Chương I Bài 4: Đường tiệm cận

ĐƯỜNG TIỆM CẬN
1. Khái niệm
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( C ) . Điểm M Ỵ ( C ) , MH là khoảng cách
từ M đến đường thẳng d. Đường thẳng d gọi là tiệm cận của đồ thị
hàm số nếu khoảng cách MH dn v 0 khi x đ +Ơ hoc x đ x0.
2.
Tiệm cận ngang
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

( a;+¥ ) , ( - ¥ ;b) hoặc ( - ¥ ;+¥ ) ). Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm
cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim f ( x) = y0 ;
xđ+Ơ

ng thng y = y0 l tim
ngang ca th (khi x đ +Ơ ).

lim f ( x) = y0.

xđ- Ơ

ng thng y = y0 là tiệm cận ngang
của đồ thị (khi x ® - ¥ ).

cận

3. Tiệm cận đứng
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng)
của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa
mãn

lim+ f ( x) = +¥ , lim- f ( x) = - Ơ ,
xđ x0

xđ x0

lim f ( x) = - Ơ ,

lim f ( x) = +Ơ .

xđ x0+

xđ x0-

5


Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng

0

của đồ thị (khi x ® x0+ ).

của đồ thị (khi x ® x ).

Dạng 1. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 1. [ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có đạo
ì 1ü
hàm trên ¡ \ ïí ïý và cú bng bin thiờn nh sau:

ùợù 2ùỵ
ù

Tng s tim cn ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
1
1
1
® x = là TCĐ.
· lim f ( x) = - ¾¾
· lim1 f ( x) = Ơ ắắ
l TCN.
đ y=2
xđƠ
x
đ
2
2
2

Vy th hm s cú tất cả 2 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn B.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ¡ \ { - 1} và có bảng biến thiên

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.

C. 3.
D. 4.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
® y = 2 là TCN.
® y = 5 là TCN;
· lim f ( x) = 5 ¾¾
· lim f ( x) = 2 ắắ
xđ+Ơ

xđ- Ơ

6


f ( x) = Ơ ắắ
đ x = - 1 là TCĐ.
· xlim
®- 1
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
Câu 3. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến
thiên

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
® x = 0 là TCĐ.
® y = 2 là TCN;

· lim f ( x) = 2 ắắ
à lim+ f ( x) = +Ơ ắắ
xđ 0

xđ- Ơ

Vy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn B.
Câu 4. [KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có
bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Chọn B.
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ \ { 0} , liên tục trên mỗi khoảng
xác định và có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau đây có bao nhiêu mệnh đề đúng?
i) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.
ii) Trên khoảng ( 0;+¥ ) , hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
7


iii) Hàm số có 2 điểm cực trị.
iv) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận
đứng.
A. 1.
B. 2.

C. 3.
D. 4.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
f ( x) = 2 nên không tồn tại x0 để f ( x0 ) = 2. Do ú i) sai.
à xlim
đ- Ơ

à D thy ii) đúng
· Tại x = 0 hàm số không xác định nên x = 0 không là điểm cực trị. Do ú iii)
sai.
f ( x) = - Ơ ắắ
đ x = 0 l TC.
f ( x) = 2 ắắ
đ y = 2 l TCN;
à xlim
à lim
xđ 0
đ- Ơ

Do ú iv) ỳng. Vậy có tất cả 2 mệnh đề đúng. Chọn B.
Câu 6. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Chọn C.
Câu 7. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến
thiên

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta cú:
y = 0 ắắ
đ y = 0 l TCN.
à xlim
đ+Ơ
Ã

lim + y = - Ơ ắắ
đ x = - 2 l TC;

xđ ( - 2)

y = +Ơ ắắ
đ x = 0 là TCĐ.
· xlim
® 0-

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.

8


Câu 8. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta có:
® đồ thị hàm số khơng có tiệm cn ngang.
à lim y = +Ơ ắắ
xđ+Ơ

Ã

lim + y = +Ơ ắắ
đ x = - 2 l TC;

xđ ( - 2)

y = - Ơ ắắ
đ x = 1 l TC.
à xlim
® 1+

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn B.
Câu 9. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.

Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta có:
f ( x) = 1ắắ
đ y = 1 l TCN.
f ( x) = 0 ắắ
đ y = 0 l TCN;
à xlim
à xlim
đ+Ơ
đ- Ơ
đ x = 1 l TC;
à lim+ f ( x) = +Ơ ắắ
xđ1

Ã

lim- f ( x) = 2 ắắ
đ x = - 2 khơnglàTCĐ.

x®( - 1)

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
Câu 10. [ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có
bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g( x) =
A. 0.
B. 1.
Lời giải. Dựa vào BBT, ta có:

C. 2.

9

D. 3.

1
là
2 f ( x) - 1


·

2 f ( x) - 1= 0 Û f ( x) =

TCĐ.

1
có hai nghiệm phân biệt. Suy ra ĐTHS g( x) cú 2
2

ỡù
1
ùù lim f ( x) = 1ắắ
đ lim
=1
xđ- ¥ 2 f ( x) - 1
ïï x®- ¥
· Lại cú ớ
ắắ
đ y = 1 l TCN ca THS g( x) .
ùù

1
f ( x) = 1ắắ
đ lim
=1
ùù xlim
xđ+Ơ 2 f ( x) - 1
ùùợ đ+Ơ
Vy th hm s g( x) có tất cả 3 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn D.
Câu 11. Hàm số y = f ( x) xác định và có đạo hàm trên ¡ \ { - 1;1} , có bảng
biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g( x) =

1
là
f ( x) - 1

C. 4.
D. 5.
éx = 0
® ĐTHS g( x) có hai
Lời giải. Dựa vào BBT, có f ( x) = 1 Û ê
êx = a ẻ ( - Ơ ;- 1) ắắ
ở
TC.
ỡù
1
ùù lim f ( x) = - Ơ ắắ
đ lim
= 0 ắắ

đ y = 0 TCN
xđ- Ơ f ( x) - 1
ùù xđ- Ơ
.
Li cú ớ
ùù
1
f ( x) = 0 ắắ
đ lim
= - 1ắắ
đ y = - 1 TCN
ùù xlim
xđ+Ơ f ( x) - 1
ùùợ đ+Ơ
Vy th hm s g( x) có tất cả 4 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
A. 2.

B. 3.

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ¡ \ { - 1} và có bảng biến thiên

Đồ thị hàm số g( x) =
A. 0.

1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
f 2 ( x) - 9

B. 1.

C. 2.
10

D. 3.


éf ( x) = 3 ( 1)
2
Lời giải. Xét phương trình f ( x) - 9 = 0 Û ê
êf x = - 3 2 . Dựa vào BBT, ta thấy
( )
ê
ë( )
mỗi phương trình ( 1) và ( 2) u cú mt nghim (hai nghim ny khỏc nhau)
ắắ
đ thị hàm số g( x) có 2 đường TCĐ. Chọn C.
3
2
Câu 13*. Cho hàm số y = f ( x) = x + bx + cx + d có bảng biến thiên như hình
vẽ:

Đồ thị hàm số

g( x) =

x2 - 2x

21 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
4
A. 1.

B. 2.
C. 3.
D. 4.
é
3
êf ( x) =
( 1)
21
ê
2
2
. Dựa vào BBT, ta thấy:
Lời giải. Xét f ( x) - 5 f ( x) + = 0 Û ê
7
4
ê
( 2)
êf ( x) =
ê
2
ë
· ( 1) có nghiệm duy nhất x = 0
f 2 ( x) - 5 f ( x) +

3
= x.h( x) với h( x) là hàm bậc hai và h( x) = 0 vơ nghiệm.
2
· ( 2) có nghiệm x = 2 (nghim kộp) v x = a ẻ ( 0;1)
ắắ
đ f ( x) -

7
2
= ( x - a) ( x - 2) .
2
x( x - 2)
1
=
.
Do đó g( x) =
2
x
a
x
) ( - 2) .h( x)
( x - a) ( x - 2) .xh( x) (
ắắ
đ f ( x) -

Suy ra đồ thị hàm số g( x) có 2 đường tiệm cận đứng là x = a và x = 2. Chọn
B.

Dạng 2. ĐỒ THỊ

11


Câu 14. (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho
hàm trùng phương y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Số
đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g( x) =

1
f ( x) +1

là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. ĐTHS g( x) có số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương
trình
f ( x) +1= 0 Û f ( x) =- 1.
Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình f ( x) = - 1 có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy đồ thị hàm số g( x) có 3 đường tiệm cận đứng. Chọn C.
Câu 15. Cho hàm trùng phương y = f ( x) có đồ thị
như hình vẽ. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận
x
đứng của đồ thị hàm số g( x) =
là
é
f ( x) ëf ( x) - 1ù
û
A. 6.
C. 9.

B. 8.
D. 10.

éf ( x) = 0
ù= 0 Û ê

f
x
1
(
)
Lời giải. Xét f ( x) é
êf x = 1. Dựa vào
ë
û
ê
ë( )
ù
đồ thị, ta thấy phương trình f ( x) é
ëf ( x) - 1û= 0 có 8
nghiệm phân biệt trong đó khơng có nghiệm nào
bằng 0 ( 0 là nghiệm của t)
ắắ
đ th hm s cú 8 ng tim cn đứng.
Lại có g( x) là hàm phân thức hữu tỷ vi bc ca t nh hn bc ca mu
ắắ
đ thị hàm số g( x) có đúng một tiệm cận ngang là y = 0.

Vậy đồ thị hàm số g( x) có tất cả 9 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
Câu 16. Cho hàm trùng phương y = f ( x) có đồ thị như
hình vẽ. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ
2019
+ 2020 là
thị hàm số g( x) =
f ( x)
A. 1.

B. 2.
C. 3.
D. 4.
2019+ 2020 f ( x)
. Dựa vào đồ thị, ta thấy
Lời giải. Ta có g( x) =
f ( x)
·

f ( x) 0, " x ẻ Ă ắắ
đ 2019+ 2020 f ( x) > 0, " x Ỵ ¡ (nghĩa là tử khơng có nghiệm).

12


Ã

ộx = - 2
f ( x) = 0 ờ
ắắ
đ Đồ thị hàm số có 2 TCĐ: x = - 2 và x = 2.
ê
ëx = 2

f ( x) = +Ơ ắắ
đ lim g( x) = 2020 ắắ
Ta cú xlim
đ th hm s cú TCN: y = 2020.
đƠ

xđƠ
Vy thị hàm g( x) số có tất cả 3 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
3
2
Câu 17*. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) = x + bx + cx + d có

đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số g( x) =
bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 1.

x2 - 1
có
f ( x) - 4 f ( x)
2

B. 2.

C. 3.

D. 4.
éf ( x) = 0 ( 1)
2
Lời giải. Xét f ( x) - 4 f ( x) = 0 Û ê
êf x = 4 2 . Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy
( )
ê
ë( )

· ( 1) có nghiệm x = x1 Ỵ ( - ¥ ;- 1) (nghiệm đơn) và x = 1 (nghim kộp)
2

ắắ
đ f ( x) = ( x - x1 ) ( x - 1) .
· ( 2) có nghiệm x = - 1 (nghiệm kép) và x = x2 ẻ ( 1;+Ơ ) (nghim n)
2

ắắ
đ f ( x) - 4 = ( x +1) ( x - x2 ) .

( x - 1) ( x +1)
1
=
2
2
x
x
x
1
.( x +1) ( x - x2 )
(
)
(
)
x
x
x
1
.
x
+

1
x
x
(
) (
) (
1
1) (
2)
ắắ
đ th hm số g( x) có 4 đường TCĐ. Chọn D.

Do đó g( x) =

Câu 18*. Cho hàm bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình.
Số
tiệm
cận
đứng
của
đồ
thị
hàm
số
g( x) =

f ( x)

( x +1) ( x2 - 4x + 3)
2

là

A. 1.
C. 3.
Lời

B. 2.
D. 4.

giải.

Từ

giả

thiết

suy

2

ra f ( x) = ( x +1) ( x - 2) . Khi

đó

2

( x +1) ( x - 2)
g( x) =

.
2
( x +1) ( x - 1) ( x - 3)
Vì

f ( x) có TXĐ: D = { - 1} È [ 2;+¥ ) nên x = - 1, x = 1 không là các đường TCĐ
13


¾¾
® đồ thị hàm số g( x) có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3. Chọn A.
Nhận xét: Học sinh dễ nhầm lẫn x = - 1 cùng là một đường TCĐ.

Dạng 3. TÌM TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
Câu 19. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số y =
nhiêu đường tiệm cận?
A. 0.
B. 1.
Lời giải. TXĐ: D = ¡ \ { ±2} . Ta có:
·

C. 2.

x- 2
có bao
x2 - 4

D. 3.

lim y = 0 ắắ

đ y = 0 l TCN.

xđƠ

x- 2
= Ơ ắắ
đ x = - 2 là TCĐ;
x2 - 4
x- 2
1
1
lim y = lim 2
= lim
= ¾¾
® x = 2 khơng là TCĐ.
x® 2
x® 2 x - 4
x® 2 x + 2
4
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN và 1 đường TCĐ. Chọn C.
· lim y = lim
x®- 2

x®- 2

Câu 20. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số y =
nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 0.
B. 1.
D

=
¡
\ { ±4} . Ta có:
Lời giải. TXĐ:

C. 2.

x2 - 3x - 4
có bao
x2 - 16

D. 3.

( x +1) ( x - 4)
x2 - 3x - 4
x +1
= lim
= lim
= Ơ ắắ
đ x = - 4 l TC;
2
xđ- 4
x®- 4 ( x + 4) ( x - 4)
x®- 4 x + 4
x - 16

· lim y = lim
x®- 4

( x +1) ( x - 4)

x2 - 3x - 4
x +1 5
= lim
= lim
= ắắ
đ x = 4 khụng là TCĐ.
2
x® 4
x® 4 ( x + 4) ( x - 4)
x® 4 x + 4
8
x - 16

· lim y = lim
x® 4

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCĐ. Chọn B.
Câu 21. (Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019) Đồ thị hàm số
x3 - 4x
có bao nhiêu đường tiệm cận?
y= 3
x - 3x - 2
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. TXĐ: D = ¡ \ { - 1;2} . Ta cú:
Ã

lim y = 1ắắ

đ y = 1 l TCN.

xđƠ

y = lim
à xlim
đ- 1
xđ- 1

x( x - 2) ( x + 2)
2

= Ơ ắắ
đ x = - 1 l TCĐ;

( x - 2) ( x +1)
x( x - 2) ( x + 2)
x( x + 2) 8
lim y = lim
= lim
= ắắ
đ x = 2 khụng l TC.
2
2
xđ 2
xđ 2
x® 2
9
( x - 2) ( x +1)
( x +1)

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN và 1 đường TCĐ. Chọn B.
3x + 2
Câu 22. Đồ thị hàm số y =
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x +1
A. 1.

B. 2.

C. 3.
14

D. 4.


® Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
Lời gii. TX: D = Ă ắắ
Ta cú xlim
đ- Ơ
lim

xđ+Ơ

3x + 2
= - 3 ắắ
đ y = - 3 l TCN;
x +1
3x + 2
= 3 ắắ

đ y = 3 l TCN.
x +1

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCN và khơng có đường TCĐ. Chọn B.
Câu 23. Đồ thị hàm số y =

x2 +1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 - x - 2

A. 1.
B. 2.
Lời giải. TXĐ: D = ¡ \ { - 2;2} . Ta cú
Ã

lim y = lim

xđƠ

xđƠ

C. 3.

D. 4.

x2 +1
= 1 ắắ
đ y = 1 l TCN.
x - x- 2
2

y = Ơ ắắ
đ x = - 2 l TC; lim y = Ơ ắắ
đ x = 2 là TCĐ.
· xlim
®- 2
x® 2
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN và 2 đường TCĐ. Chọn C.
x2 + 2x +1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 - 1
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
ìï 1
ï
khi x >- 1, x ¹ 1
x2 + 2x +1 x +1 ïïï x - 1
y
=
=
=
.
Lời giải. Ta có
í
1
x2 - 1
x2 - 1 ïï
khi x <- 1

ïï îï x - 1
· Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1.
Câu 24. Đồ thị hm s y =

x2 + 2x +1
= 0 ắắ
đ y = 0 l TCN.
xđƠ
xđƠ
x2 - 1
Vy th hm s có 1 đường TCN và 1 đường TCĐ. Chọn C.
·

lim y = lim

Câu 25. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số nào trong các hàm số
dưới đây có tiệm cận đứng?
1
1
1
1
.
.
.
.
A. y =
B. y = 4
C. y = 2
D. y = 2
x +1

x +1
x + x +1
x
Lời giải. Nhận thấy các đáp án B, C, D hàm số có TXĐ: D = ¡ nên khơng có
TCĐ.
Dùng phương pháp loại tr thỡ A ỳng. Chn A.
1
1
= +Ơ ắắ
đ x = 0 là TCĐ)
(Thật vậy; hàm số y =
có lim+ y = lim+
x
®
0
x
®
0
x
x
Câu 26. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Đồ thị hàm số nào trong các hàm số
dưới đây có tiệm cận đứng?
x
x2
x2 - 3x + 2
A. y = 2
B. y =
D. y =
.
.

. C. y = x2 - 1.
x +1
x +1
x- 1
Lời giải. Quan sát các đáp án ta dự đoán là B hoặc D.
15


Xét đáp án D thấy x = - 1 là nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử nên
đáp án D là đúng. Chọn D.
Câu 27. Đồ thị hàm số y =
A. 0.
B. 1.
Lời giải. TXĐ: D = [ 7;+¥ ) .

x- 7
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
x + 3x - 4
C. 2.
D. 3.
2

Vì x2 + 3x - 4 ạ 0, " x ẻ D. Do ú thị hàm số khơng có tiệm cận đứng. Chọn A.
x +1

Câu 28. Đồ thị hàm số y =

có bao nhiêu đường tiệm cận?
4x + 2x +1
A. 1.

B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
2
® TXĐ của hàm số D = ¡ . Do đó đồ
Lời giải. Ta có 4x + 2x +1> 0, " x ẻ Ă ắắ
th hm s khụng cú tim cn ng.
x +1
1
1
= ắắ
đ y = l TCN;
Xột xlim
2
đ+Ơ
2
2
4x + 2x +1
lim

xđ- Ơ

x +1

=-

2

2

1
1
ắắ
đ y=l TCN.
2
2

4x + 2x +1
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCN. Chọn B.

Câu 29. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Đồ thị hàm số y =
nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải. TXĐ: D = [- 9;+¥ ) \ { 0;- 1} . Ta có

x+ 9- 3
có bao
x2 + x

D. 3.

· lim y = lim x + 9 - 3 = ¥ ¾¾
® x = - 1 là TCĐ;
x®- 1
x®- 1
x2 + x
x
1

1
y = lim
= lim
= ắắ
đ x = 0 khụng l TCĐ.
· lim
2
x® 0
x® 0
x® 0
( x +1) x + 9 + 3 6
( x + x) x + 9 + 3

(

)

(

)

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn B.

Câu 30. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng
2x - 1- x2 + x + 3
.
x2 - 5x + 6
A. x = - 3 và x = - 2.
C. x = 3 và x = 2.

của đồ thị hàm số y =

Lời giải. TXĐ: D = ¡ \ { 2;3} .

16

B. x = - 3.
D. x = 3.


( 2x - 1) - ( x2 + x + 3)
2

y = lim+
· lim
x® 2
x® 2

= lim+
x® 2

( x2 -

(

)

5x + 6) 2x - 1+ x2 + x + 3
(3x +1)

( x - 3) ( 2x - 1+ x + x + 3)
2

=-

7
ắắ
đ x = 2 khụng l TC.
6

y = Ơ ắắ
đ x = 3 l TC. Chn D.
à lim
xđ 3
Câu 31. Đồ thị hàm số y =
A. 0.

x+3
9- x2

có bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 1.

C. 2.

D. 3.
lim
y
lim

y
® khơng tồn ti xđ- Ơ v xđ +Ơ .
Li gii. TX: D = ( - 3;3) ¾¾
Suy ra đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
Ta có:
x +3
x +3
x +3
· lim+
= lim+
= lim+
= 0 ắắ
đ x = - 3 khụng l TCĐ;
2
x®- 3
x®- 3
x®- 3
3
x
.
3
+
x
3
- x
9- x
· lim-

x +3

2

= lim-

x +3

x® 3

= lim-

x +3

= +Ơ ắắ
đ x = 3 l TC.
3- x. 3+ x
3- x
9- x
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCĐ. Chọn B.
x® 3

x® 3

16- x2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 - 16
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. TXĐ: D = ( - 4;4) . Suy ra đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

Ta có:
ỉ - 1 ữ
ử
16- x2
ữ
à lim+ 2
ỗ
= lim+ ỗ
=- Ơ ắắ
đ x =- 4 l TC;
ữ
ỗ
2
ữ
xđ- 4
xđ- 4 ố
ỗ 16- x ứ
x - 16
Câu 32. Đồ thị hàm số y =

· limx® 4

ổ - 1 ử
16- x2
ữ
ữ
ỗ
= lim- ỗ
đ x = 4 l TC.
ữ= - Ơ ắắ

2
2ữ
xđ 4 ỗ
ỗ
x - 16
ố 16- x ø

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCĐ. Chọn C.
2x 3- x2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 + x - 2
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
é
ù
- 3; 3ú\ {1} . Suy ra đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
Lời giải. TXĐ: D = ê
ë
û
ngang.
2
ìï
ïï lim 2x 3- x = +Ơ
ùù xđ1+ x2 + x - 2
ắắ
đ x = 1 là TCĐ.
Ta có ïí
ïï

2
ïï lim 2x 3- x = - Ơ
ùùợ xđ1- x2 + x - 2
Cõu 33. thị hàm số y =

17


Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCĐ. Chọn A.
2- x2 - 1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 - 3x + 2
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
- 2; 2ù
\ {1} . Suy ra đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
Lời giải. TXĐ: D = é
ê
ú
ë
û
ngang.
2
ìï
ïï lim 2- x - 1 = 0
ùù xđ1+ x2 - 3x + 2
ắắ
đ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.

Ta có ïí
ïï
2
ïï lim 2- x - 1 = 0
2
ùợù xđ1 x - 3x + 2
Vậy đồ thị hàm số khơng có tiệm cận. Chọn A.
Câu 34. Đồ thị hàm số y =

Câu 35. Đồ thị hàm số y =

x2 - 3x + 2
3

x4 - 1

A. 0.
B. 1.
Lời giải. TXĐ: D = ¡ \ { - 1;1} . Ta có
· lim-

x2 - 3x + 2
3

x®1

4

x - 1

= lim+

x2 - 3x + 2
3

x®1

4

x - 1

=-

cú bao nhiờu ng tim cn ng?
C. 2.

D. 3.

3
ắắ
đ x = 1 khơng là TCĐ;
4

ìï
ïï lim x - 3x + 2 = - Ơ
ùù xđ( - 1) + 3 x4 - 1
à ùớ
ắắ
đ x = - 1 l TC.
ùù

x2 - 3x + 2
ùù lim= +Ơ
ùùợ xđ( - 1) 3 x4 - 1
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCĐ. Chọn B.
2

Câu 36. Đồ thị hàm số y = x2 + 2x + 3 - x có bao nhiêu đường tim cn
ngang?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Li gii. Ta cú
ổ
ử
ùỡù
3
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
2+
ữ
ổ
ử
ỗ
ữ
2
x

+
3
ữ
ỗ
ỗ
2
ùù lim x + 2x + 3 - x = lim ỗ
x
ữ
ữ
ỗ
=
lim
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ= 1
ùù xđ+Ơ
ữ
2
xđ+Ơ ỗ
xđ+Ơ ỗ
ữ
ữ
2
3
ố
ứ
x

+
2
x
+
3
+
x
ữ
ỗ
ù
ữ
1
+
+
+
1
ỗ
.
2
ớ
ỗ
ữ
ố
ứ
x
x
ùù
ùù
ổ ổ 2 3ử ử
ổ

ử
2 3
ùù
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
x2 + 2x + 3 - x = lim ỗ
x2 ỗ
1+ + 2 ữ
- xữ
=
lim
x
1
+
+
1
ữ
ữ
ỗ
ữ= +Ơ
ùù xlim
ỗ
2
ỗ
ữ
ữ xđ- Ơ ỗ

ỗ
đ- Ơ
xđ- Ơ ỗ
ữ
ố
ứ
x
x
ữ
x
x
ố
ứ
ố
ứ
ùùợ
Vy th cú mt ng tim cn ngang l y = 1. Chọn B.

(

)

(

)

x +1
. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng
x2 - 1
của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 37. Cho hàm số y =

18


A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải. TXĐ: D = ( - 1;1) È ( 1;+¥ ) . Ta có

D. 4.

1
1
+
x3 x4 = 0 ắắ
đ y = 0 l TCN.
1
1- 2
x

à lim y = lim x +1 = lim
xđ+Ơ
xđ+Ơ x2 - 1
xđ+Ơ

ỡù
x +1
1
ùù lim y = lim

= lim+
= +Ơ
ùù xđ1+
xđ1+ ( x +1) ( x - 1)
xđ1
x
+
1
( x - 1)
ù
à ớ
ắắ
đ x = 1 là TCĐ;
ïï
x +1
1
ïï lim y = lim
= lim=- Ơ
xđ1- ( x +1) ( x - 1)
xđ1
ùù xđ1x
+
1
x
1
(
)
ợ
lim+ y = lim+

x®( - 1)

x®( - 1)

x +1

( x +1) ( x - 1)

= lim+
x®( - 1)

1

( x - 1) x +1

=- Ơ ắắ
đ x =- 1 l TC;.

Vy th hàm số có 1 đường TCN và 2 đường TCĐ. Chọn C.
Câu 38. Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số y =

1- x

( x - 1) x

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

B. n = 0; d = 1.

A. n = d = 1.

C. n = 1; d = 2.

D. n = 0; d = 2.

® Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
Lời giải. TXĐ: D = ( 0;1) ¾¾
éx = 0
. Ta có
Xét phương trình ( x - 1) x = 0 Û ê
ê
ëx = 1
1- x

· lim+

( x - 1) x

x® 0

à lim
xđ1-

1- x

( x - 1) x

= Ơ ắắ
đ x = 0 l TC;

- 1

= lim-

x- 1 x

xđ1

= Ơ ắắ
đ x = 1 là TCĐ.

Vậy n = 0; d = 2. Chọn D.
Câu 39. Cho hàm số y =

x- 1

. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận
2x2 - 1- 1
đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
ổ
ử
1 ự ộ1
ỳẩ ờ ;+Ơ ữ
- Ơ ;ữ\ { - 1;1} .
Li gii. TX: D = ỗ
ỗ

ỗ
ữ
ỳ
ờ
ố
ứ
2ỷ ở 2
Ã

lim

xđ+Ơ

lim

xđ- Ơ

x- 1
2

2x - 1- 1
x- 1
2

=

2x - 1- 1

1
2

=-

ắắ
đ y=
1
2

1
2

ắắ
đ y=-

l TCN;
1
2

l TCN.

19


· lim y = lim
x®- 1

( x - 1) ( 2x2 - 1+1)

x®- 1

lim y = lim
x®1

2( x - 1)
2

= lim

( x - 1) ( 2x2 - 1+1)

x®1

2( x2 - 1)

xđ- 1

= lim
xđ1

2x2 - 1 +1
= Ơ ắắ
đ x = - 1 là TCĐ;
2( x +1)
2x2 - 1 +1 1
= ¾¾
® x = 1 khơng là TCĐ.
2( x +1)
2

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCN và 1 đường TCĐ. Chọn C.

ìï x2 +1
ïï
khi x ³ 1
ï
x
. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm
Câu 40. Cho hàm số y = ïí
ïï 2x
ïï
khi x < 1
ïỵ x - 1
cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Ta có
2x
· lim y = lim
= 2 ắắ
đ y = 2 l TCN;
xđ- Ơ
xđ- Ơ x - 1
lim y = lim

xđ+Ơ

xđ+Ơ

x2 +1

= 1ắắ
đ y = 1 l TCN.
x

2x
= - Ơ ắắ
đ x = 1 l TC.
x- 1
Vy đồ thị hàm số có 2 đường TCN và 1 đường TCĐ. Chọn C.
· lim- y = limx®1

x®1

Dạng 4. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Câu 41. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình
vẽ

Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số g( x) =
đứng?
A. m<- 5.

1
có 3 đường tiệm cận
f ( x) - m

C. - 5 < m< 4.
D. - 5 £ m< 4.
1
Lời giải. Để đồ thị hàm số g( x) =
có ba tiệm cận đứng thì phương

f ( x) - m
B. m= - 5.

trình f ( x) - m= 0 có ba nghiệm phân bit. Da vo BBT ắắ
đ m= - 5. Chn B.

20


Câu 42. Biết rằng đồ thị hàm số y =

( m- 2n- 3) x + 5

nhận hai trục tọa độ làm
x - m- n
hai đường tiệm cận. Tính tổng S = m2 + n2 - 2.
A. S = - 1.
B. S = 0.
D. S = 1.
D. S = 2.
Lời giải. Dễ dàng có được: x = m+ n là TCĐ và y = m- 2n- 3 là TCN.
ìï m+ n = 0
ỡù m= 1
ị ùớ
ắắ
đ S = m2 + n2 - 2 = 0. Chọn B.
Từ giả thiết, ta có ïí
ïỵï m- 2n- 3 = 0 ïỵï n = - 1
2x +1
những điểm M sao cho khoảng

x- 1
cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận
ngang của đồ thị.
ỉ 7ư
- 4; ÷
÷
A. M ỗ
B. M ( 4;3) hoc M ( - 2;1) .
ỗ
ữhoc M ( 2;5) .
ỗ
ố 5ứ
Cõu 43. Tỡm trờn th hm s y =

ổ 7ử
- 4; ữ
ữ
D. M ỗ
ỗ
ữhoc M ( - 2;1) .
ỗ
ố 5ứ
Li gii. ng tim cn đứng D : x = 1; đường tiệm cận ngang D Â: y = 2.
ổ 2a +1ử
ữ
ữ
Gi M ỗ
ỗa;
ữvi aạ 1 l im thuc th.
ỗ

ố a- 1 ứ
ộM ( 4;3)
éa = 4
2a+1
ê
ù
ê
Ycbt Û d[ M , D ] = 3d é
ëM , D ¢ûÛ a- 1 = 3 a- 1 - 2 Û êa =- 2 Þ êM ( - 2;1) . Chọn B.
ë
ê
ë
C. M ( 4;3) hoặc M ( 2;5) .

Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2x2 - 3x + m
khơng có tiệm cận đứng.
y=
x- m
A. m= 0 .
B. m= 1, m= 2 .
C. m= 0, m= 1.
D. m= 1.
Lời giải. TXĐ: D = ¡ \ { m} .
Ta có y =

( x - m) ( 2x + 2m- 3) + 2m( m- 1)
x- m

= 2x + 2m- 3+

2m( m- 1)
x- m

.

y tồn tại hữu
Để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng thì các giới hạn xlim
® m±
ém= 1
. Chọn C.
hạn Û 2m( m- 1) = 0 Û ê
ê
ëm= 0
Cách 2. YCBT Û Phương trình 2x2 - 3x + m= 0 có một nghiệm là x = m
ộm= 0
ắắ
đ 2m2 - 3m+ m= 0 2m( m- 1) = 0 Û ê
. Chọn C.
ê
ëm= 1

21


Câu 45. Tập hợp các giá trị thực của tham số m
x +1
y= 2
có ba đường tiệm cận là
x - 2mx + 4

ổ
5ử ổ
5
- Ơ ;- ữ
- ;ữẩ ỗ
A. ( - Ơ ;- 2) ẩ ( 2;+Ơ ) .
B. ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ 2
ố
ố
2ứ
ổ
ử
5ử ổ
5
- Ơ ;- ữ
ẩỗ
- ;- 2ữ
ữ
ữ
C. ỗ
D. ( 2;+Ơ ) .
ỗ
ỗ
ữ
ữẩ ( 2;+Ơ ) .

ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
2
2

th hm s

ử
2ữ
ữ.
ữ
ứ

x +1
= 0 ắắ
đ y = 0 l TCN vi mi m.
x - 2mx + 4
Do đó ycbt Û phương trình x2 - 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 1
ïìï ém> 2
ê
ìï m2 - 4 > 0 ïïï êm<- 2
ïìï D ¢> 0
ïí
Û í
Û
Û

. Chọn C.
íë
ïï ( - 1) 2 - 2m.( - 1) + 4 ạ 0 ùùợ 2m+ 5 ạ 0 ùù
5
ùợ
ùù mạ ùợ
2
Li gii. Ta cú lim
xđƠ

2

Cõu 46. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn
x+2
[- 2020;2020] để đồ thị hàm số y = 2
có hai tiệm cận đứng?
x - 4x + m
A. 2020.
B. 2022.
C. 2023.
D. 2024.
2
Lời giải. Ycbt Û x - 4x + m= 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 2
ïì D ¢> 0
ïì 4- m> 0
ïì m< 4
Û ïí
Û ïí
Û ïí
2

ïï ( - 2) - 4.( - 2) + mạ 0 ùợù m+12 ạ 0 ùợù mạ - 12
ùợ
mẻ Â
ắắ
ắ
ắ ắđ mẻ { - 2020;...;0;1;2;3} \ { - 12} .
mỴ [- 2020;2020]

Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn C.
x+2
với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị
x - 4x + m
nguyên m để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
x+2
= 0 ¾¾
® y = 0 là TCN với mọi m.
Lời giải. Ta cú lim 2
xđƠ x - 4x + m
Do ú YCBT Û đồ thị hàm số có 1 TCĐ Û phương trình x2 - 4x + m= 0 có
nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng - 2
éD ¢= 4- m= 0
ê
ém= 4
ê
Û êìïï D ¢= 4- m> 0
Û ê

.
êm= - 12 Chọn C.
êí
ïêï ( - 2) 2 - 4( - 2) + m= 0 ë
ëïỵ
Câu 47. Cho hàm số y =

2

Câu 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [- 12;12] để đồ thị
hàm số y =
A. 8.

x+2
có tiệm cận ngang mà khơng có tiệm cận đứng?
x2 - 4x + m
B. 9.
C. 10.
D. 11.
22


x+2
= 0 ắắ
đ y = 0 l TCN vi mi m.
x2 - 4x + m
Do đó YCBT Û x2 - 4x + m= 0 vơ nghiệm Û D ¢< 0 Û m> 4. Chọn A.
Nhận xét. Bạn đọc dễ nhầm lẫn mà xét thêm trường hợp mẫu thức
® m= - 12. Điều này là sai, vì với m= - 12
x2 - 4x + m= 0 có nghiệm x = - 2 ¾¾

1
. Đồ thị này vẫn cịn TCĐ là x = 6.
thì hàm số trở thành y =
x- 6
Lời giải. Ta cú lim
xđƠ

Cõu 49. [ MINH HA 2016-2017] Cho hm số y =

x +1

với m là tham
mx2 +1
số thực. Tập hợp các giá trị m để đồ thị của hàm số có 2 tiệm cận ngang là
A. ( - ¥ ;0) .
B. { 0} .
C. ( 0;+Ơ ) .
D. ặ.
Li giải. Với m< 0 thì hàm số có TXĐ là một khoảng khơng chứa ±¥ nên đồ
thị hàm số khơng có TCN.
® đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.
Với m= 0 suy y = x +1¾¾
Khi m> 0, ta cú:
1
1+
x +1
1
x = 1 ắắ
= lim
đ y=

à xlim
l TCN;
2
đ+Ơ
xđ+Ơ
1
m
m
mx +1
m+ 2
x
ổ 1ữ
ử
1
xỗ
1+ ữ
- 1ỗ
ỗ
ố xữ
ứ
1
x = - 1 ắắ
à lim y = lim
=
đ y=l TCN.
xđ- Ơ
xđ- Ơ
1
1
m

m
x m+ 2
m+ 2
x
x
Vy với m> 0 thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. Chọn C.
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
x2 + 2
y=
có đường tiệm cận ngang.
mx4 + 3
A. m= 0.
B. m< 0.
C. m> 0.
D. m 0.
ổ
ử
ỗ- 4 - 3 ; 4 - 3 ÷
÷
Lời giải. · Với m< 0, khi ú hm s cú TX: D = ỗ
ữ
ỗ
ữ l mt khong
ỗ
m
mứ
ố
khụng cha Ơ nờn th hm s khơng có tiệm cận ngang.
1 2
2

y = +¥ , suy ra th khụng cú
à Vi m= 0 ắắ
đ y=
.x +
. Khi ú xlim
đƠ
3
3
TCN.
Ã
m> 0,
Vi
khi
ú
hm
s
cú
TX:
v
D=Ă
ổ
ử
2
2
x2 ỗ
1+ ữ
ữ
1+ 2
ỗ
ữ

ỗ
ố x2 ứ
1
x
lim
= lim
=
xđƠ
xđƠ
3
3
m
x2 m+ 4
m+ 4
x
x
23


¾¾
® y=

1
m

là TCN. Chọn C.

Câu 51. Biết rằng đồ thị của hàm số y = 2x + ax2 + bx + 4 có một đường tiệm
cận ngang y = - 1. Giá trị của biểu thức P = 2a- b2 bằng
A. - 72.

B. - 8.
C. 8.
D. 72.
Lời giải. Ta có: ·
·

(

)

lim y = lim 2x + ax2 + bx + 4 = +Ơ .

xđ+Ơ

xđ+Ơ

(

)

lim y = lim 2x + ax2 + bx + 4 = lim

xđ- Ơ

xđ- Ơ

xđ- Ơ

( 4- a) x2 - bx - 4
ax2 + bx + 4

2x -

.

Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = - 1 nờn xlim
đ- Ơ
ùỡù 4- a = 0
ï
Û í -b
Û
ïï
=- 1
ïïỵ 2+ a

( 4- a) x2 - bx - 4
2x -

ax2 + bx + 4

=- 1

ïíïì a = 4 ắắ
đ P = 2a- b2 = - 8. Chọn B.
ïỵï b = 4

Câu 52. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số
y = ax + 4x2 +1 có tiệm cận ngang?
A. 0.
B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

( a2 - 4) x2 - 1
2
Lời giải. Ta có lim y = lim ax + 4x +1 = lim
.
xđƠ
xđƠ
xđƠ
ax - 4x2 +1

(

à Vi a2 - 4 ạ 0 ta cú lim
xđƠ

)

( a2 - 4) x2 ax -

1

4x2 +1

· Với a2 - 4 = 0 Û a = 2 ta cú lim

= Ơ ắắ

đ th hàm số khơng có TCN.

( a2 - 4) x2 2

1

= lim

- 1

ax - 4x +1
ax - 4x2 +1
hàm số có TCN là y = 0. Vậy a= ±2 thỏa mãn. Chn C.
xđƠ

xđƠ

= 0 ắắ
đ th

1
m l tham s. Tp hợp
Câu 53*. Cho hàm số y = é 2
ù x - m với
êx - ( 2m+1) x + 2mû
ú
ë
các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận là
ïì 1ïü
ïì 1ïü

]
A. ( 0;1) .
B. [ 0;1.
C. ( 0;1) \ í ý.
D. ( - Ơ ;1) \ ớ ý.
ùợù 2ùỵ
ùợù 2ùỵ
ù
ù
Li gii. TX: D = ( m;+¥ ) .
Xét phương trình
éx2 - ( 2m+1) x + 2m= 0
éx2 - ( 2m+1) x + 2mù x - m = 0 Û ê
Û
ê
ú
ê
ë
û
ê x- m = 0
ở
y = 0 ắắ
đ th hm s cú TCN: y = 0.
Ta cú xlim
đ+Ơ

24

ộx = 1, x = 2m
ê

.
ê
ëx = m