Tiêp tuyên cua đồ thị hàm số

Tng lai danh vng ngy mai y, cú c hay khụng tui hc trũ!
Ôn thi đại Học 7/11-21/11/2013
Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng 1: Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm
)();(
000
CyxM
. Viết phờng trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm
);(
000
yxM
.
2.Ph ơng pháp:
Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại
);(
000
yxM
có dạng :
))(('
000
xxxfyy =
.
Dạng 2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm A(a; b). Viết phờng trình tiếp tuyến của
(C) đi qua điểm A.
1
O
y
y = f(x)

y
0
x
x
0
M
0
y
x
O
y = f(x)
A(a; b)
Tng lai danh vng ngy mai y, cú c hay khụng tui hc trũ!
2. Ph ơng pháp :
Cách 1: Viết phơng trình trình thẳng qua A(a; b) với hệ số góc k dới dạng:
y = k(x - a) + b (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:



=
+=
kxf
baxkxf
)('
)()(
có nghiệm.
Giải phơng trình
}{
n

xxxxbaxxfxf ; ;;))((')(
10
+=
. tính k
i
= f(x
i
) với
ni ;0=
,
thay vào (d) suy ra các tiếp tuyến.
Cách 2: Tìm tiếp điểm M(x
0
,y
0
)
Phơng trình tt tai M có dạng: y=f(x
0
)(x-x
0
)+y
0
Tiếp tuyến đi qua A(a;b) nên b=f(x
0
)(a -x
0
)+y
0
. Từ đó tìm x
0

với y
0
=f(x
0
)
* L u ý : Đối với bài toán này chúng ta thờng lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua và
tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C). Vì vậy
chún ta cần phân biệt rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau.
Dạng 3: Viết phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc
1. Bài toán:
Cho hàm số y = f(x) (C) và số k
R
.
2. Ph ơng pháp:
Cách 1 : Tìm tọa độ tiếp điểm M(x
0
,y
0
)
Giải phơng trình f(x
0
) = k. Giả sử đợc các nghiệm x
1
; x
2
; ;x
n.
.
Tính y
i

= f(x
i
). Pttt tại x
i
là:
ii
yxxky += )(
.
Cách 2 : Phơng trình tiếp tuyến có dạng y=kx+m
Hệ phơng trình
( )
'( )
y f x kx m
f x k
= = +


=

có nghiệm.
Từ đó tìm m và viết pttt
3.Các dạng biểu diễn hệ số góc k:
*) Cho trực tiếp:

7
3
;3;1;5 ==== kkkk
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng của trục Ox một góc

, với

3
;
3
2
;45;30;15
000









Khi đó hệ số góc k =

tan
.
*) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.
*) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (d): y = ax + b
a
kka
1
1

==
.
2

Tng lai danh vng ngy mai y, cú c hay khụng tui hc trũ!
*) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d): y = ax + b một góc

. Khi đó:

tan
1
=
+

ka
ak
.
Dạng 4: Tìm điểm trên (d) hoặc (C) để từ đó có thể kẻ đợc 1,2,3 tiếp tuyến đến
(C)
Phơng pháp:
Cách 1: M(x
M
,y
M
)
( )d
hoặc (C).
Phơng trình đờng thẳng qua M hệ số góc k: y=k(x-x
M
)+y
M
Hệ
( ) (1)
'( ) (2)

M M
y k x x y
f x k
= +


=

có nghiệm. Thế (2) vào (1).
Số tiếp tuyến kẻ từ M là số nghiệm x của phơng trình y=f(x) = f(x)(x-x
M
)+y
M
(3)
Cách 2: Từ điều kiện nghiệm kép của pt (1) ta suy ra một phơng trình đối với ẩn k. Số
tiếp tuyến là số nghiệm đối với ẩn k.
Cách 2 thờng đợc sử dụng nhiều hơn!`
Dạng 5: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đợc 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp
tuyến đó vuông góc với nhau
Phơng pháp: Gọi M(x
M
,y
M
) là điểm cần tìm
Phơng trình đờng thẳng qua M hệ số góc k là: y=k(x-x
M
)+y
M
Tơng tự dạng 4 ta suy ra từ M kẻ đợc 2 tiếp tuyến thì pt (3) có 2 nghiệm phân biệt x
1

,
x
2
.
Hai tiếp tuyến vuông góc f(x
1
).f(x
2
)= -1. Từ đó tìm đợc M
Chú ý:
1) Trong những trờng hợp pt(3) phức tạp ta thờng sử dụng điều kiện nghiệm kép
của pt(1) để tìm ra phơng trình đối với ẩn k(chú ý khi pt có ẩn ở mẫu). Khi đó
pt đối với ẩn k có 2 nghiệm k
1
, k
2
sao cho k
1
.k
2
= -1
2) Qua M kẻ đợc 2 tiếp tuyến nằm về 2 phía trục hoành thì (3) có 2 nghiệm phân
biệt sao cho f(x
1
).f(x
2
) < 0
Bài 1:
Cho hàm số
12

2
1

+=
x
xy
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; 3).
Bài 2:
Cho hàm số:
)1(
1
12
+

=
x
x
y
. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đờng
thẳng y = 3x.
Bài 3:
Viết pttt của đồ thị hàm số:
23
23
+= xxy
tại điểm có hoành độ x = 3.
Bài tập 4:
Cho hàm số
43
23

+= xxy
(C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đ-
ờng thẳng
0109 =+ yx
.
3
Tng lai danh vng ngy mai y, cú c hay khụng tui hc trũ!
Bài 5:
Cho hàm số
43
23
+= xxy
(C). Viết pttt của (C) tại điểm A(1; -2).
Bài 6: (Dự bị khối B-2002)
Cho hàm số
3
4
2
2
1
3
1
23
+= xxxy
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
tuyến đó song song với đờng thẳng
.24 += xy
Bài 7: (ĐH Khối B- 2006).
Cho hàm số
2

1
2
+
+
=
x
xx
y
(C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm
cận xiên của đồ thị (C).
Bài 8: (ĐH khối B 2008).
Cho hàm số
3 2
4 6 1y x x= +
(C). viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua M(-1;
-9).
Bài 9:
Cho hàm số
1
2
+
=
x
x
y
(C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M cắt hai trục toạ độ Ox và Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
4
1
.

Bài 10:
Cho hàm số
24
2xxy =
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ x = -2.
Bài 11;
3 2
1y x x= +
. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt hai
trục tọa độ lần lợt tại A, B và tam giác OAB cân tại O.
Bài 12:
1
x
y
x
=

. Tìm tọa độ M trên đồ thị, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M vuông
góc với đờng thẳng đi qua M và I(1;1)
Bài 13:
2 1
1
x
y
x

=

(C) . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là điểm thuộc (C).

Tiếp tuyến tại M của (C ) cắt các tiệm cân tại A, B. Chứng minh diện tích tam giác
IAB không đổi.
Bài 14:
2 1
1
x
y
x

=
+
.
a) Tìm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M với đờng thẳng đi qua M
và giao của 2 tiệm cận có tích hệ số góc là -9
b) Tìm M sao cho khoảng cách từ I(-1;2) tới tiếp tuyến của đồ thị tại M là lớn nhất
Bài 15:
2 3
2
x
y
x

=

. Tìm trên đồ thị những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của đồ
thị cắt 2 tiệm cận tại A, B sao cho AB ngắn nhất
4
Tương lai danh vọng ngày mai ấy, có được hay không tuổi học trò!
5