Hệ phương trình nhiều ẩn

TRAÀN SÓ TUØNG
›š & ›š





















TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2011

Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 1



1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

axbyc
abab
axbyc
2222
111
1122
222
(0,0)

+=
+≠+≠


+=


Giải và biện luận:
– Tính các định thức:
ab
D
ab
11
22
= ,
x
cb
D
cb
11
22
= ,
y
ac
D
ac
11
22
= .

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các

phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.


Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
543
798

−=

−=

b)
xy
xy
211
548

+=

−=

c)
xy
xy
31
625


−=

−=


d)
(
)
( )
xy
xy
2121
22122


++=−

−−=


e)
xy
xy
32
16
43
53
11
25


+=



−=

f)
xy
y
31
5x23


−=

+=



Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
18
18
54
51

−=





+=


b)
xy
xy
101
1
12
253
2
12

+=


−+


+=
−+

c)
xyxy
xyxy
2732

7
23
4548
1
23

+=


−+


−=−
−+


d)
xy
xy
26315
56411

−++=

−−+=

e)
xyxy
xyxy
29

3217

+−−=

++−=

f)
xyxy
xyxy
438
356

++−=

+−−=


Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
mxmym
xmy
(1)1
22

+−=+

+=

b)
mxmy

mxmy
(2)5
(2)(1)2

+−=

+++=

c)
mxym
mxym
(1)231
(2)1

−+=−

+−=−


d)
mxmy
mxmym
(4)(2)4
(21)(4)

+−+=

−+−=

e)

mxym
mxymm
22
(1)21
2

+−=−

−=+

f)
mxym
xmym
21
225

+=+

+=+


Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận. ii) Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
a)
mxym
mxymm
22
(1)21
2


+−=−

−=+

b)
mxy
xmym
1
4(1)4

−=

++=

c)
mxy
xmym
33
210

+−=

+−+=


I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Xét D Kết quả
D ≠ 0
Hệ có nghiệm duy nhất
y

x
D
D
xy
DD
;

==



D
x
≠ 0 hoặc D
y
≠ 0
Hệ vô nghiệm
D = 0
D
x
= D
y
= 0 Hệ có vô số nghiệm

Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 2

Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.

a)
mxym
xmym
21
225

+=+

+=+

b)
mxmy
mxmy
6(2)3
(1)2

+−=

−−=

c)
mxmym
xmy
(1)1
22

+−=+

+=


Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
axyb
xy
325

+=

+=−

b)
yaxb
xy
234

−=

−=

c)
axyab
xya2

+=+

+=


d)

abxabya
abxabyb
()()
(2)(2)

++−=

−++=

e)
axbyab
bxayab
22
2

+=+

+=

f)
axbyab
bxbyb
2
2
4


−=−

−=




Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyz
xyz
xyz
31
225
230

+−=

−+=


−−=

b)
xyz
xyz
xyz
328
26
36

++=

++=



++=

c)
xyz
xyz
xyz
327
2438
35

−+=−

−++=


+−=


Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 3

1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
• Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
• Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
• Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

2. Hệ đối xứng loại 1
Hệ có dạng: (I)
fxy
gxy
(,)0
(,)0

=

=

(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
• Đặt S = x + y, P = xy.
• Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
• Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
• Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình:
XSXP
2
0
−+=
.

3. Hệ đối xứng loại 2
Hệ có dạng: (I)
fxy
fyx
(,)0(1)
(,)0(2)

=

=


(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
• Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
(I) ⇔
fxyfyx
fxy
(,)(,)0(3)
(,)0(1)

−=

=


• Biến đổi (3) về phương trình tích:
(3) ⇔
xygxy
().(,)0
−=

⇔
xy
gxy
(,)0

=

=

.
• Như vậy: (I) ⇔
fxy
xy
fxy
gxy
(,)0
(,)0
(,)0


=


=



=




=


.
• Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm
xy
00
(;)
thì
yx
00
(;)
cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì
xy
00
=
.

4. Hệ đẳng cấp bậc hai
Hệ có dạng: (I)
axbxycyd
axbxycyd
22
1111
22
2222

++=



++=


.
• Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
• Khi x ≠ 0, đặt
ykx
=
. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương
trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).





II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 4

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
22
48
24

+=


+=

b)
xxy
xy
2
24
231

−=

−=

c)
xy
xy
2
()49
3484

−=

+=


d)
xxyyxy
xy
22

32360
23

−+++−=

−=

e)
xy
xyxy
3410
3()9

−+=

=+−

f)
xy
xyxy
232
60

+=

+++=


g)
yxx

xy
2
4
250

+=

+−=

h)
xy
xyy
22
235
324

+=

−+=

i)
xy
xxyy
22
25
7

−=

++=



Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xy
xym
22
6

+=

+=

b)
xym
xyx
22
22

+=

−+=

c)
xy
xym
22
321

−=


+=


Bài 3. Trong các hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
a)
mxym
xmya
21
221

+=+

+=−

b)
mxym
xmym
3
21

+=

+=+


c)
xym

xym
24
233

−=−

+=+

d)
xy
yxm
25
2105

+=

−=+


Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xyxyxy
22
11
2()3

++=

+−−+=−


b)
xy
xxyy
22
4
13

+=

++=

c)
xyxy
xyxy
22
5
8

++=

+++=


d)
xy
yx
xy
13
6

6

+=



+=

e)
xxyy
xyxy
3333
17
5

++=

++=

f)
xxyy
xxyy
4224
22
481
37


++=


++=



Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xyyx
22
1
6

++=−

+=−

b)
xy
xxyy
22
4224
5
13


+=

−+=



c)
xyyx
xy
22
33
30
35


+=

+=



d)
xy
xyxy
33
5522
1


+=

+=+


e)
xyxy

xyxy
22
4422
7
21


++=

++=


f)
xyxy
xyxy
22
11
3()28

++=

+++=


Bài 6. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
xy
xy

22
22
1
()15
1
()149


++=







++=




b)
( )
yxxy
xy
xy
22
22
22
(1)2(1)

1
124

+=+



++=






c)
xy
xy
xy
xy
22
22
11
4
11
4

+++=





+++=


d)
xy
xy
xy
xy
22
2
3
11
1
()(1)6

+=


++


++=



e)
xyyxyxxy
yx
xy

xyxy
22
226
1
4

+++=


+++=


f)
xy
xy
xy
xy
1
4
1
()15

+=





++=







Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 5

Bài 7. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xyxym
xym
22
32

++=

+=−

b)
xym
xyxymm
222
1
23

+=+

+=−−


c)
xym
xyxym
(1)(1)5
()4

++=+

+=


Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxy
yyx
2
2
32
32


=+

=+


b)
xyxy
yxyx
22

22
22
22


−=+

−=+


c)
xxy
yyx
3
3
2
2


=+

=+



d)
y
xy
x
x

yx
y
34
34

−=




−=


e)
y
y
x
x
x
y
2
2
2
2
2
3
2
3

+

=



+

=


f)
xy
y
yx
x
2
2
1
2
1
2

=+




=+



g)
xxy
yyx
3
3
38
38


=+

=+


h)
xyxy
xyyx
2
2
8(1)
8(1)


+=−

+=−


i)
xy

x
yx
y
2
2
3
2
3
2

+=




+=



k)
22
22
912(1)
912(2)

+=−+


+=−+


xyy
yxx

Bài 9. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xxmy
yymx
2
2
3
3


=+

=+


b)
xymm
yxmm
22
22
(34)(34)
(34)(34)


−=−

−=−



c)
xyxmy
xyymx
2
2
(1)
(1)


+=−

+=−



Bài 10. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a)
xymy
xymx
22
22


+=

+=



b)
xyxmy
xyymx
2
2
(1)
(1)


+=−

+=−


c)
m
xy
y
m
yx
x
2
2
2
2
2
2

=+





=+



Bài 11. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
22
31
3313


−+=−

−+=


b)
xxyy
xxyy
22
22
241
3227



−+=−

++=


c)
yxy
xxyy
2
22
34
41


−=

−+=



d)
xxyy
xxyy
22
22
35438
59315



+−=

−−=


e)
xxyy
xxyy
22
22
239
455


−+=

−+=


f)
xxyy
xxyy
22
22
3840
5760


−+=


−−=



Bài 12. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xmxyym
xmxymym
22
22
(1)


++=

+−+=


b)
xyy
xxym
2
2
12
26


−=

−=+



c)
xxyym
yxy
22
2
4
34


−+=

−=




Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 6



Các hệ phương trình đại số tổng quát thường rất khó giải và không thể nêu ra phương
pháp chung để giải chúng. Ở đây xin nêu ra một số phương pháp để có thể lựa chọn thích
hợp.
1. Phương pháp thế: Từ phương trình đơn giản nhất của hệ hoặc từ phương trình tích
tìm cách rút một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại. Giải phương trình này.
Số nghiệm của hệ tuỳ thuộc số nghiệm của phương trình này.
2. Đặt ẩn phụ: Biến đổi các phương trình để có thể đặt ẩn phụ, rồi chuyển về hệ cơ bản.

3. Phương pháp đánh giá: Từ điều kiện của ẩn, xét trường hợp xảy ra dấu "=" ở bất
đẳng thức.
4. Phương pháp điều kiện cần và đủ:
5. Phương pháp hàm số: Chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (α; β). Khi đó, với mọi
a, b ∈ (α; β) ta có: f(a) = f(b) ⇔ a = b.
Chú ý: Các hệ phương trình hoán vị vòng quanh
xfy
yfz
zfx
()
()
()

=

=


=

, thường sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để chứng minh x = y = z.
– Xét tính đơn điệu hàm số f(t).
– Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy ra.
– Từ đó suy ra x = y = z. Thế vào hệ đã cho để giải tìm x, y, z.



Vấn đề 1: Phương pháp thế

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

xyyxy
xyxy
2
2
1()4(1)
(1)(2)(2)


+++=

++−=



• Dễ thấy y ≠ 0. HPT ⇒
[
]
yyyxyxy
4()(2)
−++−=
⇔
[ ]
yx
2
(3)0
−−=
⇔

yx
3
=−

Nghiệm: (1; 2), (–2; 5).

Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

22
22
3(1)
114(2)

+−=


+++=


xyxy
xy

• (2) ⇔ xyxyxyxyxy
22222
2(1).(1)142()411
++++=⇔+++=
(3)
Đặt xy = p.
p
p

ppp
p
pp
2
2
3
11
(3)2411
35
3261050
3

=

≤

⇔++=−⇔⇔
−

=

+−=



(1) ⇔
( )
xyxy
2
33

+=+
• p = xy =
35
3
−
(loại) • p = xy = 3 ⇒ xy
23
+=±
1/ Với
xy
xy
xy
3
3
23

=
⇒==

+=

2/ Với
xy
xy
xy
3
3
23

=

⇒==−

+=−


Vậy hệ có hai nghiệm là:
(
)
(
)
3;3,3;3
−−

III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 7

Bài 3. Giải hệ phương trình sau:

xxy
xy
x
2
2
(1)30
5
()10

++−=



+−+=


(D – 2009)
• Vì x ≠ 0 nên HPT ⇔
xy
x
xy
x
2
2
3
1
5
()10

+=−




+−+=


⇔
xy
x
x
x

2
3
1
46
20

+=−




−+=



⇔
x
x
xy
xy
11
1
1
2
1
2
2


=



=
∨


+=
+=



. Nghiệm:
3
(1;1),2;
2

−


.
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:

xxyxyy
xyxy
3223
6940(1)
2(2)


−+−=


−++=



• Ta có: (1) ⇔ xyxy
2
()(4)0
−−=
⇔
xy
xy
4

=

=


• Với x = y: (2) ⇒ x = y = 2
• Với x = 4y: (2) ⇒ xy
32815;8215
=−=−
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:



++=

+++=



xxy
xxyxyx
2
322
59
32618

• Hệ ⇔
yxx
xxxx+
2
432
95
4518180


=−−

+−−=


⇔
yxx
x
x
x
2
95

1
3
17

=−−



=


=−



=−±


⇔
xy
xy
xy
xy
1;3
3;15
17;637
17;637

==


=−=

=−−=+


=−+=−


Bài 6. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xy
20
1412

−−=

−+−=



• Hệ PT ⇔
(
)
(
)
xyxy
xy
20
1412


+−=


−+−=


⇔
xy
xy
20
1412

−=

−+−=


⇔
xy
y
4
411

=

−=


⇔

x
y
2
1
2

=


=



Bài 7. Giải hệ phương trình sau:

xy
xy
xy
xyxy
22
2
2
1(1)
(2)

++=

+



+=−


• Điều kiện:
xy
0
+>
.
(1) ⇔
xyxy
xy
2
1
()1210

+−−−=

+

⇔ xyxyxy
22
(1)()0
+−+++=
⇔
xy
10
+−=

(vì
xy

0
+>
nên xyxy
22
0
+++>
)
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 8

Thay
xy
1
=−
vào (2) ta được:
xx
2
1(1)
=−−
⇔
xx
2
20
+−=
⇔
xy
xy
1(0)
2(3)


==

=−=


Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).
Bài 8. Giải hệ phương trình sau:

(
)
xyxy
xy
33
22
34(1)
9(2)


−=

=



• Từ (2): xyxy
22
93
=⇔=±
.
• Khi:

xy
3
=
, ta có: xy
33
4
−=
và
(
)
xy
33
.27
−=−

Suy ra:
(
)
xy
33
; − là các nghiệm của phương trình:
XXX
2
4270231
−−=⇔=±

Vậy nghiệm của Hệ PT là xy
33
231,231
=+=−−

hoặc xy
33
231,231
=−=−+ .
• Khi:
xy
3
=−
, ta có: xy
33
4
−=−
và
(
)
xy
33
.27
−=

Suy ra:
xy
33
;()
− là nghiệm của phương trình:
XXPTVN
2
4270()
++=
Bài 9. Giải hệ phương trình sau:

()
2
32(1)
28(2)

−=


−=


xyxy
xy

• Điều kiện :
xyxy
.0;
≥≥

Ta có: (1) ⇔ xyxyxyxy
2
3()4(3)(3)0
−=⇔−−=
y
xyhayx3
3
⇔==

• Với

xy
3
=
, thế vào (2) ta được : yyyy
2
6802;4
−+=⇔==

⇒ Hệ có nghiệm
xx
yy
612
;
24

==

==


• Với
y
x
3
=
, thế vào (2) ta được : yy
2
32240
−+=
Vô nghiệm.

Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là:
xx
yy
612
;
24

==

==


Bài 10. Giải hệ phương trình sau:

xyyx
yx
33
22
416(1)
15(1)(2)


+=+

+=+



• Từ (2) suy ra yx
22

–54
=
(3). Thế vào (1) được:

(
)
y
xxyyx
2233
–5
.16
+=+
⇔
xxy x
32
–5–160
=

x
xxy
2
0
5160

=

−−=


• Với

x
0
=
⇒
y
2
4
=

⇔

y
2
=±
.
• Với xxy
2
–5–160
=
⇔
x
y
x
2
16
5
−
= (4). Thế vào (3) được:

x

x
x
2
2
2
16
54
5

−
−=


⇔
xxxx
4242
–32256–125100
+=

⇔
xx
42
124132–2560
+=
⇔
x
2
1
=
⇔

xy
xy
1(3)
1(3)



==−
=−=
.
Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 9

Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)
Bài 11. Giải hệ phương trình sau:

xyy
xyx
2
2
48
2


−=−

=+



• Nếu xy ≥ 4 thì HPT ⇔
xyy
xyx
2
2
48(1)
2(2)


−=−

=+



Từ (2) ⇒ x ≠ 0,
x
2
2
≥
và
x
y
x
2
2 +
=
Thay vào (1) ta được:
x
x

x
2
2
2
2
248

+
+−=−


⇔ xx
22
(2)(1)0
−−=
⇔
x
2
=±

⇒ Hệ có nghiệm (x; y) là:
(
)
(
)
2;8,2;8
−−
• Nếu xy < 4 thì
x
2

2
<
.
HPT ⇔
xyy
xyx
2
2
48
2


−=−

=+


⇒
x
x
x
2
2
2
2
428

+
−−=−



⇔ x
2
2(2)0
−=
⇔
x
2
2
=
(loại)
Kết luận: Nghiệm (x; y) của hệ:
(
)
(
)
2;8,2;8
−−
Bài 12. Giải hệ phương trình sau:

xyxyxx
xyxx
22
2
(1)(1)341(1)
1(2)


+++=−+


++=



• Từ (2) ⇒ x ≠ 0 và
x
y
x
2
1
1
−
+= . Thay vào (1) ta được:

xx
xxxx
xx
22
22
11
341

−−
+=−+


⇔
xxx
2(1)(2)0
−+=

⇔
x
x
1
2

=

=−

(vì x ≠ 0)
Nghiệm (x; y):
5
(1;1),2;
2

−−−



Bài 13. Giải hệ phương trình sau:

xyxyxy
xyyxxy
22
2(1)
2122(2)


++=−


−−=−



• Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0 ⇒ x + y > 0.
(1) ⇔
xyxy
()(21)0
+−−=
⇔
xy
21
=+
(3)
Thay (3) vào (2) ta được:
yyyyyy
(21)222(21)2
+−=+−

⇔
(
)
yy
(1)220
+−=
⇔ y = 2 ⇒ x = 5
Nghiệm (x; y): (5; 2)
Bài 14. Giải hệ phương trình sau:

yxx
yxxyxy
2
22
(54)(4)(1)
54168160(2)


=+−

−−+−+=



• Từ (1) ⇒ yxx
22
51616
=−++
.
Thay vào (2) ta được: yxyy
2
2480
−−=
⇔
y
yx
0
24

=


=+


Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 10

• Với y = 0 ⇒
xx
2
516160
−++=
⇔
x
x
4
5
4

=−


=


• Với
yx
24
=+
⇒ xxx

22
(24)51616
+=−++
⇔ x = 0 ⇒ y = 4.
Kết luận: Nghiệm (x; y):
4
(0;4),(4;0),;0
5

−


.
Bài 15. Giải hệ phương trình sau:

xy
xy
xy
xyxyx
22
3
8
16(1)
3321(2)

++=

+



+−++=−


• Dễ thấy x + y > 0.
Từ (1) ⇔
xyxy
xy
2
4
()16210

+−−−=

+

⇔ xyxyxy
22
(4)4()0

+−+++=


⇔
xy
40
+−=
⇔
xy
4
+=

Thay vào (2) ta được:
xx
3
2732
+=−
⇔
xxx
32
291450
−+−=
⇔ xy
17
22

==



Nghiệm (x; y):
17
;
22



.
Bài 16. Giải hệ phương trình sau:
xxyy
xyxy

422
22
4690(1)
2220(2)


−+−+=

++−=



• Từ (2) ⇒
x
y
x
2
2
22
2
−
=
+
. Thay vào (1) ta được:

x
xx
x
2
2

42
2
22
430
2

−
−+−=


+
⇔
x
xx
x
22
22
22
16(4)
(4)0
(2)
−
−+=
+

⇔ xxxx
2642
(4)(42064)0
−++−=
⇔

xy
xy
xy
xy
2(3)
2(3)
2(5)
2(5)

=−=

==

=−=


==


Bài 17. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xyxy
3
(1)
2(2)

−=−

+=++



(B - 2002)
• Điều kiện:
xy
xy
0
(3)
0

−≥

+≥


(1) ⇔
(
)
xy
xyxy
xy
36
10
1

=
−−−=⇔

=+


. Thay vào (2) ta được:
xy
xy
1
31
,
22

==

==


.
Bài 18. Giải hệ phương trình sau:

xy
xy
yx
3
11
(1)
21(2)

−=−



=+


(A - 2003)
• Điều kiện xy ≠ 0. Ta có: (1) ⇔
xy
xy
xy
xy
1
()10
1


=
−+=⇔


=−



Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 11

Trường hợp 1:
xy
xyxy
xy
xxxxx
xy
32
1

15
221(1)(1)0
15
2

==


== −+

⇔⇔==

=+−+−= 


−−
==



Trường hợp 2:
y
xy
y
x
x
yx
x
xxVN
x

3
3
4
1
1
1
2
21
1
20()


=−


=−
=−

⇔⇔

=+


−=+
++=




Kết luận: Nghiệm (x; y):

15151515
(1;1),;,;;
2222

−−−−−+−+


.
Bài 19. Giải hệ phương trình sau:

xxyy
xy
33
22
82
33(1)

−=+


−=+


(DB A – 2006)
• Hệ PT ⇔
xyxy
xy
33
22
3()6(4)(1)

36(2)


−=+

−=


.
Thế (2) vào (1) ta được:
xyxyxy
3322
3()(3)(4)
−=−+
⇔ xxyxy
322
120
+−=

⇔
x
xy
xy
0
3
4

=

=


=−

.
Nghiệm (x; y):
6666
(3;1),(3;1),4.;,4.;
13131313

−−−−


.
Bài 20. Giải hệ phương trình sau:

•

Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 12

Vấn đề 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

xxyy
xyxy
422
22
4690
2220


−+−+=

++−=



• HPT ⇔

xy
xyx
222
22
(2)(3)4
(24)(33)2200


−+−=

−+−++−−=


. Đặt
ux
vy
2
2
3

=−

=−

.
HPT ⇔
uu
uv
vv
uvuv

22
20
4
02
4()8


==
+=
⇔∨

==
++=


. Nghiệm
(2;3),(2;3),(2;5),(2;5)
−−
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

xyy
xyxy
333
22
82718
46


+=


+=



• HPT ⇔
x
y
xx
yy
3
3
3
(2)18
33
2.23



+=






+=





. Đặt a = 2x; b =
y
3
. HPT ⇔
ab
ab
3
1

+=

=


Hệ đã cho có nghiệm:
356356
;,;
44
3535

−+


+−


Cách 2: Dễ thấy y ≠ 0. HPT ⇔
xyy
xyxyy
333

223
82718
46


+=

+=


⇒
xyxyxy
3322
82718(46)
+=+
(*)
Đặt
txy
=
. (*) ⇔ ttt
2
(23)(4429)0
+−+=
⇔
t
t
3
2
2195
4


=−


±

=



Bài 3. Giải hệ phương trình sau:

xyyxy
xyxy
2
2
1()4
(1)(2)


+++=

++−=



• Dễ thấy y ≠ 0. HPT ⇔
x
yx
y

x
yx
y
2
2
1
22
1
(2)1

+
++−=



+

+−=


. Đặt
x
u
y
vyx
2
1
2

+


=


=+−

.
HPT ⇔
uv
uv
2
1

+=

=

⇔
u
v
1
1

=

=

x
y
yx

2
1
1
21

+
=

⇔


+−=

⇔
x
y
1
2

=

=

hoặc
x
y
2
5

=−


=


Bài 4. Giải hệ phương trình sau:



++=

+++=


xxy
xxyxyx
2
322
59
32618

• HPT ⇔
xxxy
xxxy
2
2
239
(2)(3)18


+++=


++=


. Đặt
uxx
vxy
2
2
3

=+

=+

.
Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 13

HPT ⇔
uv
uv
9
18

+=

=

⇔

uv
uv
6,3
3,6

==

==

. Nghiệm:
xy
xy
xy
xy
1;3
3;15
17;637
17;637

==

=−=

=−−=+


=−+=−


Bài 5. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xyxyy
222
17
113

++=

++=

(B - 2009)
• Dễ thấy y ≠ 0. HPT ⇔
x
x
yy
x
x
yy
2
1
7
1
13


++=








+−=




. Đặt
ux
y
x
v
y
1

=+




=


.
HPT ⇔
uv
uv
2

7
13

+=

−=

⇔
u
v
5
12

=−

=

hoặc
u
v
4
3

=

=

. Nghiệm
1
1;,(3;1)

3



.
Bài 6. Giải hệ phương trình sau:

22
33
21
22
yx
xyyx

−=


−=−



• HPT ⇒
(
)
(
)
xyyxyxxxyxyy
33223223
2222250
−=−−⇔++−=

Khi
y
0
=
thì hệ VN.
Khi
y
0
≠
, chia 2 vế cho y
3
0
≠
ta được:
xxx
yyy
32
2250

++−=



Đặt
x
t
y
=
, ta có :

tttt
32
22501
++−=⇔=
yx
xy
xy
y
2
1
1
1

=

==
⇔⇔


==−
=



Bài 7. Giải hệ phương trình sau:

y
x
xy
x

xy
y
22
22
3
21
1
422

+=


+−


++=



• Điều kiện: xyxy
22
0,0,10
≠≠+−≠

Đặt
x
uxyv
y
22
1;

=+−=
. Hệ PT trở thành:
uvuv
uvuv
3232
11(1)
1422214(2)


+=+=
⇔


++==−


Thay (2) vào (1) ta được:
v
vv
v
vv
2
3
32
1213210
7
214
2

=


+=⇔−+=⇔
=

−


• Nếu v = 3 thì u = 9, ta có Hệ PT:

xy
xx
xy
x
yy
xy
y
22
22
19
33
10
11
3
3

+−=



==−

+=
⇔⇔∨

==−
=
=





• Nếu v
7
2
=
thì u = 7, ta có Hệ PT:
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 14


yy
xy
xy
x
xy
y
xx
22
22
22

44
17
8
5353
7
7
22
2
1414
2
5353



==−
+−=

+=

⇔⇔∨

=
=

==−





So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT.
Bài 8. Giải hệ phương trình sau:

22
22
14
()272
xyxyy
yxyxy

+++=

+=++


• Từ hệ PT ⇒
y
0
≠
. Khi đó ta có:
x
xy
xyxyy
y
yxyxyx
xy
y
2
22
222

2
1
4
14
.
()2721
()27

+
++=


+++=

⇔

+=+++



+−=



Đặt
x
uvxy
y
2
1

,
+
==+
ta có hệ:
uvuv
vu
vu
vuvv
22
44
3,1
5,9
272150

+==−

==

⇔⇔


=−=
−=+−=




• Với
vu
3,1

==
ta có hệ:
xy
xyxy
xx
yx
xy
xyyx
22
2
1,2
11
20
3
2,5
33


==


+=+=
+−=
⇔⇔⇔


=−
=−=
+==−




.
• Với
vu
5,9
=−=
ta có hệ:
xyxyxx
xyyxyx
222
19199460
555


+=+=++=
⇔⇔

+=−=−−=−−


, hệ VN
Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm:
(1;2),(2;5)
−
.
Bài 9. Giải hệ phương trình sau:







=−++++
=−++++
011)1(
030)2()1(
22
3223
yyyxyx
xyyyxyyx

• Hệ PT ⇔
xyxyxyxy
xyxyxyxy
222
()()30
()11

+++=

++++=

⇔
xyxyxyxy
xyxyxyxy
()()30
()11

+++=


++++=


Đặt
xyu
xyv

+=

=

. HPT ⇔
uvuv
uvuv
()30
11

+=

++=

⇔
uvuv
uvuv
(11)30(1)
11(2)

−=


++=

. Từ (1) ⇒
uv
uv
5
6

=

=


• Với uv = 5 ⇒
uv
6
+=
. Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là:
521521
;
22

−+


và
521521
;
22


+−



• Với uv = 6 ⇒
uv
5
+=
. Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là:
(1;2)
và
(2;1)

Kết luận: Hệ PT có 4 nghiệm:
(1;2)
,
(2;1)
,
521521
;
22

−+


,
521521
;
22


+−



Bài 10. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xyxy
22
22
341
32983


+−+=

−−−=



• HPT ⇔
xxyy
xxyy
22
22
341
3(3)2(4)3


−++=


−−+=


. Đặt
uxx
vyy
2
2
3
4


=−

=+


.
HPT ⇔
uv
uv
1
323

+=

−=

. Nghiệm (x; y):

313313
;0,;4
22

±±
−


.
Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 15

Bài 11. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xyxy
2222
2
13

+=+−


++−−=



• Điều kiện:
xy xy
0,0

+>−≥
. Đặt:
uxy
vxy

=+

=−

ta có hệ:

uvuvuvuv
uvuv
uvuv
2222
2()24
22
33
22

−=>+=+

⇔

++++

−=−=


uvuv
uvuv
uv
2
24(1)
()22
3(2)
2

+=+

⇔

+−+

−=

.
Thế (1) vào (2) ta có: uvuvuvuvuvuvuv
2
89389(3)0
++−=⇔++=+⇔=
.
Kết hợp (1) ta có:
uv
uv
uv
0
4,0
4


=
⇔==

+=

(với u > v).
Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(thoả đk)
Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2).
Bài tương tự:
xyxy
xyxy
2222
2
4

+−−=


++−=



Bài 12. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xyxy
22
3216
2433


−−=

+−−=


• HPT ⇔
xyxy
xy
22
(1)(2)(1)(2)21
(1)(2)38

−−−−−−=

−+−=

. Đặt
ux
vy
1
2

=−

=−

.
HPT ⇔
uvuv

uv
22
()21
38

−+=

+=

. Nghiệm (x; y):
(
)
(
)
33;23,33;23
−+−−−−−+ .
Bài 13. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xy
x
xy
22
2
3
4()7
()
1
23


+++=


+


+=

+


• HPT ⇔
xyxy
xy
xyxy
xy
2
2
1
3()13
1
3



+++−=


+




+++−=

+

. Đặt
uxy
xy
vxy
1

=++

+

=−

(với u
2
≥
)
HPT ⇔
uv
uv
22
313
3

+=


+=

⇔
u
vìu
v
2
(2)
1

=
≥

=

⇒
xy
x
xy
y
xy
1
2
1
0
1

++=


=
⇔

+
=


−=

.
Bài 14. Giải hệ phương trình sau:
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 16







=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx

• Hệ PT ⇔

xyxy
xy
33
2(2)30
(2)35

+=

+=

. Đặt
ux
vy
2

=

=

. Hệ PT ⇔
uvuv
uv
33
()30
35

+=

+=


⇔
uv
uv
2;3
3;2

==

==


Nghiệm (x; y):
3
(1;3),;2
2



.
Bài 15. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xy
211
324

++−+=

+=


• Hệ PT ⇔
xyxy
xyxy
211
(21)()5

++−+=

++++=

. Đặt uxyvxy
210,0
=++≥=+≥
.
Hệ PT ⇔
uv
uv
uvloaïi
uv
22
1
2,1
1,2()
5

−=

==
⇔



=−=−
+=


⇒
x
y
2
1

=

=−

.
Bài 16. Giải hệ phương trình sau:




=++
=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx

• Hệ PT ⇔
xxxy
xxxy
2
2
(2)(2)9
(2)(2)6


++=

+++=


. Đặt
uxx
vxy
2
2
2

=+

=+


Bài 17. Giải hệ phương trình sau:

•

Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 17

Vấn đề 3: Phương pháp đánh giá

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

xzza
yxxb
zyyc
32
32
32
927(1)()
927(1)()
927(1)()

=−−


=−−

=−−


• Cộng (a), (b), (c) ta được:
xyzd
333
(3)(3)(3)0()
−+−+−=
+ Nếu x > 3 thì từ (b) suy ra:
3
9(3)27273
yxxy
=−+>⇒>

từ (c) suy ra:
3
9(3)27273
zyyz
=−+>⇒>
⇒ (d) không thoả mãn
+ Tương tự, nếu x < 3 thì từ (a) ⇒ 0 < z < 3 ⇒ 0 < y <3 ⇒ (d) không thoả mãn
+ Nếu x = 3 thì từ (b) ⇒ y = 3; thay vào (c) ⇒ z = 3. Vậy: x = y = z =3
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

xy
yz
zx
1
1
1

−=


−=

−=


• Dễ thấy x > 0, y > 0, z > 0.
Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ⇒
yzyz
11

+≥+⇒≥
.
Ta lại có:
zxyx
11
=+≥+=
⇒ x ≥ y ≥ z ≥ x ⇒ x = y = z.
⇒ xx
10
−−=
⇔
( )
x
2
51
4
+
= . Nghiệm x = y = z =
( )
2
51
4
+
.
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:

x
y
x
y

z
y
z
x
z
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1

=

+



=

+


=



+


• Nếu x = 0 thì y = 0, z = 0 ⇒ Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0)
• Nếu x ≠ 0 thì y > 0, z > 0 ⇒ x > 0.
Ta có:
xx
yx
x
x
22
2
22
2
1
=≤=
+
. Tương tự ta suy ra được: y ≤ x ≤ z ≤ y ⇒ x = y = z
⇒
x
x
x
2
2
2
1
=
+

⇒ x = 1. Nghiệm (0; 0; 0), (1; 1; 1).
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:

xy
xxy
xx
xy
yyx
yy
2
3
2
2
2
3
2
29
2
29

+=+


−+


+=+

−+


• Cộng hai phương trình, vế theo vế, ta được:
xyxy
xy
xxyy
22
3
22
3
22
2929
+=+
−+−+
(*)
Ta có: xxx
3
22
3
29(1)82
−+=−+≥
, yyy
22
33
29(1)82
−+=−+≥

Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 18

⇒ VT (*) ≤

xyxy
xyxyxy
22
22
22
22
+=≤≤+

Dấu "=" xảy ra ⇔
xy
xy
1
0

==

==

. Nghiệm: (0; 0), (1; 1).
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:

yxx
xyy
3
3
34
262


=−++


=−−



•
yxx
xyy
3
3
34
262


=−++

=−−


⇔
yxx
xyy
2
2
2(1)(2)(1)
22(1)(2)(2)


−=−+−


−=+−



Dễ dàng thấy (x; y) = (2; 2) là một nghiệm của hệ.
Nếu x > 2 thì từ (1) ⇒ y < 2. Nhưng từ (2) ⇒ x – 2 và y – 2 cùng dấu ⇒ Mâu thuẫn.
Nếu x < 2 thì cũng suy ra điều mâu thuẫn tương tự.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2.
Bài 6. Giải hệ phương trình sau:

xyx
xyy
2
2
1020(1)
5(2)

−=−


=+



HD : Rut ra y
yy
y
x +=
+
=

55
2

Cô si
20
2
≥x theo (1) 20
2
≤x suy ra x,y
• Từ (2) ⇒ y
yy
y
x +=
+
=
55
2
.
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 52
5
≥+= y
y
x ⇒
x
2
20
≥
. Mà theo (1) thì
x
2

20
≤
.
Do đó
x
2
20
=
⇔
xy
xy
25(5)
25(5)

==

=−=−


Bài 7. Giải hệ phương trình sau:

•

Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 19

Vấn đề 4: Phương pháp sử dụng phương trình hệ quả

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

xy
yz
zx
1(1)
2(2)
3(3)

+=

+=


+=



• Cộng 3 phương trình, vế theo vế, ta được:
xyz
3(4)
++=

Từ (4) và (1) ⇒ z = 2; từ (4) và (2) ⇒ x = 1; từ (4) và (3) ⇒ y = 0.
Thử lại ⇒ Nghiệm (x; y; z): (1; 0; 2).
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
yzyz
zxzx
21
27
22

=++

=++


=++


•
xyxy
yzyz
zxzx

21
27
22

=++

=++


=++

⇔
xy
yz
zx
(21)(21)3
(21)(21)15
(21)(21)5

−−=

−−=


−−=


Nhân các phương trình trên, vế theo vế, ta được:
xyz
222

(21)(21)(21)225
−−−= ⇔
xyza
xyzb
(21)(21)(21)15()
(21)(21)(21)15()

−−−=

−−−=−


Trường hợp (a) ⇒
x
y
z
211
213
215

−=

−=


−=

⇔
x
y

z
1
2
3

=

=


=


Trường hợp (b) ⇒
x
y
z
211
213
215

−=−

−=−


−=−

⇔
x

y
z
0
1
2

=

=−


=−


Thử lại ⇒ Nghiệm (x; y; z):
(1;2;3),(0;1;2)
−−
.
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:

•

Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 20

Vấn đề 5: Phương pháp hàm số

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

y
x
xxx
yyy
21
21
2231
2231
−
−



+−+=+

+−+=+



• Đặt
ux
vy
1
1

=−

=−

. HPT ⇔
v
u
uu
vv
2
2
13
13


++=


++=



⇒
uv
uuvv
22
3131
+++=+++
⇔
fufv
()()
=
với
t
fttt
2
()31
=+++
.
Ta có:
t
tt
ft
t
2
2
1
()3ln30

1
++
′
=+>
+
⇒ f(t) đồng biến.
⇒
uv
=
⇒
(
)
u
uuuuu
22
3
13log10
++=⇔−++=
(2)
Xét hàm số:
(
)
guuuu
2
3
()log1
=−++
⇒ gu
()0
′

>
⇒ g(u) đồng biến.
Mà g(0) = 0 nên u = 0 là nghiệm duy nhất của (2).
Nghiệm: (1; 1).
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

xxyy
xy
33
84
55(1)
1(2)


−=−

+=



• Từ (2) ⇒ xy
84
1,1
≤≤
⇒ xy
1,1
≤≤
.
Xét hàm số ftttt
3

()5,[1;1]
=−∈− ⇒ fttt
2
()350,[1;1]
′
=−<∀∈− ⇒ f(t) nghịch biến
trên [–1; 1].
Do đó: Từ (1) ⇒ f(x) = f(y) ⇔ x = y.
Thay vào (2) ta được:
xx
84
10
+−=
⇔
xy
4
15
2
−+
=±=

Bài tương tự:
xxyy
xy
33
66
33
1



−=−

+=



Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
•
















Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 21

Vấn đề 6: Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình

Bài 1. Giải phương trình sau:

3
1
81221
+
+=−
xx


• Đặt
xx
uv
3
1
20;21
+
=>−=
.
Ta được hệ
uv
uvuv
uu
vuuvuuvv
33
3
322
0
1212
210
12()(2)0



=>

+=+=
⇔⇔

−+=
+=−+++=




⇔
x
x
2
0
15
log
2

=

−+

=


Bài 2. Giải phương trình sau:
xx

3
3
1221
+=−

• Đặt
yx
3
21
=−
. Ta được hệ
xy
yx
3
3
12
12


+=

+=


⇒ xyxyxy
22
()(2)0
−+++=
⇔
xy

=

⇒
xx
3
210
−+=
⇔
x
x
1
15
2

=

−±

=

.
Bài 3. Giải phương trình sau: xx
3
23236580
−+−−=

• Đặt uxvxv
3
32,65,0(*)
=−=−≥.

Ta có hệ:
uv
uv
32
238
538

+=

+=

⇔
u
v
uuu
32
82
3
15432400

−
=



+−+=

⇔
u
v

2
4

=−

=

⇒ x = –2.
Bài 4. Giải phương trình sau:
•

Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 22

Vấn đề 7: Hệ phương trình chứa tham số

Bài 1. Tìm m để hệ phương trình:
( )
22
22
2
4

−+=


+−=


xyxy
mxyxy
có ba nghiệm phân biệt.
• Hệ PT ⇔
mxmxm
x
y

x
42
2
2
(1)2(3)240(1)
2
1

−+−+−=


+
=

+
.
+ Khi m = 1: Hệ PT ⇔
x
VN
x
y
x
2
2
2
210
()
2
1


+=


+
=

+

+ Khi m ≠ 1. Đặt t = x
2
,
t
0
≥
. Xét ftmtmtm
2
()(1)2(3)240(2)
=−+−+−=
Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có ba nghiệm x phân biệt
⇔ (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 ⇔
( )
f
m
m
S
m
(0)0
2
23
0

1

=

⇔⇔=
−

=>

−

.
Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
1
13

+=


+=−


xy
xxyym
(D – 2004)
• Đặt uxvyuv
,(0,0)
==≥≥
. Hệ PT ⇔
uv

uv
uvm
uvm
33
1
1
13

+=

+=
⇔

=
+=−


.
ĐS: m
1
0
4
≤≤
.

Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
yxm
yxy
2(1)
1(2)


−=

+=


• Từ (1) ⇒
=−
xym
2
, nên (2) ⇔
−=−
ymyy
2
21

≤

⇔

=−+


y
my
y
1
1
2
(vì y ≠ 0)

Xét
() ()
=−+⇒=+>
fyyfy
y
y
2
11
2'10

Dựa vào BTT ta kết luận được hệ có nghiệm duy nhất
⇔>
m
2
.
Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau:
a)

Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 23




Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)






=−+
=−+
22
22
xy
yx
b)
xyxy
xy
.3
114

+−=


+++=



c)
xy
yx
xy
xxyyxy
7
1
78

+=+




+=

d)
xy
yx
xyxy
22
5
2
21

+=



++=


e)
xy
yx
xyxy
22
3
3



+=


−+=

f)
(
)
xyxy
xyxy
33
22
7
2

−=−


+=++



g)
xy
xy
114
3
9

+=




=

h)
xy
xy
3
3
4
27

+=

=


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyxy
xyxyxy
22
3
6

−+=−

+−++=


b)
xxyy
xyxy
22
3
1

++=

++=−


c)
xy
xy
22
111
2
5

+=−



+=

d)
( ) ( )
xyxy
xxyyy

22
4
112

+++=


++++=



Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyx
yxy
22
22
232
232


−=−

−=−


b)
xyx
yxy
3

3
22
22


=++

=++



c)
xyx
yxy
22
22
234
234


−=+

−=+


d)
xyxy
yxyx
22
22

22
22


−=+

−=+



e)
y
x
y
x
y
x
2
2
2
1
2
1

=


−



=

−

f)
y
x
y
x
y
x
2
2
2
2
1
1
1
1

−
=


+

−

=


+


Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
22
6256
549


−−=

−−=


b)
xxyy
xxyy
22
22
2315
28


++=

++=




c)
xxyy
xxyy
22
22
239
222


++=

++=


d)
xxyy
xxyy
22
22
241
3227


−+=−

++=




e)
xy
xy
55
33
1
1

+=


+=


f)
xy
xy
22
33
1
1

+=


+=



IV. BÀI TẬP ÔN
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 24

g)
xy
xxyy
22
4224
5
13


+=

−+=


h)
xy
xy
44
66
1
1

+=



+=



Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyyxy
xxyyxy
22
222
3()
7()

−+=−


++=−


b)
xyxyxy
xyyxxy
22
2
2122

++=−


−−=−




c)
xyxy
xyxy
22
22
()()13
()()25

−+=


+−=


d)
xxyxy
xyxxy
4322
32
1
1

−+=


−+=−




e)
xyxyxyxy
xyxyx
232
42
5
4
5
(12)
4

++++=−




+++=−


f)
xxyxyx
xxyx
4322
2
229
266

++=+



+=+



g)
xxxy
xxy
2
2
(2)(3)18
590


++=

++−=


h)
xyxy
xyxy
22
22
()()3
()()15


−−=


++=



Bài 6. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm:
a)
xyxym
xyxy
22
(1)(1)
8

++=

+++=

b)
xxyy
xxyym
22
22
1
32


−+=

−+=




c)
xy
xyyxxym
113
1111

+++=

+++++++=


d)
xym
xym
12
3

+−+=

+=


e)






+=−
=−
mxyx
yxy
26
12
2
2
f)
xy
xy
xym
xy
33
33
11
5
11
1510

+++=




+++=−



Bài 7. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a)
ymx
xmy
2
2
(1)
(1)


+=+

+=+


b)
m
xy
y
m
yx
x
2
2
2
2
2
2

=+





=+



c)
xym
xxy
20
1

−−=


+=


d)
yxxmx
xyymy
232
232
4
4


=−+


=−+



e)





−=+
−=+
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
(ĐK cần và đủ) f)





+=+
+=+
axy
ayx
2
2

)1(
)1(
(ĐK cần và đủ)

Bài 8.
a)