Bài 5- Đường tiệm cận

KIỂM TRA BÀI CŨ

Cho hàm số :

y = x + 3x − 9 x − 7 ( C )
3

2

1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [- 4; 3]
2. Xác định điểm I thuộc đồ thị ( C ) có hồnh độ là
nghiệm của phương trình y’’ = 0.
3. Chứng minh rằng I là tâm đối xứng của ( C ).


Bµi 5


1
► lim f ( x) = lim = 0
x →+ ∞
x →+ ∞ x
1
và lim f ( x) = lim = 0
x →− ∞
x →− ∞ x

y

1

(C) f ( x) =
x

Trục hoành là tiệm cận ngang
1
của đồ thị hàm số y =
x

1
► lim+ f ( x) = lim+ = + ∞
x →0
x →0 x
1
và lim− f ( x) = lim− = − ∞
x →0
x →0 x
Trục tung là tiệm cận đứng của
1
đồ thị hàm số y =
x

M
O
N

K

H

x

I. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang:
1. Đường tiệm cận ngang:
Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

lim f ( x) = y0

x →+∞

hoặc

lim f ( x) = y0

x →−∞

(Xem hình 1.7 SGK trang 29)

● Ví dụ:

2x + 3
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
x +1
Giải: TXĐ: ¡ \ { −1}
Vì

lim y = 2

x →+∞

và

lim y = 2

x →−∞

nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số


2. Đường tiệm cận đứng:
Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong
các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim− f ( x) = + ∞ ; lim+ f ( x) = + ∞

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

lim− f ( x) = − ∞ ; lim+ f ( x) = − ∞
(Xem hình 1.8 SGK trang 30)

● Ví dụ:

2x + 3
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
x +1
Giải: TXĐ: ¡ \ { −1}
Vì

lim + y = + ∞

x → ( −1)

và

lim − y = − ∞

x → ( −1)

nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số


II. Đường tiệm cận xiên:
Đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ), được gọi là tiệm
cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim [ f ( x) − (ax + b)] = 0
x →+ ∞

hoặc lim [ f ( x) − (ax − b)] = 0
x →− ∞

● Ví dụ:

(Xem hình 1.11 SGK trang 33)

x
Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f ( x) = x + 2
x −1
Giải: TXĐ:¡ \ { ± 1 }
x
Vì lim [ f ( x ) − x ] = lim 2
=0
x →+ ∞
x →+ ∞ x − 1
x
và lim [ f ( x) − x] = lim 2
=0
x →− ∞
x →− ∞ x − 1
nên đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số


x
=
Y
xi
ên
cậ
n

4

Ti

ệ

m

x = -1

x
f(x) = x+ 2
x -1

6

y

2

3

1

-2

-4

-6

x=1

-5

− 3 O
-1

5

x


~ Chú ý:
Ta có thể tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y
= f(x) bằng cách:
1. Tìm a và b theo cơng thức

f ( x)
a = lim
x →+ ∞
x

và

b = lim [ f ( x) − ax]
x →+ ∞

(tương tự cho trường hợp x → − ∞
)
2. Đối với hàm số hữu tỉ (bậc tử số lớn hơn bậc mẫu số
một bậc) thì ta chia đa thức và đưa về dạng
y
lim α ( x) = 0 hoặc lim α ( x) = 0
= f(x) = ax + b + α(x) với

x →+ ∞

x →− ∞


BÀI TẬP CỦNG CỐ
1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số:

2x2 + 1
a) y = 2
x − 2x

2. Cho hàm số

b) y = 2 x + x 2 − 1

2 x 2 − 3x − 3
y=
x−2

(C )

a. Xác định giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị
hàm số (C).
b. Viết côngu r chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến
thức
u
theo vectơ OI và viết phương trình của đường cong (C)
đối với hệ tọa độ IXY.Suy ra I là tâm đối xứng.

2x2 + 1
f ( x) = 2
x − 2x

4

2

X=0

y

2
y=2

O

-5

2

2⋅x2+1
f(x) = 2
x -2⋅x

-4

-6

X=2

-2

5

x


y

=

y=

y

x

6

-x
4

2

-5

y = x2 −1
TXD : (− ∞ ; −1 ] ∪ [ 1; + ∞)

o

-1

-2

-4

1

5

x


2 x − 3x − 3
y=
x−2
TXĐ: ¡ \ { 2 }
2

6

y

5

Tiệm cận đứng: x = 2

I

4

Tiệm cận xiên: y = 2x + 1

2

Giao điểm 2 tiệm cận là I(2; 5)
2
O

-5

Công thức chuyển hệ tọa độ:

2 X 2 −1
Y=
X

-4

x=2

1
x+

Phương trình của đường cong
(C) đối với hệ tọa độ IXY:

x

-2

y=
2

x = X + 2

y = Y + 5

5

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận I(2; 5) làm
tâm đối xứng
-6

THE END


Tiệm cận đứng x = - 1

2⋅x+3
f(x) =
x+1

8

y

6

4

2
2

Tiệm cận ngang y = 2

-1

O

-5

5

x

-2

-4

TCĐ TCN