng dụng thống kê vẫn chỉ dừng ở việc nghiên cứu các phân phối đơn lẻ
như Chuẩn, Mũ, Poisson, Piecson 3 v.v... liƯu cã thĨ më réng c¸c kết quả về ước lượng và
kiểm định giả thiết cho các phân phối của biến ngẫu nhiên phức hợp được hay kh«ng ?


2. Bài toán ước lượng tham số cho biến ngẫu nhiên phức hợp
Câu trả lời là hoàn toàn có thể được khi nghiên cứu ước lượng các kỳ vọng và phương
sai của xác định ở biểu thức (1) nếu đà biết dạng hàm phân phối của các k và của N.
Sau đây là 1 ví dụ cụ thể.
Bài toán: Xét 1, 2... N độc lập có cùng phân phối mũ với tham số . Xét N là biến ngẫu
nhiên có phân phối Poisson với tham số . Khi đó (xem [2]) hàm đặc trưng của có dạng.

(t )  e

(

1
1)
1it

(2)

Vµ  cã kú väng E() = ; phương sai D() = 22
Chúng ta hÃy xây dựng 1 ước lượng cho E() và D() dựa trên các quan sát trên
không gian mẫu của .

áp dụng phương pháp moment ta thu được hệ phương trình.
Z . và S n2 2. 2 (3)

Trong đó Z là trung bình mẫu trên không gian mẫu của còn S2 là phương sai mẫu
trên không gian mẫu của .
Từ đây ta có thể giải ra được các ước lượng và cần tìm



S2

2( Z ) 2
;
S 2
2Z

(4)

Từ đó ta có ước lượng cho kỳ vọng và phương sai cần tìm
3. Bài toán kiểm định giả thiết cho biến ngẫu nhiên phức hợp
Bài toán: Giả sử biết (Z1, Z2.... Zn) là một mẫu ngẫu nhiên trên không gian giá trị của
biến phức hợp . HÃy kiểm định.
* Giả thiết H: có phân phối phức hợp Poisson - Mũ.
* Đối thiết K: không có phân phối phức hợp Poisson - Mũ.
Ta có thể tiến hành tương tự tiêu chuẩn kiểm định Chi - Square. Khó khăn nhất là tính
xác suất P {a b}. Ta cã thÓ tÝnh nh­ sau:
P{a    b} 

l
2

1

e  ita  e  itb  (1it 1)
dt
 it .e


(Vì hàm đặc trưng của trên miền giả thiết có dạng ở biểu thức (2))
Mặt khác:


e  ita  e  itb cos ta  cos b  i sin tb  i sin ta

it
it



cos ta  cos b i sin tb  i sin ta

it
it

Chó ý lµ:
e

(



1
)
1it

2 2

 e 1 t .(cos

t
t
 i sin
)
2 2
1 t
1 2t 2

Nên ta có thể tìm ®­ỵc:






2e P{a    b}   e

1 2t 2



t
sin tb  sin ta
t 
 cos ta  cos tb
sin

. sin
dt
2 2

t
1 t
t
1   2t 2 

Tõ ®ã tính được:


P{a b}

1
e





e

1 2t 2

0

t

t
t 

sin(tb  1   2t 2 )  sin(ta 1 2t 2 dt

(5)

Tích phân này hoàn toàn tính được nhờ các phần mềm MATLAB hoặc MAPLE
Ví dụ áp dụng: Giả sử có 100 quan sát cđa biÕn ngÉu nhiªn  trong 1 thÝ nghiƯm
nghiªn cøu Thủy văn cho bởi bảng sau:
Zi
(m3/s)
mi

Zi
(m3/s)
mi

35 - 65

65 - 95

95 - 125

125 - 155

155 - 185

185 - 215

9

10

11

10

10

8

215 - 245

245 - 275

275 - 305

305 - 335

335 - 365

365 - 395

> 395

6

7

6

6

6

5

5

Ta tìm được Z = 203,37 và S2 = 11708,09 và từ đó các ước lượng cho = 29,076
và = 7.006
Kiểm định giả thiết:
- H: có phân phối phức hợp Poisson - Mũ
- K: có phân phối phức hợp Poisson - Mũ
Tiến hành tính Pi = P {xi-1 <  < xi} theo c«ng thøc (5) víi viƯc thay thÕ  bëi ˆ vµ 
bëi ˆ .
Ta tính được chỉ tiêu kiểm định:


13

2  
i 1

ni  nf i ) 2
 11,84
nPi

Vµ tra bảng phân phối 2 để tìm giá trị tới h¹n nÕu møc ý nghÜa  = 0,05, víi 13 - 2 1 bậc tự do tìm được giá tự tới hạn là 18,31. Vì vậy chấp nhận giả thiết là biến ngẫu nhiên
Poisson - Mũ (với mức ý nghĩa = 0,05).

Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Hữu Bảo, "ổn định đặc trưng các phân phối xác suất", Luận án Tiến sỹ
Toán học - Đại học Tổng hợp - 1989.
2. Phạm Văn Chững, "ổn định đặc trưng một số biến ngẫu nhiên phức hợ". Luận án
Tiến sỹ Toán học - Trung tâm NCKHCN Bộ quốc phòng, Người hướng dẫn chính: PGS.TS.
Nguyễn Hữu Bảo, 8/2009.

Some Applycations of the Model of the Composed Random
Variables in Water Ressourses reseachs
Assc. Prof. Nguyen Huu Bao, Department of Mathematic
Let us consider
N

   v
k 1

Where 1, 2... are i.i.d. random variables and N is nonegative integer valued random
variable which is independent of all k. The random variable  is called the Composed
Random Variable.
This paper consider some applycations of the Model of the Composed Random (such
as the Estimations of the parematers or the Test of the hypothesis of the Composed Random variable's Distribution functions) in Water resouces reseachs.