Chuyên đề đạo hàm của các hàm số lượng giác

GIẢI TÍCH 11.
BÀI 2. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I
=

LÝ THUYẾT.

I. Lý thuyết đạo hàm của hàm số lượng giác
sin x
1. Giới hạn của
x
sin x
lim
1
x 0
x
Định lý :
Chú ý :

Nếu hàm số u  u  x  thỏa mãn điều kiện : u  x   0 với mọi x  x0 và lim u  x   0
x  x0

sin u  x 
 1.
x  x0
u  x
2. Đạo hàm của hàm số y  sin x

thì lim

Định lý

: Hàm số y  sin x có đạo hàm tại mọi x 

và  sin x   cos x

Nếu y  sin u và u  u  x  thì  sin u   u.cos u .
3. Đạo hàm của hàm số y  cos x
Chú ý :

Định lý :

Hàm số y  cos x có đạo hàm tại mọi x 

và  cos x    sin x

Nếu y  cos u và u  u  x  thì  cos u   u.sin u .
4. Đạo hàm của hàm số y  tan x
Chú ý :

Định lý :

Chú ý :

Hàm số y  tan x có đạo hàm tại mọi x 


2

Nếu y  tan u và u  u  x  có đạo hàm trên K , u  x  

 k   với mọi

và  tan x  

 k , k 

x  K . Khi đó trên K ta có :  tan u  

5. Đạo hàm của hàm số y  cot x


2

 k

u
.
cos 2 u

và  cot x   

Định lý

:
Hàm
số y  cot x có đạo hàm tại mọi x  k , k 

Chú ý :

Nếu y  cot u và u  u  x  có đạo hàm trên K , u  x   k

 k   với mọi

1
cos 2 x

1
sin 2 x

u
x  K . Khi đó trên K ta có :  cot u    2 .
sin u
Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

1 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175


BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175

 sin x   cos x

 sin u   u.cos u

 cos x    sin x

 cos u   u.sin u

 tan x  

 tan u  

1
cos 2 x

 cot x   

II
=

CÁC DẠNG BÀI TẬP.

II
=

CÁC DẠNG BÀI TẬP.

u
cos 2 u

 cot u   

1
sin 2 x

u
sin 2 x

Phương pháp chung:
- Sử dụng các công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.
- Sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức, giải phương trình có liên quan đến đạo hàm.

Dạng 1: Tính đạo hàm hàm số lượng giác

1. Đạo hàm của hàm y  sin x, y  cos x
x
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số : y  sin 2 x  cos .
3

Lời giải
TXĐ : D 
1
x
Ta có: y  2.cos 2 x  sin
3
3

Ví dụ 2.Tính đạo hàm của hàm số : y   sin 5x  1 .
2

Lời giải
TXĐ : D 
Ta có: y  2  sin 5 x  1  sin 5 x  1  10 cos 5 x  sin 5 x  1 .
Ví dụ 3.Tính đạo hàm của hàm số y  sin x.cos 4 x .
Lời giải
TXĐ: D 
Ta có: y   sin x  .cos 4 x  sin x.  cos 4 x   cos x.cos 4 x  4sin x.sin 4 x .
|2

Ví dụ 4.Tính đạo hàm của hàm số y 


sin 2 x
tại x  .
4
cos3x
Lời giải

TXĐ : D 

Ta có :

y 


5

\   k ,   k 2 , 
 k 2  k 
6
6
2





 sin 2 x  .cos 3x  sin 2 x.  cos 3x   2cos 2 x.cos 3x  3sin 2 x.sin 3x

2
2
 cos 3x 
 cos 3x 


 
Khi đó : y    3 2 . Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại x  là 3 2 .
4
4

Ví dụ 5.Tính đạo hàm của hàm số y  x.cos 2 x tại x 


2

.

Lời giải
TXĐ : D 
Ta có: y  x.cos 2 x  x.  cos 2 x   cos 2 x  2 x.sin 2 x


 
Khi đó : y '    1 . Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại x  là 1 .
4
2
Ví dụ 6. Chứng minh rằng : f '  x   0 với f ( x)  cos 6 x  2sin 4 x.cos 2 x  3sin 2 x.cos 4 x  sin 4 x .
Lời giải
TXĐ : D 

Ta có :

f  x   sin 4 x 1  2 cos 2 x   cos 4 x  3sin 2 x  cos 2 x 
 sin 4 x 1  2 cos 2 x   cos 4 x 1  2sin 2 x 
 sin 4 x  cos 4 x  2sin 4 x cos 2 x  2sin 2 x cos 4 x
  cos 2 x  sin 2 x   2sin 2 x cos 2 x  2sin 2 x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x 
2

1
Khi đó : f   x   0
Vậy chứng tỏ f   x   0 với f  x  đã cho.
Bài tập áp dụng:
Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số y  sin 3 x .
Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x .
3 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175


BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175
Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số y  cos 2x  1 .
Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x tại điểm x 


2

.

Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số Tính đạo hàm của hàm số y  2sin 3x cos 5 x tại điểm x 

1 


Câu hỏi 6. Tính đạo hàm của hàm số Tính đạo hàm của hàm số y   sin   x2  tại điểm
2 3


x


3

.
Lời giải

Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số y  sin 3 x .
Ta có y  sin 3x  y  3cos3x
Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x .
Ta có y  5sin x  3cos x  y  5cos x  3sin x
Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số y  cos 2x  1 .
Ta có y  cos 2x  1  y  

sin 2 x  1
2x 1

Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x tại điểm x 


2

.

Ta có y   5sin x  3cos x   5.  sin x   3  cos x   5.cos x  3sin x .



 
Suy ra y    5.cos  3sin  3 .
2
2
2
Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số y  2sin 3x cos 5 x tại điểm x 


8

.

Ta có y  2sin 3x cos5 x  sin 8 x  sin 2 x .

 y   sin8x  sin 2x  '  8cos8x  2cos 2 x
 
 
 
 y    8cos  8.   2cos  2.   8  2 .
8
 8
 8


1 

Câu hỏi 6. Tính đạo hàm của hàm số y   sin   x2  tại điểm x 

.
3
2 3

2

 

 


2

cos  
Ta có y '  x.cos   x   y 
.
 
3
3
3 
3
3

 3



|4



8

.




Bài tập tự luyện:



Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số y  sin( x  )  cos   x  .
3
6

Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số y  4cos 2 x  5sin(2 x  3) .
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số y  3sin x  cos x  2019x .
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số y  x 2 .cos x 2 x sin x .
Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số y  x 2 .cos 3x 2 x sin

2
x.
3



Bài 6. Tính đạo hàm của hàm số y  sin 2  3x    cos 2 x 2  1 .
4

Bài giải




Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số y  sin( x  )  cos   x  .
3
6

Lời giải





Ta có y  cos  x    sin   x  .
3

6

Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số y  4cos 2 x  5sin(2 x  3) .
Lời giải
Ta có y  8sin 2x  10cos  2x  3 .
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số y  3sin x  cos x  2019x .
Lời giải
Ta có : y  3 cos x  sin x  2019



 2


 
Bài 4. Cho hàm số y  cos  3x    sin 
 2 x  . Tính y   .
6

 3

3
Lời giải



 2

Ta có: y  3sin  3x    2cos 
 2x  .
6

 3

Vậy


5
7
 
  
 2
y    3sin  3.    2cos 
 2.   3sin

 2cos 0   .
3
6
2
3
 3 6
 3
Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số y  x 2 .cos 3x 2 x sin 3 x .
5 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175


BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175
Lời giải
Ta

y  2 x cos3x  3x 2 sin 3x  2sin 3x  6 x cos3x  8 x cos3x   2  3x 2  sin 3x

có :



Bài 6. Tính đạo hàm của hàm số y  3  sin 2  3x    cos 2 x 2  1 .
4

Lời giải
Ta có:

 





3.2sin  3 x   cos  3 x  
3sin 2  3 x  
2x
2x
4
4
4



y 
 sin 2 x 2  1.


sin 2 x 2  1
2
2


2x 1
2x 1


2 3  sin 2  3x  
2 3  sin 2  3 x  
4
4



.

2. Đạo hàm các hàm số tan và cot
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1.

Tính đạo hàm của hàm số y  tan 2 x .
Lời giải
Ta có: y '   tan 2 x  ' 

Ví dụ 2.

2
.
cos 2 2 x

Tính đạo hàm của hàm số y  cot  3x  1 .
Lời giải

Ta có: y '  cot  3x  1  
'

3
.
sin  3x  1
2

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y  tan

x 1
.
2

Lời giải

 x 1
'


x 1 
1
2 



Ta có y '   tan
 
2 
 x 1 
2  x 1 

cos 2 
 2 cos 

 2 
 2 
'

Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số y  cot x2  1 .

|6


Lời giải



Ta có: y '  cot x 2  1



'



sin

x2  1
2



x 1
2

x

'



x
x 1  
2
2
sin x  1
x  1.sin 2 x 2  1
2

2


1
Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số f  x   cot x 2 tại điểm x 
.
2
2
Lời giải
2 
1 x 
x
 2 2
Ta có: f '  x   
2 2
2 sin x
sin x



  

2      2
Suy ra: f ' 
  
2
2
 
 2
sin 2  
2
Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số f  x   tan 2 x  cot 2 x tại điểm x 


4

.

Lời giải
Ta có: f '  x   2 tan x.

1
1  2 tan x 2cot x

 2cot x.   2  

2
2
2
cos x
 sin x  cos x sin x





2 tan
2 cot
 
4
4 8

Suy ra: f '   


4
2
2
  cos
sin
4
4
Bài tập áp dụng:
Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số y  tan

x
.
3

Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số y  3cos x  cot 2 x .
Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số y  tan 5 x  cot 4 x .
Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số y  cot  x  1 tại điểm x 


2

.

Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số y  tan 3 x  cot 2 x tại điểm x 


4

.

Lời giải
Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số y  tan

x
.
3

7 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175


BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175
'

x
1

Ta có: y '   tan  

.
3  3cos 2 x

3

Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số y  3cos x  cot 2 x
Ta có: y '   3cos x  cot 2 x   3sin x 
'

2
.
sin 2 2 x

Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số y  tan 5 x  cot 4 x .
Ta có: y '   tan 5 x  cot 4 x  
'

5
4
 2 .
2
cos 5 x sin 4 x

Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số f  x   cot x  1 tại x 
Ta có: f '  x  





'

cot x  1 

 
Suy ra f '    
2

 cot x  1

2 cot x  1

1
2sin 2


2

'

. cot


2


1




2

.

1
2sin x. cot x  1
2

1
2

Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số f  x   tan3 x  cot 2x tại điểm x 
Ta có: f '  x    tan 3 x  cot 2 x   3.tan 2 x.
'


4

.

1
2
 2
2
cos x sin 2 x


1
2

 

4
Suy ra f '    3.tan 2 .
4 cos 2  sin 2 2. 
4
4
4
Bài tập rèn luyện:
Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số f  x   tan x  cot x tại điểm x 




4

.



Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số y  tan x 2  2 x  1 .
1
1
Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số y  tan x  tan 3 x  tan 5 x .
3
5

Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số y  tan(2 x  1)  x cos 2 x .
Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số y  2 tan 2 x  5cot x 2 .

Lời giải
Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số f  x   tan x  cot x tại điểm x 
|8


4

.


1
1
 2
2
(tan x  cot x)
 cos x sin x
Ta có: f '( x) 
2 tan x  cot x 2 tan x  cot x

sin 2 x  cos2 x
2cos 2 x

 2
2
2
2sin x cos x tan x  cot x sin 2 x tan x  cot x
 
Suy ra f '   
4

2 cos



2
0





2
sin   tan  cot
4
4
2





Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số y  tan x 2  2 x  1

 

  cos

Ta có: y '  tan x 2  2 x  1

1

x


2
2
cos x  2 x  1
2x 



x





2

2



 2 x 1

x

2

'



 2 x 1

2x x 1





x cos 2 x 2  2 x  1

1
1
Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số y  tan x  tan 3 x  tan 5 x
3
5

Ta có: y '  1  tan 6 x
Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số y  tan(2 x  1)  x cos 2 x .
Ta có:

2
  cos 2 x  2 x sin x cos x 
cos (2 x  1)
2

 cos 2 x  x sin 2 x
2
cos (2 x  1)

y' 

2

Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số y  2 tan 2 x  5cot x 2 .
Ta có: y ' 

2sin x
5x
 2 2
3
cos x sin x

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác có yếu tố đạo hàm
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1.

Cho y  tan x . Chứng minh rằng y'  y 2 1  0 
Lời giải

Ta có:  tan x  
'

1
 1  tan 2 x
cos 2 x

9 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175

BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175

  1  tan2 x  tan 2 x 1  0
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho y  cot 2 x . Chứng minh rằng: y'  2 y 2  2  0 
Lời giải
Ta có: y '   cot 2 x   2 1  cot 2 2 x 
'

  2 1  cot 2 2 x   2cot 2 2 x  2  0
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3. Cho hàm số y 

x sin x  cos x
cos3 x
.Chứng minh rằng: y '  y.tan x   2
tan x
sin x

Lời giải
Ta tiến hành rút gọn trước khi tính đạo hàm:

x sin x  cos x  x sin x  cos x  .cos x
1

 x.cos x 
 sin x
tan x
sin x

sin x
cos x
cos x
 y '  cos x  x sin x  2  cos x   x sin x  2
sin x
sin x
y





 cos x 1  sin 2 x
cos x
 cos3 x
 VT   x sin x  2  x sin x  cos x 

 VP
sin x
sin 2 x
sin 2 x
Vậy ta có điều phải chứng minh.





Ví dụ 4: Cho hàm số y  x sin x . Chứng minh rằng: xy  2 y '  sin x  x  2cos x  y   0
Ta có: y '   x sin x   sin x  x cos x.
'

VT  x 2 sin x  2  sin x  x cos x  sin x   x  2 cos x  x sin x 
 x 2 sin x  2 x cos x  x 2 cos x  x 2 sin x  0  VP
Vậy ta có điều phải chứng minh.





Ví dụ 5: Cho hàm số y  cot  x 2  1 . Chứng minh rằng: 2 y. y '  x. 1  y 4  0 .
Lời giải
Ta có:

 cot  x  1
y 
2

'

| 10

'

2 cot  x 2  1



 1 1  cot  x2  1  .  x2  1
2 cot  x 2  1

'





 x 1  cot 2  x 2  1
2 cot  x 2  1




VT  2 cot  x  1.
2



x 1  cot 2  x 2  1
2 cot  x 2  1



  x  x. y

4



  x 1  cot 2  x 2  1  x  x.cot 2  x 2  1  0  VP

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 6: Cho hàm số f  x   2cos2  4x 1 . Chứng minh rằng: f '  x   8, x  .
Lời giải
Ta có:

f '  x   16sin  4 x  1 cos  4 x  1  8sin 8x  2 
 f '  x   8sin 8x  2   8 sin 8 x  2   8
Dấu "  " xảy ra khi:


 1 k

sin  8 x  2   1  8 x  2  2  k 2  x  16  4  8

k 
sin  8 x  2   1  8 x  2     k 2  x    1  k

2
16 4 8



Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho hàm số y 

2
sin x  x cos x
. Chứng minh rằng: y '  sin x  x cos x   x 2 y 2  0 .
cos x  x sin x

Bài tập 2: Cho hàm số y  cot x2  1 . Chứng minh rằng: y' . x2  1  x  x. y 2  0 .
Bài tập 3: Cho hàm số f  x   cos x . Chứng minh rằng:

  



2 f '  x   f '  x    f '  0  f  2x   .
3 
6
6





 



Bài tập 4: Cho hàm số y  3 sin 4 x  cos4 x  2 sin 6 x  cos6 x . Chứng minh rằng: y '  0 x 

.

3

 sin x 
'
Bài tập 5: Cho hàm số y  
 . Chứng minh rằng: y .sin x  3 y  0

 1  cos x 
Lời giải
Bài tập 1: Cho hàm số y 
Ta có: y 

2
sin x  x cos x
. Chứng minh rằng: y '  sin x  x cos x   x 2 y 2  0 .
cos x  x sin x

sin x  x cos x
.
cos x  x sin x

11 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD 0973640175


BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175

 sin x  x cos x   cos x  x sin x    sin x  x cos x  cos x  x sin x 

2
 cos x  x sin x 
'

y

'

'

Tính  sin x  x cos x   cos x  x' cos x  x.  cos x   x sin x
'

'

Tính  cos x  x sin x    sin x  x' sin x  x  sin x   x cos x
'

 y' 

'

x sin x.  cos x  x sin x    sin x  x cos x  x cos x

 cos x  x sin x 

2



x2

 cos x  x sin x 

2

Ta có:

VT  y '  sin x  x cos x   x 2 y 2 

2

2
 sin x  x cos x 
. sin x  x cos x   x 2 . 
  0  VP
2 
 cos x  x sin x 
 cos x  x sin x 
2

x2

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tập 2: Cho hàm số y  cot x2  1 . Chứng minh rằng: y' . x2  1  x  x. y 2  0 .
Ta có: y  cot x2  1



 y   1  cot
'

2



 

x 1 .
2

 
'

x  1   1  cot
2

2



x 1
2

x
.

 2

2

 1

'

x 1
2



1 cot 
x 1
x

2

2

x2  1



Ta có:

VT 

1 cot 
x 1
x

2

2



x2  1 . x2  1  x  x.cot 2





x 2  1   x  x cot 2





x 2  1  x  x.cot 2



Vậy ta có điều phải chứng minh.

  

Bài tập 3: Cho hàm số y  cos x . Chứng minh rằng: 2 f '  x   f '  x    f '  0  
3 
6

Ta có: f '  x    cos x    sin x
'

  
  



 VT  2 f '  x   f '  x    2sin  x   sin   x 
3 

6
3 6





2 



 2sin  x   .cos  x     sin  2 x 

3
3
3 




2 
5 



  sin  2 x    sin  2 x 
  cos  2 x 

3
3 

6 









  cos  2 x    0  cos  2 x    f '  0   f  2 x    VP
6
6
6



Vậy ta có điều phải chứng minh.
| 12



f  2x  
6




x2  1  0



 



Bài tập 4: Cho hàm số y  3 sin 4 x  cos4 x  2 sin 6 x  cos6 x . Chứng minh rằng: y '  0 x  .
Ta tiến hành làm gọn biểu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm



 

Ta có: y  3 sin 4 x  cos4 x  2 sin 6 x  cos6 x



Mà:
2
2
2
1
sin 4 x  cos 4 x   sin 2 x    cos 2 x    sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x
2
3
3
3
3
sin 6 x  cos6 x   sin 2 x    cos 2 x    sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x   1  sin 2 2 x

4

 1
  3

 y  3 1  sin 2 2 x   2 1  sin 2 2 x   1
 2
  4

'
 y  0, x 

Vậy ta có điều phải chứng minh.
3

 sin x 
'
Bài tập 5: Cho hàm số y  
 . Chứng minh rằng: y .sin x  3 y  0
 1  cos x 

 sin x 
Ta có: y  

 1  cos x 

3

2

 sin x   sin x 
y'  3
 

 1  cos x   1  cos x 

'

1
 sin x   sin x  1  cos x    sin x 1  cos x 
Mà 

 
2
1  cos x
 1  cos x 
1  cos x 
'

'

'

2

1
3sin 2 x
 sin x 
 y'  3
.



3
 1  cos x  1  cos x 1  cos x 
3

 sin x 
.sin x  3. 
Ta có: y .sin x  3 y  0 
 0
3
 1  cos x 
1  cos x 
3sin 2 x

'

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tập rèn luyện:
Bài tập 1: Cho hàm số y  sin3  2x  1 . Chứng minh rằng: y' sin  2x  1  6 y.cos  2x  1  0

 x 1 
2
Bài tập 2: Cho hàm số y  cos 
 . Chứng minh rằng:
 x 1 
y ' x.



4
 x 1  2
x  1  2 tan 
 . y  0
x

1





13 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD 0973640175


BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175









Bài tập 3: Cho hàm số y  cos4 x 2cos2 x  3  sin 4 x 2sin 2 x  3 . Chứng minh rằng y ' không
phụ

thuộc vào x.
Lời giải

Bài tập 1: Cho hàm số y  sin3  2x  1 . Chứng minh rằng: y' sin  2x  1  6 y.cos  2x  1  0
Ta có: y  sin3  2x  1
 y '  3sin 2  2 x  1  sin  2 x  1   3sin 2  2 x  1 cos  2 x  1 2 x  1  6sin 2  2 x  1 cos  2 x  1
'

'

Ta có:

VT  y ' sin  2 x  1  6 y cos  2 x  1  6sin 2  2 x  1 cos  2 x  1 sin  2 x  1  6sin 3  2 x  1 cos  2 x  1  0  VP
Vậy ta có điều phải chứng minh.

 x 1 
'
2
Bài tập 2: Cho hàm số y  cos 
 . Chứng minh rằng: y x.
 x 1 



4
 x 1 
x  1  2 tan 
 . y  0
 x 1 



 x 1 
2
Ta có: y  cos 

 x 1 
'

 x  1    x  1 
 x 1  x 1  x 1
 y  2 cos 
 cos 
   2 cos 
 sin 
 

 x  1    x  1  
 x 1   x 1   x 1 

'

'

'

 x 1 
Mà 
 
 x 1 





x 1

'

 

x 1 







x 1



x 1

x 1

2

'

x

 x 1   x 1
1
 y '  2 cos 
 sin 

 x 1   x 1  x x 1





2


x





1



x 1

2



x 1
sin  2.

x  1 

x 1

1



2

Ta có:

VT  y ' x.



4
 x 1 
x  1  2 tan 
 . y 
x

1






x

x.


sin 

x 1 

sin  2.
  2
2

x 1 

x 1
cos 





x 1

4

x 1 


x 1 

 x 1 
cos 2 
  0  VP
x

1
x 1 



x 1 

Vậy ta có điều phải chứng minh.









Bài tập 3: Cho hàm số y  cos4 x 2cos2 x  3  sin 4 x 2sin 2 x  3 . Chứng minh rằng y ' không
phụ

thuộc vào x.

Ta tiến hành làm gọn biểu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm

| 14


y  cos 4 x  2 cos 2 x  3  sin 4 x  2sin 2 x  3
 2 cos6 x  3cos 4 x  2sin 6 x  3sin 4 x
 3  sin 4 x  cos 4 x   2  sin 6 x  cos6 x 
1
 y'  0

Vậy y ' không phụ thuộc vào x.
Dạng 3: Giải phương trình lượng giác có liên quan đến đạo hàm
 2

Ví dụ 1. Cho hàm số y  cos 
 2 x  . Khi đó hãy giải phương trình y  0 .
 3

Lời giải
TXĐ : D 

 2

Ta có: y  2.sin 
 2x 
 3


 k
 2


Theo giả thiết y  0  sin 
 2x   0  x   
3 2
 3


k  

.

 x 
Ví dụ 2. Cho hàm số y  sin    . Khi đó hãy tìm nghiệm của phương trình y '  0 .
 3 2
Lời giải
TXĐ : D 

1
 x 
Ta có: y   cos    nên
2
 3 2
 x 

 x 
y  0  cos     0     k  x    k 2  k 
3 2 2
3
 3 2



Ví dụ 3. Cho hàm số y  tanx  x , giải phương trình y  0 .
Lời giải
TXĐ: D 
Ta có: y 



\   k , k  
2

1
 1  tan 2 x , khi đó y  0  tan2 x  0  tanx  0  x  k  k 
2
cos x



Ví dụ 4. Cho hàm số y  sin 2 x.cos x , giải phương trình y  2sin x .
Lời giải
TXĐ : D 

, ta có

y   sin 2 x  cos x  sin 2 x  cos x   2sin x cos2 x  sin3 x
15 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD 0973640175


BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175

Vậy y  2sin x  2sin x.cos 2 x  sin 3 x  2sin x  2sin x  2sin x.cos 2 x  sin 3 x  0
 2sin x 1  cos2 x   sin 3 x  0  3sin 3 x  0  sin x  0  x  k  k 

.

Ví dụ 5. Cho hàm số y  2sin 2 x  cos 2 x  x , giải phương trình y  3 .
Lời giải
TXĐ : D 
Ta có: y  4sin x cos x  2sin 2 x  1  2sin 2 x  2sin 2 x  1  4sin 2 x  1
y  3  4sin 2 x  1  3  sin 2 x  1  2 x  


2

 k 2  x  


4

 k  k 



Ví dụ 6. Cho hàm số y  1  sin x 1  cos x  , giải phương trình y  2(cos x  sin x) .
Lời giải

TXĐ : D 
Ta có: y  cos x 1  cos x   sin x 1  sin x   cos x  sin x  cos2 x  sin 2 x , nên
y  2(cos x  sin x)  cos x  sin x  cos 2 x  sin 2 x  2(cos x  sin x)
 (cos x  sin x)(cos x  sin x)  (cos x  sin x)  0  (cos x  sin x)(cos x  sin x  1)  0



x   k
 


4
sin  x  4   0


 




2 sin  x   .  2 sin  x    1  0  
   x  k 2
 
4 
4 
 1




sin  x   
  x   k 2
4
2

 
2


k  

Bài tập áp dụng :



Bài tập 1. Tính đạo hàm của hàm số y  sin   2 x  và giải phương trình y  0 .
2

Bài tập 2. Cho hàm số y  cot 2

x
. Khi đó nghiệm của phương trình y '  0
4

Bài tập 3. Cho hàm số f  x   2sin 2x  cos 2x , giả phương trình y  2sin 2 x .
Bài tập 4. Tính đạo hàm của hàm số sau: y  sin3  2x  1 và giải phương trình y  0
Bài tập 5. Tính đạo hàm của hàm số sau: y   sin x  cos x  và giải phương trình y  3  3sin 2 x .
3

Bài tập 6. Tính đạo hàm của hàm số sau: y 
| 16

sin 2 x  cos 2 x
, giải phương trình y  6 .
2sin 2 x  cos 2 x

Lời giải



Bài tập 1. Tính đạo hàm của hàm số y  sin   2 x  và giải phương trình y  0 .
2

Lời giải
TXĐ : D 
Ta
y  0  sin 2 x  0  x  k



y  sin   2 x   cos 2 x  y  2sin 2 x
2


có


2

Bài tập 2. Cho hàm số y  cot 2

.

Vậy

k  
x
. Khi đó nghiệm của phương trình y '  0
4

Lời giải
TXĐ : D 

\ k 4 , k 





1
x 
1 
1
x 
x
Ta có : y  cot .  
  cot . 1  cot 2  .

2
4  sin 2 x 
2
4 
4


4

Nên y  0  cot

x
x 
 0    k  x  2  k 4  k 
4
4 2



Bài tập 3. Cho hàm số f  x   2sin 2x  cos 2x , giải phương trình y  2sin 2 x .
Lời giải
TXĐ : D 
Ta có : y  4cos 2 x  2sin 2 x
y  2sin 2 x  4cos 2 x  2sin 2 x  2sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x

 tan2 x  1  2 x 


4

 k  x 


8

k


2

 k    do

cos 2 x  0 

Bài tập 4. Tính đạo hàm của hàm số sau: y  sin3  2x  1 và giải phương trình y  6cos  2x  1 .
Lời giải
TXĐ : D 
Ta có y  6sin 2  2 x  1 cos  2 x 1 . Vậy y  6cos  2x  1
 6sin 2  2 x  1 cos  2 x  1  6cos  2 x  1  cos  2 x  1 1  sin 2  2 x  1  0

17 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD 0973640175


BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175

 cos3  2 x  1  0  cos  2 x  1  0  2 x  1 


2

 k  x 

1 

  k k 
2 4
2

.

Bài tập 5. Tính đạo hàm của hàm số sau: y   sin x  cos x  và giải phương trình y  3  3sin 2 x .
3

Lời giải
TXĐ : D 
Ta có : y  3  sin x  cos x   cos x  sin x  , suy ra
2

y  3  3sin 2 x  3  sin x  cos x   cos x  sin x   3  3sin 2 x .
2

 3  sin x  cos x   cos x  sin x   3(sin x  cos x)2  (sin x  cos x) 2  cos x  sin x   1  0 .
2



x


 k

 



4


sin  x  4   0
 x   4  k
sin x  cos x  0






  x   k 2


2

sin  x     1

sin x  cos x  1  0
2
sin
x


1

0
 x    k 2







4
2
4
 




Bài tập 6. Tính đạo hàm của hàm số sau: y 

sin 2 x  cos 2 x
, giải phương trình y  6 .
2sin 2 x  cos 2 x

Lời giải
ĐK : 2sin 2x  cos 2 x  0 .
Ta có

y 

 2 cos 2 x  2sin 2 x  2sin 2 x  cos 2 x    sin 2 x  cos 2 x  4 cos 2 x  2sin 2 x 
2
 2sin 2 x  cos 2 x 
y 

6

 2sin 2 x  cos 2 x 

y  6 



 2sin 2 x  cos 2 x  1


 2sin 2 x  cos 2 x  1 



| 18

2

6

 2sin 2 x  cos 2 x 

2
sin 2 x 
5
2
sin 2 x 
5

 6   2sin 2 x  cos 2 x   1
2

2

1
1
cos 2 x 
sin  2 x     sin 
5
5

1
1
sin  2 x     sin   
cos 2 x  
5
5


 2 x  

2 x  

 2 x  

  2 x  

sin  

  x    k

   k 2

  x    k
     k 2

2

k 
   k 2
x

k




     k 2

  x     k
2




với

1
2
;cos  
5
5

(Thỏa mãn ĐK)
Bài tập tự luyện:

Bài 1. Cho hàm số y  sin 2 x , giải phương trình y  3 .
Bài 2. Cho hàm số y  cos 2 x  5sinx , giải phương trình y  0 .
Bài 3. Cho hàm số y  3sin x  cos x  2x , giải phương trình y  0 .
Bài 4. Cho hàm số y  sin 2 2 x  cos 2 x , giải phương trình y  2 .
Bài 5. Tìm m để phương trình y  0 có nghiệm biết rằng y  m cos x  2sin x  3x  5 .
Bài giải
Bài 1. Cho hàm số y  sin 2 x , giải phương trình y  3 .
Lời giải
TXĐ : D 
Ta

có

y  0  sin 2 x  0  2 x  k  x  k

y  2sin x cos x  sin 2 x .

:


2

Khi

đó

k  

Bài 2. Cho hàm số y  cos 2 x  5sinx , giải phương trình y  0 .
Lời giải
TXĐ : D 
Ta có : y  2sin 2 x  5cos x .
Nên y  0  2sin 2 x  5cos x  0  4sin x cos x  5cos x  0

 cos x  5  4sin x   0  cos x  0  do 5  4sin x  0   x 


2

 k  k 

.

Bài 3. Cho hàm số y  3sin x  cos x  2x , giải phương trình y  0 .
19 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD 0973640175


BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD - 0973640175
Lời giải
TXĐ : D 
Ta có : y  3 cos x  sin x  2 ,
khi

đó


5


y  0  3 cos x  sin x  2  0  sin  x    1  x 
 k 2  k 
3
6




Bài 4. Cho hàm số y  sin 2 2 x  2 cos 2 x , giải phương trình y  0 .
Lời giải
TXĐ : D 
Ta có : y  4sin 2 x cos 2 x  2sin 2 x ,
nên y  0  2sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  0  sin 2 x  2cos 2 x 1  0



 2 x  k
sin 2 x  0
x  k 2



k 
 2 x   2  k 2
cos 2 x   1
 x     k
3

2



3

.

Bài 5. Tìm m để phương trình y  0 có nghiệm biết rằng y  m cos x  2sin x  3x  5 .
Lời giải
TXĐ : D 
Ta có : y  m sin x  2cos x  3 , khi đó y  0  m sin x  2cos x  3 1
Phương trình y  0 có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm khi và chỉ khi

m  5
.
m2  4  9  m2  5  
m   5

| 20