Hsg huyện thanh hà 2011 2012

UBND HUYỆN THANH HÀ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn Tốn 7

Câu 1 (2,5 điểm).
Tính:
a/ 7,3. 10,5 + 7,3. 15 + 2,7. 10,5 + 15. 2,7
b/ (69.210 + 1210) : (219.273 + 15.49.94)
Câu 2 (5 điểm).
So sánh A và B trong mỗi trường hợp sau:
a/ A =

 2012
4025

;B=

 1999
3997

b/ A = 321 ; B = 231
c/ A =

2011 2011 2011
2011



 ..... 
;
1. 2
3.4
5.6
1999.2000

B=

2012 2012 2012
2012


 ..... 
1001 1002 1003
2000

Câu 3 (5 điểm).
a/ Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +…+ 3x+100 chia hết cho 120 (với x  N)
b/ Cho

3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3 z
x y z


. Chứng minh rằng:  
4
3
2
2 3 4

c/ Cho f(x) là hàm số xác định với mọi x thỏa mãn điều kiện f(x1.x2) =
f(x1).f(x2) và f(2) = 10. Tính f(32).
Câu 4 (5 điểm).
Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho
CD = AB. Gọi I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD.
a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC
b/ Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
c/ Kẻ IE vng góc với AB, chứng minh

1
AE  AD .
2

Câu 5 (2,5 điểm).
Cho 100 số hữu tỉ trong đó tích của bất kì ba số nào cũng là một số âm. Chứng
minh rằng tất cả 100 số đó đều là số âm.


UBND HUYỆN THANH HÀ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CÂU
Câu
1

ý

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn Tốn 7
ĐÁP ÁN

a 7,3.10,5 + 7,3.15 + 2,7.10,5 + 15.2,7
1,5đ = 10,5.(7,3 + 2,7) + 15.(7,3 + 2,7)
= 10,5. 10 + 15. 10
(2,5đ)
= 105 + 150 = 255
b
(69.210 + 1210) :(219.273 + 15.49.94)
1đ
= ( 39.29.210 + 220.310) : (219.39 + 3.5.218.38)
= [219.39(1+2.3)] : [218.39(2 +5)]
= (2.7) : 7 = 2
Câu
2012 2012 1 1 1999 1999
a

 ; 

2
4025 4024 2 2 3998 3997
2đ
(5đ)



=>

>

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
1,0
0,5

2012 1999

4025 3997
 2012
4025

ĐIỂM

 1999
3997

Vậy A > B
b
A = 321 = 3.(32)10 = 3.910
1,5đ B = 231 = 2.(23)10 = 2.810
Suy ra A > B
2011 2011 2011
2011
c

A


 ..... 
1.2
3.4
5.6
1999.2000
1,5đ

1 1 1 1 1
1
1 

2011. 1       .... 


2 3 4 5 6
1999 2000 


1 1
1  1 1 1
1 
2011.  1    .... 
      .... 

3 5
1999   2 4 6
2000  



1 1 1 1 1
1
1 
1 
1 1 1
2011.  1       .... 

  2.    .... 

2 3 4 5 6
1999 2000 
2000  
2 4 6


1 1 1
1
1  
1 1
1
1 
2011.  1     .... 


   1    .... 

2 3 4
1999 2000  

2 3
999 1000  

1
1
1
1 
 1
2011.


 .... 


1999 2000 
 1001 1002 1003

1
1
1 
 1
B 2012. 


 ..... 

2000 
 1001 1002 1003

Suy ra A < B

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

x+1

Câu
3
(5đ)

x+2

x+3

x+100

a
3 + 3 + 3 +…… + 3
2,5đ = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+…+ (3x+97 +
3x+98 + 3x+99 + 3x+100)
= 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) +…+3x+96(3+32+33+34)

= 3x.120 + 3x+4.120 +…+3x+96.120
= 120(3x + 3x+4 +…+3x+96) 120 (đpcm)

0,75
0,75
0,5
0,5


b
1,5đ

c
1đ

Câu
4
(5đ)

3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3 z


. Suy ra:
4
3
2
4(3x  2 y ) 3(2 z  4 x) 2(4 y  3z )


16

9
4
12 x  8 y  6 z  12 x  8 y  6 z

0
29
3x  2 y
x y
0  3x 2 y   (1)
4
2 3
Vậy
2z  4x
x z
0  2 z 4 x   (2)
3
2 4
x y z
Từ (1) và (2) ta được  
2 3 4

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

Vì f(x1.x2) = f(x1).f(x2) nên
f(4) = f(2.2) = f(2). f(2) = 10. 10 = 100
f(16) = f(4.4) = f(4). f(4) = 100. 100 = 10000

f(32) = f(16.2) = f(16). f(2) = 10000. 10 = 100000

0,5
0,25
0,25

Hình vẽ

0,5
A

P
C

B

E
D

I

a
Vì I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD
1,5đ nên IB = IC, IA = ID
Lại có AB = CD (gt)
Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c)

0,25
0,5
0,25

0,5

b ∆AID cân ở I, suy ra  DAI =  D
1,5đ ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra  BAI =  D
Do đó  DAI =  BAI.
Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
c
Kẻ IP AD, ta có ∆AIE = ∆AIP ( cạnh huyền-góc nhọn)
1,5đ => AE = AP
Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD)

0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25

Suy ra

1
AE  AD
2


Trong 100 số đã cho, phải có ít nhất một số âm (vì nếu cả 100 số
đều dương thì tích của ba số bất kì khơng thể là một số âm).
Ta tách riêng số âm đó ra. Chia 99 số cịn lại thành 33 nhóm, mỗi

nhóm 3 thừa số.
(2,5đ)
Theo đề bài, mỗi nhóm đều có tích là một số âm nên tích của 33
nhóm tức là của 99 số là một số âm.
Nhân số âm này với số âm đã tách riêng từ đầu ta được tích của
100 số là một số dương.
b Sắp xếp 100 số đã cho theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn
1,5đ a1≤a2≤a3≤...≤a100
Các số này đều khác 0 (vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó
với hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài).
Xét tích a98.a99.a100 < 0  a98 < 0 (vì nếu a98 > 0 thì a99 >0, a100> 0,
tích của ba số này khơng thể là một số âm).
Vậy a1, a2, a3, ..., a98 là các số âm.
Xét tích a1.a2.a99 < 0 mà a1a2 > 0 nên a99<0
Xét tích a1.a2.a100 < 0 mà a1a2 > 0 nên a100<0
Vậy tất cả 100 số đã cho đều là số âm.
Câu
5

a
1đ

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

Ghi chú:
- Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải cho từng bài. Nếu HS làm cách khác đúng
thì cho điểm tương đương.
- Bài hình khơng vẽ hình hoặc hình vẽ sai, khơng khớp với chứng minh thì khơng
chấm phần chứng minh.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của tất cả các câu, khơng làm trịn.