Hsg huyện hoằng hóa 2013 2014

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HỐ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2013-2014
MƠN THI: TỐN
Ngày thi: 21/04/2014
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)
Câu 1: (4,5 điểm)
4  1 2 4  1 5 
1) Tính giá trị của biểu thức: A  :     :   
9  15 3  9  11 22 
3

12

1



2) Tìm x, biết:   1  x  : 2
6
 5
 13
3) Tính giá trị của biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn:
(x - 2)4 + ( 2y - 1)2014 0
Câu 2: (4,5 điểm)
x y
y z

 ;

và 2 x  y  z  14.
3 4
6 8
2
2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + ) > 0.
3
3
1 3 2
1  1
 1
3) Tìm số nguyên x, biết rằng: .15  .5 x  3 : 7  6  .   2 
7
3 7 5
2  3
 2

1) Tìm các số x, y, z biết:

Câu 3: (5,0 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức M = 4x + 4y + 21xy(x + y) + 7(x3y2 + x2y3) + 2014,
biết x + y = 0.
2) Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng,
p(x) 5 với mọi x nguyên. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5.
1
2

1
3

1
4

3) Cho A 1     ... 

1
1 1 1
1
A
2013
, B 1     ... 
. So sánh
với 1
.
4026
3 5 7
4025
B
2014

Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C).
Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vng góc với BC kẻ từ D
cắt BA tại M. Đường vng góc với BC kẻ từ E cắt tia AC tại N. MN cắt BC tại I.
1) Chứng minh rằng: DM = EN.
2) Chứng minh rằng IM = IN; BC < MN.
3) Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vng góc với MN tại I.
Chứng minh rằng: BMO CNO . Từ đó suy ra điểm O cố định.
Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E




sao cho DAE
.
ECB
 ABD (E nằm giữa B và D). Chứng minh rằng DAE
.............. Hết.............

Họ và tên thí sinh::........................................... SBD..............................
Giám thị 1:.................................
Giám thị 2:..............................


PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HĨA

Câu

Câu 1:
4,5đ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học: 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
Hướng dẫn
Điểm

4  3 4  3 4   5  22 
 .


1) (1,5đ) A  :  :
  4
9 5 9 22 9  3
3 
3
13 12
3
2) (1,5đ) Ta có:   1  x  .  x  3
5
6 13
5
4
2014


3) (1,5đ) Vì (x - 2)
0; (2y – 1)
0 với mọi x, y nên
4
2014
4

(x - 2) + (2y – 1)
0 . Mà (x - 2) + (2y – 1) 2014  0
1
Suy ra (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2014 = 0 suy ra x = 2, y =
2

1,5

Khi đó M = 44.

0,25
0,5

x y
y z
x y
z

  
1) (1,5đ) Từ  ;
3 4
6 8
9 12 16
x y
z 2x y
z
2x  y  z
 14

 1
Vậy:      
9 12 16 18 12 16 18 12  16 14

Suy ra x = -9; y = -12; z = -16.
2) (1,5đ) Từ (x - 2)(x +
Dễ thấy x – 2 < x +
Câu 2:
4,5đ

2
2
) > 0 suy ra x – 2 và x + cùng dấu.
3
3

0,5
0,25
0,5

0,5
0,5
0,25

2
nên ta có:
3

2
cùng dương  x – 2 > 0  x > 2.
3
2
2
2
 x – 2 và x + cùng âm  x + < 0  x < 3
3
3
2
Vậy x > 2 hoặc x < .

3
3
1 3 2 3  1
2
31
3)(1,5đ) Ta có .15  .5  .  15  5  8
7
3 7 5 7  3
5
35
1  1
 1
 3 : 7  6  .   2  14
2  3
 2

 x – 2 và x +

31
 x  14 , vì x nguyên nên x   9;10;11;12;13;14
35
Câu 3: 1)(1,5đ) M = 4(x + y) + 21xy(x + y) + 7x2y2(x+ y) + 2014 = 2014
(5.0đ) (Vì x + y = 0)
2)(2,0đ) Vì p(x) 5 với mọi x nguyên nên p (0) = d  5.
p (1) = a + b + c + d 5 (1)
p (- 1) = - a + b - c + d 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 2(b + d) 5 và 2(a + c) 5 .
Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = 1 nên b+ d 5 suy ra b5.
p (2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d  5; b5. nên 8a + 2c 5,
kết hợp với 2(a + c) 5 suy ra 6a 5 suy ra a 5 vì (6,5) = 1. từ đó c 5.

Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.
Do đó: 8

1,5

0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
1,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


1 1 1
1
C  A  B     ... 
2 4 6
4026
1 1 1
1
1 1
1

1
Ta có B 1  3  5  7  ...  4025  1  4  6  ...  4026  2  C (1)
2013 1 1 1
1 1 1 1
1
    ...      ... 
C
2
4026
2  2 2    2 2 4 6
2013 sohang
Lại có
1
C
 
(2)
2 2013
C
 C  2013B  2014C
Từ (1) và (2) suy ra B 
2013
C 2013
CB
2013
A
2013

1
 1
Do đó: 

B 2014
B
2014
B
2014

3)(1,5đ) Đặt

Câu 4:
(4,5đ)

0,25

0,5

0,25
0,5

A

M

B

I

C

E

D

N
O
1) (1,5đ)
Tam giác ABC cân tại A nên ABC  ACB;
Do đó: MDB NEC ( g .c.g )  DM EN


NCE
 ACB; (đối đỉnh)

2) (1,5đ)Ta có MDI NEI ( g .c.g )  MI NI
Vì BD = CE nên BC = DE .
Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN
Suy ra BC < MN.
3)(1,5đ) Ta chứng minh được:

ABO ACO(c.g .c)  OC OB, ABO  ACO
.
MIO NIO (c.g .c)  OM ON .

Lại có: BM = CN, do đó BMO CNO(c.c.c)




, Mà: MBO
 MBO
 NCO

 ACO suy ra NCO
 ACO ,
mà đây là hai góc kề bù nên CO  AN.

1,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5


Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường
0,25
vng góc với AC tại C nên O cố dịnh.
A

F
G

D

E
H
B

C

Câu 5:

(1,5đ) Vẽ AF vng góc BD, CG vng góc BD, CH vng góc với AE. Ta có
ABF CAH (cạnh huỳen – góc nhon). Suy ra: AF = CH.
ADF CDG (ch  gn) suy ra AF = CG.
Từ đó ta có CH = CG.

0,25



CEH CEG (ch  cgv)  CEH
CEG
;






Mà CEG
EBC
 ECB
; CEH
EAC
 ECA
;




Do đó: EBC

 ECB
EAC
 ECA
; (1)

0,5





Măth khác: EBA
 EBC
ECB
 ECA
; (2)

lấy (1) trừ (2) theo vế ta có:







ECB
 EBA
EAC
 ECB
EBA

 ECB


 EBA
ECB




Mà DAE
.
ECB
 ABD nên DAE

Chú ý:
1. Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
2. Bài hình khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì khơng chấm điểm.

0,5
0,25