Bài tập xác suất thống kê

Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
1
CHƯƠNG I
CÁC SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XS
I. Sự kiện ngẫu nhiên, định nghĩa xác suất, giải tích tổ hợp.
Câu 1. Một hộp có N quả cầu được đánh số từ 1 đến N. Rút từng quả ra, ghi số sau đó bỏ
lại trong hộp, làm n lần như vậy. Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra. Có bao nhiêu
khả năng xảy ra biến cố A: “Các quả đã được rút ra là đôi một khác nhau.”
Câu 2. Có bao nhiêu cách phân tích số 100 thành tổng của
a. ba số nguyên dương.
b. ba số nguyên không âm.
Câu 3. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất
để:
a. Tất cả tấm thẻ đều mang số chẵn.
b. Có đúng 5 số chia hết cho 3.
c. Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một số chia hết
cho 10.
Câu 4. Có bao nhiêu số điện thoại gồm 4 chữ số có đúng 1 cặp chữ số trùng nhau?
Câu 5. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng. Người ta chọn 4 viên bi
từ hộp bi. Tính xác suất để chọn được 4 bi đủ 3 màu.
Câu 6. Trong 10 sản phẩm có 2 phế phẩm. Tìm xác suất để trong 5 sản phẩm chọn ngẫu
nhiên có:
a. 1 phế phẩm
b. Không có phế phẩm
c. Ít nhất 1 phế phẩm
Câu 7. Trong một thành phố có 5 khách sạn. Có 3 khách du lịch đến thành phố đó, mỗi
người chọn ngẫu nhiên một khách sạn. Tìm xác suất để:
a. Mỗi người ở một khách sạn khác nhau.
b. Có đúng 2 người ở cùng 1 khách sạn.
Câu 8. Một lớp có 3 tổ học sinh, trong đó tổ 1 có 12 người, tổ 2 có 10 người và tổ 3 có 15
người. Chọn hú hoạ ra 1 nhóm học sinh gồm 4 người.

a. Tính xác suất để trong nhóm có đúng 1 học sinh tổ 1
b. Biết trong nhóm có đúng 1 học sinh tổ 1, tính xác suất để trong nhóm đó có đúng
1 học sinh tổ 3.
Câu 9. Ba nữ nhân viên phục vụ A, B và C thay nhau rửa đĩa chén và giả sử ba người này
đều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tìm xác suất
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
2
a. Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén.
b. Một trong 3 người đánh vỡ 4 chén.

II. Công thức cộng và nhân xác suất, công thức Becnulli.
Câu 10. Trong 1 vùng dân cư, tỷ lệ mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, và mắc
cả 2 loại bệnh trên là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng đó. Tính xác suất để
người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp.
Câu 11. Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng vào bia. Xác suất bắn trúng của 3
người A, B và C tương ứng là 0.7, 0.6 và 0.9
a. Tính xác suất để duy nhất 1 xạ thủ bắn trúng
b. Tính xác suất để có ít nhất 1xạ thủ bắn trúng
Câu 12. Chia ngẫu nhiên một bộ bài 52 quân thành 4 phần đều nhau theo cách sau: đầu tiên
chọn ngẫu nhiên 13 quân bài, sau đó chọn ngẫu nhiên 13 quân tiếp theo từ số bài còn lại
Tìm xác suất để trong mỗi phần đều có 1 con át.
Câu 13. Cho các sự kiện A,B với P(A) =P(B) = 1/2;
8/1)BA(P


a. Tìm
)BA(P


b. Tìm

)BA(P
,
)BA(P


Câu 14. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lô hàng được chấp nhận
nếu chọn hú hoạ ra 50 sản phẩm để kiểm tra thì số phế phẩm khômg quá 1. Tìm xác suất
để lô hàng được chấp nhận.
Câu 15. Một cầu thủ ném bóng rổ cho đến khi nào trúng rổ thì thôi. Tìm xác suất để cầu thủ
đó dừng ném ở lần ném thứ 4, biết rằng xác suất ném trúng ở mỗi lần ném là 0,4.
Câu 16. Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6
bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Tìm xác suất để hai bi lấy ra
có cùng mầu.
Câu 17. Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng
cũ là 0,8, còn súng mới là 0,95. Bắn hú hoạ bằng 1 khẩu súng thì thẩy trúng. Khi đó điều
gì có khả năng xảy ra lớn hơn: bắn bằng khẩu súng mới hay bắn bằng khẩu súng cũ.
Câu 18. Một máy bay ném bom 1 mục tiêu phải bay qua 3 phòng tuyến. Xác suất để mỗi
phòng tuyến tiêu diệt được máy bay là 0,8.
a. Tìm xác suất máy bay rơi trước khi đến mục tiêu.
b. Giả sử máy bay bị rơi, tìm xác suất để phòng tuyến 1 bắn rơi.
Muốn bảo vệ mục tiêu với xác suất 99,99% cần tổ chức bao nhiêu tuyến phòng thủ.
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
3
Câu 19. Có 2 máy bay A và B. A có 4 động cơ và B có 2 động cơ. A có thể bay được nếu ít
nhất 2 động cơ hoạt động, B có thể bay được nếu có ít nhất 1 động cơ hoạt động. Các
động cơ hoạt động độc lập và mỗi động cơ có cùng xác suất hoạt động là q. Tính các xác
suất để A, B bay được. Máy bay nào có xác suất bay được lớn hơn.
Câu 20. Dân số ở 1 thành phố nọ là 100 000 người. Thành phố có 3 tờ nhật báo A, B và C.
Tỉ lệ người dân của thành phố đọc các tờ báo trên là như sau: 10% đọc tờ A, 30% đọc tờ
B, 5% đọc tờ C, 8% đọc cả A và B, 2% đọc cả A và C, 4% đọc cả B và C, 1% đọc cả 3

tờ báo.
a. Có bao nhiêu người chỉ đọc một tờ báo.
b. Có bao nhiêu người đọc ít nhất 2 tờ báo.
c. Có bao nhiêu người không đọc tờ báo nào.
Câu 21. Một thiết bị chứa 3 bộ phận A, B,C. Biết xác suất hỏng của A là 0,04 và nếu A
hỏng thì xác suất hỏng của B là 0,5. Ngoài ra, xác suất A,B cùng hỏng đồng thời C
không hỏng là 0,01.
a. Tìm xác suất có ít nhất 1 bộ phận không hỏng.
b. Nếu biết thêm xác suất A và C cùng hỏng là 0,03; Xác suất B và C cùng hỏng là
0,01; Tìm xác suất gặp ít nhất 2 bộ phận hỏng.
Câu 22. Nghiên cứu tập số đo chiều cao của cha và con trong 1 cuộc điều tra xã hội học ta
thấy: tỷ lệ cha đạt chiều cao tiêu chuẩn là 25%, tỷ lệ con có chiều cao đạt tiêu chuẩn là
36%, trong khi đó xác suất để cha hoặc con có chiều cao đạt tiêu chuẩn là 42%. Tính xác
suất để người cha đạt tiêu chuẩn nhưng người con thì không đạt tiêu chuẩn.
Câu 23. Theo thống kê xác suất để 2 ngày liên tiếp có mưa ở 1 thành phố vào mùa hè là
0,5; còn không mưa là 0,3. Biết các sự kiện có 1 ngày mưa, 1 ngày không mưa là đồng
khả năng.Tính xác suất để ngày thứ 2 có mưa, biết ngày đầu không mưa.
Câu 24. Hai vận động viên bóng bàn A và B đấu 1 trận gồm tối đa 5 ván (không có kết quả
hòa sau mỗi ván và trận đấu sẽ dừng nếu 1 người nào đó thắng trước 3 ván). Xác suất để
A thắng được ở 1 ván là 0,7.
a. Tính các xác suất để A thắng sau x ván (x=3,4,5).
b. Tính xác suất để trận đấu kết thúc sau 5 ván.
Câu 25. Một người say rượu bước 8 bước. Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước 1m hoặc lùi
lại phía sau 1m với xác suất như nhau. Tính xác suất để sau 8 bước
a. Anh ta trở lại điểm xuất phát.
b. Anh ta cách điểm xuất phát hơn 4m.

III. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayet.
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
4

Câu 26. Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy 1 sản xuất 25%, máy 2 sản xuất 30%,
máy 3 là 45% sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy là 0,1%, 0,2% và 0,3%.
Chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm của phân xưởng. Tìm các xác suất:
a. Nó là phế phẩm
b. Biết nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy thứ 1 sản xuất.
Câu 27. Tỷ lệ người nghiện thuốc lá ở một vùng là 30%. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng
trong số những người nghiện thuốc là 60%, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số người
không nghiện là 40%.
a. Lấy ngẫu nhiên một người thấy rằng người ấy bi viêm họng. Tính xác suất người
đó nghiện thuốc lá.
b. Nếu người đó không bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc.
Câu 28. Một xí nghiệp có 2 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Số lượng sản
phẩm của phân xưởng I gấp 4 của phân xưởng II. Biết tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng I
là 5%, còn của phân xưởng 2 là 8%. Tính xác suất để nếu lấy hú họa ra được 1 sản phẩm
tốt thì đó là sản phẩm của phân xưởng I.
Câu 29. Một nhà văn hóa có 3 nhóm đội viên với tỷ lệ nữ tương ứng là 15%, 25% và 55%.
Cho biết số hội viên của nhóm 3 nhiều gấp 3 lần nhóm 1 và gấp 2 lần nhóm 2. Chọn hú
họa 1 hội viên nam. Tính xác suất để hội viên nam đó thuộc nhóm 1.
Câu 30. Có 3 hộp: Hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; Hộp thứ 2 có 2 bi đỏ, 2 bi trắng;
Hộp thứ 3 không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ
hộp thứ 2 bỏ vào hộp thứ 3. Sau đó từ hộp thứ 3 lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi.
a. Tính xác suất để viên bi đó màu đỏ.
b. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ 3 là đỏ, Tính xác suất để lúc đầu ta lấy được
viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ 3.
Câu 31. Bắn 3 phát vào một máy bay với xác suất trúng tương ứng là 0.4, 0.5, và 0.7. Nếu
trúng một phát thì xác suất rơi máy bay là 0.2; nếu trúng hai phát thì xác suất rơi máy
bay là 0.6, còn nếu trúng cả 3 phát thì chắc chắn máy bay rơi. Tìm xác suất để máy bay
rơi.
Câu 32. Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ
ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp

II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi.
a. Tính xác suất để viên bi rút ra sau cùng mầu đỏ.
b. Nếu viên rút ra sau cùng mầu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở
hộp I cho vào hộp II.
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
5
Câu 33. Một hộp có 10 quả bóng bàn trong đó có 6 quả mới (nghĩa là chưa sử dụng lần
nào). Hôm qua, đội bóng lấy ngẫu nhiên ra 3 quả để tập sau đó trả lại hộp. Hôm nay, đội
bóng lại lấy ngẫu nhiên ra 3 quả để tập.
a. Tìm xác suất để 3 quả bóng lấy ra hôm nay đều mới.
b. Biết rằng hôm nay lấy ra được 3 quả mới. Tính xác suất để hôm qua lấy ra ít nhất
2 quả mới.
Câu 34. Có 10 sinh viên đi thi trong đó có 3 thuộc loại giỏi, 4 thuộc loại khá và 3 thuộc loại
trung bình. Trong ngân hàng thi có 20 câu hỏi, sinh viên loại giỏi trả lời được hết, loại
khá trả lời được 16 câu và loại trung bình trả lời được 10 câu. Gọi ngẫu nhiên 1 sinh
viên. Sinh viên đó trả lời được cả 3 câu hỏi trong phiếu thi. Tính xác suất đó là sinh viên
thuộc loại trung bình.
Câu 35. Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống, chuồng gà kia có 1 con mái và 5 con
trống. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra 1con làm thịt. Các con gà còn lại được dồn vào
chuồng thứ 3. Từ chuồng thứ 3 bắt ngẫu nhiên 1 con gà. Tìm xác suất để con gà bắt được
ở chuồng 3 là gà trống.
Câu 36. Trong 1 kho rượu, số lượng rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta chọn ngẫu
nhiên 1 chai và đưa cho 5 người nếm thử. Biết xác suất đoán đúng của mỗi người là 0,8.
Có 3 người kết luận rượu loại A, 2 người kết luận rượu loại B. Hỏi khi đó xác suất chai
rượu đó thuộc loại A là bao nhiêu?
Câu 37. Một hãng hàng không biết rằng 5% số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định
sẽ hoãn không đi chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán 52 ghế
cho 1 chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ chở được 50 khách hàng. Tìm xác suất để
tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất
bán được 51 vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng 10%.

Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
6
BÀI TẬP CHƯƠNG II
I. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Câu 1. Tiến hành 3 lần thử nghiệm độc lập, trong đó xác suất để thử nghiệm thành công ở
mỗi lần là 0,4. Gọi X là số lần thử thành công.
a. Lập bảng phân bố xác suất của X
b. Tính E( 3X - 1 )
Câu 2. (1.45) Một chùm chìa khoá gồm 4 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có một chiếc mở
được cửa. Người ta thử ngẫu nhiên từng chiếc cho đến khi mở được cửa.Gọi X là số lần
thử.
a. Tìm phân phối xác suất của X
b. Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
Câu 3. (3.45) Một xạ thủ có 5 viên đạn. Anh ta phải bắn vào bia với quy định khi nào có 2
viên trúng bia hoặc hết đạn thì dừng. Biết xác suất bắn trúng bia ở mỗi lần bắn là 0,4 và
gọi X là số đạn cần bắn.
a. Tìm phân phối xác suất của X
b. Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
Câu 4. Trong 1 thành phố nào đó 65% dân cư thích xem bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 12
người và gọi X là số người thích xem bóng đá trong số đó.
a. Gọi tên phân bố xác suất của X.
b. Tìm xác suất để có đúng 5 người thích xem bóng đá.
c. Tìm xác suất để có ít nhất 2 người thích xem bóng đá.
Câu 5. Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong 1 cuộc bầu cử tổng thống là 40%. Người ta
hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn 1 cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho ông A
trong cuộc bầu cử đó.
a. Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn của X và mod X.
b. Tìm P{X < 10}
Câu 6. Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có 2 giá trị x
1

và x
2
(x
1
< x
2
). Xác suất để X nhận giá
trị x
1
là 0,2. Tìm luật phân phối xác suất của X, biết kỳ vọng EX = 2,6 và độ lệch tiêu
chuẩn σ
X
= 0,8.

II. Biến ngẫu nhiên liên tục
Câu 7. Biến ngẫu nhiên X có mật độ xác suất
k sin3x , x (0 ,
Π/3 )
f(x) =
0 , x (0 ,
Π/3 )






a. Xác định k, hàm phân bố F(x)
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
7

b. Tính P( /6  X < /2 )
Câu 8. (5.45) Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
2 2
f(x) = c / a x

trên khoảng (-a,a)
và bằng 0 ở ngoài khoảng đó. Xác định hằng số c, sau đó tính kỳ vọng và phương sai của
X.
Câu 9. (6.45) Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
x x
f (x) c /(e e )

 
. Xác định hằng số c
và sau đó tính kỳ vọng của X.

II. Các luật phân phối thông dụng
Câu 10. Tại một trạm kiểm soát giao thông trung bình 30 giây có 10 xe ôtô đi qua.
a. Tìm xác suất để có đúng 12 xe đi qua trong vòng 1 phút.
b. Tính xác suất để trong khoảng t phút có ít nhất 1 xe ôtô đi qua.
Câu 11. Một gara cho thuê ôtô thấy rằng số người đến thuê ôtô vào thứ bảy cuối tuần là 1
ĐLNN có phân bố poat xông với tham số  = 2. Giả sử gara có 4 chiếc ôtô. Hãy tìm xác
suất để:
a. Tất cả 4 ôtô đều được thuê
b. Gara không đáp ứng được yêu cầu (thiếu xe cho thuê)
c. Trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê
Câu 12. Một hành khách đến bến xe buýt đúng lúc 10 giờ. Thời gian xe buýt đến bến đó
đón khách là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trong khoảng từ 10 giờ đến 10 giờ 30
phút.
a. Tìm xác suất để người đó phải đợi ít nhất 10 phút

b. Biết rằng lúc 10 giờ 15 phút xe buýt vẫn chưa đến. Tìm xác suất để người đó phải
đợi ít nhất 10 phút nữa.
Câu 13. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 3 và phương sai
0,16. Hãy tính :
a. P(X > 3), P(X > 3,784)
b. Tìm c sao cho P(3 - c < X < 3 + c) = 0,9.
Câu 14. (8.45) Các viên bi do 1 máy tự động sản xuất ra được coi là đạt yêu cầu nếu
đường kính X của chúng lệch so với thiết kế không quá 0,7 mm. Cho biến ngẫu nhiên X
tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn σ = 0,4 mm. Tính tỉ lệ bi đạt yêu
cầu.
Câu 15. (7.46) Chiều dài của 1 loại cây là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Trong 1 mẫu 640 cây có 25 cây thấp hơn 18m, 110 cây cao hơn 24m.
a. Tìm chiều cao trung bình của cây và độ lệch tiêu chuẩn tương ứng
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
8
b. Ước lượng số cây có chiều cao từ 16m đến 20m trong số 640 cây nói trên.
Câu 16. Lãi suất (%) đầu tư vào 1 dự án trong năm 2006 được coi như một biến ngẫu nhiên
tuân theo quy luật chuẩn.Theo đánh giá của uỷ ban đầu tư thì với xác suất 0,1587 cho lãi
suất cao hơn 20% và với xác suất 0,0228 cho lãi suất lớn hơn 25%. Vậy khả năng đầu tư
mà không bị lỗ là bao nhiêu?
Câu 17. Một viên đạn có tầm xa trung bình là 300m. Giả sử tầm xa đó là 1 biến ngẫu nhiên
tuân theo luật chuẩn với σ = 10. Hãy tìm tỉ lệ đạn bay quá tầm xa trung bình từ 15 đến
30m.
Câu 18. Lấy ngẫu nhiên 1 điểm M trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2a. Biết
rằng xác suất điểm M rơi vào cung CD bất kì của nửa đường tròn AMB chỉ phụ thuộc
vào độ dài cung CD
a. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y chỉ diện tích tam giác AMB.
b. Tìm giá trị trung bình của diện tích tam giác ấy.
Câu 19. (6.47) Từ điểm A(0,-a) (a > 0) trong nửa mặt phẳng toạ độ xOy phần x  0, người
ta kẻ ngẫu nhiên 1 tia At hợp với tia Oy một góc φ. Biết φ là biến ngẫu nhiên có phân

phối đều trong khoảng (0,/4). Tia At cắt Ox tại điểm M.
a. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ diện tích tam giác AOM.
b. Tìm giá trị trung bình của diện tích trên.
Năng suất lúa ở 1 địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 42
tạ/ha và σ = 3 tạ/ha. Tìm xác suất để khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì có 2 thửa có
năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1 tạ/ha.
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
9
BÀI TẬP CHƯƠNG III

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Câu 1. Cho biến ngẫu nhiên X và Y có bảng phân bố xác suất đồng thời như sau
X
Y
1 2 3
1 0.12 0.15 0.03
2 0.28 0.35 0.07
a. CMR X và Y độc lập
b. Lập bảng phân phối xác suất của X và của Y.
d. Tìm quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên Z = XY.
Câu 2.Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời là
X Y -1 0 1
-1 4/15 1/15 4/15
0 1/15 2/15 1/15
1 0 2/15 0
a. X và Y có độc lập không?
b. Tìm bảng phân phối xác suất của X,Y.
Câu 3 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên có bảng phân phối đồng thời là
X Y 1 2 3

1 0,17 0,13 0,25
2 0,10 0,30 0,05
a. Lập bảng phân phối xác suất của X,Y.
b. X,Y có độc lập không?

2. Biến ngẫu nhiên liên tục

Câu 4 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là
kx nÕu 0 < y < x < 1
f(x, y)
0 nÕu tr¸i l¹i





a. Tìm hằng số k
b. Tìm các hàm mật độ của X và của Y
c. X và Y có độc lập không ?
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
10
Câu 5 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là
2
xy
k(x + ) nÕu 0 < x < 1, 0 < y < 2
f(x, y)
2
0 nÕu tr¸i l¹i








a. Tìm hằng số k.
b. Tìm hàm phân bố đồng thời của X và Y
Câu 8. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ

 





2 2
1 x y
1
f(x,y)
6 9 4
0 nÕu tr¸i l¹i
π

a. Tìm hàm mật độ của X,Y.
b. Tìm xác suất để X,Y nằm trong hình chữ nhật O(0,0);A(0,1);B(1,2);D(2,0)
Câu 9. X, Y là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là

  






1
0 y x 1
f(x,y)
x
0 nÕu tr¸i l¹i

a. Tìm hàm mật độ của X,Y
b. Tìm hàm mật độ
1 2
f (x| y) ; f (y| x)

Câu 11. Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập với nhau có cùng phân bố đều trên [0, 2].
Tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên sau:
a. Z = X + Y d. U = X - Y.
b. T = XY c. P(-1  Y - X  1)
Bài 13. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại cổng trường trong khoảng từ 5h đến 6h, với giả thiết
thời điểm đến của mỗi người là ngẫu nhiên.
a. Tìm hàm phân phối xác suất của thời gian giữa 2 thời điểm đến của 2 người.
b. Với quy ước chỉ đợi nhau trong vòng 10 phút, tìm xác suất để 2 người được gặp nhau
Câu 14. Cho
2 2
X ~ N(5; 1 ); Y ~ N(3; 0,2 )

a. Tìm P(X + Y < 5,5).
b. Tìm P(X < Y);P(X > 2Y)
c. Tìm P(X < 1; Y < 1)
Câu 15. Trọng lượng của người chồng có phân bố chuẩn với kỳ vọng 70kg và độ lệch tiêu

chuẩn 9 kg, còn trọng lượng người vợ có kỳ vọng 55 kg và độ lệch tiêu chuẩn 4 kg. Hệ số
tương quan trọng lượng giữa hai vợ chồng là 2/3. Tính xác suất vợ nặng hơn chồng.
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
11
BÀI TẬP CHƯƠNG IV

Câu 1. Doanh số của một cửa hàng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch
chuẩn 2 triệu trên tháng. Điều tra ngẫu nhiên doanh số của 500 cửa hàng có quy mô
tương tự nhau tìm được doanh số trung bình là 7,9 triệu. Với độ tin cậy 95% hãy ước
lượng doanh số trung bình của các cửa hàng thuộc quy mô đó.
Câu 2. Một tuyến xe buýt chạy từ A đến B, chạy thử 31 lần liên tiếp trên đoạn đường này
cho ta số liệu lượng xăng hao phí
Lượng xăng hao phí 10,5-11 11-11,5 11,5-12 12-12,5 12,5-13
Tần số 3 6 10 8 4
Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng lượng xăng hao phí trung bình cho xe buýt đi từ A đến
B. Biết lượng xăng hao phí là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 3. Để ước lượng bề dày trung bình của một tấm tôn do một nhà máy sản xuất thử
nghiệm, người ta tiến hành đo 15 tấm thu được kết quả sau
Bề dày (mm) 1,8-1,9 1,9-2 2-2,1 2,1-2,2 2,2-2,3
Tần số 1 4 6 3 2
Dựa vào số liệu trên hãy ước lượng bề dày trung bình tấm tôn do nhà máy trên sản xuất
với khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 95%. Biết rằng bề dày các tấm tôn là biến
ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 4. Để xác định trọng lượng trung bình của các bao bột mì được đóng bằng máy tự
động, người ta chọn ngẫu nhiên 15 bao và tính được
X
= 29,8 kg, s
2
= 0,144 (giả sử
trọng lượng nói trên tuân theo luật phân phối chuẩn). Tìm khoảng tin cậy 99% cho trọng

lượng trung bình của các bao bột mì.
Câu 5. Khảo sát mẫu gồm 12 người cho thấy số lần đi xem phim trong 1 năm như sau:
14 16 17 17 24 20 32 18 29 31 15 35
Tìm khoảng tin cậy đối xứng 95% cho số lần trung bình mà mỗi người tới rạp xem phim
trong một năm (giả sử số lần đó tuân theo luật phân phối chuẩn).
Câu 6. Để xác định chiều cao trung bình của các cây bạch đàn trong khu rừng mới trồng
người ta chọn ra 1 mẫu gồm 35 cây. Kết quả đo đạc như sau:
Khoảng chiều cao (m) 6.5-7 7-7.5 7.5-8 8-8.5 8.5-9 9-9.5
Tấn số 2 4 10 11 5 3
Tìm khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình của các cây bạch đàn trong rừng nói trên.
Câu 7. Người ta điều tra 144 sinh viên ở 1 trường đại học về chi phí cho giáo trình năm
thứ nhất thì thấy trung bình là 190 nghìn đồng, độ lệch chuẩn là 30 nghìn đồng (chi phí
cho giáo trình giả sử là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn).
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
12
a. Tính ước lượng chi phí trung bình cho giáo trình năm thứ nhất với độ tin cậy
95%.
b. Độ tin cậy vẫn là 95%, nếu muốn độ chính xác của ước lượng là 3000 đồng thì
phải điều tra bao nhiêu sinh viên.
Câu 8. Ở một quận người ta điều tra tiền điện phải trả trong một tháng. Người ta chọn ra
200 hộ một cách ngẫu nhiên và được kết quả sau:
Ước lượng khoảng cho số tiền trung bình một hộ dân phải trả ở quận đó với độ tin cậy là
90%. Giả sử tiền điện phải trả trong một tháng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối
chuẩn.
Câu 9. Trong số 500 người mua xe máy ở một cửa hàng có 300 người mua xe Honda. Tìm
khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ người mua xe Honda.
Câu 10. Ở 1 bến xe liên tỉnh, kiểm tra ngẫu nhiên 80 chuyến thì có 64 chuyến xuất phát
đúng giờ. Tìm khoảng tin cậy 99% cho tỉ lệ chuyến xe xuất phát đúng giờ.
Câu 11. Trong 360 phép thử sự kiện A xuất hiện 270 lần (giả sử các phép thử giống nhau
và độc lập). Tìm khoảng tin cậy 95% cho xác suất xuất hiện sự kiện A.Chất lượng

khoảng tin cậy sẽ thay đổi thế nào nếu ta giảm độ tin cậy.
Câu 12. Thử nghiệm 300 bóng đèn điện tử cùng loại thì thấy 6 bóng có lỗi kĩ thuật.Với độ
tin cậy 99%, hãy tìm ước lượng cho tỉ lệ bóng có lỗi kĩ thuật. Sau đó ước lượng điểm
không chệch cho phương sai của tỉ lệ đó.
Câu 13. Mở thử 200 hộp của kho đồ hộp thấy có 8 hộp bị biến chất. Với độ tin cậy 95%
hãy ước lượng tỉ lệ hộp bị biến chất tối đa của kho.
Câu 14. Giả sử mức thu nhập hàng năm của các gia đình nông thôn là đại lượng ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn. Điều tra thu nhập của 40 gia đình ở một thôn ta có số liệu:
Thu nhập(triệu đồng/năm) 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
Số gia đình 1 3 4 6 8 7 6 3 2
Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng số gia đình có thu nhập dưới 5 triệu đồng 1 năm biết
thôn đó có 80 gia đình.
Câu 15. Sai số đo của 1 loại dụng cụ đo có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn bằng 20.
Cần phải tiến hành bao nhiêu phép đo độc lập để sai số phạm phải không vượt quá 10
với độ tin cậy 0.95.
Câu 16. Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm của 1 nhà máy thì thấy có 360 sản phẩm loại A.
Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A tối thiểu của nhà máy trên với độ tin cậy 95%.
Số tiền [50,80)

[80,110)

[110,140)

[140,170)

[170,200)

[200,230)

[230,260]

Số hộ 14 25 43 46 39 23 10
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
13
Câu 17. Sản lượng ngày của một phân xưởng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối
chuẩn. Kết quả thống kê của 10 ngày cho ta bộ số liệu:
23 27 26 21 28 25 30 26 23 26.
Hãy xác định khoản tin cậy 90% cho phương sai cho sản lượng ngày của phân xưởng
trên.
Câu 18. Để xác định mức thời gian gia công một chi tiết máy, người ta tiến hành thử
nghiệm gia công 25 chi tiết; kết quả trên tập mẫu thu được: thời gian trung bình là 20 h
với độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh s=2,02. Với độ tin cậy 95% hãy xác định khoảng tin
cậy đối xứng cho phương sai của thời gian gia công. Biết thời gian gia công là biến ngẫu
nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 19. Ở một quận người ta điều tra tiền điện phải trả trong một tháng. Người ta chọn ra
200 hộ một cách ngẫu nhiên và được kết quả sau:
Số tiền [50,80)

[80,110)

[110,140) [140,170) [170,200) [200,230) [230,260]
Số hộ 14 25 43 46 39 23 10
Ước lượng khoảng cho phương sai số tiền mà một hộ dân phải trả ở quận đó với độ tin cậy
là 90%. Giả sử tiền điện phải trả trong một tháng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân
phối chuẩn.
Câu 20. Một tuyến xe buýt chạy từ A đến B, chạy thử 31 lần liên tiếp trên đoạn đường này
cho ta số liệu lượng xăng hao phí
Lượng xăng hao phí 10,5-11 11-11,5 11,5-12 12-12,5 12,5-13
Tần số 3 6 10 8 4
Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng độ tản mát lượng xăng hao phí cho xe buýt đi từ A đến

B. Biết lượng xăng hao phí là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
14
BÀI TẬP CHƯƠNG V
1. Kiểm định giả thuyết cho 1 giá trị
Câu 1. Một loại bóng đèn được cho biết tuổi thọ trung bình là 4 200 giờ. Kiểm tra ngẫu
nhiên 40 bóng thấy tuổi thọ trung bình là 4100 giờ, biết tuổi thọ của bóng đèn giả sử
tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 200 giờ.
Với mức ý nghĩa 5%, tuổi thọ thật sự của bóng đèn có phải 4 200 giờ hay không?
Câu 2. Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua trung bình 1 khách hàng
mua 15 ngàn đồng thực phẩm. Tuần này của hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng thấy
trung bình 1 khách hàng mua 14 ngàn đồng thực phẩm với độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh
là 2 ngàn. Biết sức mua của khách hàng được giả thiết là tuân theo luật phân phối chuẩn.
Với mức ý nghĩa 1%, sức mua của khách hàng có thực sự giảm sút?
Câu 3. Gạo được đóng gói bằng máy tự động có trọng lượng đóng bao theo quy định
15kg. Lấy ngẫu nhiên 27 bao ra kiểm tra trọng lượng trung bình của chúng ta được bảng
số liệu sau:
Trọng lượng 14,6-14,8 14,8-15 15-15,2 15,2-15,4 15,4-15,6
Tần suất 4 7 8 6 2
(Giả thiết trọng lượng của các bao gạo tuân theo luật phân phối chuẩn).
Với mức ý nghĩa 0,05 có cần phải dừng máy để điều chỉnh hay không?
Câu 4. Mức thu nhập trung bình năm ngoái của các gia đình ở nông thôn là 6 triệu một
năm. Điều tra thu nhập của 40 gia đình ở một thôn ta có số liệu
Thu nhập (triệu đồng / năm) 4 4.5

5 5.5

6 6.5

7 7.5

8
Số gia đình 1 3 4 6 8 7 6 3 2
Với độ mức ý nghĩa 5% có thể coi mức thu nhập hàng năm của gia đình cải thiện hơn năm
trước hay không. Biết mức thu nhập là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 5. Trọng lượng đóng gói đường loại 500g một gói trên một máy tự động là biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 gói thu được kết quả sau :
Trọng lượng (gam) 495 497 498 500 502 503 504
Số gói 8 12 20 32 16 8 4
Với mức ý nghĩa 5%, có thể coi trọng lượng trung bình là bằng 500g theo quy định hay
không?
Câu 6. Định mức thời gian hoàn thành sản phẩm là 14 phút. Có cần phải đổi định mức
không, nếu theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm của 25 công nhân, ta thu được bảng
số liệu trung bình 15,2 phút, độ lệch hiệu chỉnh 2,6 phút. Yêu cầu kết luận với mức ý
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
15
nghĩa 5% biết thời gian hoàn thành một sản phẩm là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân
phối chuẩn.
Câu 7. Người ta đã thực hiện một cải tiến kỹ thuật trong bộ chế hoà khí của xe ôtô với hy
vọng sẽ tiết kiệm được xăng hơn. Dùng thử 12 lần thu được kết quả sau về số km chạy
được cho 1 lít xăng.
20,6 20,6 20,5 21,0 21,1 21,2 20,8 20,7 20,6 20,9 20,3 20,2
Nếu trước khi cải tiến một lít xăng trung bình chạy được 20,2 km thì có thể kết luận rằng cải
tiến trên đã mang lại hiệu quả đáng kể hay không với mức ý nghĩa 5%. Giả thiết số km chạy
được cho 1 lít xăng tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 8. Theo một nguồn tin cho rằng tỷ lệ hộ dân thích xem chương trình “ Ở nhà chủ
nhật” trên VTV3 là 50%. Thăm dò 36 hộ dân thấy có 20 hộ dân thích xem chương trình
này. Với mức ý nghĩa 1%. Kiểm định xem nguồn tin này có đáng tin cậy hay không?
Câu 9. Tại một trại chăn nuôi gà, tỷ lệ gà mắc bệnh K là 34%, sau một thời gian điều trị,
người ta kiểm tra 100 con thấy có 20 con mắc bệnh K, có thể kết luận sự điều trị có hiệu

quả hay không với mức ý nghĩa 5%.
Câu 10. Một công ti A sản xuất bánh kẹo tuyên bố rằng 1/2 số trẻ em thích ăn bánh kẹo của
công ti. Trong một mẫu gồm 100 trẻ em được hỏi, có 47 em tỏ ra thích ăn bánh của công
ti. Với mức ý nghĩa 5%, số liệu trên có chứng tỏ là tuyên bố của công ti là đúng hay
không?

2. Kiểm định giả thiết cho hai giá trị
Câu 11. Chọn ngẫu nhiên 80 bóng đèn của nhà máy A thấy tuổi thọ trung bình là 1 258 giờ,
độ lệch chuẩn là 94 giờ. Chọn ngẫu nhiên 60 bóng đèn của nhà máy B thấy tuổi thọ
trung bình là 1 029 giờ, với độ lệch chuẩn 98 giờ. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định
giả thiết có phải thực sự tuổi thọ của 2 laọi bóng đèn khác nhau hay không.
Câu 12. Lương trung bình của 10 công nhân thuộc nhà máy A là 1200 nghìn đồng với độ
lệch hiệu chỉnh 140 nghìn. Lương trung bình của 12 công nhân của nhà máy B là 1300
nghìn đồng với độ lệc hiệu chỉnh 100 nghìn. Thực sự lương trung bình của hai nhà máy
có khác nhau không, với mức ý nghĩa 5%.
Câu 13. Theo dõi 15 năm lượng mưa trung bình vào tháng năm tại huyện A là 1,94 inch với
độ lệch tiêu chuẩn hiệu chỉnh 0,45 inch. Theo dõi 10 năm, lượng mưa trung bình huyện
B vào tháng năm là 1,04 inch với độ lệch hiệu chỉnh 0,26 inch.
Kiểm định giả thiết xem phải chăng vào tháng 5 tại địa phuơng A mưa nhiều hơn địa
phương B hay không với mức ý nghĩa 1%.
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
16
Câu 14. Hai máy tự động dùng để cắt những thanh kim loại do cùng một kỹ thuật viên phụ
trách và căn chỉnh. Từ mỗi máy lấy ra 31 thanh kim loại để kiểm tra thu được kết quả
sau:
Máy 1: Trung bình mẫu 12 cm, độ lệch hiệu chỉnh 1,2 cm.
Máy 2: Trung bình mẫu 12,3 cm, độ lệch hiệu chỉnh 1,4 cm.
Với mức ý nghĩa 0,01 có thể cho rằng chiều dài của các thanh kim loại do máy 2 sản xuất
khác chiều dài do máy 1 sản xuất hay không. ( Biết chiều dài thanh kim loại do các máy
sản xuất có phân phối chuẩn và giả sử phương sai của các thanh kim loại do hai máy sản

xuất là như nhau).
Câu 15. Quan sát 6 lọ chất hoá học do hai cân khác nhau cân. Biết cân nặng của lọ hoá chất
tuân theo luật phân phối chuẩn, ta có
Cân I 0,5 1 2,5 3 4 5
Cân II 1 1,5 2 2 2,5 3
Kiểm định giả thiết hai cân có cân khác nhau hay không với mức ý nghĩa 5%.
( Giả sử phương sai cân nặng các lọ hoá chất do hai cân là như nhau).
Câu 16. Để so sánh 2 chế độ bón phân cho 1 loại cây trồng người ta chia 8 mảnh ruộng mỗi
mảnh thành 2 nửa. Nửa thứ nhất áp dụng phương pháp bón phân I, nửa thứ 2 theo
phương pháp bón phân II (Các chế độ chăm sóc khác nhau). Sau khi thu hoạch ta được
số liệu về năng suất như sau.
Mảnh 1 2 3 4 5 6 7 8
Năng suất nửa thứ I 15 20 16 22 24 14 18 20
Năng suất nửa thứ II 15 22 14 25 29 16 20 24
Đánh giá xem hai chế độ bón phân có giống nhau không với mức ý nghĩa 1%.
Câu 17. Từ kho đồ hộp 1, lấy ngẫu nhiên 1000 hộp để kiểm tra tháy có 20 hộp bị hỏng. Từ
kho 2 lấy ngẫu nhiên 900 hộp thấy 30 hộp bị hỏng. Hỏi chất lượng bảo quản của 2 khô
có thực sự giống nhau hay không với mức ý nghĩa 5%.
Câu 18. Bệnh A được điều trị theo hai phương pháp. Sau một thời gian thấy kết quả như
sau
Trong 102 bệnh nhân điều trị phương pháp I có 82 khỏi bệnh.
Trong 98 bệnh nhân điều trị phương pháp II có 69 khỏi bệnh.
Hỏi có phải phương pháp I điều trị tốt hơn phương pháp II hai hay không với mức ý
nghĩa 5%.
Câu 19. Để đánh giá hiệu quả của hai dây chuyền sản xuất người ta tiến hành kiểm tra 1000
sản phẩm do dây chuyền 1 sản xuất có 10 sản phẩm hỏng, kiểm tra 1000 sản phẩm do
dây chuyền 2 sản xuất thấy có 8 sản phẩm hỏng.
Bài tập XSTK – Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
17
Với mức ý nghĩa 5%, có kết luận gì về tỷ lệ sản phẩm hỏng từ 2 dây chuyền trên.