PHÒNG GD&ĐT
VĨNH TƯỜNG
ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn: Tốn lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút
I.Trắc nghiệm: (2đ)
Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:
Câu 1: Rút gọn biểu thức A 2100 299 298 297 ... 22 2 ta được kết quả là:
2101 2
A)
2
2101 2
B)
3
2100 2
C)
3
2100 22
D)
3
Câu 2: Cho hai số x; y 0 biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với 5;1;12 ta có x; y
bằng:
A) x 6; y 4
B) x 4; y 6
C) x 15; y 3
D) x 4; y 48
Câu 3: Cho ABC vng tại C có AB 29cm; AC 21cm . Độ dài cạnh BC là:
B) 20 cm
A) 1282cm
C) 8 cm
D) 50 cm
Câu 4: Đồ thị hàm số y 5 m x đi qua điểm A( 2; 6) khi m bằng:
A) - 3
II. Tự luận:
B) 2
C) 1
D) - 1
Câu 5: (1,5đ) Tìm x biết:
a)
2 x 1
.3 7.3x 405
3
b)
3
5
1 2 x 3x 2
c) 2 x 1 2 x 3
x2
Câu 6: (2đ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C x
với x là số nguyên.
x 3 y 4 z 5
b) Tìm các số x; y; z biết:
và 3x 2 y 7 z 48
4
7
3
Câu 7: (2đ) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của
tia CA lấy điểm N sao cho AM AN 2 AB .
a) Chứng minh rằng: BM CN .
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của đoạn thẳng MN và tia phân giác của góc BAC cắt
nhau tại K. Chứng minh KC AN .
Câu 8: (2,5đ)
a) Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC 3 : 4 : 5 .
Tính số đo góc AMB.
b) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai
chữ số cuối giống nhau.
c) Tìm các số tự nhiên có hai chữ số mà số đó chia hết cho tích các chữ số của
nó.
PHÒNG GD&ĐT
VĨNH TƯỜNG
ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn: Tốn lớp 7
I.Trắc nghiệm: (2 điểm mỗi câu đúng cho 0,5 đ)
Câu
1
2
A
Đáp án
B
II. Tự luận: (8 điểm)
Câu
Phần
5
a
(1,5đ) b
c
6
(2đ)
a
(1đ)
3
B
Nội dung cần trình bày
x=4
x=-1
x
4
C
Điểm
0,5
0,5
0,5
1
2
Xét các trường hợp:
-Nếu x 2 thì C 1.
-Nếu x = 1 thì C = 1.
-Nếu x 1 khi đó A 1
2
2
ta thấy C lớn nhất khi và chỉ khi
x
x
lớn nhất (vì x là số nguyên dương) suy ra x = 1 khi đó C = 3.
So sánh các trường hợp trên ta thấy GTLN của C bằng 3 khi
và chỉ khi x = 1.
x 3 y 4 z 5 (3x 2 y 7 z ) 52 48 52
b
20
Ta có
4
7
3
5
5
(1đ)
suy ra x = - 77; y = 136; z = 65.
7
(2đ)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
A
0,5
M
I
B
E
C
K
N
Vẽ hình – GT - KL
a
Ta có AM + AN = AC + (AM + CN) (1)
0,25
(0,5) vì AB = AC (gt) và AM + AN = 2AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM = CN
0,25
b
Gọi I là giao điểm của MN và BC, qua M kẻ đường thẳng 0,25
(0,5) song song với AC cắt BC tại E ta chứng minh được
MEI NCI ( g .c.g ) MI NI
c
Chứng minh MIK NIK KM KN
(0,5) ABK ACK (c.g.c) KB KC
Từ đó suy ra BKM CKN (c.c.c) MBK KCN
Mà MBK ACK ACK KCN 900 KC AN
8
(2,5đ)
a
0,25
0,25
0,25
A
(1đ)
3a
K
M
4a
B
0,25
5a
C
Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MB, không chứa điểm C.
Vẽ tam giác đều MBK.
0,25
0
Khi đó: ABK MBK ABM 60 ABM
Vaø CBM
ABC ABM 600 ABM => ABK CBM
ABK và CBM có:
AB = CB (ABC đều)
ABK CBM
0,25
=> ABK = CBM (c.g.c)
BK = BM (MBK đều)
=> KA = MC = 5a
AMK có: KA2 = (5a)2; KM2 + MA2 = (4a)2 + (3a)2 = (5a)2 => KA2 =
KM2 + MA2
Theo định lí Pitago đảo, ta có AMK vuông tại M.
0,25
Vậy AMB AMK BMK
900 600 1500
b
Gọi số chính phương phải tìm là A m 2 aabb trong đó
(0,75) a; b 0;1...9 ; a 0 .
Ta có
A m 2 aa00 bb 11a.100 11b 11 99a a b
(1)
0,25
để A là số chính phương thì 99a a b 11
Mà 1 a b 18 a b 11 thay vào (1)
m 2 11(99a 11) 112 (9a 1) 9a 1 là số chính phương
0,25
Thử chọn các giá trị của a theo ĐK nêu trên ta có a = 7 thỏa
mãn khi đó b = 4; Số chính phương cần tìm là 7744
0,25
c
Gọi số cần tìm là xy với x; y là các số tự nhiên từ 1 đến 9
(0,75)
Theo đề bài ta có xy kxy với k Z kx 1 y 10 x
y
10 x
với kx 1 10 x kx 1
kx 1
0,25
ta có x; kx – 1 là hai số nguyên tố cùng nhau 10 kx 1 hơn
nữa kx – 1 là số dương nên kx 1 2;5;10
Xét các trường hợp tìm được 5 số thỏa mãn đề bài là: 11; 12; 0,5
15; 24; 36.