Gián án Đề thi hsg huyện Vĩnh Tương 2010 - 2011

phòng giáo dục - đào tạo
vĩnh tờng
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2010-2011
Môn: toán
Thời gian làm bài 150 phút
Câu1: a) Cho ba số a, b, c thoả mãn
;b c a b c
+
và
2
2( )c ac bc ab
= +
. Chứng minh rằng:
( )
2 2
2
2
( )a a c a c
b c
b b c
+
=

+
b) Rút gọn:
4 5 3 5 48 10 7 4 3A = + + +
Câu 2: Giải các phơng trình:
a)
3 2
2 2 0x x x

+ =
b)
2
7 9 16 66x x x x + = +
Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2
2 2 5 8 22 2011E x xy y x y
= + + +
b) Cho đẳng thức:
( ) ( ) ( )
2
2 2
( )a b c x b c a xy c a b y d x y
+ + =
đúng với mọi x, y
và cho a, b, c khác 0. Chứng minh rằng:
2 1 1
b a c
= +
.
Câu 4: a) Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố lớn hơn 3 thì
2
3 2 1993A n b
= + +
là hợp
số với mọi số tự nhiên n.
b) Cho các số thực x, y, z thoả mãn
2 2 2
2x y z+ + =

. Chứng minh rằng:
2x y z xyz
+ + +
Câu 5: Cho hai đờng tròn (O) và (O

) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp
tuyến chung trong EF của hai đờng tròn sao cho A và E cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đ-
ờng thẳng OO


( )
'
, ( ); , ( )A E O B D O
.
a) Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh rằng
'
AOM BMO

:
.
b) Chứng minh rằng AE vuông góc với BF.
c) Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh rằng ba điểm O, N, O

thẳng hàng.
Câu 6: a) Hãy tìm tất cả các số nguyên dơng x, y sao cho
2
3x y+
và
2
3y x

+
là các số chính
phơng.
b) ở vơng quốc Sắc màu kỳ ảo có 45 hiệp sĩ trong đó có 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ
tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì tóc của họ
lập tức chuyển sang màu tóc thứ ba (ví dụ khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì tóc của cả
hai đổi sang màu xanh). Hỏi có thể xảy ra trờng hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau nh vậy
thì ở vơng quốc Sắc màu kỳ ảo tất cả các hiệp sĩ có cùng một màu tóc đợc không ? tại sao ?
Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh.................................................................................số báo danh...........................
phòng giáo dục - đào tạo
vĩnh tờng
hớng dẫn chấm thi chọn hSG lớp 9
năm học 2010-2011
Đề chính thức
Môn: toán
--------------------------------------------
C hú ý : Nếu thí sinh làm đúng theo cách khác đáp án vẫn cho điểm tối đa.
Câu Nội dung trình bày Điểm
1
(2đ)
a) (1đ)
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2

2
( ) 2( )
( 2 ) 2 ( ) 2 ( )
2 2 ( ) 2
a a c a c c a c a c ac bc ab a c
a c ac b a c a c a c b a c a c
a c b a c a c a c b
+ = + + = + + +
= + + + = + +
= + = +
Chứng minh tơng tự ta có:
( ) ( ) ( )
2
2
2b b c b c b c a+ = +
Vậy
( )
2 2
2
2
( ) 2( )( )
2( )( )
a a c a c a c b a c
b c a c b b c
b b c
+ +
= =
+
+
0,5đ

0,5đ
b) (1đ)
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
2
2
7 4 3 2 3 10 7 4 3 10 2 3 20 10 3
48 10 7 4 3 48 20 10 3 28 10 3 5 3
5 48 10 7 4 3 5 5 3 25 5 3
4 5 3 5 48 10 7 4 3 4 5 3 25 5 3 4 5 3A
+ = + + = + =
+ = = =
+ = =
= + + + = + + = + =
0,5đ
0,5đ
2
(1,5đ)
a) (0,5đ)
( ) ( ) ( )
3 2
2
2 2 0 2 1 1 0 1
1
x
x x x x x x x
x
=

+ = + = =


=

Vậy phơng trình có tập nghiệm là:
{ }
1; 2; 1S =
0,25đ
0,25đ
b) (1đ)
ĐKXĐ:
7 9x
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
( 7 9 ) 2 2 7 9 2 7 9 4
7 9 2(1)
x x x x x x
x x
+ = + + + =
+
Mặt khác:
( )
2
2
16 66 8 2 2(2)x x x + = +
Từ (1),(2) suy ra:

2
7 9 16 66(3)x x x x + +
Dấu bằng ở (3) xảy ra khi đồng thời xảy ra dấu bằng ở (1) và (2) tức là
khi:
0,5đ
( )
2
7 9
8
8 0
x x
x
x
=


=

=


(thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy phơng trình có tập nghiệm là:
{ }
8S =
0,5đ
3
(1đ)
a) (0,5đ)
( )

( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2011 2 2 5 8 22 2( 2011) 4 4 10 16 44
4 4 16 10 44 4 4 ( 4) 4 9( 4 4) 52
2 4 9 2 52 52 2011 26 2011 26 1985
E x xy y x y E x xy y x y
x xy x y y x x y y y y
x y y E E
= + + = + +
= + + = + + + +
= + + =
Dấu bằng xảy ra khi:
2 4 0 1
2 0 2
x y x
y y
+ = =



= =

Vậy Min E = 1985
1
2
x
y

=



=

0,25đ
0,25đ
b) (0,5đ)
Do đẳng thức đã cho xảy ra với mọi x, y nên:
+Với x = 1, y = 0 thì ta có:
( )
(1)a b c d =
+Với x = 0, y = 1 thì ta có:
( )
(2)c a b d =
Từ (1),(2) suy ra
( ) ( )
2 1 1
( ) 2a b c c a b ac b a c
b a c
= = + = +
0,25đ
0,25đ
4
(1,5)
a) (0,5đ)
Do b là số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra
2
1 3b M

Do đó
( )
2 2 2
3 2 1993 3 1 664 1 3A n b n b b= + + = + + + M
Mà A > 3 suy ra A là hợp số với mọi số tự nhiên n.
0,5đ
b) (1đ)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
(1 ) ( ).1 1 1x y z xyz x yz y z x y z yz+ + = + + + + +
(1)
Mặt khác:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2

2
2 2 2 2 3 3
3 3 2 2
1 1 2 2 2
2 2 2 2 4 4 2 4 4 2
4 2 2 (2)
x y z yz x y z yz yz yz
yz yz yz yz y z yz y z y z
y z y z
+ + + = + + + +
= + + = + + +
= +
Ta lại có
2 2 2 2 3 3 3 3 2 2
2 2 2 2 2 2 0(3)y z yz y z y z y z y z +
Từ (1);(2);(3) suy ra
4 2 2x y z xyz x y z xyz+ + = + + +
0,5đ
0,25đ
0,25đ
5
(3đ)
K
I
M
B
O
O
A
E

F
N
a)(1đ)
Theo tính chất hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau ta có:
Hai tia MO và MO

theo thứ tự là tia phân giác của các góc AME và
BMF.
Suy ra
'
MO MO
.
'
AOM BMO =
Suy ra
'
( . )AOM BMO g g :
.
0,5đ
0,5đ
b)(1đ)
Ta có
' '
; ;MO AE MO BF MO MO
Suy ra AE vuông góc với BF.
1đ
c) (1đ)
Gọi I là giao điểm của OM và AE. Gọi K là giao điểm của MO

và BF.

Ta có
'
AOM BMO :
và hai tam giác này có hai đờng cao tơng ứng là AI
và BK.
'
OI MK
OM MO
=
Ta lại có MK = IN (vì tứ giác MINK là hình chữ nhật)
'
OI IN
OM MO
=
'
( . )OIN OMO g g :
'
ION MOO =

Hai tia ON và OO

trùng nhau
Vậy ba điểm O, N, O

thằng hàng.
0,5đ
0,5đ

6
(1đ)

a) (0,5đ)
Ta sẽ chứng minh có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng:
( ) ( )
2 2
2 2
3 2 ; 3 2x y x y x y+ < + + < +
Thật vậy giả sử cả hai bất đẳng thức trên đều sai thì:
( ) ( )
2 2
2 2
3 2 ; 3 2x y x y x y+ + + +
0 8x y + +
(vô lý vì x, y là các số nguyên dơng)
Không mất tổng quát giả sử:
( )
2
2
3 2x y x+ < +
Suy ra

( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
3 2 3 1 3 2 1
3 1; 2 1( )
3 4 13 4
x x y x x y x y x
x k y k k N
y x k k

< + < + + = + = +
= + = +
+ = + +
+ Nếu k > 5 thì:
( ) ( )
2 2
2
2 3 4 13 4 2 4k k k k+ < + + < +
suy ra
2
3y x+
không là
số chính phơng.
+ Nếu
{ }
1; 2;3;4k
thì
2
3y x+
không là số chímh phơng.
+ Nếu k = 0 thì
2
3y x+
= 2
2
suy ra x = y = 1.
+ Nếu k = 5 thì
2
3y x+
= 13

2
suy ra x = 16; y = 11.
Thử lại thấy đúng.
Vậy các cặp số (x,y) phải tìm là (1,2) ;(16,11),(11,16).
0,25đ
0,25đ
b) (0,5đ)
Sau mội lần hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì màu tóc mỗi
loại tăng them 2 hoặc giảm đi 1. Nh vậy, hiệu số hiệp sĩ có hai màu tóc
khác nhau trớc và sau mỗi lần nh vậy có cùng số d khi chia cho 3.
Giả sử xảy ra trờng hợp tất cả 45 hiệp sĩ đó đều có cùng một màu tóc và
số hiệp sĩ có hai màu tóc kia là 0.
Ta có:
45 0 3; 45 0 3; 0 0 3 M M M
.
Mặt khác lúc đầu
15 13 2;17 15 2;17 13 4 = = =
đều không chia hết cho
3.
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy không thể xảy ra trờng hợp tất cả các hiệp sĩ đều có cùng một màu
tóc.
0,25đ
0,25đ
-------------------------------------