đề thi chon hsg huyện năm học 2011-2012

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THẠCH HÀ


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2011 - 2012
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 25 / 11 / 2011
Bài 1. a). Tính giá trị biểu thức:
3 3
B 5 2 13 5 2 13
= + + −
b). Cho dãy số: a
1
; a
2
; a
3
; thỏa mãn: a
2
=1; a
50
= 2012; a
n
+a
n+1
= a
n+2
với mọi số tự nhiên n≥1. Tính tổng: S = a
1

+ a
2
+ + a
48.
.
Bài 2. Cho đường thẳng (l) có phương trình: y = mx + m - 1 (m là tham số).
a). Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định
với mọi giá trị của m
b). Tìm m để đường thẳng (1) tạo với các trục tọa độ 1 tam giác có
diện tích bằng 2
Bài 3. a). Giải phương trình:
x 2 10 x 4
− + − =
b). Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:

xxM
−+−=
10423
Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD. Gọi H, K theo
thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến đường thẳng CD.
a). Chứng minh rằng CH = DK
b). Chứng minh rằng S
AHKB
= S
ACB
+ S
ADB
c). Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30 cm, CD =
18 cm.
Bài 5. Không dùng bảng số, máy tính hãy tính sin15

0
(HẾT)
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
4,0đ
a) Tính:
3 3
B 5 2 13 5 2 13= + + −
(1)
2
(1)
⇔
3
B 10 9B= −
0,50
⇔
(B-1)(B
2
+B+10) =0(2) 0,75
Do
2 2
1
B B 10 (B ) 9,75 0
2
+ + = + + >
với mọi B 0,50

Nên từ (2) suy ra B=1 0,25
b) Tính tổng: S = a
1
+a
2
+ +a
48.
2
Từ a
n
+ a
n+1
= a
n+2
suy ra a
n =
a
n+2 -
a
n+1
(*)
.
0,50
Lần lượt thay n =1; 2; ; 47; 48 vào (*)
0,50
ta có: S = a
3
-a
2
+a

4
-a
3
+ +a
49
-a
48
+a
50
-a
49
= a
50
- a
2
= 2012 – 1 = 2011
0,75
Vậy S = 2011 0,25
Bài 2
4,0đ
a) 2,0
Điều kiện để đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N(x
0
; y
0
) với mọi
m thì phương trình y
0
= mx
0

+ m – 1 = 0 nghiệm đúng với
∀
m 0,50

0 0
(x 1)m (y 1) 0⇔ + − + =
với
∀
m
0,50
0 0
0 0
x 1 0 x 1
y 1 0 y 1
+ = = −
 
⇔ ⇔
 
+ = = −
 
0,75
Vậy đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N(-1; - 1) với
∀
m 0,25
b) 2,0
Điều kiện để đường thẳng (l) cắt các trục tọa độ: m ≠ 0 (*) 0,25
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (1) với trục tung,
với x = 0 ta có y = m -1, suy ra
OA m 1= −
0,25

Gọi B là giáo điểm của đường thẳng (1) với trục hoành.
với y = 0 ta có
1 m
x
m
−
=
suy ra
1 m
OB
m
−
=
0,25
Theo bài ra S
AOB
= 2
⇔
OA.OB=4

2
(m 1)
m
−
⇔
= 4
0,25
2
2
m 2m 1 4m

m 2m 1 4m

− + =
⇔

− + = −

2
2
(m 3) 8 (1)
(m 1) 0 (2)

− =
⇔

+ =

0,50
Từ (1) suy ra
m 3 2 2= ±
; (Thỏa mãn *);
Từ (2) suy ra m = -1 (Thỏa mãn *);
0,25
Vậy có 3 giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng 2 là:
1
m 3 2 2= +
,
2
m 3 2 2= −

,
3
m 1= −
.
0,25
Bài 3
4,0đ
a) Giải phương trình
4102
=−+−
xx
(1)
2,0
Điều kiện để các căn thức có nghĩa: 2 ≤ x ≤ 10 0,25
Trước hết ta chứng minh: với 2 bộ số (a
1
; a
2
); (b
1
; b
2
) ta có:
(a
1
b
1
+a
2
b

2
)
2
≤(a
1
2
+a
2
2
)(b
1
2
+b
2
2
)(*) Đẳng thức xẩy ra
1 2
1 2
a a
b b
⇔ =
0,50
Áp dụng (*) ta có: 16 ≤ 2(x-2 +10 - 2) = 16 0,50
Đẳng thức xẩy ra
⇔
x - 2 = 10 - x
⇔
x = 6 0,50
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 6 0,25
b) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức:

xxM
−+−=
10423
2,0
Điều kiện để các căn thức có nghĩa: 2 ≤ x ≤ 10
Đặt N=
xx
−+−
102
N
2
= 8 + 2
)10)(2( xx −−
≥ 8 (vì 2
)10)(2( xx −−
≥0)
0,25
Nên N
2
≥
8
đẳng thức xẩy ra
⇔
x = 2 hoặc x = 10.
0,25
Do đó: M ≥ 3N +
x−10
≥ 3N ≥
26
đẳng thức xẩy ra

⇔
x = 10.
0,25
Vậy GTNN của M =
26
0,25
Áp dụng BĐT (*) ở câu a) ta có: M ≤
210)102(25 =−+− xx
0,50
Đẳng thức xẩy ra
⇔
x =
122
25
0,25
Vậy GTLN của M =
210
0,25
Bài 4
6,0đ
a) Vẻ hình đúng 0.5đ 2,0
Gọi I là trung điểm của CD ta
có IC = ID (1) 0,5đ
Mặt khác OI
⊥
CD nên
OI//AH//BK
=> IH=IK (2) 0,5đ

Từ (1) và (2) suy ra CH=DK

0.,5đ
b) 2,0
HIE KIF
∆ =∆
(cạnh huyền góc nhọn) suy ra S
AHKB
=S
AEFB
=AB.II
'
0,50
Ta lại có S
ACB
=
2
1
AB.CC
'
(3)
0,50
S
ADB
=
2
1
AB.DD' (4)
0,50
Mặt khác
CC' DD'
II'

2
+
=
(5)
0,25
Từ (3), (4), (5) ta có S
ACB
+ S
ABD
= AB.II
'
= S
AHKB
0,25
c) 2,0
2 2
AB CD
OI 12
4 4
= − =
(cm)
0,50
S
AHKB
= S
AEFB
= AB.II
'
≤ AB.OI
0,50

Dấu “=” xẩy ra khi II’= OI hay OI
⊥
AB, lúc này CD//AB 0,75
Vậy GTLN của S
AHKB
= AB.OI = 12.30 = 360 (cm
2
)
0,25
Bài 5
2đ
Xét tam giác ABC vuông tại A, góc B = 15
0
. Gọi M là
giao điểm của AB với trung trực của cạnh BC (Hình bên) 0,50
Đặt AC = x, suy ra MB = MC = 2x
⇒
MA =
x 3
BC
2
= AC
2
+AB
2
hay BC
2
= x
2
+ (

3
x+2x)
2
= 4(2 +
3
)x
2

suy ra BC = 2x.
32 +
0,50
Vậy sin15
0
=sinB =
BC
AC
=
322
1
+
=
2
32 −
0,50
Lưu ý:
- Học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa;
- Điểm bài làm của học sinh qui tròn đến 0,5.
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ