Hsg huyện thái thụy 2012 2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
MƠN TỐN 7
Thời gian làm bài 120 phút (khơng kể giao đề)

Bài 1 (3 điểm).
a.

Tính giá trị biểu thức

7 5 5  2  5 18
      
13 9 9  13  9 13

b. Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13.
Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13
Bài 2 (4 điểm).
x2  3
Cho biểu thức A 
.
x 2
a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được.
b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ?
c. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 3 (2 điểm).
Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
5z  6y 6x  4z 4y  5x



và 3x  2y  5z 96 .
4
5
6
Tìm x; y; z.
Bài 4: (3 điểm).
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c
a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c
b. Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vơ nghiệm.
Bài 5 (8 điểm).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD =
AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD.
a. Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ?
So sánh DM và CN.
b. Từ M kẻ đường thẳng vng góc với CN cắt tia BA tại K.
Chứng minh BMK CMD .
c. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK.

Họ và tên thí sinh: ………………………. ........... Số báo danh................................................. .


HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN 7
Nội dung

Bài
Bài 1 (3đ)

a.

Tính giá trị biểu thức

Điểm

7 5 5  2  5 18
      
13 9 9  13  9 13
7 5 5  2  5 18
      
13 9 9  13  9 13



5 7
.

9  13

 2  18 
  

 13  13 



5  7
2 18 
.
 


19  13 13 13 



5 9
.
9 13

 

5
13

1.5đ

b. Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13.
Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13
(a + 4b)  13  10(a + 4b)  13

0.5đ

Xét 10.(a + 4b) –(10a +b ) = 10a + 40b -10a – b = 39b  13

0.5đ
0.5đ

Do 10(a + 4b)  13 nên (10a +b )  3
Bài2 (4đ )

x2  3
Cho biểu thức A 
.
x 2
a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được.
Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x-2 = 0
Kết luận : Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x = 2

0.5đ
0.5đ

b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ?
Nhận xét : x2  0  x  x2 +3 > 0  x
A nhận giá trị là số âm khi x-2 nhận giá trị là số âm
A nhận giá trị là số âm khi x < 2
c. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

x 2  3  x 4  4  7  ( x  2)  7
A
x 2
x 2
x 2
A nhận giá trị nguyên khi

7
nhận giá trị nguyên
x 2

0.5đ
0.5đ

0.5đ
0.5đ
0.5đ

7
nhận giá trị nguyên khi 7  (x-2)
x 2

x-2 nhận các giá trị : -7 ; -1 ; 1; 7 Giải ra, thử lại và kết luận: x    5;1; 3; 9
Bài 3(2đ)

0.5đ

Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:

5z  6y 6x  4z 4y  5x


và 3x  2y  5z 96 .
4
5
6
Tìm x; y; z.
Từ

5z  6y 6x  4z 4y  5x


4
5

6
0.5đ


20z  24y 30x  20z 24y  30x 20 z  24 y  30 x  20 z  24 y  30 x


0


10  25  36
16
25
36
 20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0  20z = 24y = 30x
 10z = 12y = 15x 

x y z
 

4 5 6

3x 2 y 5 z 3x  2 y  5 z 96
  
 3
12 10 30 12  10  30 32

0.5đ
0.5đ
0.5đ

Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18
Bài 4 (3đ)

Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c
a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c
Tính được 0 = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c và 2012 = f(-1) = a-b+c
Tính được: a + b = 2013 và a - b = 2012
Tính được: 2a = 4025 và tính được a 
Kết luận : a 

4025
1
; b
2
2

4025
1
; b
2
2

0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ

và c = 0

b. Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x)
vơ nghiệm.
Tính được : 2012 = f(1) = a + b +c

(1)

2036 = f(-2) = 4a - 2b +c

(2)

2036 = f(3) = 9a +3b +c

(3)

Từ (1) và (2) có a – b = 8

(4)

Từ (2) và (3) có a + b = 0

(5)

0.5đ
0.5đ

Từ (4) và (5) tìm được a = 4 ; b = -4 và tìm được c = 2012.
Như vậy f(x) = 4x2 - 4x + 2012 = ……….= (2x – 1)2 + 2011 > 0  x
Kết luận: Đa thức vô nghiệm
Bài
(8đ)

5

0.5đ

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D
sao cho AD = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD.

B

N

M
E

D

A

K

C


1.0đ

a. Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DM và CN

* Chứng minh được:  BAD =  BAC (c.g.c) suy ra BD = BC và 0.5đ




= 450 + 450 = 900
DBC
DBA
 ABC
0.5đ
1.0đ
Kết luận  BDC vuông cân tại B.
*

Chứng minh được  BDM =  BCN  DM = CN

b. Từ M kẻ đường thẳng vng góc với CN cắt tia BA tại K.
Chứng minh BMK CMD .


Vì  BDM =  BCN suy ra BNC
BMD


 BNC vuông tại B nên BNC
 BCN
900


 CME vng tại E nên MCE
 CME
900



Từ đó suy ra CME
BMD




Vì CME
BMD
 BMK
CMD
Chứng minh  BMK =  CMD (g.c.g)
c. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK
* AB = a, tính được BC = a 2 do áp dụng định lý Pitago với tam giác ABC
1
a 2
Và cũng tính được BD = BC = a 2 ; BM = BC 
2
2

* Vì  BMK =  CMD suy ra MD = MK.
Vậy chu vi  DMK bằng 2MD + DK
a 5
Tính được DM 
do áp dụng định lý Pitago với tam giác vuông BDM
2
Chứng ming được BDK = BCK  DK BC a 2
Chu vi tam giác DMK bằng
5
2DM  DK 2a

 a 2 a 10  a 2 a 10  2
2



Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm.
- Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình khơng có hình vẽ thì khơng chấm.
- Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ).



0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

0.5đ

0.5đ
0.5đ
0.5đ