Skkn rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc khai thác mối liên hệ giữa các phương pháp giải toán hhkg

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT BÌNH SƠN
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh thơng
qua việc khai thác mối liên hệ giữa các phương pháp giải toán
HHKG.
Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Hậu
* Mã sáng kiến: 19.52.04

SÔNG LÔ, Năm 2021.

skkn


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học và cơng nghệ đang có những bước tiến
nhảy vọt thì việc đào tạo những con người không chỉ nắm vững về kiến thức mà
cịn có năng lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với việc tăng cường tiềm
lực khoa học kỹ thuật của đất nước. Nghị quyết hội nghị lần thứ hai, ban chấp
hành trung ương Đảng khoá VIII đã chỉ rõ:
“Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con
người và thế hệ trẻ có năng lực tiếp thu tinh hoa văn hoá nhân loại, phát huy
tiềm năng của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng đồng và phát huy
tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học, cơng nghệ hiện đại, có tư
duy sáng tạo”

Để có con người được giáo dục tồn diện trong tương lai thì nhiệm vụ
khơng thể thiếu được đối với những người làm công tác giáo dục là phải quan
tâm đến việc rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong việc rèn
luyện năng lực tư duy sáng tạo thì mơn Tốn có vị trí nổi bật bởi vì "Tốn học là
mơn thể thao của trí tuệ", nó giúp học sinh rèn luyện bộ óc, rèn luyện cách nghĩ,
rèn luyện phương pháp tìm tịi, phương pháp vận dụng kiến thức. Do đó, việc
rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh là rất quan trọng. Vì vậy
người thầy khơng chỉ cung cấp cho học sinh phương pháp giải, những dạng tốn
cụ thể mà cịn cần phải thơng qua nó, rèn luyện cho học sinh các năng lực phân
tích tổng hợp, năng lực khái qt hố, năng lực suy luận lơgic, năng lực rút gọn
q trình suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng
lực tư duy thuận nghịch, trí nhớ tốn học.

3

skkn


Hiện nay trên quan điểm của cải cách giáo dục, người ta nghiên cứu và
cải tiến nội dung chương trình nói chung và chương trình hình học nói riêng
bằng cách bỏ bớt những phần lý luận dài dịng khơng cần thiết. Mục tiêu cuối
cùng cần đạt tới là làm thế nào cho học sinh nắm được mối quan hệ biện chứng
giữa các khái niệm, đồng thời để hiểu và nhớ các kiến thức cơ bản của mơn học,
để tính tốn, suy luận, tự xây dựng cho bản thân một cách học sáng tạo. Với việc
sử dụng phương pháp vectơ (PPVT) và phương pháp tọa độ (PPTĐ) trong
nghiên cứu hình học, học sinh sẽ có thêm những cơng cụ mới để diễn đạt, suy
luận, để giải toán, tránh được những ảnh hưởng khơng có lợi của trực giác.
Hơn nữa việc đưa PPVT và PPTĐ vào chương trình tốn phổ thơng trung
học cũng là một dịp tốt để học sinh làm quen với ngơn ngữ tốn học cao cấp.
Mặt khác học sinh còn được trang bị thêm hai phương pháp mới để giải toán,

đáp ứng được mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông trung học là sau khi tốt
nghiệp học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản về hình học, đồng thời nắm
chắc ba phương pháp chủ yếu để nghiên cứu hình học đó là PPTH, PPVT,
PPTĐ.
Mặc dầu vậy, trong thực tiễn dạy và học hình học ngày nay cho thấy việc
phối hợp vận dụng cả ba phương pháp vào giải các bài tốn hình học của học
sinh còn hạn chế, đặc biệt là đối với những học sinh cuối cấp THPT khi học
môn HHKG, các em gặp nhiều khó khăn trong việc phiên dịch các khái niệm,
tính chất theo ngơn ngữ hình học thơng thường sang ngơn ngữ vectơ và toạ độ.
Nguyên nhân chủ yếu là do giáo viên không chú ý rèn luyện cho các em kỹ
năng này, điều này dẫn đến việc sử dụng không thành thạo hai phương pháp
vectơ và toạ độ làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng hạn chế tới
kết quả học tập.
Để khắc phục những nhược điểm nêu trên và xây dựng một số biện pháp
dạy học thích hợp cho học sinh THPT, giúp học sinh vận dụng tốt các phương
4

skkn


pháp và chủ động trong việc giải một bài toán HHKG, từ đó góp phần phát huy
năng lực tư duy sáng tạo, rèn luyện năng lực giải toán, rèn đức kỷ luật, làm việc
có khoa học. Tơi chọn : “Rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh thơng qua
việc khai thác mối liên hệ giữa các phương pháp giải tốn HHKG ’’ làm đề tài
nghiên cứu của mình.
2. Tên sáng kiến:
Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc khai thác mối liên
hệ giữa các phương pháp giải toán HHKG.
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Hậu

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Lãng Công – Sông Lô – Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0978536139.
E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Giảng dạy phần Hình học không gian. Đề tài đã làm sáng tỏ một số khái
niệm về năng lực, năng lực toán học, năng lực giải toán, khai thác sự chuyển đổi
giữa các phương pháp giải tốn HHKG. Phân tích rõ nội dung và vai trò của các
PPTH, PPTĐ, PPVT, mối liên hệ giữa các phương pháp vào giải tốn HHKG.
Bên cạnh đó đề tài hệ thống bài tập theo hướng khai thác tính tích cực học tập
của người học, rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh bằng việc sử dụng các
PPTH, PPVT, PPTĐ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề hình học
khơng gian ở trường THPT.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: ngày 12/10/2020.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

5

skkn


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Đề tài tập trung vào việc xây dựng một cách có hệ thống việc khai thác
mối liên hệ giữa các PPTH, PPVT, PPTĐ vào giải toán HHKG, ứng dụng của
việc khai thác vào những tình huống điển hình, rèn luyện các PPTH, PPVT,
PPTĐ cho học sinh để giải các bài tốn HHKG qua đó phát triển năng lực giải

tốn cho học sinh, đồng thời hình thành các phương pháp dạy học thích hợp để
sử dụng hiệu quả hệ thống trên. Cụ thể:
+ Khái niệm năng lực giải toán.
+ Tìm hiểu nội dung của các PPTH, PPVT, PPTĐ, mối liên hệ giữa các
phương pháp và vai trò của việc khai thác mối liên hệ giữa các phương pháp vào
giải toán HHKG.
+ Giới thiệu một số bài tập nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh bằng việc sử dụng phối hợp các PPTH, PPVT, PPTĐ. Góp phần nâng cao
chất lượng dạy học.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong đề tài tôi đã sử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu sau:
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu về lịch sử
toán học, sáng tạo tốn học, phương pháp dạy học mơn tốn. Nghiên cứu sách
báo, tạp chí liên quan đến dạy và học HHKG bằng các PPTH, PPVT, PPTĐ.
+ Phương pháp điều tra quan sát: Điều tra tình hình học tập của học sinh
trường THPT Bình Sơn khi học chủ đề sử dụng PPVT và PPTĐ để giải các bài
toán HHKG.
Dự giờ trao đổi với giáo viên, làm thử nghiệm sư phạm để nắm được việc
dạy của giáo viên, việc học của học sinh trong việc sử dụng các PPTH, PPVT,
PPTĐ vào giải các bài toán HHKG.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo
trình rút ra mối liên hệ giữa các PPTH, PPTĐ, PPVT để giải các bài toán
HHKG.
4. Giả thuyết khoa học

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

6

C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Nếu xây dựng một cách có hệ thống việc khai thác mối liên hệ giữa các
PPTH, PPTĐ, PPVT nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh bằng các
PPTH, PPVT, PPTĐ trong chương trình hình học 11, 12 thì sẽ khắc phục được
những khó khăn sai lầm của học sinh, nâng cao chất lượng dạy học HHKG ở
trường THPT.
5. Bố cục đề tài
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm 3
chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh thơng qua việc khai
thác mối liên hệ giữa các PPTH, PPVT, PPTĐ.
Chương 3. Thử nghiệm sư phạm.

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

7


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

PHẦN II. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Năng lực

Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của con người, đáp ứng được
yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hồn thành
tốt loại hoạt động đó.
Thơng thường một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm vững
tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt
hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành
hoạt động đó trong những điều kiện và hồn cảnh tương đương.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định
của con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải
quyết những yêu cầu đặt ra.
1.1.2. Năng lực tốn học
Theo V.A. Krutetxki thì khái niệm năng lực tốn học sẽ được giải thích trên
hai bình diện:
+ Như là các năng lực sáng tạo (khoa học) - các năng lực hoạt động toán
học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quí giá.
+ Như là các năng lực học tập giáo trình tốn phổ thơng, lĩnh hội nhanh
chóng và có kết quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
Như vậy, năng lực tốn học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các
đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và tạo
điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương
đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.
1.1.3. Năng lực giải tốn
Là đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động
giải tốn, và là điều kiện cần thiết để hồn thành tốt hoạt động giải tốn đó.
Thơng thường, một người được coi là có năng lực giải tốn nếu người đó
nắm vững tri thức, kỹ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả
tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành
hoạt động giải tốn đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương.
1.1.4. Khai thác sự chuyển đổi giữa các phương pháp giải toán HHKG

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

8


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Để giải một bài toán HHKG trong trường phổ thơng người học tốn có thể
sử dụng các phương pháp như: PPTH, PPVT, PPTĐ, các phương pháp này có
mối quan hệ với nhau thông qua việc cùng mô tả một khái niệm hay một quan
hệ hình học nào đó bằng ngôn ngữ riêng của từng phương pháp.
Khai thác sự chuyển đổi giữa các phương pháp là hình thức chuyển đổi
cách diễn đạt một khái niệm hay một quan hệ hình học nào đó từ ngơn ngữ của
phương pháp này sang ngôn ngữ của phương pháp kia và ngược lại.
Việc khai thác sự chuyển đổi giữa các phương pháp góp phần tích cực
trong việc hình thành và bồi dưỡng năng lực tốn học cho học sinh thơng qua
các hoạt động chuyển đổi tương đương các ngôn ngữ và thực hành luyện giải
các dạng bài tập của HHKG theo các phương pháp đó.
1.2. Các phương pháp giải tốn HHKG ở trường phổ thông
1.2.1. Nội dung của các phương pháp
Như đã đề cập ở mục 1.1.4 học sinh có thể vận dụng một trong các PPTH,
PPVT, PPTĐ để giải các bài toán HHKG. Khi đó, tương ứng với mỗi dạng bài
tập để vận dụng được các phương pháp nêu trên trước hết học sinh cần nắm
vững được những nội dung cơ bản của chương trình HHKG ở phổ thơng như
sau:
+ Hệ tiên đề của HHKG, các cách xác định mặt phẳng, vị trí tương đối của
hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, của hai mặt phẳng.
+ Định nghĩa, tính chất của hai đường thẳng song song, hai đường thẳng

chéo nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
+ Định nghĩa, tính chất của hai đường thẳng vng góc, đường thẳng
vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc.
+ Các tính chất của phép chiếu song song, phép chiếu vng góc.
+ Các bài tốn tính khoảng cách, tính góc.
+ Định nghĩa, tính chất của hình chóp, lăng trụ, hình đa diện, hình nón,
hình trụ, hình trịn xoay.
+ Định nghĩa vectơ, các phép toán trên vectơ, điều kiện để hai vectơ cùng
phương, ba vectơ đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ khơng đồng
phẳng, góc giữa hai vectơ.
+ Hệ toạ độ Đêcac vng góc trong khơng gian, biểu thức toạ độ của các
phép toán trên vectơ, các phương trình đường thẳng, mặt phẳng, các cơng thức
tính khoảng cách, góc, phương trình mặt cầu.
Trong những nội dung cơ bản trên hai nội dung cuối thuộc chương trình
HHKG lớp 12, các nội dung cịn lại thuộc chương trình HHKG lớp 11, những
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

9


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

nội dung cơ bản của hình học khơng gian lớp 11 là cơ sở để giải quyết các bài
tốn hình học khơng gian lớp 12 theo các PPVT và PPTĐ.
Việc sử dụng thành thạo các PPTH, PPVT, PPTĐ trong giải bài tập HHKG
giúp học sinh định hướng được việc tìm kiếm lời giải bài tốn và lựa chọn được
phương pháp giải phù hợp với nội dung và phạm vi kiến thức cho phép.
Rèn luyện được việc làm này có tác dụng khơng nhỏ đối với học sinh trong

việc bồi dưỡng năng lực giải toán và một số phẩm chất tư duy tốt cho học sinh
như: tư duy độc lập, tư duy logic, tư duy linh hoạt... Vậy làm thế nào để học sinh
có thể sử dụng các phương pháp trên thành thạo nhất? Để trả lời được câu hỏi
này ta cần trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản trong chương trình, xác
lập được mối quan hệ giữa các phương pháp thông qua sự chuyển đổi tương
đương giữa các nội dung kiến thức.
Chẳng hạn, xét quan hệ hình học thơng thường: Đường thẳng
góc với đường thẳng
.

vng

Khi đó, quan hệ hình học trên được diễn đạt theo ngơn ngữ vectơ là:
Cịn theo ngơn ngữ toạ độ: các phương trình đường thẳng
lượt có các vtcp

và

lần

ta có

Một điều nữa cần được biết là các quy trình của từng phương pháp, căn cứ
vào các bước trong quy trình học sinh định hướng được cách trình bày bài tốn
mạch lạc, định hướng được việc tìm kiếm lời giải của bài tốn.
1.2.1.1. Phương pháp tổng hợp
Ngay từ khi mới học HHKG, học sinh đã được luyện giải các bài toán bằng
PPTH. Việc giải các bài tốn bằng PPTH có tác dụng cho học sinh trong việc
phát triển năng lực trí tuệ, năng lực tưởng tượng khơng gian, các kỹ năng tính
tốn ... Đồng thời cũng phát triển cho học sinh tư duy thuật giải tư duy logíc và

một số phẩm chất tư duy tốt như: tư duy linh hoạt, tư duy độc lập ...
a) Nội dung cơ bản của PPTH là học sinh biết vẽ hình và biết cách vận
dụng các khái niệm, các tính chất của các quan hệ HHKG vào giải tốn.
Nhìn chung để giải một bài tốn HHKG ta có thể tiến hành theo các bước
sau:
Bước 1: Vẽ hình ( bao gồm cả xác định những điểm, đường thẳng và mặt
phẳng có sẵn trên hình vẽ).
Bước 2: Căn cứ vào giả thiết bài toán xác định các điểm đường thẳng và
mặt phẳng chưa có sẵn trên hình vẽ.
Bước 3: Vận dụng các khái niệm và tính chất để giải toán.
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

10


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Bước 4: Kết luận.
Việc vẽ hình hay cịn gọi là biểu diễn hình của một hình trong khơng gian
lên mặt phẳng theo một phương chiếu song song nào đó đóng vai trị quan trọng
trong việc giải tốn HHKG. Bởi vì, khi sử dụng PPTH làm tốn học sinh phải
dựa nhiều vào hình vẽ, bằng các quan sát trực quan trên hình biểu diễn giúp học
sinh hiểu rõ được bài tốn, từ đó có thể tìm ra lời giải bài tốn dễ dàng và nhanh
chóng.
Khâu mấu chốt trong phần lớn các bài tốn HHKG giải bằng PPTH đó là
việc xác định hình, việc xác định hình thường được gắn liền với biểu diễn hình.
Trong chương trình HHKG có nhiều bài tốn xác định hình, chẳng hạn: Bài tốn
xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, xác định giao tuyến

của hai mặt phẳng, xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng, xác
định thiết diện của một hình bởi một mặt phẳng ...
Đóng vai trị quan trọng trong tất cả các bài tốn xác định hình ở trên là ba
bài tốn: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, xác định giao điểm của đường
thẳng và mặt phẳng và xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng.
Đây là ba bài toán cơ bản, bởi vì chúng là cơ sở để giải các bài tốn cịn lại. Thật
vậy:
* Có xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng thì các bài tốn sau mới
giải được:
+ Bài toán xác định thiết diện của một hình đa diện và một mặt phẳng.
+ Bài tốn xác định đường thẳng qua một điểm và cắt hai đường thẳng
chéo nhau cho trước.
+ Bài toán xác định đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước
và song song với đường thẳng thứ ba.
* Có xác định được giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng thì mới xác
định được góc của một đường thẳng và một mặt phẳng.
* Có xác định được hình chiếu vng góc của một điểm lên một mặt phẳng
mới giải quyết được các bài tốn tính khoảng cách, tính góc ...
Khâu mấu chốt thứ hai trong việc giải bài toán HHKG bằng PPTH đó là
việc áp dụng các khái niệm, các tính chất vào giải tốn. Để làm tốt được khâu
này thì điều đầu tiên là phải nắm vững được các nội dung kiến thức và sau đó là
biết cách vận dụng các kiến thức đó vào làm tốn.
b) Những khó khăn và thuận lợi khi giải bài toán HHKG bằng PPTH.
Trong thực tiễn giảng dạy chúng ta thấy rằng: Đa số học sinh ngại giải các bài
toán HHKG bằng PPTH, các nguyên nhân chủ yếu xuất phát từ các khâu vẽ hình
và vận dụng kiến thức.
11
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

* Nhiều học sinh không biết cách vẽ hình thường là vẽ sai, trong số các em
biết cách vẽ thì lại có một số em vẽ hình ở vị trí khơng thuận lợi dẫn đến hình vẽ
rắc rối và chồng chéo điều này làm cản trở cho việc quan sát hình vẽ.
Chẳng hạn, dưới đây ta quan sát hai hình vẽ biểu diễn tứ diện
mặt phẳng.

lên

A
C

B
A
B

D

D

C

Hình 1

Hình 2

Quan sát hai hình vẽ trên ta thấy rằng, hình vẽ thứ nhất có nhiều thuận lợi

cho việc làm tốn, cịn ở hình vẽ thứ hai thì ít được sử dụng trong giải tốn hơn
bởi vì việc xác định thêm các yếu tố về điểm và đường thẳng sẽ khó khăn và khó
tưởng tượng.
* Nhiều học sinh vẫn cịn bị ảnh hưởng của lối tư duy HHP coi các tính
chất về quan hệ vị trí trong khơng gian đều giống trong HHP. Điều này là
nguyên nhân dẫn đến những sai lầm trong khi giải tốn của học sinh.
Ví dụ: Giáo viên đưa ra các kết luận
+ Nếu khoảng cách từ hai điểm trên một đường thẳng tới một mặt phẳng là
bằng nhau thì đường thẳng đó nhất định song song với mặt phẳng.
+ Nếu hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau.
+ Hai đường thẳng vng góc với nhau thì chúng giao nhau
Khi đọc các kết luận trên có học sinh cho rằng cả ba kết luận trên đều đúng,
nguyên nhân cơ bản như đã nói ở trên cịn về cụ thể thì ta thấy rằng:
Ở kết luận 1, học sinh vận dụng kết quả từ hình học phẳng là hai đường
thẳng song song với nhau thì khoảng cách từ hai điểm bất kỳ trên đường thẳng
này tới đường thẳng kia là bằng nhau. Ở kết luận thứ hai và thứ ba học sinh chỉ
nhớ các vị trí tương đối của các đường thẳng trong hình học phẳng mà bỏ qua vị
trí tương đối của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian.
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

12


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

* Việc vận dụng các khái niệm, các tính chất vào giải quyết các bài tốn
của học sinh cịn yếu, điều này dẫn đến việc rất khó định hướng tìm kiếm ra lời

giải, hoặc các lời giải cịn dài dòng thiếu mạch lạc.
Để khắc phục những nhược điểm nêu trên, người giáo viên cần thường
xuyên rèn luyện cho học sinh các kỹ năng cơ bản sau:
+ Thứ nhất, rèn luyện các kỹ năng biểu diễn hình khơng gian lên mặt phẳng
theo các phép chiếu song song và phép chiếu vng góc.
+ Thứ hai, rèn luyện các kỹ năng lập luận có căn cứ, trình bày lời giải gọn
gàng, mạch lạc.
+ Thứ ba, rèn luyện cách nhớ và vận dụng các cơng thức để tính các đại
lượng như góc, khoảng cách, diện tích, thể tích ...
Bên cạnh những nhược điểm nêu trên, việc giải các bài toán HHKG bằng
PPTH giúp học sinh phát triển óc quan sát, bồi dưỡng năng lực tưởng tượng
khơng gian, phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện và phát triển tư duy cho học
sinh, đồng thời cũng giúp học sinh giải quyết nhanh các bài toán trong thực tiễn.
Sử dụng PPTH giúp học sinh giải quyết hàng loạt dạng tốn HHKG trong
đó có những dạng tốn mà ta khơng thể sử dụng được các PPVT hoặc PPTĐ.
Chẳng hạn, PPTH giải quyết các bài toán xác định hình (mà các bài tốn
này chiếm phần lớn trong chương trình HHKG ở trường phổ thơng) giải quyết
các bài tốn HHKG ở mức độ áp dụng các tính chất, các khái niệm một cách
nhanh chóng, trong khi nếu áp dụng PPVT, PPTĐ lại trở nên dài dịng khơng
cần thiết.
1.2.1.2. Phương pháp vectơ
Một trong những khái niệm nền tảng của toán học hiện đại là vectơ và khái
quát của nó là Tenxơ. Việc sử dụng rộng rãi khái niệm vectơ trong các lĩnh vực
khác nhau của toán học, cơ học cũng như kỹ thuật đã làm cho vectơ ngày càng
phát triển. Giữa thế kỷ XIX trong các cơng trình của W.R. Hamiltơn (1805 1865), A.F.Mobiles (1790 - 1868) ... Khái niệm vectơ đã được sử dụng nghiên
cứu các tính chất của không gian ba chiều và nhiều chiều. Cuối thế kỷ XIX, đầu
thế kỷ XX, phép tính vectơ đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi. Nhiều lý
thuyết đã ra đời như đại số vectơ, giải tích vectơ, lý thuyết trường, giải tích
Tenxơ, lý thuyết tổng quát về không gian vectơ nhiều chiều. Các lý thuyết này
đã được sử dụng để xây dựng thuyết tương đối - lý thuyết đóng vai trị rất quan

trọng trong vật lý hiện đại. Cũng trên cơ sở vectơ người ta đã xây dựng các phân
mơn đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân. Việc sử dụng vectơ
để nghiên cứu hình học đã hình thành nên một phương pháp gọi là PPVT. Việc
đưa PPVT vào trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh các công cụ
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

13


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

mới để nghiên cứu hình học mà chúng cịn có tính chất hiện đại hơn và mang
nhiều ưu điểm hơn so với PPTH.
Học sinh được làm quen với PPVT từ lớp 10, với việc sử dụng PPVT trong
HHP lớp 10 học sinh đã được rèn luyện các kỹ năng phân tích một vectơ thành
tổng của hai hay nhiều vectơ, hoặc thành hiệu của hai vectơ, đây là các kỹ năng
cơ bản và rất quan trọng, bởi vì tất cả các bài toán sử dụng PPVT đều phải sử
dụng các kỹ năng này, đồng thời nó cũng là cơ sở để giải quyết các bài toán
HHKG bằng PPVT.
a) Nội dung cơ bản của PPVT là việc học sinh sử dụng các kiến thức về
vectơ (trong đó có quy tắc xác định tổng, hiệu của hai vectơ) để giải quyết các
bài tốn hình học. Thơng thường để giải một bài tốn hình học bằng PPVT ta có
thể thực hiện theo quy trình sau:
Bước 1: Chọn hệ vectơ cơ sở.
Bước 2: Phiên dịch bài tốn sang ngơn ngữ vectơ.
Bước 3: Dùng các kiến thức vectơ để giải toán.
Bước 4: Kết luận - chuyển các kết quả về ngơn ngữ hình học thông thường.
* Việc chọn hệ vectơ cơ sở phải căn cứ vào đặc điểm nội dung của bài

toán, ta thường chọn hệ vectơ cơ sở là ba vectơ không đồng phẳng và có chung
điểm đầu, nếu hình vẽ có các yếu tố vng góc thì ta chọn các vectơ cơ sở là các
vectơ đơi một vng góc, điều này rất thuận lợi cho việc làm tốn.
Ta xét các hình vẽ sau:
A

a

C'

B'

c

A'

D'

D

B

a
A

C

Hình 3

B

B'

c

c

b

C'

A'

C

b
D

Hình 4

b
A

C

a
B

Hình 5

Ở hình 3 ta có thể chọn một trong bốn đỉnh
làm điểm đầu cho hệ
vectơ cơ sở, nếu có các góc ở một đỉnh nào đó là góc vng chẳng hạn đỉnh
thì hệ vectơ cơ sở là:
Cũng tương tự như vậy cho các hình 4 và 5.

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

14


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Một điểm cần lưu ý khi lựa chọn hệ vectơ cơ sở là ta thường đặt hệ vectơ
cơ sở bởi vectơ
và dễ nhìn hơn.

Viết như thế sẽ làm cho các biểu thức vectơ sẽ gọn gàng

* Trong quy trình giải bài tốn hình học bằng PPVT có hai khâu mấu chốt
là: Phiên dịch bài tốn sang ngơn ngữ vectơ và sử dụng các kiến thức vectơ để
giải toán.
+ Muốn phiên dịch bài tốn sang ngơn ngữ vectơ học sinh cần được rèn
luyện các kỹ năng chuyển tương đương những quan hệ hình học từ cách nói
thơng thường sang cách nói vectơ.
Ví dụ 1: Xét quan hệ hình học 3 điểm
thẳng hàng. Việc phiên dịch
quan hệ hình học này sang ngơn ngữ vectơ, học sinh có thể sử dụng các hướng

sau:
+
+

với

là điểm bất kỳ và

Ví dụ 2: Xét quan hệ đường thẳng
vng góc với đường thẳng
.
Theo ngơn ngữ vectơ quan hệ vng góc của hai đường thẳng
và
được
diễn đạt là:
Việc chuyển bài tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang ngôn ngữ
vectơ là điểm xuất phát trong việc sử dụng cơng cụ vectơ để giải tốn. Một điểm
cần lưu ý khi phiên dịch bài tốn sang ngơn ngữ vectơ là phải chính xác và triệt
để tức là phải phiên dịch tất cả nội dung từ giả thiết đến kết luận của bài tốn ra
ngơn ngữ vectơ.
+ Sử dụng các kiến thức vectơ để giải toán là khâu quan trọng tiếp theo cần
rèn luyện cho học sinh. Học sinh cần được rèn luyện kỹ năng phân tích một
vectơ thành một tổ hợp của nhiều vectơ, cụ thể là phân tích một vectơ thành
tổng, hiệu của hai vectơ. Việc phân tích này được tiến hành theo các bước:
Bước 1: Chọn ba vectơ không đồng phẳng làm hệ vectơ cơ sở.
Bước 2: Phân tích các vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng đã chọn.
Ta xét ví dụ :
Cho hình chóp
cắt

, đáy
theo thứ tự tại

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

là hình bình hành. Một mặt phẳng
. CMR:

15


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

S
N
K

a

A

I

M

c

L

D

b

O

C

B

Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ vectơ cơ sở
Hình 6
Bước 2: Phiên dịch bài tốn sang ngơn ngữ vectơ :
Đặt
Cần chứng minh:
Với:
Bước 3: Sử dụng kiến thức vectơ giải tốn:
+ Vì 4 điểm

đồng phẳng nên với

 +  +  = 1 theo cách đặt ở bước 2 ta có:
nhưng

nên ta có:

.x = - z, . y = z, .t = z.

mà  +  +  = 1.
Nên:
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

16


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Bước 4: Kết luận
Vì

nên

Vậy
Việc chuyển từ ngơn ngữ hình học tổng hợp sang ngơn ngữ vectơ là việc
chuyển đổi tương đương nên ta thấy rằng ở bước 2 trong quy trình là việc
chuyển từ ngơn ngữ hình học tổng hợp sang ngơn ngữ vectơ thì ở bước 4 là quá
trình chuyển ngược lại.
b) Những yêu cầu đối với giáo viên:
Thơng qua việc giải bài tập bằng PPVT, ngồi việc phải rèn luyện cho học
sinh những kỹ năng sử dụng cơng cụ vectơ để giải tốn, người giáo viên cần tận
dụng những cơ hội có thể để cho học sinh rèn luyện những khả năng phân tích,
tổng hợp, khái quát hoá. Cần cho học sinh thấy được sự tương tự giữa các sự
kiện trong một số dạng bài tập để từ đó có thể khái qt hố bài tốn.
Ví dụ:
1. Với

là trung điểm đoạn thẳng

2. Với

là trọng tâm

3. Với
chéo
và

, ta có:

, ta có:

là trung điểm của đoạn thẳng nối các trung điểm của hai đường
hoặc hai cạnh đối diện
và
(
và
), ta có:

Từ đó, học sinh thấy được sự tương tự giữa các bài toán trên khi các hệ
điểm tăng dần, vậy học sinh có thể đưa ra được bài tốn khái quát:
Với

là trọng tâm của hệ điểm

ta có:

1.2.1.3. Phương pháp toạ độ

Nếu như hình học đã có từ thời Ơclít (Thế kỷ thứ III TCN) thì mãi tới năm
1931, Rơnê Đềcác (1596 - 1650) một nhà triết học kiêm vật lý và toán học
người Pháp đã khám phá ra những ngun lý của mơn hình học giải tích. Ơng đã
dùng đại số để đơn giản hố hình học cổ điển. Trong phần cuối cơng trình triết
học lớn của mình, xuất bản năm 1637 ơng đã trình bày về PPTĐ và những ứng
dụng của phương pháp này trong giải tốn hình học. Phát triển tư tưởng của
Đêcac, mơn hình học giải tích đã ra đời và cung cấp cho chúng ta phương pháp
nghiên cứu hình học bằng cơng cụ đại số. Sự ra đời của PPTĐ đã lập được mối
quan hệ mật thiết giữa hai ngành khác nhau của toán học, đó là Hình học và Đại
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

17


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

số. Cũng như PPVT việc đưa PPTĐ vào trường phổ thơng có vai trị vơ cùng
quan trọng trong việc học hình học của học sinh.
Học sinh được làm quen với PPTĐ ở lớp 10, nhưng các kiến thức về toạ độ
ở lớp 10 chỉ dừng lại ở việc xác định toạ độ của điểm, của vectơ, độ dài vectơ,
góc của hai vectơ ... Đến lớp 12 học sinh được bổ sung thêm các kiến thức về
vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương, cách viết phương trình đường thẳng và mặt
phẳng ... Khi được trang bị đầy đủ các kiến thức thì đó chính là điều kiện thuận
lợi giúp học sinh giải quyết được các bài toán HHKG bằng PPTĐ.
a) Nội dung cơ bản của PPTĐ là học sinh sử dụng các kiến thức về toạ độ
để giải các bài tập hình học. Thơng thường để giải một bài tốn HHKG bằng
PPTĐ thì ta có thể tiến hành theo quy trình sau:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ thích hợp.

Bước 2: Phiên dịch bài tốn sang ngơn ngữ toạ độ.
Bước 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải tốn.
Bước 4: Chuyển các kết quả về ngơn ngữ hình học thông thường.
* Việc xác định hệ trục toạ độ thường là khơng khó nhưng để lựa chọn hệ
trục toạ độ thích hợp, dễ dàng phiên dịch được bài tốn sang ngôn ngữ toạ độ, dễ
dàng phát hiện và thiết lập các mối quan hệ của bài toán. Việc giải quyết vấn đề
không mất thời gian qua nhiều bước trung gian ... thì khơng dễ. Trong nhiều
trường hợp bước chọn hệ trục toạ độ là bước then chốt dẫn đường tới lời giải
nhanh chóng và tối ưu.
+ Để xét bài toán HHKG thường xem xét các đối tượng, điểm, đường
thẳng, mặt phẳng ... Ta cần chú ý tới toạ độ của vtcp, vtpt của chúng. Hệ trục toạ
độ được gọi là tương thích nếu việc nhận ra các véctơ này là dễ dàng.
Chẳng hạn, các điểm thuộc vào các trục Ox, Oy, Oz hay các mặt Oxy, Oyz,
Ozx. Các đường thẳng có vtcp, hoặc các mặt phẳng có vtpt là các vectơ đơn vị
trên các trục Ox, Oy, Oz.
+ Thiết lập phương trình đường thẳng, hay mặt phẳng dễ dàng nếu việc xác
định các yếu tố cho mỗi dạng phương trình là thuận lợi.
Chẳng hạn, viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm, nếu chọn được hệ trục
toạ độ mà ba điểm ấy thuộc ba trục toạ độ thì ta dễ dàng thiết lập phương trình
mặt phẳng theo phương trình đoạn chắn. Hoặc viết phương trình mặt phẳng đi
qua một điểm và biết vtpt thì nên chọn vtpt là vectơ đơn vị trên một trục toạ
độ ...
+ Một bài toán thường liên quan tới nhiều yếu tố ít có trường hợp mà mọi
yếu tố đều rơi vào trường hợp thuận lợi. Vì vậy cần lựa chọn cách tối ưu hơn cả.
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

18

C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Ví dụ 1: Cho hình lập phương
và

của các mặt

trí

để

trên hai đường chéo

và

lần lượt ấy các điểm

. Tìm vị

là đường vng góc chung của 2 đường chéo đó.

Lời giải:

z D'

C'

A'

B'
M
.

C

D
.N

x

y
B

A

Hình 7
Từ hình vẽ ta thấy hệ trục toạ độ Đêcac có thể chọn có gốc toạ độ O trùng
với một đỉnh bất kỳ trong hình lập phương, nhưng rõ ràng nếu ta chọn OD như
hình vẽ thì thuận lợi hơn cả, bởi vì M, N cùng thuộc các mặt phẳng toạ độ, các
điểm A, D, D' thuộc vào các trục toạ độ. Do vậy, để thuận lợi cho việc giải tốn
thì cách chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ là thích hợp nhất
(Các bước làm tiếp theo sẽ được trình bày trong chương 2)
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều
đều cạnh chiều cao
a. Tính khoảng cách giữa
b. Xác định góc giữa

có đáy là tam giác

và mặt phẳng
và mặt phẳng

c. Tính góc giữa 2 mặt phẳng

và

Lời giải:
z
B'

A'

C'

2a
Ba

A
y

x

C

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

19

C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Hình 8
+ Do
là lăng trụ đứng nên ta chọn hệ trục toạ độ có một mặt
phẳng toạ độ chứa mặt đáy của hình lăng trụ.
+ Chọn B là gốc toạ độ,
là mặt phẳng
,
nằm trên
việc chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ trên là thuận lợi cho việc làm tốn bởi vì
các dữ liệu về điểm, đường thẳng, mặt phẳng của bài toán phần lớn nằm trên các
trục toạ độ và mặt phẳng toạ độ.
+ Các dấu hiệu của bài tốn HHKG có thể giải bằng PPTĐ:
- Các hình có yếu tố vng góc như tam diện vng, hình hộp chữ nhật,
hình lập phương, các hình chóp có một cạnh bên vng góc với mặt đáy ...
- Các hình đã cho có yếu tố đặc biệt như đáy là các tam giác cân, tam giác
đều, hình vng, hình chữ nhật ... Đặc biệt hơn là các hình chóp đều, lăng trụ
đứng có đáy là tam giác đều ...
* Việc chuyển từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang ngơn ngữ toạ độ có
thể tiến hành theo một trong hai cách:
+ Thứ nhất, coi PPVT là phương pháp trung gian trong việc chuyển đổi
ngôn ngữ. Chẳng hạn, chứng minh:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ thích hợp.
Bước 2: Phiên dịch bài tốn sang ngơn ngữ toạ độ, xác định toạ độ các
điểm

Cần chứng minh:

Bước 3: Dùng kiến thức toạ độ để giải tốn.
Xác định toạ độ các vectơ

và tính các tích vơ hướng

và
Bước 4: Vì

nên

+ Thứ hai, chuyển trực tiếp từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang ngơn
ngữ toạ độ. Chẳng hạn ta xét lại ví dụ trên các bước 1, 2 không thay đổi.
Bước 3: Lập phương trình đường thẳng AB có vtcp
Lập phương trình
Bước 4: Vì

chứng minh

có vtpt

nên

b) Các yêu cầu đối với giáo viên:
Yêu cầu đối với giáo viên:

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

20

C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

+ Giải thích cho học sinh hiểu ý nghĩa của các loại vectơ như vtcp, vtpt, ý
nghĩa của tham số t trong phương trình đường thẳng... chẳng hạn, với vtcp cần
cho học sinh hiểu rằng một đường thẳng có nhiều vtcp, chúng là các vectơ cộng
tuyến với nhau. Khi đó học sinh nhận ra ngay phương trình của hai đường thẳng

chỉ là một.
+ Rèn luyện cho học sinh biết trong trường hợp nào dùng loại phương trình
nào và công thức nào cho phù hợp.
Chẳng hạn, khi giải bài tập HHKG bằng PPTĐ gặp bài toán xác định
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì ta nên viết phương trình của
các đường thẳng ở dạng tham số hoặc chính tắc khơng nên viết ở dạng tổng qt
bởi vì cơng thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có liên quan
tới các vtcp.
Trong giải bài tập HHKG thì trong ba PPTH, PPVT, PPTĐ khơng thể chỉ
ra được phương pháp nào là hoàn hảo và tổng quát nhất bởi vì với mỗi một bài
tốn thì có lời giải phù hợp với một trong ba phương pháp vấn đề là phải lựa
chọn ngay được phương pháp phù hợp.
Vì vậy, khi làm toán cần phải phối hợp cả ba phương pháp trên. Do đó giáo
viên cần nhắc nhở tạo điều kiện và cơ hội cho học sinh thường xuyên ôn tập,
củng cố kiến thức, kỹ năng đã học là cần thiết dần dần hình thành và phát triển
năng lực giải toán cho học sinh.
1.2.1.4. Cơ sở lý luận của các PPTH, PPVT, PPTĐ để giải các bài toán
HHKG
+ Cơ sở lý luận của PPTH là các khái niệm về hình trong khơng gian, các
đối tượng nghiên cứu của các hình, các tiên đề của HHKG, các mối quan hệ
giữa các hình trong khơng gian như: Quan hệ song song, quan hệ vng góc...

cách biểu diễn của một hình trong khơng gian, các cơng thức để tính các đại
lượng như góc, khoảng cách, diện tích, thể tích ...
+ Cơ sở lý luận của PPVT là khơng gian vectơ trong đó có 8 tiên đề của
không gian vectơ. Các khái niệm về vectơ, các phép tốn vectơ như: cộng, trừ
các vectơ, tích vơ hướng, có hướng của vectơ ...
+ Cơ sở lý luận của PPTĐ là: Hệ toạ độ Afin bao gồm các khái niệm về hệ
toạ độ Afin, toạ độ Afin của một điểm trong khơng gian. Phương trình của
đường thẳng, mặt phẳng trong hệ toạ độ Afin ... Hệ toạ độ Đêcac vng góc bao
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

21


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

gồm khái niệm về hệ toạ độ Đêcac, toạ độ của vectơ, của điểm, độ dài vectơ,
khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai vectơ, các phương trình đường thẳng,
mặt phẳng trong hệ toạ độ Đêcac. Tính bất biến của các hệ toạ độ Afin, Đêcac.
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Đêcac vng góc các kết quả tích vơ
hướng, khoảng cách hai điểm, khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng,
một mặt phẳng ... không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ Đêcac vng góc.
1.2.2. Vai trị của các phương pháp giải tốn HHKG trong trường phổ
thông
Việc sử dụng các PPTH, PPVT, PPTĐ trong giải tốn HHKG làm cho mơn
học trở nên phong phú, đa dạng hơn, nó gây nên hứng thú học tập cho học sinh,
khi đó học sinh khơng chỉ đơn thuần giải bài tập bằng PPTH mà có thể vận dụng
phối hợp cả ba phương pháp trên để làm toán, điều đó có tác dụng khơng nhỏ
trong việc tìm ra lời giải của bài toán.

a) PPTH giúp cho học sinh rèn luyện tư duy suy luận, phát triển các năng
lực như: Năng lực tưởng tượng khơng gian, năng lực trí tuệ ... Ngồi ra nó cịn
tạo điều kiện cho học sinh liên hệ toán học với thực tế, giúp giải quyết các bài
tốn thực tiễn thường gặp.
b) PPVT có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó cơng cụ vectơ tạo
điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn trong trường phổ thông. PPVT cho
phép tiếp cận những kiến thức tốn học phổ thơng một cách gọn gàng, sáng sủa,
là phương pháp giải tốn có hiệu quả, nhanh chóng, tổng qt đơi khi khơng cần
đến hình vẽ. Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy trừu tượng, các
năng lực phân tích, tổng hợp ...
Từ véctơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ PPTĐ theo tinh thần của tốn
học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học, cung cấp cơng cụ giải tốn,
cho phép đại số hố hình học và hình học hố đại số. Việc nghiên cứu vectơ góp
phần mở rộng nhãn quan toán học cho học sinh, chẳng hạn tạo cho học sinh khả
năng làm quen với những phép toán trên những đối tượng khơng phải là số
nhưng lại có tính chất tương tự. Ví dụ: phép cộng, trừ, nhân vơ hướng... các
vectơ. Điều đó dẫn đến sự hiểu biết về tính thống nhất của tốn học về phép tốn
đại số, cấu trúc đại số, đặc biệt là nhóm và không gian vectơ - 2 khái niệm trong
số những khái niệm quan trọng của toán học hiện đại.
PPVT là phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học cùng
những mối liên hệ hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số.
Chẳng hạn, để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong
khơng gian ta lập các phương trình của đường thẳng và mặt phẳng sau đó giải hệ
phương trình, tuỳ theo hệ có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm hay vơ số nghiệm mà
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

22

C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

kết luận đường thẳng cắt mặt phẳng, song song với mặt phẳng hay nằm trên mặt
phẳng.
Ví dụ : Xét vị trí tương đối của đường thẳng
và mặt phẳng

.

Lời giải: Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ta đi giải hệ
phương trình:

Vậy đường thẳng

cắt mặt phẳng

tại 1 điểm chung duy nhất

c) Việc sử dụng PPTĐ trong giải tốn hình học tạo ra mối liên hệ mật thiết
giữa hình học và đại số, PPTĐ sử dụng nhiều cơng cụ đại số để làm tốn, nhờ có
các cơng cụ này mà các dạng bài tập HHKG được giải theo các thuật toán đã
được định sẵn.
Chẳng hạn, muốn tìm điểm

đối xứng với điểm

qua

ta làm như

sau:
Bước 1 : Lập Phương trình đường thẳng
vtcp là

vtpt của

qua

và vng góc với

có

)

Bước 2 : Giải hệ phương trình để tìm giao điểm của
Bước 3 : Điểm
đối xứng với
ta xác định được toạ độ điểm .

qua

nên

và

là

là trung điểm

.
từ đó

1.2.3. Mối liên hệ giữa các phương pháp giải toán HHKG
Việc đưa ra các cách giải một bài toán HHKG bằng PPTH là cơ sở cho việc
giải bài tốn đó theo các PPVT và PPTĐ.
Chẳng hạn, để chứng minh đường thẳng
+ Theo PPTH : Cần chứng minh :

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

23


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

+ PPVT: Dựa vào cách chứng minh của PPTH, theo ngôn ngữ vectơ ta cần
phải chứng minh :
+ PPTĐ: Cũng dựa vào PPTH cần chứng minh

nhân vô hướng với

cặp vectơ chỉ phương của mp(MNP) bằng 0, nhưng

là vtpt của

mp(MNP) nên chỉ cần chứng minh :

cùng phương

hay

k là số thực.
PPVT được xem là phương pháp trung gian chuyển từ PPTH sang PPTĐ,
dùng công cụ vectơ cho phép chuyển những khái niệm hình học cùng mối quan
hệ giữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại
số.
Giữa hai PPTH và PPTĐ là có quan hệ biện chứng, trong khi PPTĐ cho
phép sử dụng mạnh mẽ các cơng cụ đại số và nhờ có các cơng cụ này mà có thể
trang bị cho học sinh nhiều thuật toán để giải quyết các vấn đề của hình học thì
PPTH lại giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề mà được bao bọc bởi
nhiều biểu thức hình thức khác nhau. Mối quan hệ giữa PPTH và PPTĐ có thể
xem như mối quan hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa “về mặt nội dung” và
phương diện cú pháp “về mặt hình thức”.
Khai thác mối liên hệ giữa hai phương pháp này đòi hỏi giáo viên phải
quan tâm đến ý nghĩa bản chất hình học của từng biểu thức giải tích. Nếu chỉ
chú ý tới mặt ngữ nghĩa mà khơng chú ý tới các biểu thức hình thức thì học sinh
sẽ thiếu khả năng giải tốn và nếu khơng chú ý tới ngữ nghĩa thì học sinh khơng
thể chuyển sang ngơn ngữ hình thức được.
Trong thực tế giảng dạy nếu học sinh không được chú ý rèn luyện mối liên
hệ giữa các phương pháp nghiên cứu hình học ở trên thì nhiều học sinh khơng
thể nào nhớ nổi các cơng thức của hình học giải tích, hoặc chỉ nhớ một cách máy
móc mà khơng giải thích được ý nghĩa hình học bản chất của nó. Trong các
trường hợp đó học sinh khơng thể tìm lại được cơng thức, không biết vận dụng
công thức vào các trường hợp cụ thể hoặc chỉ áp dụng một cách máy móc.
Ví dụ 1:
Cho đường thẳng :

và điểm M1 (x1; y1; z1). Tính

d(M1, )
Theo cơng thức được xây dựng trong SGK HH 12 ta có :

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

24


C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Nhìn vào cơng thức trên chắc chắn rằng sau một thời gian sẽ rất nhiều học
sinh quên công thức hoặc khơng giải thích được bản chất của cơng thức là gì.
Theo cơng thức trên thì tử số của cơng thức chính là diện tích hình bình hành
M0M1M2M3.

Mẫu số là độ dài vtcp
z


M1

M0

M2

u

H

M3

y
Hình 9
x
Ví dụ 2: Trong bài tốn xác định đường vng góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau nhiều học sinh vẫn nhớ cách xác định đường vng góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau bằng PPTH lớp 11 tuy nhiên lại khơng viết được
phương trình đường vng góc chung khi học toạ độ ở lớp 12, nguyên nhân là
do các em chưa thành thạo chuyển đổi tương đương từ ngôn ngữ của PHTH
sang ngôn ngữ toạ độ hoặc ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ. Việc lấy ví dụ
cụ thể sẽ được xét ở chương 2.
Khai thác mối liên hệ giữa các phương pháp giải toán HHKG là quán triệt
quan điểm cơ bản của phương pháp dạy học toán là giải quyết một cách hợp lý
mối quan hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp, góp phần phát triển hai
hình thức tư duy toán học là tư duy biện chứng và tư duy logic.
Trong khi việc giải bài toán bằng PPTH phụ thuộc rất nhiều vào tư duy trực
quan từ hình vẽ thì các PPVT và PPTĐ giúp thoát ra khỏi kiểu tư duy cụ thể của
khơng gian vật lí để đạt tới đỉnh cao của sự trừu tượng và khái quát.
1.3. Vai trò của việc khai thác sự chuyển đổi giữa các phương pháp giải
tốn HHKG trong việc hình thành và phát triển năng lực giải toán cho học
sinh
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

25

C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu. Luan vT.Bg.Jy.Lj. van. Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Việc khai thác mối liên hệ giữa các phương pháp giải tốn HHKG góp
phần bồi dưỡng và phát triển năng lực giải tốn cho học sinh phổ thơng.
+ Học sinh được phát triển năng lực sử dụng chính xác ngơn ngữ tốn học
biết mơ tả các khái niệm tốn học bằng các ngơn ngữ khác nhau cũng từ đó tìm
được nhiều cách tiếp cận khác nhau để giải quyết vấn đề và phát hiện vấn đề
mới
Ví dụ: Để diễn đạt điểm
- Theo PPTH :

nằm trên

là trung điểm đoạn thẳng

thì :

và

- Theo PPVT :
- Theo PPTĐ:

Từ đó để giải bài toán chứng minh một điểm
là trung điểm của một đoạn
thẳng nào đó thì ta có thể lựa chọn một trong 3 cách trên.
Từ các PPVT và PPTĐ để gợi cho học sinh mở rộng trong trường hợp tam
giác, tứ diện ...
+ Thông qua việc khai thác các phương pháp khác nhau học sinh biết đặt
bài toán trong mối liên quan và biết huy động tối ưu các kiến thức, biết cách

chuyển đổi các ngơn ngữ tốn học.
+ Thơng qua việc sử dụng các hệ thống khái niệm khác nhau cùng mơ tả
một sự kiện tốn học, giúp học sinh hình thành kỹ năng di chuyển "ý tưởng" vào
các tình huống khác nhau.
+ Việc khai thác mối liên hệ giữa các phương pháp góp phần bồi dưỡng
năng lực tốn học cho học sinh thơng qua hoạt động tốn học cơ bản là hoạt
động ngôn ngữ và hoạt động nhận dạng và thể hiện. Các hoạt động ngơn ngữ ở
đây chính là các hoạt động chuyển đổi tương đương từ ngôn ngữ tổng hợp sang
ngôn ngữ vectơ, tọa độ và ngược lại.
Các hoạt động nhận dạng và thể hiện chính là việc đứng trước một bài toán
HHKG cần lựa chọn được phương pháp giải phù hợp, hay nhất.
Ví dụ:
1. Tứ diện

có

là tam giác vng tại

,

vng góc với mặt
S

phẳng
a) Chứng minh rằng:
b) Gọi

.

là đường cao của tam giác

Chứng minh rằng:

.

A

H
C

26

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

skkn

B