Skkn các dạng toán tích phân hàm ẩn

A. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Tên đề tài:

Một số dạng tốn tích phân hàm ẩn

2. Lĩnh vực:

Toán học

3. Tác giả:

Trần Nữ Diệu Thùy

4. Đơn vị:

Trường THPT Vĩnh Linh, Quảng Trị

5. Thời gian:
B. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các đề thi THPT quốc gia từ kể từ năm học 2016 - 2017 trở lại đây, các
b

f ( x)dx

f x

câu hỏi trắc nghiệm về bài toán tính tích phân a
của hàm số   nhưng
f x
f x

không cho biết biểu thức của   mà chỉ cho biết   thỏa mãn một số điều kiện
(được gọi là tích phân hàm ẩn) xuất hiện thường xuyên. Các câu hỏi này thường ở mức
vận dụng – vận dụng cao.Đây là một dạng tốn khá mới mẻ, khơng chỉ với học sinh
mà còn đối với cả giáo viên, gây khơng ít khó khăn cho các em học sinh khi tiếp cận.
Hướng đến mục tiêu nâng cao điểm số thi THPT quốc gia cho các em học sinh
khối 12, đặc biệt là học sinh khá – giỏi, tôi đã nghiên cứu và xây dựng đề tài: “Các
dạng tốn tích phân hàm ẩn”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng cơ sở lí thuyết và các dạng tích phân hàm ẩn cơ bản, từ đó rèn luyện
và phát triển kĩ năng cũng như tư duy của học sinh để giải quyết các bài toán dạng này.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các dạng câu hỏi tích phân hàm ẩn trong đề thi THPT quốc gia của Bộ giáo dục
và đề thi thử của các trường THPT trong cả nước.
4. Đối tượng khảo sát và thực nghiệm
Học sinh lớp 12A2, 12A3 trường THPT Vĩnh Linh năm học 2018 – 2019.
5. Phương pháp nghiên cứu
Kết hợp giữa nghiên cứu xây dựng lý thuyết (dựa trên sách giáo khoa, các đề thi
THPT quốc gia của Bộ giáo dục và đào tạo, các đề thi thử của các trường THPT trong
cả nước) và thực nghiệm trong quá trình giảng dạy.
6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu
a)Phạm vi nghiên cứu: Chương 3 – Giải tích 12 và các bài toán liên quan trong
các đề thi THPT quốc gia.
b)Kế hoạch nghiên cứu: Từ tháng 3/2018 đến tháng 5/2019.
- Tháng 3/2018: Chọn đề tài, lập đề cương.
- Tháng 4/2018 đến tháng 5/2019: Xây dựng cơ sở lý thuyết, phân dạng bài tập,
áp dụng trong giảng dạy thực tế và rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy.
- Tháng 5/2019: Viết và hoàn thành nội dung đề tài.
-1-

C. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Định nghĩa tích phân:
Cho hàm số
f  x

f  x

 a; b  . Tích phân từ

trên đoạn

 a; b . Giả sử F  x 

liên tục trên đoạn

là một nguyên hàm của

a đến b của hàm số f  x  là hiệu số F  b  – F  a  ,

b

kí hiệu là

 f ( x)dx .
a

b

b

a

a

f ( x) dx F ( x)
Ta có: 

F (b)  F (a ).

Chú ý:
b

b

b

a

a

 f ( x)dx  f (u )du  f (t )dt

1) a
hiệu của biến số).
2)

b

b

a

a

(kết quả tích phân khơng phụ thuộc vào kí

 f ( x)dx   f ( x)dx.
a

3)

 f ( x)dx 0.
a

2. Các tính chất của tích phân
b

b

k. f ( x)dx k f ( x)dx

Tính chất 1: a

a

b

( k là hằng số ).

b

b

 f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx

Tính chất 2: a

a

b

Tính chất 3:

a

c

b

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx
a

.

a

 a  c  b

c

3. Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số:Cho hàm số

f  x

liên tục trên đoạn

 a; b . Giả sử

; 
hàm số x  (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 
sao cho  ( ) a;  (  ) b và
a  (t ) b với mọi t    ;   .
b


'

f ( x) dx f ( (t )). (t ) dt

Khi đó: a

.

-2-


b) Phương pháp tính tích phân từng phần:Nếu u u ( x) và v v ( x) là hai hàm
b

 a; b 

số có đạo hàm liên tục trên đoạn
b

thì

b

'
b
'
u ( x)v ( x) dx (u( x)v( x)) a  u ( x)v( x) dx
a

a

hay

b

u dv uv

b
a

 v du

a

a

.

II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Trước hết, ta cần định nghĩa về dạng tốn tích phân hàm ẩn .
b

f ( x) dx
Một số bài tốn u cầu tính tích phân 
nhưng chưa cho biết biểu thức
a

f x

f  x

của hàm số   mà chỉ cho biết
tích phân hàm ẩn.

thoả mãn một sốđiều kiện thì ta có thể gọi nó là

Mặc dù các dạng tốn tích phân hàm ẩn cũng đã có mặt trong sách giáo khoa
nhưng chỉ ở mức độ cơ bản.Tuy nhiên dạng tốn này trong các đề thi có độ khó cao, đa
số ở mức vận dụng – vận dụng cao nên học sinh thường giải sai hoặc bỏ qua các câu
hỏi thuộc dạng toán này.Mặt khác, các tài liệu tham khảo cho dạng tốn này cũng chưa
nhiều.Do đó, cần xây dựng nền tảng lý thuyết và phân dạng cơ bản, cùng với hệ thống
bài tập tương ứng để hướng dẫn học sinh cách giải quyết các bài toán dạng này.
III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Áp dụng định nghĩa, tính chất của tích phân
3

Ví dụ 1(Giải tích 12NC–trang 153): Cho biết
4

f (t )dt

tích phân 3

 f ( z )dz 3,
0

4

 f ( x)dx 7.
0

Tính

.

Giải:
3

3

4

0

0

0

f ( z )dz  f ( x)dx 3 B  f ( x )dx 7.
Đặt A = 
;

Suy ra

4

4

4

3

3

0

C  f (t )dt  f ( x )dx  f ( x )dx 

3

 f ( x )dx B  A 4 .
0

9

9

7

7

 f ( x)dx 5,  g ( x)dx 4 .

Ví dụ 2:(Giải tích 12NC – trang 176). Cho biết
9

Tính tích phân

I  2 f ( x)  3g ( x)  dx
7

.

Giải:
Áp dụng tính chất của tính phân ta có :
9

9

7

7

I  2 f ( x)  3 g ( x)  dx  2 f ( x)dx 

-3-

9

9

9

7

7

7

3g( x)dx 2  f ( x)dx  3g( x)dx  2


Nhận xét: Đây là dạng câu hỏi tương đối cơ bản, nằm ở mức độ thơng hiểu nên
học sinh có thể dễ dàng đưa ra đáp án đúng.
f  x

Ví dụ 3: Cho hàm số

có đạo hàm

f ' x

liên tục trên đoạn

 0;1 , đồng thời

1

f  x

thỏa mãn

2 f  x   3 f  1  x   1  x2 .

Giá trị của tích phân

1
.
B. 2

A. 0.

f '  x  dx
0

bằng:

3
.
D. 2

C. 1.

Giải:
Ta có

1

1

f  x  dx  f  x 

0

0

 f  1  f  0  .

2

f  0  

2
f
0

3
f
1

1

 

  

5
2 f  x   3 f  1  x   1  x2  

.
 f  1  3
2 f  1  3 f  0  0

5
Từ
1

Vậy

3 2
I f '  x  dx  f  1  f  0    1.
5 5
0

Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đã khéo léo biến đổi đề đưa về giải hệ
phương trình chứa f (0) và f (1) từ đó áp dụng định nghĩa của tích phân .
Dạng 2: Áp dụng tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ
f  x

Tính chất 1: Nếu
a



a

a

a

  a; a 

thì

là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn

  a; a 

thì

f ( x )dx 0.

f  x

Tính chất 2: Nếu



là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn

a

f ( x )dx 2 f ( x )dx.
0

Ví dụ 1:Cho
g  x

hàm số chẵn,
đây sai?

f  x

và

g  x

là hai hàm số liên tục trên đoạn

là hàm số lẻ. Biết

1

1

f  x  dx 5

g  x  dx 7

0

và

1

A.

f  x  dx 10

1

0

  1,1

f  x

và

. Mệnh đề nào sau

1

.

B.

-4-

 2 g  x  dx 

1

là

f ( x)  14

.


1

C.

1

 f  x   g  x   dx 10

1

.

D.

 f  x   g  x   dx 10

1

.

Giải:
1

1

f  x  dx 2f  x  dx 10

1

0

1

1

(1);

1

g  x  dx  g  x  dx  g  x  dx 0

1

0

0

(2)

1

 2 g  x  dx 

Từ (1) và (2) suy ra  1

f ( x)  0

.

Chọn B.
Nhận xét:Do đề bài nêu rõ

f  x

là hàm số chẵn,

g  x

là hàm số lẻ nên có thể

dễ dàng định hướng phương pháp giảivì đây là câu hỏi đơn giản, học sinh chỉ cần áp
dụng tính chất..
Ví dụ 2: Cho hàm số
f  1 a, f ( 2) b.

Tính

f  x

có đạo hàm

f   1  f (2)

f ' x 

1
, x   \  0
x  x5
và thỏa mãn
3

.

Giải:
 2 f '( x) dx 0

2
 1
 f '( x) dx 0
f' x
Ta thấy   là hàm số lẻ . Từ đó ta có:   1
.

Hay:
 f (2)  f ( 2) 0
 f (2)  f (  2)   f (1)  f ( 1)  0  f (2)  f ( 1)  f (  2)  f (1) a  b.

 f (1)  f ( 1) 0

Nhận xét:Để giải được bài toán này học sinh cần quan sát sự liên hệ giữa các giá trị
f' x

của biến số như 1 và –1, 2 và –2; nhận dạng được   là hàm số lẻ, đồng thời nắm
được tính chất 1 để vận dụng giải tốn. Học sinh cũng có thể tính ngun hàm để tìm

biểu thức của

f  x

tuy nhiên cách này phức tạp hơn nhiều.

Ví dụ 3:Cho hàm số
2

là hàm số chẵn, liên tục trên

3

f  x  dx 8

1

f  x

và

A. I 2.

6

f   2 x  dx 3.
1

  1; 6 .

Tính tích phân

B. I 5.

I  f  x  dx.
1

C. I 11.
-5-

D. I 14.

Biết rằng


Giải.
3

f  x

Vì

là hàm số chẵn nên
3

Xét

K f  2 x  dx 3.
1

3

f   2 x  dx f  2 x  dx 3.
1

1

 x 1  t 2
.

x

3

t

6
t

2
x

d
t

2d
x
.

Đặt

Đổi cận:

6

6

1
1
K  f  t  dt  f  x  dx 
22
22
Khi đó
6

Vậy

2

6

f  x  dx 2K 6.
2

6

I  f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx 8  6 14.
1

1

2

Chọn D.
Dạng 3: Áp dụng phương pháp đổi biến số
y  f  x

Ví dụ 1.Cho hàm số

f  x  2018 f  x  e x
liên tục trên  và  
.Tính

1

I  f  x  dx

.

1

A.

I

e2  1
2019e .

B.

I

e2  1
2018e .

C. I 0 .

D.

I

e2  1
e .

Giải:
Đặt t  x  dt  dx
 x  1  t 1
.

Đổi cận:  x 1  t  1
1

1

1

 I  f   t    dt   f   t  dt  f   x  dx
1

1

1

1

(2).
1

1 e2  1
 I  2018 I   f  x   2018 f   x   dx  2019 I  e dx e e  
1
e
e
1
1
x

 I

x 1

e2  1
2019e .

Chọn A.
Nhận xét:
1)Quan sát mối liên hệ giữa hai cận là 1 và–1, hai biến x và  x nên có thể
định hướng đổi biến t = –x.

-6-

2) Với bài tốn này, ta có thể tìm được biểu thức của hàm số
giả thiết

f   x   2018 f  x  e x

bằng cách từ

f x  2018 f   x  e  x
(1), thay x bởi  x ta có  
(2).

(20182  1) f ( x) e x  e  x  f ( x) 
Từ (1) và (2) suy ra
Ví dụ 2: Cho hàm số

f  x

y  f  x

e x  e x
e x  e x

(20182  1) 2019.2017

có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn
a

f  x   0, x   0; a  a  0
f x . f a  x  1

(
). Biết   
, tính tích phân

A.

I

a
2.

B. I 2a .

C.

I

dx
I 
1 f  x
0

a
3.

D.

I

.

a
4.

a

Giải:

dx
I 
1 f  x
0

(1)

Đặt t a  x  dt  dx
 x 0  t a
.

x

a

t

0

Đổi cận:
0

a

a

dt
1
1
 I 

dt 
dx
1 f  a  t  0 1 f  a  t 
1 f  a  x
a
0

(2)

a



1
1
 2 I 

 dx
1 f  x 1 f  a  x 
0 
Từ (1) và (2)
a

1  f  a  x  1  f  x 

dx
1 f  x . f  a  x  f  x  f  a  x
0
a
a
2  f  a  x  f  x

dx dx a
2  f  a  x  f  x
0
0

 I

a
2 . Chọn A

Nhận xét:Dựa vào phép đổi biến đặt t = a + b – x, ta có thể chứng minh được
b

f  x

x )dx

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 1; 2 và thỏa mãn

rằng nếu
liên tục trên đoạn
quyết các câu hỏi tương tự ví dụ trên.
Ví dụ 3: Cho hàm số
f  x   0, x   1; 2

. Biết

f  x

2

2

f '  x  dx 10

 f  x  dx ln 2

1

b

 a; b  thì a f ( x)dx a f (a  b 

và

-7-

1

f ' x

. Tính

f  2

.

, từ đó giải


A.

f  2   10

.

B.

f  2  20

.

C.

f  2  10

.

D.

f  2   20

.

Giải:
2

Ta có:

f '  x  dx  f  x 
1

2
1

 f  2   f  1 10

.

2

2
2
f ' x
f  2
d ( f ( x))
dx



ln

f
x


ln

f
2


ln

f
1


ln
ln 2







1







f
x
f
x
f
1






1
1

Vậy ta có hệ:

 f  2   f  1 10


 f  2

2
f 1
  

 f  2  20

 f  1 10

. Vậy

f  2  20

.

.

Chọn B
Nhận xét:Học sinh có thể sử dụng phép đổi biến số đặt t = f(x).
1

Ví dụ 4:Cho hàm số
A. 0.

f  x

4 f 3  x   f  x  x, x  .

thỏa

1
.
B. 2

Tính

5
.
C. 16

I f  x dx
0



D.

.

1
.
2

Giải:
 x 0  t 0


1
x 1  t 
2
3

t  f  x
(12

t

1)
dt

dx
2
Đặt
ta được 4t  t x do đó
. Đổi cận 
1
2

Suy ra

5
I t.(12t 2  1)dt  .
16
0

Chọn C.

t  f  x
Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là cách đổi biến đặt
. Học sinh cịn
có thể lúng túng với việc đổi cận, qn đổi cận hoặc khơng biết tìm cận của t.

Ví dụ 5:Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên
8

f ( x 5  4 x  3) 2 x  1, x  . Tích phân

A. 2.

ị f ( x)dx.
- 2

32
.
C. 3

B. 10.

Giải:
5
dx  5t 4  4  dt.
Đặt x t  4t  3, suy ra

-8-

bằng
D. 72.

 đồng thời


 x  2  t  1

 x 8  t 1
8

Khi đó

1

1

5
4
4
f  x  dx  f  t  4t  3  5t  4  dt   2t 1  5t  4  dt 10.

2

1

1

Chọn B.
5
Nhận xét: Quan sát giả thiết f ( x  4 x  3) 2 x  1 và tích phân cần tính ta phán

5

đốn được cách đặt x t  4t  3. Khi đó ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ
việc giải cận (vì việc giải phương trình bậc 5 khơng đơn giản, dù là có nhẩm được
5
4
nghiệm), với lưu ý x(t ) t  4t  3 có đạo hàm x '(t ) 5t  4  0, t   nên hàm số

x t C
phương trình  
(với C là hằng số) có tối đa một nghiệm.

Dạng 4: Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần
Ví dụ 1:Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên đoạn

3

 2;3 và

3

 x  2  f '  x  dx a
2

A.  a  b .

,

f  3 b

. Tính tích phân

f  x  dx
2

B. b  a .

theo a và b .

C. a  b .

D. a  b .

Giải:
u x  2





dv

f
x
d
x
Đặt 

du dx

v  f  x 

3

3

3

a  x  2  f  x  dx  x  2  f  x  2  f  x dx  f (3) 
2

2

3

3

f  x dx b 

f  x dx.

2

2

3

Suy ra

f  x dx b  a.
2

Chọn B.
Nhận xét: Rõ ràng ta không thể đặt u  f '( x) , nếu khơng sẽ có du  f ''( x) dx

gây bế tắc cho việc giải quyết bài toán. Hơn nữa việc đặt dv  f '( x) dx là thuận lợi
cho việc tìm v, từ đó có v  f ( x).
Ví dụ 2:Cho hàm số

f  x

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

2

4

0

0

 0; 2

thỏa mãn

 f  x  dx 3 và f  2  2 . Tính I  f  x  dx .
A. I 2 .
Giải:

B. I 3 .

C. I 5 .

-9-

D. I 1 .


 x 4  t 2

2
Đặt t  x  t  x  2tdt dx . Đổi cận:  x 0  t 0 .
2

Khi đó:

I  2t. f  t  dt
0

. Đặt

u 2t


dv  f  t  dt

2

2

du 2dt

v  f  t  .

2

I 2t . f  t  0  2  f  t  dt 4 f  2   2 f  x  dx 8  6 2

0
0
Suy ra:
.
Chọn A.
Nhận xét: Với bài này, ta sử dụng phương pháp đổi biến để làm rõ và đơn giản
hóa giả thiết,từ đó áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần.

Ví dụ 3:( Đề tham khảo 2018 – BGD)
y  f  x

Cho hàm số
1

f  1 0,

 f ( x)
0

2

có đạo hàm liên tục trên đoạn

1

1
dx 7, x 2 f ( x)dx  .

3
0

7
A. 5

 0;1 và

thỏa mãn

1

Tính tích phân

f ( x)dx.
0

7
C. 4

B. 1

D. 4

Giải:
x3
u  f  x   du  f  x  dx dv x dx  v  3
Đặt
,
.

2

1

Ta có

1 x3
 f  x 
3 3
0

1

1

x3
f  x  dx 

3
0

1

3

x f  x dx  1
0

1

2

6

1

1

3
49 x dx 7,  f ( x) dx 7, 2.7 x . f  x dx  14 

Do 0

0

0

 7 x 3  f ( x ) 0  f  x  

2

3
 7 x  f ( x)  dx 0
0

7
7 x4
f  1 0  C 
C
4

4
, mà

1



1
 7 x4 7 
7
f
(
x
)d
x

  dx 



4 4
5
0
0
. Chọn A.
1

Nhận xét: Do giả thiết

 f ( x)

2

1
3

dx 7

0

cùng với kết quả

x f  x dx  1
0

gợi ý

2
2
2
u a.x3 ; v b. f '  x 
cho ta nghĩ đến hằng đẳng thức (u  v) u  2uv  v với
để
2

1

 ax
0

3

 bf  x   dx 0

được biểu thức của

từ đó suy ra

f  x

ax3  bf  x  0.

.
- 10 -

Sau khi tìm được a, b ta dễ dàng tìm


f  x

Dạng 5: Tìm biểu thức của hàm số

  
  4 ; 4 
f  x
Ví dụ 1:Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và thỏa mãn điều kiện

4

2

3 f   x   2 f  x  tan x



4

.

p
- 1
2
B.
.


2.

1

A.

. Tính tíchphân

 f  x  dx

C.

1


4.

2-

D.

p
2.

Giải:
Theo đề bài, ta có
Thay
Từ

3 f   x   2 f  x  tan 2 x ( 1)

x =- x Þ 3 f ( x) - 2 f ( - x) = tan2 ( - x) = tan2 x  2 

( 1)

2
và  


4

suy ra:

f ( x) = tan2 x


4


4


4


4

0

0

I   f  x  dx  tan 2 x dx 2 tan 2 x dx 2   1+tan 2 x   1 dx



4



p

I = 2( tan x - x) 04 = 2-

hay
Chọn D.
Ví dụ 2:

Cho hàm số

f  x

p
2.

liên tục trên đoạn

[ 0;1]

và

f  x   2 f  1  x  3x 2  6 x

,

1

" x Ỵ [ 0;1]

. Tính tích phân

A. I 

4

.
15

I = ị f ( 1- x2 ) dx
0

.

B. I = 1.

2

C. I =- 15 .

2

D. I = 15 .

Giải:
Ta có
Thay

:

f  x   2 f  1  x  3x 2  6 x (1)

f  1  x   2 f  x  3(1  x ) 2  6(1  x) 3x 2  3 (2)
1

x

x thành
ta có

2
 f  x   2 f  1  x  3x 2  6 x ìïï f ( x) + 2 f ( 1- x) = 3x - 6x
Û
í

ïï 4 f ( x) + 2 f ( 1- x) = 6x2 - 6
2
2
f
x

f
1

x

3
x

3




ỵ



Xét hệ phương trình:

- 11 -


Þ 3 f ( x) = 3x2 + 6x - 6 Û f ( x) = ( x +1) - 3 " x Ỵ [ 0;1]
,
.
2

2

f 1  x 2   2  x 2   3  x 4  4 x 2  1
Khi đó 
.
1

ỉx5 4x3
ư
÷
+ x÷
2
I = ị f ( 1- x ) dx = ũ( x - 4x +1) dx = ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
5
3
ố

ứ
0
0
0
15 .
Suy ra
1

1

4

2

2

Chọn C.
Nhận xét: Hoặc có thể xét

f  x   2 f  1  x  3x 2  6 x

(1), từ đó thay x thành

2
2
1  x để có f  1  x   2 f  x  3(1  x )  6(1  x) 3x  3 (2). Từ (1) và (2) ta có thể tìm

Rabiểu thức của

f  x

.

Ví dụ 3:Cho hàm số
f  1 2 ln 2

và

y  f  x

liên tục trên

x  x  1 . f  x   f  x   x 2  3x  2

 \  0;  1

. Giá trị

thỏa mãn điều kiện

f  2  a  b ln 3

, với a, b   .

2
2
Tính a  b .

25
A. 4 .

9
B. 2 .

5
C. 2 .

13
D. 4 .

Giải:
Từ giả thiết, ta có
 f  x  

x  x  1 . f  x   f  x   x 2  3x  2

1
x 2
f  x 
x  x  1
x( x  1)

x
1
x2
. f  x  
f  x 
2
x 1
 x 1

 x 1

 x
 x  2

. f  x  
x 1 , với x   \  0;  1 .
 x 1

x2
1 

x
x
dx  1 
. f  x  
. f  x   x  ln x  1  C
 dx 
x 1
x 1 

Suy ra x  1
hay x  1
.

Mặt khác, ta có

f  1 2 ln 2

x

. f  x   x  ln x  1  1
nên C  1 . Do đó x  1
.

2
3 3
3
3
. f  2  1  ln 3
f  2    ln 3
a
b

2 2
2 và
2.
Với x 2 thì 3
. Suy ra

Vậy

a2  b2 

9
2 .ChọnB

Nhận xét:
- 12 -

y  f  x

1. Với
x  x  1

f  x  

để có
f  x  

2. Từ

liên tục trên

 \  0;  1

, ta nghĩ đến hướng chia hai vế cho

1
x2
f  x 
 *
x  x  1
x ( x  1)

1
x2
f  x 
x  x  1
x( x  1)

u ( x). f  x   u '( x). f  x   u ( x). f ( x)  '

.

, liên tưởngđến cơng thức đạo hàm của tích

u '( x)
1
x

u  x 
.
x 1
với u ( x) x( x  1) suy ra

 x
 x  2
x

.
f
x


  x  1
 * với u  x   x  1 ta có  x 1
, từ đó dễ

3. Nhân hai vế của

dàng tìm được biểu thức của

f  x

.

  
  2 ; 2 
y  f  x
Ví dụ 3: Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và thỏa mãn điều

2

kiện

2 f  x   f   x  cos x.

I   f  x  dx.

Tính tích phân

2
I .
3
B.

A. I  2.




2

3
I .
2
C.

D. I 2.

2 f   x   f  x  cos x.
Giải. Từ giả thiết, thay x bằng  x ta được
 2 f  x   f   x  cos x


2
f

x

f
x

cos
x






Do đó: 

2

Khi đó

1
I   f  x  dx 
3



2

4 f  x   2 f   x  2 cos x
1
 f  x   cos x.

3
 f  x   2 f   x  cos x


2

1
 cos xdx 3 sin x




2


2

2
 .
3

2

Chọn B.
Nhận xét: Với một số bài tốn, nhờ vào các giả thiết ta có thể tìm ra biểu thức
f x

của hàm số   để áp dụng cơng thức tính tích phân. Khi đó việc tìm ra kết quả q
đơn giản và có thể càng nhanh hơn khi có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay.
IV. MỘT SỐ CÂU HỎI TƯƠNG TỰ:
Câu 1:Cho hàm số

f  x

liên tục và có đạo hàm cấp hai trên

- 13 -

 0;1

thỏa


1

1
2

x . f  x  dx 12
0

2 f  1  f  1  2

và

A.10 .

. Tính

3

Câu 2:Cho hàm số
3

tích phân

e

f  x

thỏa

0

.

C. 8 .

B.14 .

f  x

f  x  dx

x. f  x  .e

f  x

0

D. 5 .

dx 8
và

f  3 ln 3

. Tính

dx

0

A.1 .

C. 8  ln 3 .

B.11 .

y  f  x

Câu 3:Cho

D. 8  ln 3 .

f   x   2018 f  x   x sin x
liên tục trên  và
.


2

I   f  x  dx


Tính


2

.

2
A. 2019 .

1
B. 2019 .

y  f  x

Câu 4: Cho
 1 
M   ;4 
 2  và

0

f  t  dt 3
0

Câu 5:Cho hàm số

f  2
A.

1
D. 2018 .

là hàm số chẵn, liên tục trên  và có đồ thị đi qua điểm

1
2

I  sin 2 x. f  sin x  dx


. Tính

A. I 10 .

Tính

1
C. 1009 .


6

.
C. I 1 .

B. I  2 .

f  x

D. I  1 .

2

 f  x  .ln  f  x   dx 1 và f  1 1, f  2   1 .
1

thỏa

.

f  2  2

.

Câu 6:Cho

B.

y  f  x

f  2  3

.

C.

f  2  e

.

D.

f  2  e 2

 x 1 
f
  x  3, x 1
x  1

x

1
liên tục với mọi
,
. Tính

e 1

I   f  x  dx
2

.

A. I 4e  1 .

.

B. I e  2 .

- 14 -

C. I 4e  2 .

D. I e  3 .


Câu 7:Cho hàm số

y  f  x

là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn




f  x  dx 2018.

thỏa mãn 0

A. I 0.
Câu

f  x
I 
dx
x
2018

1


   ;  ,

8:Cho

Giá trị của tích phân

I

1
.
2018

hàm

số

B.

C. I 2018.

y  f  x

liên

bằng:

D. I 4036.
tục

với

mọi

x 0 và

2

f  x
I 
dx
1
x
f  x   2 f   3x, x 0
1
 x
2
. Tính:
.
3
A. I  2 .

9
B. I  2 .

1
C. I  2 .

4
D. I  3 .

D. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết quả đạt được

Qua việc áp dụng đề tài trong q trình dạy học, tơi nhận thấy học sinh có
nhiều tiến bộ hơn trong việc tiếp cận các câu hỏi tích phân vận dụng cao trong các đề
thi. Các em học sinh 12A2 và 12A3 năm học 2018 – 2019 đã có nhiều em có thể giải
nhanh và đúng hầu hết các câu hỏi dạng này trong các đề thi thử và trong đề kiểm tra
cuối chương 3, Giải tích 12.
2. Đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Qua nghiên cứu, ứng dụng SKKN này vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết
quả học sinh đạt được rất khả quan. Đề tài này đã giúp học sinh phát triển năng lực tư
duy, năng lực giải quyết vấn đề, phát huy tính chủ động và sáng tạo trong học tập.
3. Những hạn chế
Vì đây là một dạng tốn khó nên khơng phải học sinh nào cũng có thể tiếp cận
được. Hơn nữa, do số lượng học sinh trong các lớp học khá lớn cũng như thời gian quy
định của phân phối chương trình cịn hạn hẹp nên việc truyền đạt của giáo viên cũng
gặp nhiều khó khăn.
4. Bài học kinh nghiệm
Các dạng tốn tích phân hàm ẩn ngày càng đa dạng và phong phú, đỏi hỏi việc
đầu tư xây dựng thêm nhiều dạng, nhiều phương pháp giải trên nền tảng lý thuyết căn
bản. Ngoài ra, do thời lượng hạn chế của các tiết dạy trên lớp cũng như do độ khó của
các câu hỏi nên cần có phương pháp hướng dẫn để học sinh chủ động học tập.
5. Khả năng ứng dụng của đề tài
Đề tài được ứng dụng vào việc ôn tập thi THPT quốc gia, hướng tới mục tiêu
nâng cao điểm số bài thi mơn Tốn của học sinh nhằm sử dụng để xét tuyển vào các
trường đại học.
6 Kiến nghị, đề xuất

- 15 -


Bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 12 nhiều năm. Khi áp dụng
SKKN này vào giảng dạy tôi nhận thấy sự tự tin khi giải các câu hỏi khó về tích phân

của học sinh tăng lên rõ rệt, các em tự tin hơn khi giải các bài tốn tích phân mức độ
vận dụng – vận dụng cao đồng thời tỏ ra rất hứng thú đối với loại toán này. Trên đây
là kinh nghiệm cá nhân tôi muốn trao đổi với các thầy cô cùng giảng dạy bộ mơn
Tốn. Rất mong được góp ý, bổ sung để cho bản SKKN được hoàn thiện hơn, đem lại
lợi ích cho học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Vĩnh Linh, ngày 16 tháng 5 năm 2019
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Trần Nữ Diệu Thùy
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách Giải tích 12, ban cơ bản và ban nâng cao.
2. Các đề thi minh họa, đề tham khảo và đề chính thức thi THPT quốc gia mơn
Tốn của Bộ giáo dục từ năm học 2016- 2017, 2017 - 2018.
3. Các đề thi thử THPT quốc gia của các trường trên cả nước.
4. Các tài liệu học tập từ mạng internet và sách tham khảo.

- 16 -


MỤC LỤC

ST

NỘI DUNG

Trang

T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Thông tin chung về đề tài
Mở đầu
Nội dung
Cơ sở lý luận
Cơ sở thực tiễn
Các dạng tốn tích phân hàm ẩn
Dạng 1: Áp dụng định nghĩa, tính chất của tích phân
Dạng 2: Áp dụng tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Dạng 3: Áp dụng phương pháp đổi biến số

Dạng 4: Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần
Dạng 5: Tìm biểu thức của hàm số f(x)
Các câu hỏi tương tự
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Mục lục

- 17 -

1
1
2
2
3
3
3
4
5
8
10
12
14
15
16