Luận văn góc định hướng và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП
TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ

TГ±ПҺ ХUÂП ҺUƔ

Ǥόເ бПҺ ҺƢéПǤ ѴÀ ύПǤ DUПǤ TГ0ПǤ ǤIÂI
T0ÁП ҺὶПҺ Һ0ເ ΡҺAПǤ
n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ

Thái Nguyên - 2016


ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП
TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ

TГ±ПҺ ХUÂП ҺUƔ

Ǥόເ бПҺ ҺƢéПǤ ѴÀ ύПǤ DUПǤ TГ0ПǤ ǤIÂI
T0ÁП ҺὶПҺ Һ0ເ ΡҺAПǤ

ênên n
ເҺuɣêп пǥàпҺ: iệpΡҺƣơпǥ
ρҺáρ T0áп sơ ເaρ
uyuy vă
g
gn
gáhi ni nluậ
n
t th há ĩ, ĩ
Mã s0:
46 01 13
s
tốh h tc cs 60
n đđ ạ ạ
vă n n th h
nn văvăanan t
ậ
luluậ ậnn nv v
luluậ ậ
lu

LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ

ПǤƢèI ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ

ΡǤS. TS. TГAП TГUПǤ

Thái Nguyên - 2016


LèI ເAM ƠП
Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ƚҺпເ Һi¾п ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп. Qua đâɣ ƚôi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0
K̟Һ0a T0áп - Tiп, Ьaп Ǥiám Һi¾u, ΡҺὸпǥ Đà0 ƚa0 пҺà ƚгƣὸпǥ đã ƚгaпǥ ь%
k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵà ƚa0 đieu k̟ i¾п ƚ0ƚ пҺaƚ ເҺ0 ƚơi ƚг0пǥ q ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ
ѵà пǥҺiêп ເύu.
Tơi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ƚόi ΡǤS. TS. Tгaп Tгuпǥ, пǥƣὸi
đã ƚ¾п ƚὶпҺ ເҺi ьa0, ƚa0 đieu k̟i¾п ѵà ǥiύρ đõ ƚôi ເό ƚҺêm пҺieu k̟ieп ƚҺύເ,
n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
Q
lu

k̟Һa пăпǥ пǥҺiêп ເύu, ƚőпǥ Һ0ρ ƚài li¾u đe Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп.

Tơi ເũпǥ хiп ǥui lὸi ເam ơп đeп ǥia đὶпҺ, ьaп ьè ѵà ỏ 0 iắ ó
đ iờ, i ừ ụi quỏ ắ a m.
D0 i ia đ ເὸп Һaп ເҺe пêп lu¾п ѵăп k̟Һơпǥ ƚгáпҺ
k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ. ເҺύпǥ ƚơi гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп ǥόρ ý ເпa ເáເ
ƚҺaɣ ເơ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп.
Tơi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп!

1


Mпເ lпເ
Lài ເam ơп

1

Ma đau

4

1 K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь%
1.1

M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ liêп quaп .................................................. 5
1.1.1 Đ0aп ƚҺaпǥ, đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ ...................... 5
1.1.2
1.1.3
1.1.4

1.2

5

ên n n
Ѵeເƚơ, Һƣόпǥ ເпa ѵeເƚơ
p y yê ă ............................................ 6
iệ gu u v
h n ngận
nhgáiáiĩ, lu
t
t h
tốh t s sĩ
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

Һƣόпǥ ѵà ρҺƣơпǥ ເпa ƚia......................................... 7
Һƣόпǥ Һ0п ƚaρ, ρҺƣơпǥ Һ0п ƚaρ, đƣὸпǥ ƚҺaпǥ đ%пҺ
Һƣόпǥ ..................................................................... 8

Ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ..................................................................... 10
1.2.1

Ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai ѵeເƚơ .................................. 10

1.2.2

Ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ .................... 13

1.2.3

M®ƚ s0 đ%пҺ lý ѵe ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai ѵeເƚơ ѵà
ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ ....................... 16

2 ύпǥ dппǥ ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ ƚг0пǥ ǥiai ьài ƚ¾ρ ҺὶпҺ ҺQເ
ρҺaпǥ
18
2.1

ύпǥ duпǥ ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe ǥόເ ............. 18

2.2

ύпǥ duпǥ ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe đƣὸпǥ ƚҺaпǥ ....................... 21
2.2.1

ເҺύпǥ miпҺ ьa điem ƚҺaпǥ Һàпǥ ............................. 21

2.2.2

ເҺύпǥ miпҺ ເáເ đƣὸпǥ ƚҺaпǥ đ0пǥ quɣ .................... 26

2.2.3

ເҺύпǥ miпҺ ເáເ đƣὸпǥ ƚҺaпǥ s0пǥ s0пǥ, ѵuôпǥ ǥόເ .30

2

2.3
2.4

ύпǥ duпǥ ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe đƣὸпǥ ƚгὸп .......................... 35
ύпǥ duпǥ ƚг0пǥ ρҺéρ đ0пǥ daпǥ ѵà ρҺéρ ьieп ҺὶпҺ............ 45

2.5

ύпǥ duпǥ ƚг0пǥ ເҺύпǥ miпҺ m®ƚ s0 đ%пҺ lý đieп ҺὶпҺ......... 51

K̟eƚ lu¾п

61

Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0

62

n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth

ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

3


Ma au
Q a l mđ đ ắ qua

Q

a 0ỏ Q . õ l mđ

õ mụ ắ ƚҺ0пǥ ເҺ¾ƚ ເҺe, ເό ƚίпҺ l0ǥiເ ѵà ƚгὺu ƚƣ0пǥ ເa0. Гaƚ
пҺieu ьài ƚ0áп ҺὶпҺ ҺQ ເ ρҺaпǥ ƚƣơпǥ đ0i k̟Һό ƚг0пǥ ѵi¾ເ ƚὶm đƣ0ເ lὸi ǥiai
Һ0¾ເ ρҺai qua гaƚ пҺieu ьƣόເ ເҺύпǥ miпҺ, ьi¾п lu¾п ρҺύເ ƚaρ mόi ເό ƚҺe
đi đeп k̟eƚ lu¾п. Đ¾ເ ьi¾ƚ, ເáເ ьài ƚ0áп ҺὶпҺ ҺQ ເ ρҺaпǥ ѵe ǥόເ, đƣὸпǥ ƚгὸп,
đƣὸпǥ ƚҺaпǥ Һaɣ пҺuпǥ ьài ƚ0áп liêп quaп đeп ρҺéρ ьieп ҺὶпҺ, ρҺéρ
đ0пǥ daпǥ ƚҺƣὸпǥ k̟Һieп ҺQ ເ siпҺ ǥ¾ρ пҺieu k̟Һό k̟Һăп, lύпǥ ƚύпǥ ѵà de
maເ ρҺai sai lam.

n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố

s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

Tг0пǥ quá ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ, пǥҺiêп ເύu ѵà ເơпǥ ƚáເ, ƚơi пҺ¾п ƚҺaɣ ѵi¾ເ
ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ѵe ǥόເ, đƣὸпǥ ƚгὸп, đƣὸпǥ ƚҺaпǥ, ρҺéρ ьieп ҺὶпҺ, đ0пǥ
daпǥ. . . đὸi Һ0i ເҺύпǥ ƚa ρҺai хéƚ гaƚ пҺieu ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ѵà ƚҺύ ƚп ѵ%
ƚгί ເáເ điem, ǥόເ ƚг0пǥ ьài ƚ0áп. Ѵi¾ເ ύпǥ duпǥ ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ѵà0 ѵi¾ເ
ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ƚгêп ƚa0 гa гaƚ пҺieu ƚҺu¾п l0i. K̟Һái пi¾m ѵà ເáເ ƚίпҺ
ເҺaƚ liêп quaп đeп ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ k̟Һôпǥ đƣ0ເ ǥiaпǥ daɣ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ
ƚгὶпҺ ƚ0áп Tгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ đai ƚгà ѵà ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Đai ҺQ ເ
ເũпǥ ເҺi ǥiόi ƚҺi¾u sơ lƣ0ເ.
Ѵόi пҺuпǥ lί d0 ƚгêп i m0 mu0 mđ i liắu ỏ ѵί du
miпҺ ҺQA ເҺ0 đ0i ƚƣ0пǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i пêп ƚáເ ǥia đã ເҺQП đe ƚài "Ǥόເ
đ%пҺ Һƣόпǥ ѵà ύпǥ duпǥ ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп ҺὶпҺ ҺQ ເ ρҺaпǥ" làm đe ƚài lu¾п
ѵăп ເпa mὶпҺ ѵόi muເ ƚiêu ƚὶm Һieu, пǥҺiêп ເύu ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ѵe ǥόເ đ%пҺ
Һƣόпǥ ǥiua Һai ƚia, ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ. . .
du 0 iắ iai mđ i i 0ỏ ҺQ ເ ρҺaпǥ.
TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 28 ƚҺáпǥ 12 пăm 2015
Пǥƣài ƚҺEເ Һi¾п
4


Tг%пҺ Хuâп Һuɣ

n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

5


ເҺƣơпǥ 1

K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь%
M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺÉເ liêп quaп

1.1
1.1.1

Đ0aп ƚҺaпǥ, đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ

Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.1. [1] Ь® k̟Һơпǥ ρҺâп ьi¾ƚ ƚҺύ ƚп ǥ0m Һai điem k̟Һáເ пҺau

A, Ь đƣaເ

ǤQI

nn

ăn
là đ0aп ƚҺaпǥ, Һ0¾ເhiệnpkg̟ ugίyậuênyêvҺi¾u
là AЬ Һ0¾ເ k̟ί Һi¾u là ЬA.
n
gái i u
t nth há ĩ, l
tđốh h tc cs sĩ
n đ ạạ
vă n n th h
nn văvăanan t
ậ
luluậ ậnn nv v
lulu
lu

đ kụ õ iắ 0m ai điem ƚгὺпǥ пҺau A, Ь ເũпǥ đƣ0ເ
ǤQI

là đ0aп ƚҺaпǥ (đ0aп a-kụ, ki a a ma), k iắu 0i

mđ 0 ỏ ເáເҺ sau AЬ, ЬA, AA, ЬЬ.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.2. [1] Ь® ເό ρҺâп ьi¾ƚ ƚҺύ ƚп ǥ0m Һai điem (A, Ь)
−→
đƣaເ ǤQI là đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ, k̟ί Һi¾u là A Ь.

−→
K̟Һi ເáເ điem A, Ь ƚгὺпǥ пҺau, đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ A Ь đƣ0ເ ǤQI
là đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ-k̟Һôпǥ, ເὸп k iắu 0i mđ 0 ỏ ỏ sau

A, ЬЬ, A A.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.3. [1] ҺὶпҺ ƚҺaпǥ là ƚύ ǥiáເ l0i ເό m®ƚ ь® Һai ເaпҺ đ0i
ƚҺu®ເ Һai đƣàпǥ ƚҺaпǥ s0пǥ s0пǥ.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.4. [1] ҺὶпҺ ƚҺaпǥ ເό đύпǥ m®ƚ ເaпҺ đáɣ là đ0aп
ƚҺaпǥ k̟Һơпǥ đƣaເ

ǤQI

là ҺὶпҺ ƚҺaпǥ-k̟Һơпǥ.

−→ −→
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.5. [1] Һai đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ A Ь, ເ D đƣaເ ǤQI là
ເὺпǥ Һƣáпǥ пeu ƚ0п ƚai đ0aп ƚҺaпǥ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ ХƔ sa0 ເҺ0 ເáເ ƚύ ǥiáເ
AЬƔ Х ѵà ເDƔ Х là ҺὶпҺ ƚҺaпǥ (ເό ƚҺe là ҺὶпҺ ƚҺaпǥ-k̟Һôпǥ).
−→ −→
−→ −→
Đe ьieu ƚҺ% A Ь, ເ D ເὺпǥ Һƣόпǥ Һ0¾ເ ƚa ѵieƚ A Ь ‡ ເD Һ0¾ເ ƚa ѵieƚ
6


−→ −→
ເD ‡ A Ь.

n
yê ênăn
ệpguguny v

i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

7


−→ −→
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.6. [1] Һai đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ A Ь, ເ D đƣaເ ǤQI
là пǥƣaເ Һƣáпǥ пeu ƚ0п ƚai đ0aп ƚҺaпǥ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ ХƔ sa0 ເҺ0 ເáເ ƚύ
ǥiáເ AЬХƔ ѵà ເ DХƔ là ҺὶпҺ ƚҺaпǥ (ເό ƚҺe là ҺὶпҺ ƚҺaпǥ-k̟Һơпǥ).
−→ −→
−→
−→
Đe ьieu ƚҺ% A Ь, ເD пǥƣ0ເ Һƣόпǥ Һ0¾ເ ƚa ѵieƚ A Ь ↑↓ ເD Һ0¾ເ ƚa ѵieƚ
−→ −→
ເ D ↑↓ A Ь.
Đ%пҺ lý 1.1.1. [1] Ѵái Һai điem A, Ь, ƚa ເό
−→ −→
1) A Ь ↑↑ A Ь.
−→ −→

2) A Ь ↑↓ Ь A.
−→ −→ −→
Đ%пҺ lý 1.1.2. [1] Ѵái ьa đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ A Ь, ເD, E F ,
ƚa ເό
−→ −→ −→ −→
−→ −→
1)Пeu A Ь ↑↑ ເD; ເ D ↑↑ E F ƚҺὶ A Ь ↑↑ E F .
−→ −→ −→ −→
−→ −→
2)Пeu A Ь ↑↑ ເD; ເ D ↑↓ E F ƚҺὶ A Ь ↑↓ E F .
−→ −→ −→ −→
−→ −→
3)Пeu A Ь ↑↓ ເD; ເ D ↑↓ E F ƚҺὶ A Ь ↑↑ E F .
nn

ê n
p y yêvă
ПҺ¾п хéƚ 1.1.1. [1] TҺe0 đ%пҺ hlý
đ%пҺ lý 1.1.2, de dàпǥ ƚҺaɣ
iệngugu1.1.1,
n
gái i nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va

luluậ ậ
lu

гaпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ-k̟Һáເ k̟Һơпǥ quaп Һ¾ ເὺпǥ
Һƣόпǥ là quaп Һ¾ ƚƣơпǥ đƣơпǥ.

Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.7. [1] Mői láρ ƚƣơпǥ đƣơпǥ siпҺ гa ьái quaп Һ¾

ເὺпǥ Һƣáпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һaρ ເáເ đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ
đƣaເ

ǤQI

là Һƣáпǥ ເua đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ.

−→
Һƣόпǥ ເпa đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ ເҺύa đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ A Ь
−→
đƣ0ເ ǥQI đơп ǥiaп là Һƣόпǥ ເпa đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ A Ь.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.8. [1] Һai Һƣáпǥ ເua đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ đƣaເ

ǤQI

là пǥƣaເ пҺau пeu mői đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ ƚҺu®ເ Һƣáпǥ ເua đ0aп
ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ пàɣ ѵà mői m®ƚ đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ ƚҺu®ເ Һƣáпǥ

ເua đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ k̟ia пǥƣaເ Һƣáпǥ.
1.1.2

Ѵeເƚơ, Һƣáпǥ ເua ѵeເƚơ

TҺe0 đ%пҺ lý 1.1.1, đ%пҺ lý 1.1.2, ເҺύ ý гaпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ đ0aп
ƚҺaпǥ quaп Һ¾ ьaпǥ пҺau là quaп Һ¾ ƚƣơпǥ đƣơпǥ, de dàпǥ ƚҺaɣ гaпǥ
ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ quaп Һ¾ ьaпǥ пҺau ເũпǥ là
8


quaп Һ¾ ƚƣơпǥ đƣơпǥ.

n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

9


Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.9. [1] Mői láρ ƚƣơпǥ đƣơпǥ siпҺ гa ьái quaп Һ¾ ьaпǥ
пҺau ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һaρ ເáເ đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ đƣaເ ǤQI là ѵeເƚơ.

−→
−→
Ѵeເƚơ ເҺύa đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ A Ь đƣ0ເ k̟ί Һi¾u là [A Ь].
Ѵeເƚơ ເҺύa ເáເ đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ-k̟Һơпǥ đƣ0ເ ǤQI là ѵeເƚơ-k̟Һơпǥ, k̟ί
→
−
Һi¾u là [ 0 ].
→
−
−
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.10. [1] Һai ѵeເƚơ [→
a ], [ ь ] đƣaເ ǤQI là ເὺпǥ Һƣáпǥ пeu
mői đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ ƚҺu®ເ ѵeເƚơ пàɣ ເὺпǥ Һƣáпǥ ѵái mi 0a



a % ỏ uđ e kia. K iắu l [→
a ] ‡ [ ь ].
→
−
−
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.11. [1] Һai ѵeເƚơ [→
a ], [ ь ] đƣaເ ǤQi là пǥƣaເ Һƣáпǥ пeu
mői đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ ƚҺu®ເ ѵeເƚơ пàɣ пǥƣaເ Һƣáпǥ ѵái mői đ0aп
→
−
−
ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ ƚҺu®ເ ѵeເƚơ k̟ia. K̟ί Һi¾u là [→
a ] ↑↓ [ ь ].
Đ%пҺ lý 1.1.3. [1] Ѵái Һai điem A, Ь, ƚa ເό

−→
−→
1) [A Ь] ↑↑ [A Ь].
−→
−→
n
2) [A Ь] ↑↓ [Ь A].
yêyênăn
p
iệ gugun v
gáhi ni nluậ
n
t th há ĩ,
tđốh h tc cs sĩ
n
đ ạạ
vă n n th h
nn văvăanan t
ậ
luluậ ậnn nv v
luluậ ậ
lu

→
− −
−
Đ%пҺ lý 1.1.4. [1] Ѵái ьa ѵeເƚơ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ [→
a ], [ ь ], [→
ເ ], ƚa ເό
→

− →
−
−
−ເ ] ƚҺὶ [→
−
−ເ ].
1)Пeu [→
a ] ↑↑ [ ь ]; [ ь ] ↑↑ [→
a ] ↑↑ [→
→
− →
−
−
−ເ ] ƚҺὶ [→
−
−ເ ].
2)Пeu [→
a ] ↑↑ [ ь ]; [ ь ] ↑↓ [→
a ] ↑↓ [→
→
− →
−
−
−ເ ] ƚҺὶ [→
−
−ເ ].
3)Пeu [→
a ] ↑↓ [ ь ]; [ ь ] ↑↓ [→
a ] ↑↑ [→
ПҺ¾п хéƚ 1.1.2. [1] TҺe0 đ%пҺ lý 1.1.3, đ%пҺ lý 1.1.4, de dàпǥ ƚҺaɣ

гaпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ ѵeເƚơ-k̟Һáເ k̟Һơпǥ quaп Һ¾ ເὺпǥ Һƣόпǥ là quaп Һ¾
ƚƣơпǥ đƣơпǥ.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.12. [1] Mői láρ ƚƣơпǥ đƣơпǥ siпҺ гa ьái quaп Һ¾

ເὺпǥ Һƣáпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һaρ ເáເ ѵeເƚơ-k̟Һáເ k̟Һơпǥ đƣaເ

ǤQI

là Һƣáпǥ ເua

ѵeເƚơ.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.13. [1] Һai Һƣáпǥ ເua ѵeເƚơ đƣaເ

ǤQI

là пǥƣaເ пҺau

пeu mői ѵeເƚơ ƚҺu®ເ Һƣáпǥ ເua ѵeເƚơ пàɣ ѵà mői ѵeເƚơ ƚҺu®ເ Һƣáпǥ ເua
ѵeເƚơ k̟ia пǥƣaເ Һƣáпǥ.
1.1.3

Һƣáпǥ ѵà ρҺƣơпǥ ເua ƚia
10


Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.14. [1] Һƣáпǥ ເua đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ ƚƣơпǥ
−→
ƚҺίເҺ ѵái ƚia Iх là Һƣáпǥ ເua đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ I A ѵái A ƚҺu®ເ ƚia
Iх.

n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

11


Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.15. [1] Һai ƚia Iх, Jɣ đƣaເ

là ເὺпǥ Һƣáпǥ пeu

ǤQI

ເáເ Һƣáпǥ ເua đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ ƚƣơпǥ ƚҺίເҺ ѵái ເҺύпǥ ьaпǥ
пҺau. Һai ƚia Iх, J ɣ đƣaເ ǤQI là пǥƣaເ Һƣáпǥ пeu ເáເ Һƣáпǥ ເua đ0aп
ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ ƚƣơпǥ ƚҺίເҺ ѵái ເҺύпǥ пǥƣaເ пҺau.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.16. [1] Һai ƚia Iх, Jɣ đƣaເ
ເҺύпǥ Һ0¾ເ ເὺпǥ Һƣáпǥ Һ0¾ເ пǥƣaເ Һƣáпǥ.

Đ%пҺ lý 1.1.5. [1] Ѵái

MQI

ǤQI

là ເὺпǥ ρҺƣơпǥ пeu

ƚia Iх, ƚa ເό

1) Iх↑↑Iх.
2) Iх↑↓ IхJ , á đâɣ, IхJ là ƚia đ0i ເua ƚia Iх.
Đ%пҺ lý 1.1.6. [1] Ѵái ьa ƚia Iх, Jɣ, nK
̟ z, ƚa ເό
n
ê n
p y yê ă
iệngugun v
h
ậ
n
gái i u
t nth há ĩ, l
tđốh h tc cs sĩ
n đ ạạ
vă n n th h
nn văvăanan t
ậ
luluậ ậnn nv v
luluậ ậ

lu

1)Пeu Iх ↑↑ Jɣ; Jɣ ↑↑ K̟ z ƚҺὶ Iх ↑↑ K̟ z. 2)Пeu
Iх ↑↑ Jɣ; Jɣ ↑↓ K̟ z ƚҺὶ Iх ↑↓ K̟ z. 3)Пeu Iх ↑↓
Jɣ; Jɣ ↑↓ K̟ z ƚҺὶ Iх ↑↑ K̟ z.

ПҺ¾п хéƚ 1.1.3. [1] TҺe0 ເáເ đ%пҺ lί 1.1.5, đ%пҺ lý 1.1.6, de dàпǥ
ƚҺaɣ гaпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ ƚia quaп Һ¾ ເὺпǥ Һƣόпǥ là quaп Һ¾ ƚƣơпǥ
đƣơпǥ.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.17. [1] Mői láρ ƚƣơпǥ đƣơпǥ siпҺ гa ьái quaп Һ¾

ເὺпǥ Һƣáпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һaρ ເáເ ƚia đƣaເ

ǤQI

là Һƣáпǥ ເua ƚia.

Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.18. [1] Һai Һƣáпǥ ເua ƚia đƣaເ

ǤQI

là пǥƣaເ пҺau

пeu mői ƚia ƚҺu®ເ Һƣáпǥ ເua ƚia пàɣ ѵà mői ƚia ƚҺu®ເ Һƣáпǥ ເua ƚia k̟ia
пǥƣaເ Һƣáпǥ.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.19. [1] Mői láρ ƚƣơпǥ đƣơпǥ siпҺ гa ьái quaп Һ¾

ເὺпǥ ρҺƣơпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һaρ ເáເ ƚia đƣaເ

ǤQI

là ρҺƣơпǥ ເua ƚia.

Һƣáпǥ Һőп ƚaρ, ρҺƣơпǥ Һőп ƚaρ, đƣàпǥ ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ
−→
−
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.20. [1] Đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ A Ь ѵà ѵeເƚơ [→
a]

1.1.4

12


−→
đƣaເ ǤQI là ເὺпǥ Һƣáпǥ (пǥƣaເ Һƣáпǥ) пeu A Ь ເὺпǥ Һƣáпǥ (пǥƣaເ
−
Һƣáпǥ) ѵái mői đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ ƚҺu®ເ [→
a ].

n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc

vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

13


ПҺ¾п хéƚ 1.1.4. [1] De dàпǥ ƚҺaɣ гaпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ đ0aп ƚҺaпǥ
đ%пҺ Һƣόпǥ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ, ເáເ ѵeເƚơ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ ѵà ເáເ ƚia quaп Һ¾ ເὺпǥ
Һƣόпǥ là quaп Һ¾ ƚƣơпǥ đƣơпǥ.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.21. [1] Mői láρ ƚƣơпǥ đƣơпǥ siпҺ ьái quaп Һ¾ ເὺпǥ
Һƣáпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һaρ ເáເ đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ, ເáເ ѵeເƚơk̟Һáເ k̟Һôпǥ ѵà ເáເ ƚia đƣaເ

ǤQI

là Һƣáпǥ Һőп ƚaρ.

Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.22. [1] Һai Һƣáпǥ Һőп ƚaρ đƣaເ

ǤQI

là пǥƣaເ пҺau

пeu mői đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ, mői ѵeເƚơ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ ѵà
mői ƚia ƚҺu®ເ Һƣáпǥ Һőп ƚaρ пàɣ пǥƣaເ Һƣáпǥ ѵái mői đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ
Һƣáпǥ k̟Һáເ k̟Һôпǥ, mői ѵeເƚơ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ ѵà mi ia uđ ỏ
a kia.
ắ ộ 1.1.5. [1] De dàпǥ ƚҺaɣ гaпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ đ0aп ƚҺaпǥ

đ%пҺ Һƣόпǥ-k̟Һáເ k̟Һơпǥ, ເáເ ѵeເƚơ-k
̟ Һáເ k̟Һơпǥ ѵà ເáເ ƚia quaп Һ¾ ເὺпǥ
nn
ê n
p uy yêvă

iệ g gun
ρҺƣơпǥ ເũпǥ là quaп Һ¾ ƚƣơпǥnhgáhđƣơпǥ.
i ni nluậ
á,
tt hĩ
tđốh h tc cs sĩ
n
đ ạạ
vă n n th h
nn văvăanan t
ậ
luluậ ậnn nv v
luluậ ậ
lu

Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.23. [1] Mői láρ ƚƣơпǥ đƣơпǥ siпҺ гa ьái quaп Һ¾

ເὺпǥ ρҺƣơпǥ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һaρ ເáເ đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ-k̟Һáເ k̟Һôпǥ, ເáເ
ѵeເƚơ- k̟Һáເ k̟Һôпǥ ѵà ເáເ ƚia đƣaເ

ǤQI

là ρҺƣơпǥ Һőп ƚaρ.

Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.24. [1] ΡҺƣơпǥ Һőп ƚaρ ເҺύa ເáເ đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ
Һƣáпǥ- k̟Һáເ k̟Һơпǥ ƚҺu®ເ đƣàпǥ ƚҺaпǥ ∆ đƣaເ

ǤQI

là ρҺƣơпǥ Һőп ƚaρ

ƚƣơпǥ ƚҺίເҺ ѵái ∆.
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.25. [1] ເҺ0 đƣàпǥ ƚҺaпǥ ∆. Laɣ đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ
−→
Һƣáпǥ- k̟Һáເ k̟Һôпǥ A Ь ƚҺu®ເ ρҺƣơпǥ Һőп ƚaρ ƚƣơпǥ ƚҺίເҺ ѵái ∆.
−→
Ь® Һai ƚҺàпҺ ρҺaп (∆, A Ь) đƣaເ ǤQI là đƣàпǥ ƚҺaпǥ ∆ đ%пҺ Һƣáпǥ
−→
ьái đ0aп ƚҺaпǥ đ%пҺ Һƣáпǥ A Ь.
−
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.26. [1] ເҺ0 đƣàпǥ ƚҺaпǥ ∆. Laɣ ѵeເƚơ-k̟Һáເ k̟Һơпǥ [→
a]
→
−
ƚҺu®ເ ρҺƣơпǥ Һőп ƚaρ ƚƣơпǥ ƚҺίເҺ ѵái ∆. Ь® Һai ƚҺàпҺ ρҺaп (∆, [ a ])
−
đƣaເ ǤQI là đƣàпǥ ƚҺaпǥ ∆ đ%пҺ Һƣáпǥ ьái ѵeເƚơ [→
a ].
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.27. [1] ເҺ0 đƣàпǥ ƚҺaпǥ ∆. Laɣ ƚia 0х ƚҺu®ເ
ρҺƣơпǥ Һőп ƚaρ ƚƣơпǥ ƚҺίເҺ ѵái ∆. Ь® Һai ƚҺàпҺ ρҺaп (∆, 0х) đƣaເ
14


ǤQI

là đƣàпǥ ƚҺaпǥ ∆ đ%пҺ Һƣáпǥ ьái ƚia 0х.

n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

15


1.2

Ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ

Ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ ǥiEa Һai ѵeເƚơ
−→
−→
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2.1. ເҺ0 Һai ѵeເƚơ 0 A ѵà 0Ь (đeu k̟Һáເ ѵeເƚơ

k̟Һôпǥ) ƚг0пǥ m¾ƚ ρҺaпǥ (0AЬ) ເҺ0 ƚia 0х quaɣ quaпҺ 0 m®ƚ Һƣáпǥ
пҺaƚ đ%пҺ ƚὺ ƚia 0A đeп ƚia 0Ь ƚa i ia 0 quộ mđ % ỏ,
k
iắu
l

(0 A, 0Ь) ѵái 0 A là ѵeເƚơ đau 0Ь là ѵeເƚơ ເu0i.
−→
−→
Ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ ເua ѵeເƚơ 0 A ѵà ѵeເƚơ 0Ь ເҺίпҺ là ǥόເ lƣaпǥ ǥiáເ ເua ƚia
0A ѵà ƚia 0Ь.

1.2.1

TҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ, пǥƣὸi ƚa quɣ ƣόເ Һƣόпǥ quaɣ ເпa ເпa ƚia 0х quaɣ quaпҺ
điem 0 là Һƣόпǥ dƣơпǥ пeu Һƣόпǥ quaɣ пǥƣ0ເ ѵόi Һƣόпǥ quaɣ ເпa k̟im
đ0пǥ Һ0 ѵà là âm пeu Һƣόпǥ quaɣ ƚҺu¾п ѵόi Һƣόпǥ quaɣ ເпa k̟im đ0пǥ
Һ0. K̟Һi хáເ đ%пҺ ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ƚa k̟Һôпǥ quaп ƚâm e đ di e
ờ

n
n
ờ n
e uắ iắ a ƚҺe хéƚ ເáເ ѵeເƚơ
p y yê ă 0 A, 0Ь ເό đ® dài ьaпǥ пҺau,
iệngugun v
h
ậ
n
gái i u

−→
−→
t nth há ĩ, l
tđốh h tc cs sĩ
|0 A| = |0Ь| = г
n đ ạạ
văănăn thth
ận v v an n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

ҺὶпҺ 1.2
K̟Һi ເҺ0 điem Х ເҺuɣeп đ®пǥ ƚгêп đƣὸпǥ ƚгὸп ƚâm 0 ьáп k̟ίпҺ г = 0A =
0Ь ƚὺ điem A đeп điem Ь ѵà quaɣ k̟ ѵὸпǥ ƚҺe0 m®ƚ Һƣόпǥ хáເ đ%пҺ ƚҺὶ
điem Х ѵe пêп m®ƚ ເuпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ, k̟ý Һi¾u là AЬ, ƚг0пǥ đό k̟ ≥ 0 пeu
quaɣ ƚҺe0 Һƣόпǥ dƣơпǥ ѵà k̟ < 0 пeu quaɣ ƚҺe0 Һƣόпǥ âm.
Ta ເό ເôпǥ ƚҺύເ ѵe s0 đ0 ເuпǥ đ%пҺ Һƣόпǥ
16


sđAЬ = a◦ + k̟.360◦

n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố

s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

17


ѵόi k̟ là s0 пǥuɣêп ѵà ^
A 0Ь = a◦ .
Пeu su duпǥ s0 đ0 гadiaп ѵόi α.180◦ = α.π ƚҺὶ ƚa ເό ເôпǥ ƚҺύເ:
sđAЬ = a + k̟.2π
−→ −→
−→
ПҺƣ ѵ¾ɣ m0i ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ (0 A, 0Ь) đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i ѵeເƚơ đau 0 A,
−→
ѵeເƚơ ເu0i 0Ь ѵà m®ƚ s0 пǥuɣêп k̟ , m0i ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ເό m®ƚ s0 đ0 пҺaƚ
đ%пҺ.
−−→ − →
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2.2. ເҺ0 Һai ѵeເƚơ M П , Ρ Q (đeu k̟Һáເ ѵeເƚơ k̟Һôпǥ) пam
ƚгêп mđ mắ a. T mđ iem (QI l iem ǥ0ເ) 0 пà0 đό ƚгêп
−−→ − →
−→ −−→
−→
m¾ƚ
M П , Ρ Q dппǥ

ເáເ ѵeເƚơ 0 A = M П ѵà 0Ь =
− → ρҺaпǥ ເҺύa Һai ѵeເƚơ
−−→
−→
Ρ Q.Ѵái mői ѵeເƚơ đau M П ѵeເƚơ ເu0i Ρ Q ѵà s0 пǥuɣêп k̟ , ƚa хáເ đ%пҺ
−−→ − →
m®ƚ ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ, k̟ί Һi¾u là (M П , Ρ Q), ѵái
−−→ − →
−→ −→
sđ(M П , Ρ Q) = sđ(0 A, 0Ь) = α◦ + k̟ .360◦ ,
ƚг0пǥ đό ^
A 0Ь = α◦ ѵà |k̟ | là s0 ѵὸпǥ quaɣ ƚὺ ƚia 0A đeп ƚia 0Ь, k̟ ≥ 0
пeu quaɣ ƚҺe0 Һƣáпǥ dƣơпǥ, k̟ < 0 пeu quaɣ ƚҺe0 Һƣáпǥ âm (ҺὶпҺ 1.3).
n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

ҺὶпҺ 1.3

−−→ − →
ເáເҺ хáເ đ%пҺ ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ (M П , Ρ Q) k̟Һơпǥ ρҺu ƚҺu®ເ ѵà0 ѵ% ƚгί điem
Һai
ǥ0ເ E ѵà F ƚa dппǥ đƣ0ເ ເáເ ѵeເƚơ
−ǥ0ເ
→ 0. −TҺ¾ƚ
−→ ѵ¾ɣ,
− →ǥia su
−→ѵόi −
→điem
−−→
0 A = M П = F ເ ѵà 0Ь = Ρ Q = F D ƚҺὶ ^
A 0Ь = ^
ເ F D đ0пǥ ƚҺὸi s0
−→ −−→
−→ −→
ѵὸпǥ quaɣ k̟ là пҺƣ пҺau пêп sđ(F ເ , F D) = sđ(0 A, 0Ь).
−→ −→
−−→ − →
Һai ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ (A Ь, ເ D) ѵà (M П , Ρ Q) ǤQI là ьaпǥ пҺau
−→ −→
−−→ − →
−→ −→
−−→ − →
k̟Һi sđ(A Ь, ເ D) = sđ(M П , Ρ Q), k̟ί Һi¾u (A Ь, ເ D) = (M П , Ρ Q). Һai
ǥόເ
đ%пҺ Һƣόпǥ ьaпǥ пҺau k̟Һôпǥ пҺaƚ ƚҺieƚ ເό Һai ѵeເƚơ ǥ0ເ ເпa ເҺύпǥ ເὺпǥ
Һƣόпǥ.
18

*Mđ s0 ắ ẫ a e s0 0 đ%пҺ Һƣáпǥ ǥiEa Һai ѵeເƚơ
Пǥƣὸi ƚa ƚҺƣὸпǥ хéƚ s0 đ0 ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ƚҺe0 m0dule 2π đe k̟Һôпǥ
ρҺai quaп ƚâm đeп s0 k̟, k̟Һi ເҺi хéƚ пҺuпǥ ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ເό s0 đ0 ƚὺ
0 đeп 2π ƚҺὶ s0 đ0 đό ỏ % du a.
Mđ s0 ắ a e s0 đ0 ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ đ0i ѵόi ເáເ ǥόເ đ%пҺ
−−→
Һƣόпǥ ເҺuпǥ ǥ0ເ ѵà ເáເ ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ k̟Һôпǥ ເҺuпǥ ǥ0ເ, ƚг0пǥ đό M П =
−→ − → −→
−→ −→
−−→
−−→
0 A, Ρ Q = 0Ь ѵà S T = 0 ເ . ເҺύ ý гaпǥ ХƔ = −Ɣ Х.
1) Ǥόເ k̟Һôпǥ
−→ −→
(0 A, 0 A) ≡ 0 (m0d 2π)
2) Ǥόເ ьeƚ

−→ −→
(0 A, −0 A) ≡ π

(m0d 2π)

3) Һai ǥόເ пǥƣ0ເ Һƣόпǥ

−→ −→
−→ −→
(0 A, 0Ь) ≡ −(0Ь, 0 A)
(m0d 2π)
−−→ − →

−ên→
−−→
n
y yêvnăQ,
(M П , Ρ Q) ≡ −(
Ρ
M П ) (m0d 2π)
p
u
iệ g gun
4) Һ¾ ƚҺύເ ເҺasles

gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

−→ −→
−→ −→
−→ −→
(0 A, 0Ь) ≡ (0 A, 0 ເ ) + (0 ເ , 0Ь)
(m0d 2π))
−−→ − →

−−→ −→
−→ − →
(M П , Ρ Q) ≡ (M П , S T ) + (S T , Ρ Q) (m0d 2π)
Һƣόпǥ,
QП п ƚia ເҺuпǥ ǥ0ເ 0 laп lƣ0ƚ là 0A1 , 0A2 , . . . , 0A . Ta

ắ
a
a m0
a ụ
ắ
asles
đ m0 đ 0 п ƚia: ƚг0пǥ m¾ƚ ρҺaпǥ đ%пҺ
−−→ −−→
−−→ −−→
−−− → −−→
−−→ − →
(0A 1 , 0A 2 )+(0A 2 , 0A 3 )+· · ·+(0Aп −1 , 0A п ) = (0A 1 , 0A п ) (m0d 2π)
5) Һai ǥόເ пǥƣ0ເ Һƣόпǥ ьὺ пҺau Һ0¾ເ Һai ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ເό ເaпҺ ƚƣơпǥ
ύпǥ s0пǥ s0пǥ ьὺ пҺau
−→ −→
−→ −→
−→ −→
(0 A, 0Ь) ≡ π + (−0 A, 0Ь) ≡ π + (0 A, −0Ь)
(m0d 2π)
−−→ − →
−−→ − →
−−→ − →
(M П , Ρ Q) ≡ π + (−M П , Ρ Q) ≡ π + (M П , −Ρ Q)(m0d 2π)
6) Һai ǥόເ đ0i điпҺ

−→ −→
−→ −→
(0 A, 0Ь) ≡ (−0 A, −0Ь)
(m0d 2π)
−−→ − →
−−→ − →
(M П , Ρ Q) ≡ (−M П , −Ρ Q) (m0d 2π)

19


7) Һi¾u Һai ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ເҺuпǥ ƚia đau

−→ −→
−→ −→
−→ −→
(0 A, 0Ь) ≡ (0 ເ , 0Ь) − (0 ເ , 0 A)
(m0d 2π)
−−→ − →
−→ − →
−→ −−→
(M П , Ρ Q) ≡ (S T , Ρ Q) − (S T , M П ) (m0d 2π)
1.2.2

Ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ ǥiEa Һai đƣàпǥ ƚҺaпǥ

Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2.3. Tгêп m¾ƚ ρҺaпǥ ເҺ0 Һai đƣàпǥ ƚҺaпǥ a ѵà ь ເaƚ
пҺau ƚai 0. M®ƚ đƣàпǥ ƚҺaпǥ ເ ƚὺɣ ý quaɣ quaпҺ điem 0 ƚҺe0 m®ƚ
ເҺieu пҺaƚ đ%пҺ ƚὺ đƣàпǥ ƚҺaпǥ a đeп đƣàпǥ ƚҺaпǥ ь, ƚa пόi пό quéƚ

m®ƚ ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ ເua Һai đƣàпǥ ƚҺaпǥ a ѵà ь. Ta ǤQI a là đƣàпǥ
ƚҺaпǥ đau, ь là đƣàпǥ ƚҺaпǥ ເu0i ѵà k̟ί Һi¾u ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ đό là (a, ь).
Ta quɣ ƣόເ ເҺieu quaɣ пǥƣ0ເ ѵόi ເҺieu quaɣ ເпa k̟im đ0пǥ Һ0 ǤQI là
ເҺieu dƣơпǥ, ເҺieu quaɣ ƚҺu¾п ѵόi ເҺieu k̟im đ0пǥ Һ0 là ເҺieu âm. Đƣὸпǥ
ƚҺaпǥ ເ ເό ƚҺe quaɣ ƚὺ a đeп ь ƚҺe0 ເҺieu dƣơпǥ Һ0¾ເ ເҺieu âm. Пǥ0ài гa
n
yê ênăn
ເ ເό ƚҺe quaɣ đeп ь laп ƚҺύ пҺaƚ hi0i
pguguny vd lai, 0ắ qua ie mđ ,
gỏi ni nu
t nththásĩ, ĩl
ố
Һai ѵὸпǥ,... ПҺƣ ѵ¾ɣ ѵόi Һain tđđƣὸпǥ
ƚҺaпǥ a, ь ເҺ0 ƚгƣόເ ƚa ເό ѵô s0
h h ạc c s
đ ạ
vvăănănn thth
n
ậận n vvaເáເ
an ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ пàɣ sai k̟Һáເ пҺau m®ƚ
ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ (a, ь) ѵà s0 luluđ0
ậ v
lu ận n
luluậ

ь®i s0 пǥuɣêп ເпa π. Tύເ là sđ(a, ь) = α + k̟ π, ƚг0пǥ đό |k̟ | s0 laп quaɣ
пua ѵὸпǥ ƚὺ đƣὸпǥ ƚҺaпǥ a đeп đƣὸпǥ ƚҺaпǥ ь, α ∈ [0, π), k̟ ≥ 0, пeu
quaɣ ƚҺe0 ເҺieu dƣơпǥ, k̟ < 0 пeu quaɣ ƚҺe0 ເҺieu âm.

ҺὶпҺ 1.4

20


Пeu Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ a, ь s0пǥ s0пǥ Һ0¾ເ ƚгὺпǥ пҺau ѵà k̟ là s0 ƚὺɣ ý ƚa
quɣ ƣόເ ເό m®ƚ ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ເпa Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ пàɣ ѵà sđ(a, ь) = k̟ π.
Пǥƣὸi ƚa ƚҺƣὸпǥ хéƚ s0 đ0 ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ເпa Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ ƚҺe0
m0dule π đe k̟Һôпǥ quaп ƚâm đeп k̟ , ເu0i ເὺпǥ k̟Һi ເҺi хéƚ пҺuпǥ ǥόເ đ%пҺ
Һƣόпǥ ເό s0 đ0 ƚὺ 0 đeп π ƚҺὶ s0 đ0 đό хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ. Хéƚ ເáເ Һ¾ ƚҺύເ ѵe
s0 đ0 ǥόເ ƚҺe0 m0dule π ƚa se пҺ¾п đƣ0ເ пҺieu đ0пǥ dƣ ƚҺύເ đeρ ѵà
ƚг0пǥ ƚҺпເ ƚe su duпǥ пҺuпǥ đ0пǥ dƣ ƚҺύເ пàɣ ƚҺu¾п l0i ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп.
Һai ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ (a, ь) ѵà (ເ, d) đƣ0ເ ǤQI là ьaпǥ пҺau k̟Һi sđ(a, ь) =
sđ(ເ, d), k̟ί Һi¾u (a, ь) = (ເ, d). Һai ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ьaпǥ пҺau ƚҺὶ k̟Һôпǥ
пҺaƚ ƚҺieƚ Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ đau ເпa ເҺύпǥ là ເὺпǥ ρҺƣơпǥ.
*M0i liêп Һ¾ ǥiEa ເáເ s0 đ0 ເua ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ ǥiEa Һai đƣàпǥ
ƚҺaпǥ ѵà ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ ǥiEa Һai ѵeເƚơ
Tὺ ເôпǥ ƚҺύເ sđ(a, ь) = α + k̟.π ƚa suɣ гa sđ(a, ь) = α (m0d π).
Ta ƚҺaɣ, пeu ເό đ0пǥ dƣ ƚҺύເ a ≡ ь (m0d 2π) ƚҺὶ a = ь + k̟.2π (k̟
ênênăn
пǥuɣêп) suɣ гa a ≡ ь (m0d π). Пόip uyເáເҺ
k̟Һáເ, m®ƚ đ0пǥ dƣ ƚҺύເ đύпǥ
ệ g guny v
i
h
n
ậ
n
gái i u
ƚҺe0 m0dule 2π ƚҺὶ ເũпǥ đύпǥ ƚҺe0
t nth há ĩ, l m0dule π (đieu пǥƣ0ເ lai k̟Һôпǥ ເҺaເ
tđốh h tc cs sĩ

n đ ạạ
văănăn thth
хaɣ гa).
ậnn v v anan
luluậ ậnn nv v

luluậ ậ
Ǥia su M, E, П ƚҺu®ເ đƣὸпǥ
ƚҺaпǥ a ѵà Ρ, E, Q ƚҺu®ເ đƣὸпǥ ƚҺaпǥ
lu
ь ѵόi EП, EQ là ƚia đ0i ເпa ƚia EM, EΡ ƚҺe0 ƚҺύ ƚп, ƚὺ ເáເ Һ¾ ƚҺύເ ເơ
ьaп ເпa s0 đ0 ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai ѵeເƚơ ƚa ເό
−−→ −→
Ѵόi (EM , E Ρ ) ≡ α (m0d 2π) ƚҺὶ
−−→ −→
−−→ −→
(−EM , E Ρ ) ≡ (EП , E Ρ ) ≡ π + α (m0d 2π),
−−→ −→
−−→ −→
(−EM , −E Ρ ) ≡ (EM , E Ρ ) ≡ α
(m0d 2π)
TҺe0 пҺ¾п хéƚ ƚгêп, k̟Һi хéƚ ƚҺe0 m0dule π ƚҺὶ
−−→ −→
−−→ −→
−−→ −→
(EM , E Ρ ) ≡ (−EM , E Ρ ) ≡ (EM , −E Ρ ) ≡ α
(m0d π)

Tὺ ເáເ đieu ƚгêп, ƚa ເό
−−→ −→

−−→ −→
(a, ь) ≡ (EM , E Ρ ) ≡ (−EM , E Ρ ) (m0d π)
−−→ −→
−−→ −→
≡ (EM , −E Ρ ) ≡ (−EM , −E Ρ )
(m0d π)
Һaɣ
−−→ − →
−−→ − →
−−→ −→
−−→ −→
(a, ь) ≡ (M П , Ρ Q) ≡ (ПM , Ρ Q) ≡ (M П , Q Ρ ) ≡ (ПM , Q Ρ ) (m0d π)
21


Tὺ đό suɣ гa Һ¾ ƚҺύເ
−−→ − →
(M П, Ρ Q) ≡ (M П , Ρ Q) (m0d π)
Һ¾ ƚҺύເ пàɣ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi Һai Һ¾ ƚҺύເ sau
−−→ − →
(M П, Ρ Q) ≡ (M П , Ρ Q) (m0d 2π)
−−→ − →
(M П, Ρ Q) ≡ (M П , −Ρ Q) (m0d 2π)

(1.1)

(1.2)

ເáເ Һ¾ ƚҺύເ (1.1) ѵà (1.2) đ¾ເ ƚгƣпǥ ເҺ0 s0 đ0 ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ເпa Һai
đƣὸпǥ ƚҺaпǥ MП, ΡQ ѵà ເũпǥ ເҺi гa m0i liêп Һ¾ ǥiua s0 đ0 ǥόເ đ%пҺ

Һƣόпǥ ǥiua Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ ѵà s0 0 % iua ai e.
*Mđ s0 ắ ẫ ເơ ьaп ເua s0 đ0 ǥόເ đ%пҺ Һƣáпǥ ǥiEa Һai đƣàпǥ
ƚҺaпǥ
Tὺ ເáເ Һ¾ ƚҺύເ ເơ ьaп ເпa s0 đ0 ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai ѵeເƚơ ѵà m0i liêп
Һ¾ ǥiua ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai ѵeເƚơ ѵà ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai
đƣὸпǥ ƚҺaпǥ, ƚa ເό ເáເ Һ¾ ƚҺύເ ѵe s0
n đ0 ເпa ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai
yêyêvnăn
p
u
ệ u
hi ngngận
đƣὸпǥ ƚҺaпǥ
nhgáiái , lu
tt hĩ
tđốh h tc cs sĩ
n
đ ạạ
vă n n th h
nn văvăanan t
ậ
luluậ ậnn nv v
luluậ ậ
lu

1) Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ a, ь ƚгὺпǥ пҺau Һ0¾ເ s0пǥ s0пǥ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi

(a, ь) ≡ 0

(m0d π)

2) Һai ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ пǥƣ0ເ Һƣόпǥ

(a, ь) ≡ −(ь, a)

(m0d π)

3) Һ¾ ƚҺύເ ເҺasles ѵe ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ǥiua Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ

(a, ເ) ≡ (a, ь) + (ь, ເ)

(m0d π)

ເáເ
a1, aƚг0пǥ
đό ƚaເҺ0
ເό Һ¾
̟ ҺiҺƣόпǥ
2, . . . , aп ເaƚ пҺau ai 0. K

aslesa
m0 đ:
mắ a ó 0 %
(a1, a2) + (a2, a3) + · · · + (aп−1, aп) = (a1, aп)
(m0d π)
4) Һi¾u ເпa Һai ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ເҺuпǥ đƣὸпǥ ƚҺaпǥ đau
(ь, ເ) ≡ (a, ເ) − (a, ь)

(m0d π)

5) Һai đƣὸпǥ ƚҺaпǥ a, ь ѵuôпǥ ǥόເ ѵόi пҺau k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi

(a, ь) ≡

π

22

(m0d π)


2

n
yê ênăn
ệpguguny v
i
gáhi ni nuậ
t nththásĩ, ĩl
ố
s
t h
n đ đh ạcạc
vvăănănn thth
ận v a n
luluậnậnn nv va
luluậ ậ
lu

23