Hsg huyện thanh oai 2013 2014

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
HUYỆN THANH OAI

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
NĂM HỌC 2013 – 2014
Mơn thi : Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề )

Câu 1: ( 5 điểm )
a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:



b 

a 

a b  c b c  a c a  b


. Hãy tính giá
c
a
b

c

trị của biểu thức: B  1    1    1   .
a
c

b




a c
b) Cho tỉ lệ thức  với a 0, b 0, c 0, d 0, a b, c d .
b d
 a b
Chứng minh: 

 c d 

2013



a 2013  b 2013
c 2013  d 2013

Câu 2: ( 6 điểm )
a) Cho

x
y
z
t




y  z t z t  x t  x  y x  y  z

Chứng minh rằng: Biểu thức sau có giá trị nguyên
A

x  y y  z z t t  x



z t t  x x  y y  z

b) Tìm x biết: x 2  5 x  6 0
c) Số A được chia thành ba phần số tỉ lệ theo

2 3 1
: : . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó
5 4 6

bằng 24309. Tìm số A.
Câu 3: ( 2 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x  2013  x  3014  x  2015
Câu 4: ( 2 điểm )
Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 20; 120; 16.
Câu 5: ( 5 điểm )
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C 300 , đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao
cho HD HB . Từ C kẻ CE vng góc với AD. Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác đều.
b) AH CE .
c) HE song song với AC.

1


HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLIMPIC
Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán Lớp 7
Câu
Câu 1
(5 điểm)

Nội dung
a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:

Điểm

a b  c b c  a c a  b


c
a
b



b 

a 

c







Hãy tính giá trị của biểu thức: B  1    1    1  
a
c
b
Vì a, b,c là các số dương nên a  b  c 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b  c b c  a c  a  b a b  c b c  a c  a  b



1
c
a
b
a b c

1đ

a b  c
b c  a
c a  b
1 
1 
 1 2

Nên:
c
a
b


a b b c c a


2
c
a
b



b 

a 

c







1đ

Mà: B  1    1    1  
a
c
b
 a b   c a   b c 
 B 


 8
 a  c  b 

Vậy: B 8
b) Cho tỉ lệ thức

a c
 với a 0, b 0, c 0, d 0, a b, c d .
b d

 a b
Chứng minh: 

 c d 

2013

a 2013  b 2013
 2013
c  d 2013

a c a c

a
 
Ta có:  
b d b d
b
a
Mà:  
b

2013

c
 
d

2013



2013

c
 
d

2013

 a c 



b d 

a 2013 c 2013 a 2013  c 2013


b 2013 d 2013 b 2013  d 2013

 a b
Từ (1) và (2)  

 c d 

1đ

2013



a 2013  b 2013
c 2013  d 2013

2013

(1)
(2)
(đpcm)

0,75 đ
0,75 đ
0, 5 đ

2


Câu 2
(6 điểm)

a) Cho

x
y
z
t



y  z t z t  x t  x  y x  y  z

Chứng minh rằng: Biểu thức sau có giá trị nguyên
A

x  y y  z z t t  x



z t t  x x  y y  z
x

y

z

t

x  y  z t

1

Ta có: y  z  t  z  t  x t  x  y  x  y  z  3 x  y  z  t  3


 3x  y  z  t ; 3y z  t  x ; 3z t  x  y ; 3t x  y  z
 x  y z  t ; y  z t  x ; z  t  x  y ; t  x  y  z

 A

x  y y  z z t t  x



1  1  1  1 4  Z
z t t  x x  y y  z

0, 5 đ
0, 5 đ
(1đ)

Vậy biểu thức A có giá trị ngun. (đpcm)
b) Tìm x biết: x 2  5 x  6 0
Ta có: x 2  3 x  2 x  6 0

0, 5 đ

2

  x  3x    2 x  6 
 x  x  3  2  x  3
 x  3 0
  x  3  x  2  

 x  2 0

 x 3


 x 2

0, 5 đ

Vậy: x 2 hoặc x 3
c) Số A được chia thành ba phần số tỉ lệ theo

2 3 1
: : . Biết rằng tổng
5 4 6

1đ

các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Gọi ba phần được chia lần lượt là: a, b, c

0, 5 đ

2 3 1
và a 2  b 2  c 2 24309
5 4 6

Theo bài ra ta có: a : b : c  : :
2 3 1
5 4 6

Ta có: a : b : c  : : 24 : 45  10 

a
b
c
 
24 45 10

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
b
c
a2
b2
c2
a2  b2  c2
24309
  





9
24 45 10
576 2025 100 576  2025 100 2701
 a 2 576.9 5184  a 72
b 2 2025.9 18225  b 135
c 2 100.9 900  c 30
3

0, 5 đ


Vì:

a
b
c
   a, b, c cùng dấu.
24 45 10

 A  72    135     30   237

1đ

A 72  135  30 235

Vậy: A  135 hoặc A 135

0, 5 đ
0, 5 đ
Câu 3
(2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A  x  2013  x  3014  x  2015

Ta có: x  2015  2015  x
 A  x  2013  2015  x   x  3014
 A  x  2013  2015  x  x  2014
 A 2  x  2014

0, 5 đ

Mà: x  3014 0
 A 0

2013  x 2014
 x  2013  2015  x 

 x 2014
 x 2014

Dấu bằng sảy ra  
 x 2014

Vậy GTNN của A là 2 khi x 2014

Câu 4

(2 điểm)

0, 5 đ
0, 5 đ
0, 5 đ

Tìm hai số dương biết tổng hiệu tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba
số 30; 120; 16.
Gọi hai số dương cần tìm là x , y
Theo bài ra ta có: 30  x  y  120  x  y  16 xy


x  y x  y xy

 k
8
2
15
4

0, 5 đ
0, 5 đ


 x  y 8k ; x  y 2k ; xy 15k
 x 5k ; y 3k  xy 5k .3k 15k
15k 2 15k  k 1

0, 5 đ

 x  y 8; x  y 2  x 5; y 3

0, 5 đ

Vậy hai số dương cần tìm là 5 và 3.
Câu 5
(5 điểm)

Vẽ hình ghi GT – KL đúng
a) ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên
ABD cân tại A.

 C
 900 (Hai góc nhọn của một tam giác vng)
Ta có: B

0, 5 đ

 900  300 600
 B

Nên ABD là tam giác đều. (đpcm)


b) Ta có: EAC
BAC
 ABD 900  600 300

 AHC CEA (cạnh huyền –góc nhọn)

Do đó AH = CE (đpcm)

1đ

c) (2,5 điểm)
AHC CEA (cmt) nên HC = EA (1)

2đ


ADC cân ở D vì có ADC DCA
30  DAC cân ở D.
0

Suy ra : DA = DC. (2)

0, 5 đ

Từ (1) và (2)  DH DE  DHE cân tại D
Hai tam giác cân ADC và DEH có:
Hai tam giác cân: ACD cân tại D và DHE cân tại D có:
ADC HDE


(đđ)  DHE
 ADC ở vị trí so le trong
5


 EH / / AC (đpcm)

1đ

6