Cđ4 bài toán về điều kiện chia hết

CHUYÊN ĐỀ 4: BÀI TOÁN VỀ ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT
A. Kiến thức cơ bản
- Dấu hiệu chia hết cho 2: Những số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2
Những số chia hết cho 2 thì có tận cùng bằng 0; 2; 4 hoặc 8.
- Dấu hiệu chia hết cho 5:
Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5
Những số chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0 hoặc 5
- Dấu hiệu chia hết cho 3:
Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3
Những số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3
- Dấu hiệu chia hết cho 9:
Những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9
Những số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9
- Dấu hiệu chia hết cho 4:
Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4
Những số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hãy viết tất cả các số có ba chữ số khác nhau từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9 thỏa mãn
điều kiện:
a) Chia hết cho 2
b) Chia hết cho 4
c) Chia hết cho 2 và 5
Giải:
a) Các số chia hết cho 2 lập được từ bốn chữ số đã cho phải có tận cùng bằng 0 hoặc 4. Mặt
khác, mỗi số đều có các chữ số khác nhau nên các số viết được là:
540; 940; 450; 950; 490; 590; 504; 904; 954; 594
b) Tương tự câu a, ta có các số có ba chữ số chia hết cho 4 viết được là:
540; 504; 940; 904
c) Số chia hết cho 2 và 5 phải tận cùng bằng 0. Vậy các số cần tìm là:
540; 940; 450; 950; 490; 590
Ví dụ 2: Thay x, y bởi chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên A  1996xy chia hết cho 2;

5 và 9
Giải:
A chia hết cho 5, vậy phải bằng 0 hoặc 5
Mặt khác, A chia hết cho 2 nên
Thay vào ta được
Vì A chia hết cho 9 nên: chia hết cho 9. Suy ra
Vậy và
Ví dụ 3: Tổng kết năm học, một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi.
Ban giám hiệu dự định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn một học sinh tiên tiến 2 quyển
vở. Cơ văn phịng nhẩm tính phải mua 2006 quyển thì vừa đủ phát thưởng. Hỏi cơ văn phịng


tính đúng hay sai? Vì sao?
Giải:
Nhận thấy:
Số học sinh tiên tiến và số học sinh giỏi đều là những số chia hết cho 3, vì vậy số vở thưởng
cho mỗi loại học sinh phải là số chia hết cho 3.
Do đó, tổng số vở phát thưởng cũng là một số chia hết cho 3, mà số 2006 không chia hết cho 3.
Vậy cơ văn phịng đã tính sai.
Ví dụ 4: Thay x, y bởi những chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên N  x459y mà khi
chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
Giải:
N chia cho 5 dư 1 nên y bằng 1 hoặc 6
Mặt khác, N chia cho 2 dư 1 nên . Thay vào ta được
N chia cho 9 dư a nên chia cho 9 dư 1.
Suy ra bằng 0 hoặc 9. Mà không thể bằng 0 nên
Vậy
Ví dụ 5: Hãy viết thêm vào bên trái và bên phải số 35 mỗi bên một chữ số để nhận được số
chẵn lớn nhất có bốn chữ số khác nhau mà khi chia cho 3 dư 2, cho 5 dư 3
Giải:

Gọi chữ số viết thêm vào bên trái là a, bên phải là b. Số cần tìm có dạng
Vì chia cho 5 dư 3 nên b bằng 3 hoặc 8. Mặt khác, n là số chẵn nên . Thay vào ta được
Vì chia cho 3 dư 2 nên chia cho 3 dư 2. Suy ra a bằng 1; 4 hoặc 7.
Số lớn nhất cần tìm là 7358
Ví dụ 6: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại
quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là: 104; 115; 132; 136; 148 quả. Sau khi bán được 1 rổ cam,
người bán hàng thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi lúc đầu cửa hàng đó có bao
nhiêu quả mỗi loại?
Giải:
Tổng số cam và chanh của cửa hàng đó là:
(quả)
Số chanh cịn lại gấp 4 lần số cam nên tổng số quả còn lại phải chia hết cho 5. Suy ra số cam
đã bán phải chia hết cho 5. Trong số 5 rổ cam và chanh của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là
chia hết cho 5. Vậy cửa hàng đó đã bán rổ đựng 115 quả cam.
Số cam còn lại bằng số quả chưa bán. Do đó, số cam cịn lại là:
(quả)
Suy ra rổ đựng 104 quả là rổ cam còn lại và 3 rổ đựng 132; 136 và 148 quả là các rổ chanh.
Số cam lúc đầu của cửa hàng đó là:
(quả)
Số chanh lúc đầu là:
(quả)
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Hãy tìm số tự nhiên bé nhất có bảy chữ số khác nhau chia hết cho 5


Bài 2. Hãy viết thêm vào bên phải và bên trái số 1996 mỗi bên một chữ số để được số chia hết
cho 2; 5 và 9
Bài 3. Tìm một số có bốn chữ số chia hết cho 2; 3 và 5. Biết rằng khi đổi vị trí các chữ số hàng
đơn vị với hàng trăm và hàng chục với hàng nghìn thì số đó khơng thay đổi.
Bài 4. Cho a là số tự nhiên có ba chữ số. Viết các chữ số của a theo thứ tự ngược lại ta được số

tự nhiên b. Hỏi hiệu hai số đó có chia hết cho 3 khơng? Tại sao?
Bài 5. Tìm số tự nhiên bé nhất sao cho khi chia số đó cho 3; 4; 5 đều dư 1 và chia hết cho 7.
Bài 6. Cơng ty X có một số công nhân hưởng mức lương 1 260 000 đồng. Một số khác hưởng
mức lương 1 890 000 đồng. Sau khi phát lương tháng 7 cho một số công nhân này, cơ kế tốn
cộng sổ hết 57 281 000 đồng. Hỏi cơ kế tốn cộng đúng hay sai? Vì sao?
---------------------------------------------------------------