luận văn thạc sỹ toán: VẬN DỤNG TRIẾT học DVBC vào VIỆC PHÁT TRIỂN tư duy sáng tạo

LêI C¶M ¥N
***



E
E
m
m


x
x
i
i
n
n


đ
đ
ư
ư
ợ
ợ
c
c


b
b

à
à
y
y


t
t
ỏ
ỏ


l
l
ò
ò
n
n
g
g


c
c
ả
ả
m
m

ơ
ơ
n
n


s
s
â
â
u
u


s
s
ắ
ắ
c
c


t
t
ớ
ớ
i
i

T
T
S
S
.
.


N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


N
N
g
g
ọ
ọ
c
c

U
U
y
y
,
,


n
n
g
g
ư
ư
ờ
ờ
i
i


đ
đ
ã
ã


t
t

ậ
ậ
n
n


t
t
ì
ì
n
n
h
h


h
h
ư
ư
ớ
ớ
n
n
g
g


d
d

ẫ
ẫ
n
n


e
e
m
m


t
t
r
r
o
o
n
n
g
g


s
s
u
u
ố
ố

t
t


q
q
u
u
á
á


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


e
e
m
m

t
t
h
h
ự
ự
c
c


h
h
i
i
ệ
ệ
n
n


đ
đ
ề
ề


t
t
à
à

i
i
.
.


E
E
m
m


x
x
i
i
n
n


t
t
r
r
â
â
n
n

t
t
r
r
ọ
ọ
n
n
g
g


c
c
ả
ả
m
m


ơ
ơ
n
n


c
c
á
á

c
c


t
t
h
h
à
à
y
y
,
,


c
c
ô
ô


g
g
i
i
á
á
o
o

t
t
r
r
o
o
n
n
g
g


t
t
ổ
ổ


P
P
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n

g
g


P
P
h
h
á
á
p
p


G
G
i
i
ả
ả
n
n
g
g


D
D
ạ
ạ

y
y
,
,


B
B
a
a
n
n


c
c
h
h
ủ
ủ


n
n
h
h
i
i
ệ
ệ

m
m


K
K
h
h
o
o
a
a


T
T
o
o
á
á
n
n


–
–


T
T

i
i
n
n
,
,


P
P
h
h
ò
ò
n
n
g
g


Q
Q
u
u
ả
ả
n
n

l
l
ý
ý


k
k
h
h
o
o
a
a


h
h
ọ
ọ
c
c
;
;


B
B
a
a

n
n


g
g
i
i
á
á
m
m


h
h
i
i
ệ
ệ
u
u


v
v
à
à

c
c
á
á
c
c


đ
đ
ồ
ồ
n
n
g
g


n
n
g
g
h
h
i
i
ệ
ệ
p
p

t
t
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g


T
T
H
H
P
P
T
T


H
H
à
à

n
n


T
T
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n


–
–


T
T
h
h
à
à
n
n

h
h


p
p
h
h
ố
ố


B
B
ắ
ắ
c
c


N
N
i
i
n
n
h
h

đ
đ
ã
ã


t
t
ạ
ạ
o
o


đ
đ
i
i
ề
ề
u
u


k
k
i
i
ệ
ệ

n
n


t
t
h
h
u
u
ậ
ậ
n
n


l
l
ợ
ợ
i
i


c
c
h
h
o
o

e
e
m
m


t
t
r
r
o
o
n
n
g
g


s
s
u
u
ố
ố
t
t

q
q
u
u
á
á


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


h
h
ọ
ọ
c
c


t
t

ậ
ậ
p
p


v
v
à
à


h
h
o
o
à
à
n
n


t
t
h
h
à
à
n
n

h
h


l
l
u
u
ậ
ậ
n
n


v
v
ă
ă
n
n


n
n
à
à
y
y.

Bắc Ninh, tháng 10 năm 2007
Tác giả



N
N
G
G
U
U
Y
Y
Ễ
Ễ
N
N


T
T
H
H
Ế
Ế


S

S
Ơ
Ơ
N
N






2

M
M
Ụ
Ụ
C
C


L
L
Ụ
Ụ
C
C


Trang

MỞ ĐẦU
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
7
I - Thực tiễn việc dạy học giải bài tập toán ở trường THPT

I. 1 – Mục tiêu và nhiệm vụ dạy học môn Toán ở trường THPT 7
I.2 – Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học 8
I.3 – Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 10
I.4 – Thực trạng của việc dạy và học giải bài bài tập toán học ở
nhà trường THPT 11
II - Các cơ sở khoa học
II. 1 – Cơ sở triết học duy vật biện chứng 13
II.2 – Cơ sở toán học 21
II.2.1 – Tư duy toán học
II.2.1.1 – Tư duy là gì ? 21
II.2.1.2 - Nội dung của tư duy toán học 22
II.2.1.3 – Các thao tác tư duy toán học 23
II.2.1.4 – Một số loại hình tư duy toán học 25
II.2.2 – Phát triển tư duy sáng tạo cho h
ọc sinh 30
II.2.3 – Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập Toán 34
Chương II: VẬN DỤNG TDBC VÀO VIỆC NGHIÊN CỨU BÀI TẬP TOÁN HỌC
A – Tìm lời giải bài toán

A.1. Cái chung – Cái riêng 38
A.2. Nội dung – Hình thức 48
A.3. Vận động - Đứng yên 51
A.4. Tất nhiên - Ngẫu nhiên 57

3

A.5. Suy diễn – Quy nạp 60
A.6. Phân tích - Tổng hợp 63
A.7. Cụ thể - Trừu tượng 67
B – Nghiên cứu lời giải bài toán
B.1. Cái chung – Cái riêng 78
B.2. Nội dung – Hình thức 87
B.3. Vận động - Đứng yên 92
B.4. Bản chất - Hiện tượng 96
B.5. Suy diễn – Quy nạp 101
B.6. Phân tích - Tổng hợp 103
Kết luận chương II
Bài tập vận dụng 110
Chương III:
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 114
I - Bước đầu tìm hiểu thực trạng của việc vận dụng TDBC vào giải toán
ở trường THPT 114
II - Mục đích - Nội dung - Tổ chức thực nghiệm 120
III - Đánh giá về kết quả thực nghiệm 125

KẾT LUẬN 128

TÀI LIỆU THAM KHẢO 130

PHỤ LỤC 133


CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt Viết đầy đủ
PPDH

Phương pháp dạy học
SGK
Sách giáo khoa
DVBC
Duy vật biện chứng
THPT
Trung học phổ thông

4

M
M
Ở
Ở


Đ
Đ
Ầ
Ầ
U
U




1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Điều 28.2 trong Luật Giáo dục năm 2005 viết: “ Phương pháp giáo dục
phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương

pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho học sinh
”. Cũng theo Luật Giáo dục:“Mục tiêu của giáo dục phổ thông
là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và
các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo,
hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa.” (Điều 27.1).
Mục tiêu này đã được cụ thể hoá trong mục tiêu dạy học môn Toán.
Trong các mục tiêu của dạy học môn Toán thì mục tiêu phát triển trí tuệ củ
a
học sinh được đặt lên hàng đầu.
Tư duy sáng tạo có vai trò đặc quan trọng trong việc phát triển trí tuệ của
học sinh. Tư duy sáng tạo giúp cho học sinh phát huy được tính tích cực, chủ
động và sáng tạo trong học tập.
Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ nhữnng hiểu biết đã có đến những
hiểu biết mới. Vận động đi liền với “biện chứng” nên tư duy biệ
n chứng luôn
gắn liền với sự sáng tạo. “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức
(khái niệm, định lí) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung
khái niệm, nội dung định lí, hiểu chứng minh định lí, cố gắng tập vận dụng
các công thức, các định lí để tính toán, để chứng minh khi làm bài tập mà ở đã
cái gì đã biết, cái gì chưa biết, cái gì phải tính toán, phả
i chứng minh là rõ
ràng. Nhiều học sinh thường thắc mắc không biết giả thuyết và kết luận của
bài toán ở đâu mà ra, ai nghĩ ra đầu tiên và làm thế nào mà họ nghĩ ra
được.[28, tr4,5].

5

Vì vậy để góp phần khắc phục thực trạng dạy và học Toán hiện nay, chúng tôi
chọn đề tài:
“GỢI ý, hƯỚNG DẪN GIÁO VIÊN VẬN DỤNG TRIẾT HỌC DVBC VÀO VIỆC PHÁT TRIỂN TƯ
DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN ”.

2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Đề xuất một số gợi ý, hướng dẫn giáo viên vận dụng tư duy biện chứng
vào giải bài tập Toán qua đó nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Nghiên cứu vai trò của tư duy duy biện chứng trong việc phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh
Xác định rõ vai trò của bài tập Toán trong việc phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh.
Nghiên cứu việc vận dụng tư duy biện chứng vào hướng d
ẫn học sinh
giải bài tập Toán.
Làm sáng tỏ vai trò của việc vận dụng tư duy biện chứng vào giải bài
tập Toán đối với việc phát triển tư duy sáng tạo của học sinh.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Nghiên cứu lý luận dạy học môn Toán, trong đó chú trọng về tư duy,
tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng và vai trò của bài tập toán trong quá
trình dạy học Toán.
• Nghiên cứu nội dung Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên,
các tài liệu về tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng …
• Phương pháp điếu tra quan sát: Bước đầu tìm hiểu khả năng vận dụng
tư duy biện chứng vào việc giải bài tập Toán của h
ọc sinh và tác dụng
của việc vận dụng này đối với việc phát triển tư duy sáng tạo của học
sinh thông qua điều tra học sinh khối 10,11 của trường THPT Hàn

Thuyên - Bắc Ninh.
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kêt những kinh nghiệm rút
ra từ thực tế giảng dạy và nghiên cứu của bản thân, vận dụng những kinh

6

nghiệm này để khai thác hệ thống bài tập trong SGK 10, 11 và các đề thi
học sinh giỏi và thi tuyển sinh đại học.

4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Có thể đưa ra được một số gợi ý, hướng dẫn vận dụng tư duy biện
chứng vào khai thác một bài toán. Nếu học sinh được luyện tập và vận
dụng tốt hướng dẫn này sẽ góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh.


5. BỐ CỤC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm có ba chương :

Chương 1
:
Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2
:

Vận dụng tư duy biện chứng vào việc nghiên cứu bài tập Toán học

Chương 3
:
Thực nghiệm sư phạm


FG







7

CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

I. THỰC TIỄN VIỆC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN Ở TRƯỜNG THPT

I. 1. Mục tiêu và nhiệm vụ dạy học môn Toán ở trường THPT
Luật giáo dục nước ta quy định: “ Mục tiêu của giáo dục phổ thông là
giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và
các kỹ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam hội chủ
nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp
tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ tổ

quốc ” (Luật giáo dục, Chương II, mục 2, điều 23).
“ Giáo dục Trung học phổ thông nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển
những kết quả của giáo dục Trung học Cơ sở, hoàn thiện học vấn phổ thông

và những hiểu biết thông thường về kỹ thuật về kĩ thuật và hướng nghiệp để
tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trung h
ọc Chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi
vào cuộc sống lao động ” (Luật giáo dục, chương II, mục 2 , điều 23).
Xuất phát từ mục tiêu giáo dục phổ phông nước ta, từ đặc điểm, vai trò, vị
trí và ý nghĩa của môn Toán, việc dạy học môn Toán có các mục tiêu
chung sau đây:
• Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học.
• Phát triển n
ăng lực trí tuệ.
• Giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa
học.
• Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động.
Các mục tiêu thành phần không tách rời nhau mà trái lại chúng liên hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ và bổ sung cho nhau nhằm hình thành ở người
học sinh thế giới quan và nhân sinh quan cách mạng, năng lực nhậ
n thức và
hành động, động cơ đúng đắn và lòng say mê học tập, lao động, xây dựng

8

và bảo vệ Tổ quốc. Điều đó thể hiện sự thống giữa dạy chữ và dạy người,
giữa dạy học và phát triển. ( [15], tr56).
Đặc biệt
, đối với cấp Trung học phổ thông, do nhiệm vụ cấp học và đặc
điểm đối tượng, việc dạy học môn Toán ở cấp Trung học Phổ thông có
những yêu cầu đặc biệt sau đậy:
• Về tri thức và kĩ năng, cần chú ý tới những tri thức phương pháp, đặc
biệt những tri thức phương pháp không có thuật giải và những kĩ năng
tươ

ng ứng, chẳng hạn tri thức và kĩ năng giải bài toán bằng cách lập
phương trình, tri thức và kĩ năng chứng minh toán học, kĩ năng tư duy
hàm v,v…
• Về năng lực trí tuệ, cần có yêu cầu cao về một số phẩm chất trí tuệ như
tính độc lập, tính tự giác, …
• Về chính trị, tư tưởng, cần nhấn mạnh yếu tố hình thành thế gi
ới quan.
• Về yêu cầu tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao
động, cần chú ý đúng mức đặc thù phân ban.
Tóm lại
, các mục tiêu dạy học môn Toán cùng với những yêu cầu đặc biệt
ở cấp Trung học phổ thông chi phối nội dung và phương pháp dạy học ở cấp
trung học phổ thông. Cần nhấn mạnh rằng các mục tiêu dạy học không tách
rời nhau mà quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau nhằm hình
thành ở người học sinh năng lực nhận thức, năng lực hành động, những cơ
sở
của nhân cách con người Việt Nam mới.
I.2. Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học
Luật giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:
“ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư
duy sáng tạo của người học; bồì dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập
và ý chí vươn lên” ( Luật giáo d
ục 1998, chương I, điều 4).
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự
giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận

9

dụng tri thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú

học tập của học sinh” ( Luật giáo dục 1998, chương I, điều 24).
Những quy định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để
giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc
hậu nói chung của PPDH ở nước ta hiện nay.
Ph
ải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước
ta có những nhược điểm phổ biến:
• Thầy thuyết trình tràn lan;
• Tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện;
• Thầy áp đặt, trò thụ động;
• Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo
củ
a người học;
• Không kiểm soát được việc học.
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp
hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH ở nước ta đã làm nảy sinh
và thúc đẩy cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong nghành Giáo
dục và Đào tạo từ một số năm nay. Những ý tưởng này đề
u bao hàm những
yếu tố tích cực, có tác dụng đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao
hiệu quả giáo dục và đào tạo. Tuy nhiên cần nêu bật bản chất của tất cả các ý
tưởng này như là định hướng cho sự đổi mới PPDH
PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ độ
ng và sáng tạo.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định. Đó
trước hết là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình lịch sử hình
thành và ứng dụng những tri thức được bao hàm trong nội dung này, cũng
chính là những hoạt động để người học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri
thức trong nội dung đó. Trong quá trình dạy họ

c, ta còn phải kể tới cả những
hoạt động có tác dụng củng cố tri thức, rèn luyện những kỹ năng và hình
thành những thái độ có liên quan.
Điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác những hoạt động
như trên tiềm tàng trong mỗi nội dung để đạt được mục tiêu dạy học.

10

Hoạt động liên hệ với các yếu tố: chủ thể, đối tượng, mục tiêu, phương
tiện, kết quả; riêng hoạt động học còn liên hệ với một yếu tố nữa, đó là thầy
giáo. Cụ thể hoá định hướng trên liên hệ với những yếu tố này, ta thấy rõ
những hàm ý sau đây đặc trưng cho PPDH hiện đại:
1. Xác lập vị trí chủ thể của ng
ười học, đảm bảo tính tự giác, tích cực,
chủ động và sáng tạo của hoạt động học tập được thực hiện độc lập
hoặc trong giao lưu.
2. Tri thức được cài đặt trong tình huống có dụng ý sư phạm.
3. Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
4. Tự tạo và khai thác những phương tiện dạy học
để tiếp nối và gia tăng
sức mạnh của con người.
5. Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản
thân người học.
6. Xác định vai trò mới của thầy với tư cách người thiết kế, uỷ thác, điều
khiển và thể chế hoá.
I.3. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán.
Điều căn bản là
bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập,
học sinh phải thực hiện nhiều hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và

thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán
học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt
động trí tuệ chung và nhữ
ng hoạt động ngôn ngữ.
Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và
phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập được thể hiện trên cả ba bình
diện này:
1) Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông
là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể
hiện mức
độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những
chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học
môn Toán :

11

• Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
• Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
• Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành phẩm chất
đạo đức của ng
ười lao động mới.
2) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập là giá mang hoạt động
liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung
để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày
trong phần lý thuyết.
3) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
hoạt động để người học kiế
n tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở

đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như
vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng
hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, và sáng tạo, được thực hiện độc
lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được s
ử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố, kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập
là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc
độc lập và trình độ phát triển của học sinh…
I.4. Th
ực trạng của việc dạy và học giải bài bài tập toán học ở nhà trường
trung học phổ thông.
Thực trạng việc dạy và học nói chung và việc dạy học giải bài tập toán ở nhà
trường phổ thông nói riêng còn một số tồn tại sau:
1. Việc học của học sinh diễn ra chủ yếu là quá trình tiếp thu và lĩnh hội,
qua đó sẽ hình thành kiến thức, kĩ
năng, tư tưởng, tình cảm. Trong khi
đó, vai trò của giáo viên là truyền thụ tri thức, truyền thụ và chứng
minh những chân lí.

12

2. Nội dung kiến thức học sinh được tiếp cận là từ SGK và những kinh
nghiệm tích luỹ được của giáo viên. Dẫn đến phương pháp dạy học của
GV chủ yếu là diễn giảng, truyền thụ kiến thức một chiều.
3. Mục tiêu dạy học thường chú trọng cung cấp cho học sinh tri thức, kĩ
năng, kĩ xảo. Học thường để đối phó với thi c
ử. Sau khi học xong
những điều đã học bị bỏ quên hoặc ít được dùng đến. Các hình thức tổ

chức học tập thường bị bó hẹp, chủ yếu diễn ra trên lớp học, ở đó GV
đối diện với học sinh.
4. Hiện nay ở nhà trường phổ thông thường chỉ chú trọng đến việc truyền
thụ tri thức mà không quan tâm đến việc dạy tìm tòi, vậy nên các
ph
ương pháp thực nghiệm, quy nạp để suy đoán thường bị coi nhẹ.
Đứng trước thực trạng của việc dạy học, để khắc phục những hạn chế của
PPDH truyền thống đòi hỏi phải đổi mới PPDH. Đổi mới phương pháp dạy
học cần kế thừa, phát triển những mặt tích cực của hệ thống phương pháp
dạy họ
c quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phương pháp
mới, phù hợp với hoàn cảnh, điều kiện dạy và học ở nước ta. Đổi mới phương
pháp dạy học giúp cho học sinh :
1. Học được quá trình kiến tạo một tri thức (học sinh nắm được bản chất
được mỗi vấn đề đặt ra) ; Học sinh t
ự tìm tòi, khám phá, phát hiện,
luyện tập, khai thác và xử lí thông tin…tự hình thành hiểu biết, năng
lực phẩm chất.
2. Không những biết được cách chứng minh một chân lí, học sinh còn học
được cách tìm ra chân lí đó.
3. Chú trọng và việc hình thành ở học sinh các năng lực: sáng tạo, hợp
tác… Dạy cho học sinh phương pháp và kĩ thuật lao động, dạy cách
học.
4. Nội dung học tập của học sinh không bị
bó hẹp, có thể xuất phát từ
nhiều nguồn khác nhau: SGK, GV, các tài liệu khoa học phù hợp, thí
nghiệm, bảo tàng,… gắn với:
- Vốn hiểu biết, nhu cầu, kinh nghiệm của mỗi học sinh.
- Tình huống thực tế, bối cảnh môi trường địa phương.
- Những vấn đề mà học sinh quan tâm.

13

5. Hình thức tổ chức học tập rất cơ động và linh hoạt, học sinh có thể học
trên lớp, học ở phòng thí nghiệm, học trong thực tế…
II. CÁC CƠ SỞ KHOA HỌC
II.1. Cơ sở triết học duy vật biện chứng
Triết học duy vật biện chứng thể hiện các quy luật chung nhất của sự
phát triển tự nhiên, xã hội và tư duy con người. Nó là cơ sở phương pháp luận
của mọi khoa học, trong đó có PPDH môn Toán. Nó giúp ta hiểu được đối
tượng và phương pháp của khoa học Toán học một cách đúng đắn và sâu sắc,
giúp hình thành thế giới quan duy vật bi
ện chứng ở thế hệ trẻ. Nó cung cấp
cho ta phương pháp nghiên cứu đúng đắn: “xem xét những hiện tượng giáo
dục trong quá trình phát triển và trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau, trong
sự mâu thuẫn và thống nhất, phát hiện những biến đổi về số lượng dẫn đến
những biến đổi về chất lượng v.v…” ( [28], tr 22 ).
Toán học là môn học đặc biệt thuận lợi cho việc rèn luyện t
ư duy biện
chứng, nếu chúng ta coi học sinh là “chủ thể”. Trong toán học chúng ta
thường xuyên gặp các cặp phạm trù: “cái chung – cái riêng”, “chủ quan –
khách quan”, “nội dung – hình thức”, “bản chất - hiện tượng”, “ngẫu nhiên -
tất nhiên”, “suy diễn – quy nạp”, “phân tích - tổng hợp”. Đặc biệt cặp phạm
trù “chung – riêng” là phổ biến vì hầu hết từ bài trước, chương trước sang bài
sau, chương sau là chuyển t
ừ một trường hợp riêng sang trường hợp chung
v.v…([3] – Tr 394).
Các quy luật của triết học duy vật biện chứng
• Quy luật mâu thuẫn là động lực của sự phát triển
• Quy luật phủ định của phủ định

• Quy luật lượng đổi chất đổi

Các cặp phạm trù đối lập của triết học duy vật biện chứng:


14

1. Lí luận và thực tiễn
2. Cái chung và cái riêng
3. Cụ thể và trừu tượng
4. Chủ quan và khách quan
5. Nội dung và hình thức

6. Bản chất và hiện tượng
7. Ngẫu nhiên và tất nhiên
8. Vận động và đứng yên
9. Suy diễn và quy nạp
10. Phân tích và tổng hợp.

Quy luật mâu thuẫn
chỉ ra nguồn gốc bên trong của sự phát triển. Khi
mọi việc đều ăn khớp, đều thuận buồm xuôi gió, không gặp khó khăn gì thì
không có gì thúc đẩy người ta tìm tòi, suy nghĩ và đo đó cũng không có cái
mới ra đời, trái lại khi có sự không ăn khớp, có sự khó khăn thì điều đó sẽ
thúc đẩy người ta cố gắng nghiên cứu và sớm muộn thì từ sự nghiên cứu, tìm
tòi đó sẽ có cái mới ra đờ
i. Người ta diễn tả điều này bằng ngôn ngữ triết học
như sau: “ Mâu thuẫn là động lực của sự phát triển”. Khi nói tới “mâu thuẫn”
là nói tới một sự trái ngược, một sự không ăn khớp giữa lí luận và thực tiễn,
hoặc trong nội bộ lí luận. Nói tới “động lực” là nói tới một sức mạnh thúc

đẩy. Khi học sinh đã học xong bài phương trình bậc hai 

0,
gặp phải trường hợp ∆  

40 thì đều bằng lòng với kết luận :
”phương trình vô nghiệm”, và với những phương trình như vậy xuất hiện
trong các bài toán thực tế không có lời giải. Ví dụ có thể xây dựng được một
phòng học diện tích 50m
2
mà chu vi chỉ là 20m ( cho đỡ tốn vật liệu) không ?
Điều này là không thể !!!
Khi đã biết cách giải phương trình bậc hai, một cách rất tự nhiên sẽ thúc
đẩy ta đi tìm cách giải phương trình bậc ba 



0 
0 (*), qua quá trình biến đổi (phương pháp Cac-đa-nô) thì việc giải (*) đưa
về việc giải phương trình 





0 (**), và bài toán coi như đã giải
xong. Tuy nhiên, nếu kiểm tra lại bằng một ví dụ cụ thể như áp dụng nó để
giải phương trình
:



0 (***)
Nếu áp dụng phương pháp trên để giải thì (**) trở thành: 




0 ,
nhưng phương trình này không có nghiệm thì làm sao (***) có nghiệm ?

15

Trong khi đó thực tế thì phương trình (***) lại có ba nghiệm là 1,0 à 1.
Như vậy ta đang đứng trước một hiện tượng kỳ lạ, một khó khăn (mâu thuẫn)
thôi thúc ta tìm hướng giải quyết ? Trước tình huống này làm nảy sinh một ý
tưởng táo bạo: “cứ thử chấp nhận căn bậc hai của số âm xem sao?” . Và thật
bất ngờ, theo hướng đó ta chỉ ra được ba nghiệm của ph
ương trình
 1 ; 0; 1 từ đó dẫn đến sự xuất hiện của một tập số mới, đó là số phức.

Một ví dụ khác, ta xét bài toán quen thuộc về bất đẳng thức lượng giác
trong tam giác:
Bài toán 1

Chứng minh rằng :
    
3
2
 ớ ∆ ọ
Một bài toán khác được đề xuất như sau :

Bài toán 2

Cho ,, là các số thực dương thoả mãn   1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√


1


√


1


√


1


Xét về hình thức, bài toán sau đưa ra hoàn toàn khác bài toán trước, mà
việc giải bài toán 2 không đơn giản, trong khi đó bài toán 1 dễ giải quyết hơn
bởi lẽ các đối tượng được xem xét trong bài toán 1 được giới hạn trong tam
giác đồng thời các phép biến đổi lượng giác xem ra dễ giải quyết hơn, hơn
nữa hình thức của bài toán 1 rõ ràng hơn ( bài toán chứng minh bất đẳng
thức) bài toán 2 (tìm GTLN).
Tuy nhiên, xét về nội dung (bản chấ

t) thì hai bài toán này có cùng một nội
dung. Mối quan hệ phức tạp giữa các đối tượng của bài toán 2 làm cho hình
thức của bài toán che lấp nội dung của nó. Khiến cho việc nghiên cứu nội
dung của nó khó khăn hơn.

16

Nếu giáo viên cho học sinh thấy được những mâu thuẫn như trong ví dụ
này sẽ kích thích và phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học
sinh trong việc tìm ra câu trả lời. Không những thế, học sinh sẽ tìm tòi và rút
ra được những kiến thức bổ ích :
• Hệ thức đại số   1 ,,0 có thể đưa về dạng:
. ..1 , do vậy bài toán 2
có thể đưa về bài toán 1.
• Trong tam giác bất kỳ thì bài toán 1 vẫn
đúng, vậy bài toán 2 sẽ ra sao?
• Thay 


;


;


ta có bài toán khác… ?
• Khi nào thì có thể đưa bài toán 2 về bài toán 1 ? …
• Dấu hiệu nào có thể “lượng giác hóa” một bài toán ?
Muốn học toán sáng tạo, muốn tìm ra cái mới thì trước tiên phải xuất hiện
“vấn đề” để nghiên cứu. Vấn đề ở đây có thể do tự mình phát hiện hoặc do

người khác đề xuất cho mình giải quyết. Nhưng muốn trở thành người có khả
năng chủ động, độc lậ
p nghiên cứu thì cần phải chăm lo, bồi dưỡng năng lực
“phát hiện vấn đề”.
Triết học duy vật biện chứng chỉ ra “mâu thuẫn là động lực của sự phát
triển”, một “vấn đề” xuất hiện khi nảy sinh “mâu thuẫn” . Do đó, cần chăm lo
bồi dưỡng việc vận dụng các quy luật triết học duy vật biện chứng trong việc
h
ọc tập và nghiên cứu “toán” cũng như “phi toán” .
Khoa học nói chung, toán học nói riêng tiến lên không ngừng, như vậy có
nghĩa là không bao giờ hết “mâu thuẫn”, giải quyết được mâu thuẫn này thì
“mâu thuẫn” mới xuất hiện, là động lực cho sự phát triển của khoa học, của
toán học. Mỗi lần “mâu thuẫn” xuất hiện rồi được giải quyết thì hiểu biết của
loài ng
ười được tiến thêm một bước theo quy luật “phủ định của phủ định” .
Khi nói có “mâu thuẫn” xuất hiện nghĩa là có một sự bất lực nào đó của kiến
thức hiện có trước nhiệm vụ giải quyết một sự việc (hiện tượng) nào đó; như
vậy sự việc (hiện tượng) này đã phủ định (theo nghĩa là bác bỏ hoặc do thiếu
rộng, thiếu sâu nên bất lực) kiến thức hiện có. Trước tình hình đó đòi h
ỏi ta
phải nghiên cứu, tìm hiểu để giải thích sự việc (hiện tượng) đó. Những nghiên

17

cứu khoa học sẽ dẫn tới những kiến thức mới cho phép ta giải quyết sự việc
hay giải thích hiện tượng này, và những kiến thức này lúc đầu tưởng như mâu
thuẫn với các kiến thức cũ nhưng cuối cùng là thống nhất với kiến thức cũ ở
chỗ kiến thức mới bao trùm lên kiến thức cũ, kiến thức cũ là một trường hợ
p
đặc biệt hay giới hạn của kiến thức mới. Như vậy sự phủ định trước đây lại bị

phủ định .
Trong dạy học toán, nếu cho học sinh nắm bắt được tư tưởng của các quy
luật triết học duy vật biện chứng sẽ giúp cho học sinh đi sâu vào việc nắm
được bản chất (nguyên nhân) của một sự việc, phát huy đượ
c vai trò tự giác,
tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc bước đầu làm quen với
nghiên cứu toán học.
Ta đi xem xét một ví dụ sau đây:
Từ trước đến nay học sinh đều biết đến định lí côsin trong tam giác và họ
cũng biết dùng định lí này để đi giải quyết các vấn đề khác nhau. Tuy nhiên,
không phải ai cũng biết mở rộng định lí này bởi vì ở họ thiếu tư duy bi
ện
chứng, họ không biết tới quy luật phủ định của phủ định để mở rộng định lí
đó.
Phủ định lần thứ nhất

Phủ định tam giác , bằng cách coi  không phải là tam giác mà là
một tứ giác đặc biệt có một cạnh có độ dài bằng không ( tứ giác , có
). Tuy hệ thức vẫn là 





2. (1) nhưng đã có mầm
mống của cái mới xuất hiện.
Lúc này đoạn  suy biến 0.
Vậy có thể  cũng xuất hiện
trong hệ thức (1) nhưng do   0
nên (1) là cách viết gọn ?

Vấn đề chưa rõ ràng, nhưng chí ít
ta cũng có một hướng mở rộng định
lí.

18

Phủ định lần thứ hai
Để làm rõ nghi vấn trên ta sẽ đi phủ định tính chất “có hai đỉnh trùng
nhau” của tứ giác  bằng cách cho hai đỉnh  à  tách nhau ra :
Đến đây ta có nhận định:
Tứ giác  ó ,,, . Ta chưa biết hệ thức
tổng quát, nhưng biết rằng khi 0
thì hệ thức tổng quát đó trở thành :






2.
hoặc:






2.
(bởi khi 0 ì  )
Ta chú ý rằng khi 0 thì 

 à .
Có thể nhận thấy các hạng tử ở (1) đều có bậc hai. Nên để đảm bảo tính
đẳng cấp ta dự đoán biểu thức chứa  trong hệ thức sẽ là một bội của 

.
Vậy nên ta có dự đoán:


.





2. 2 , 


.





2. 3
Bây giờ ta sẽ đi kiểm tra xem dạng nào đúng ? Bằng cách áp dụng vào một
trường hợp đặc biệt, khi tứ giác là hình vuông.
Khi đó:  à 

0,


90

; đồng thời  à ∞
(2) trở thành

1



∞ do vậy dạng (2) sai.
(3) trở thành

1



01 .


19

Vậy (3) có thể đúng khi ta thay 1, ta được:









2. 4
Để chắc hơn dự đoán này, ta thử áp dụng nó vào một trường hợp khác:
Khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật thoả mãn 22
 đó ∆ đề 
√
5
,



Áp dụng hệ thức (4) ta được :




2.
4

4

2.
√
5

.
3
5
2







Đến đây càng củng cố niềm tin cho ta rằng
công thức :








2. 5
đúng, với 

là góc đối diện với cạnh a.
Để ẳ đị 5, ả ứ .
Có thể phát biểu: “ Trong tứ giác, tổng bình phương hai cạnh đối diện bằng
tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích hai đường chéo nhân
với cosin của góc giữa hai đường chéo (đối diện với hai cạnh đó)” .
Nhận xét

• Như vậy, nhờ quy luật phủ định trong triết học duy vật biện chứng, từ định
lí côsin trong tam giác, ta có thể mở rộng đến định lí trong tứ giác và tất
nhiên khi cho một cạnh của tứ giác bằng không ta được định lí côsin trong
tam giác.
• Phủ định ở đây không có nghĩa là bác bỏ sạch trơn mà chỉ phủ định mặt
tiêu cực, mặt bất lực của kiến th

ức cũ đồng thời kế thừa những mặt tích
cực trong kiến thức cũ. Sự phủ định có tính kế thừa, được gọi là phủ định
“biện chứng”. Chính sự “kế thừa” là cơ sở cho sự thống nhất về sau .

20

• Trong ví dụ trên ta thấy tuy định lí côsin là công thức tổng quát cho tam
giác bất kì (mà định lí pitago quen thuộc là một trường hợp đặc biệt)
nhưng công thức đó bất lực trong việc giải thích trường hợp đặc biệt của tứ
giác khi cho một cạnh bằng không ( không xác định được công thức cụ thể
trong trường hợp này, định lí côsin chỉ là dạng rút gọn nhờ   0) đồng
thời định lí côsin chỉ là một trường hợp đặc biệt
của một hệ thức lượng
trong tứ giác. Thật là “biện chứng”!.
• Không chỉ có vậy, ta còn gặp quy luật phủ định ở trong thiên nhiên, trong
xã hội và trong tư duy con người bao giờ cũng là sự thống nhất giữa các
mặt đối lập, không bao giờ chỉ có một mặt này mà không có mặt kia, một
ví dụ gần gũi chẳng hạn như: muốn học toán một cách sáng tạo thì phả
i
tuân theo quy luật: Ban đầu có thầy giáo dạy cho học, dần dần học một
cách tích cực “học” sẽ biến thành “tự học”. Càng tự học dẫn đến tư duy
độc lập càng phát triển rồi sẽ có tư duy phê phán, rồi tư duy sáng tạo. Lúc
này “tự học” lại bị phủ định đột biến thành “nghiên cứu khoa học”. Như
vậy, tư duy biện chứng thuộc lĩnh vực phi toán l
ại là một cầu nối giữa
“toán” và “phi toán” .
Trong sự vận động (biến đổi) của thế giới khách quan, những sự thay đổi từ
từ về số lượng, tích luỹ đến một giới hạn nào đó thì sẽ gây ra một thay đổi về

chất lượng

.
Ví dụ: Nguyên hàm của hàm luỹ thừa 

là hàm luỹ thừa



,ớ  
0. Khi m biến đổi, nguyên hàm giữ chất lượng là một hàm đại số, cho đến
giới hạn m = 0 thì chất lượng thay đổi, trở thành một hàm số siêu việt:

ln
|
x
|

1
⁄
. (Chú ý rằng một hàm đại số của x là một hàm số có thể diễn
tả theo x bằng một số hữu hạn các phép toán đại số + , - , *, / ,
√
).
Trong hình học
, độ cong dương giảm dần rồi triệt tiêu và chuyển thành độ
cong âm. Sự thay đổi từ từ đó của độ cong khi đạt đến giới hạn độ cong bằng
0 thì xảy ra một sự đột biến tạo nên sự thay đổi về chất đang từ hình học
eliptic trở thành hình học Ơclit rồi chuyển thành hình học hypecbolic. Bản
thân hình học ơclit và hình học Lôbasepski là mâu thuẫn nhau vì dựa vào hai

21

hệ tiên đề trái ngược nhau nhưng lại thống nhất với nhau ở chỗ hình học Ơclit
là giới hạn của hình học Lôbasepski khi bán kính cong tiến tới 0 ( 0 ).
Kết luận

Mâu thuẫn xuất hiện dưới muôn hình vạn trạng, nếu không rèn luyện để
có một sự nhạy bén trong tư duy (tư duy biện chứng) thì sẽ không phát hiện
được và sẽ cho qua. Tuy mâu thuẫn đa dạng như vậy nhưng người ta cũng cố
gắng sắp xếp thành từng cặp phạm trù đối lập nhau và chính sự đối lập đó
giúp ta phát hiện ra vấn đề nghiên cứu rồi đi đế
n sáng tạo và sự sáng tạo này
lại phủ định sự đối lập nói trên (phủ định của phủ định). Ta thường nói tới các
cặp phạm trù đối lập sau đây :
1. Lí luận và thực tiễn
2. Cái chung và cái riêng
3. Cụ thể và trừu tượng
4. Chủ quan và khách quan
5. Nội dung và hình thức

6. Bản chất và hiện tượng
7. Ngẫu nhiên và t
ất nhiên
8. Vận động và đứng yên
9. Suy diễn và quy nạp
10. Phân tích và tổng hợp.

II.2. Cơ sở toán học
II.2.1. Tư duy toán học
II.2.1.1. Tư duy là gì ?
• Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất,

những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật và hiện tượng.
• Theo quan điểm của chủ nghĩa DVBC thì t
ư duy là “sản vật cao cấp
của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của
sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán
đoán…Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một sự vận động của vật chất –
với sự hoạt động của óc… Khoa học hiện đại đã chứng minh được r
ằng
tư duy là đặc tính của vật chất”. Paplop đã chứng minh một cách không
thể chối cãi rằng bộ óc là cơ cấu vật chất của hoạt động tâm lý.

22

Ông viết “…Hoạt động tâm lý là kết quả của hoạt động sinh lý của một bộ
phận nhất định của óc ”
II.2.1.2. Nội dung của tư duy toán học
Hoạt động của tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy. Do vậy, khi đề cập
đến nội dung của tư duy toán học, chúng ta cần hiểu biết những đặc điểm của
toán học với tư cách là
đối tượng của tư duy toán học.
 Đối tượng của toán học
Toán học nghiên cứu cái gì?
• Theo P.Ănghen trong “Chống Duyrinh ”: “Đối tượng của toán học
thuần tuý là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của
thế giới hiện thực, tức là một tư liệu rất cụ thể. Tư liệu này biểu hiện
dưới hình thức cực kỳ tr
ừu tượng, đó chỉ là bức màn bên ngoài che lấp
nguồn gốc của nó trong thế giới hiện thực”.
• Theo V.I. Lênin trong “Bút ký triết học” : “Cái mà toán học dạy chúng
ta, đó là những giữa các sự vật về mặt thứ tự, số và quảng tính”.

• Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn : “…về toán học thì có hai góc độ
để nhìn khoa học này; hai góc độ đó ứng với hai định nghĩa sau đây về
toán học:
-
Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình
dáng và lôgic trong thế giới khách quan.
- Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người
ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề.
Đối tượng của toán học được cụ thể hoá và mở rộng dần, qua từng giai đoạn:
Giai đoạn 1
Giai đoạn toán học sơ cấp ( từ thế kỷ VI – TrCN đến thế kỷ XVII ):
Ứng với nền sản xuất thủ công, toán học nghiên cứu các số và hình ở
dạng tĩnh tại, cùng với lôgic cổ điển.
Giai đoạn 2
Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển (thế kỷ XVII đến thế kỷ XIX)
Ứng với nền sản xuất cơ khí, toán học nghiên cứu các đại lượng biến
thiên và hàm số, Ănghen đã phát biểu: “Đại lượng biến thiên của Đêcac là

23

một bước ngoặt trong toán học… nhờ nó mà vận động và cả biện chứng nữa
đi vào toán học… Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự
nhiên khả năng miêu tả bằng toán học không chỉ những trạng thái mà cả quá
trình” và lôgic cổ điển được phát triển thành đại số mệnh đề.
Giai đoạn 3
Giai đoạn toán học hiện đại (từ thế kỷ XIX đến nay)
Ứng với nền sản xuất tự động hoá, toán học nghiên cứu các cấu trúc và
thuật toán đồng thời với lôgic toán .
Ngày nay, bên cạnh toán học kinh điển vẫn phát triển mạnh mẽ, ta có toán
học kiến thiết, cùng với cấu trúc ta có thuật toán, chúng đối lập nhau nhưng

bổ sung cho nhau. Trong ứng dụng, cấu trúc và thu
ật toán là hai mặt liên
quan mật thiết với nhau, là cơ sở của phương pháp mô hình hoá và thuật toán
hoá của điều khiển học.
II.2.1.3. Các thao tác tư duy toán học
 Phân tích - Tổng hợp
A. Phép tổng hợp
là phương pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa
biết. Nếu gọi A là phán đoán cần chứng minh và 

1,





 hoặc là
tiên đề, định lý hoặc là giả thiết đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp
như sau:
A

A

A

A
Thông thường phép này được dùng để trình bày lời giải sau một quá
trình phân tích. Cũng còn gọi là phép suy xuôi.
B. Phép phân tích
là phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái

đã biết.
Phép phân tích đi lên (Suy ngược lùi ):
A

A

A

A

A
bước n …. bước 1
Phép phân tích đi xuống (Suy ngược tiến):
AA

A

A

A



24

 So sánh – Tương tự
So sánh

So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc
điểm khác nhau ở một số đối tượng. Mục đích thứ nhất dẫn đến tương tự và

thường đi đôi với khái quát hóa.
Tương tự

Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan
hệ của những đối tượng toán học khác nhau. Kết luận dựa theo sự tương tự
có thể được mô tả như sau :

Đối tượng A có các tính chất a;b;c
Đối tượng B có các tính chất a;b
Đối tượng B có tính chất c
Sự tương tự, do tính trực quan và d
ễ hiểu của nó, thường được áp dụng
trong việc giảng dạy toán học. Tuy nhiên cần lưu ý rằng, cũng như phương
pháp quy nạp không hoàn chỉnh, tương tự có thể dẫn đến kết luận sai.
Ví dụ
, trong mọi tam giác các đường cao đồng quy tại trực tâm. Nếu cho
rằng, tương tự, trong mọi tứ diện đều có các đường cao đồng quy tại trực tâm
là sai, vì điều này chỉ đúng với các tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc với
nhau mà thôi.
 Khái quát hoá - Đặc biệt hóa
Khái quát hoá

- Khái quát hoá là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất
nào đó có ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất đó có ngoại
diên rộng hơn, bao gồm tập hợp các đối tượng ban đầu (khái quát
hoá ngoại diên).
- Khái quát hoá cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính
chất nào đó sang khái niệm hay tính chất rộng lớn hơn, bao gồm
khái niệm hay tính chất ban đầu (khái quát hoá nội hàm)
.Đặc biệt hoá

- Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hoá. Đặc biệt
hoá là thao tác tư duy chuyển một khái niệm hay tính chất nào đó từ

25

ngoại diên rộng sang tập hợp các đối tượng có ngoại diên hẹp, chứa
đựng trong tập hợp ban đầu ( đặc biệt hoá về ngoại diên )
- Đặc biệt hoá cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính
chất tổng quát về khái niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt hoá về
nội hàm).
Mối quan hệ
giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá:
thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán. Từ một tính chất nào
đó ta muốn khái quát hoá (về ngoại diên hay nội hàm) ta thử đặc
biệt hoá. Nếu kết quả của đặc biệt hoá là đúng thì ta mới tìm cách
chứng minh dự đoán từ khái quát hoá. Nhưng nếu sai thì dừng lại.
 Trừu tượng hoá
- Trừu tượng hoá là thao tác tách ra từ một đối tượng toán họ
c một
tính chất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc lôgic của thế
giới khách quan ) để nghiên cứu riêng tính chất đó. Trừu tượng hoá
thoát ra khỉ mọi nội dung có tính chất chất liệu.
- Trừu tượng hoá có liên hệ mật thiết với khái quát. Nhờ trừu tượng
hoá ta có thể khái quát hoá rộng và sâu hơn. Trừu tượng hoá và khái
quát hoá là nguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học.
II.2.1.4. Một số loại hình tư duy toán học
1. Tư duy hình thức
(dựa vào lôgic hình thức)
• Lôgic hình thức nghiên cứu cơ cấu của các hình thức tư duy (khái niệm,

phán đoán, suy luận, chứng minh). Lôgic hình thức không đề cập đến sự
nảy sinh và phát triển của các hình thức ấy. Lôgic hình thức chỉ quan
tâm đến các đối tượng dưới dạng tĩnh tại, cô lập. Nhiệm vụ chủ yếu là
xây dựng các quy tắc, quy luật mà sự tuân thủ là điều kiệ
n cần thiết để
đạt được những kết quả chân thực trong quá trình thu nhận tri thức.
• Trong Lôgic hình thức có những quy luật cơ bản:
i) Luật đồng nhất
ii) Luật không có mâu thuẫn
iii) Luật bài trung
iv) Luật có lý do đầy đủ