Hsg huyện hoài nhơn 2012 2013

UBND HUYỆN HỒI NHƠN
PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013
Đề chính thức

Mơn: TỐN 7
Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian phát đề)

Bài 1 (4 điểm):
a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91
b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n  N
Bài 2 (4 điểm):
2x 
a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: 

2012

y  7

 x 3

2013

0

b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1  2  3  . . .  n  aaa
1
Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa 3 số học
1
1
sinh của lớp 7A1, 4 số học sinh của lớp 7A2 và 5 số học sinh của lớp 7A3 đi thi học

sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học
sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.

ˆ

ˆ

ˆ

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có A 3B 6C .
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Kẻ AD vng góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD < BD < CD.
Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia
đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K.
Chứng minh rằng: KC  AC.
Ghi chú: Thí sinh khơng được phép sử dụng các loại máy tính


HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2012 – 2013.
Bài

Đáp án
a) So sánh hai số: (– 5) và (– 2)91
Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513
(– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813
Ta thấy: 12513 < 12813  – 12513 > – 12813  (– 5)39 > (–

2)91
b) Chứng minh: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi
n N
Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n +
12.144n
= (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n +
12.144n
= 133.11n + 12.(144n – 11n)
Ta thấy: 133.11n  133
(144n – 11n)  (144 – 11) = 133  12.(144n – 11n) 
133
Do đó suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133
Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n  N
a) Tìm tất cả các cặp số (x; y):
Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn  (2x – y + 7)2012  0
39

1
4
điể
m

2
4
điể
m

x  3 0  x  3

Do đó, từ

2013

và
2012
2013
 2x  y  7  x  3 0

0

x 3

2012

2013

0

suy ra: (2x – y + 7) = 0 và
 2x – y + 7 = 0 (1) và x – 3 = 0 (2)
Từ (2)  x = 3
Từ (1)  y = 2x + 7 = 2.3 + 7 = 13
Vậy cặp số (x; y) cần tìm là (3; 13)
b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a
Ta có:

1 2  3  . . .  n 

n  n  1
2

và aaa a.111 a.3.37

Do đó, từ 1  2  3  . . .  n  aaa  n  n  1  2.3.37.a
 n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37

Điểm
2,0đ
0,75đ
0,75đ
0,5đ
2,0đ

1,0đ

0,5đ
0,5đ
2,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2,0đ
0,5đ
0,5đ


 n hoặc n + 1 chia hết cho 37 (1)
n  n  1
aaa

2
 999  n(n + 1)  1998  n < 45 (2)
Mặt khác:

0,5đ

Từ (1) và (2) suy ra hoặc n = 37, hoặc n + 1 = 37
37.38
703
2
- Với n = 37 thì
(khơng thỏa)
36.37
aaa 
666
2
- Với n + 1 = 37 thì
(thỏa mãn)
aaa 

Vậy n = 36 và a = 6.
Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.
Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,c
N*)
3
4
điể
m

Theo bài ra ta có :

1
1
1
a  a b  b c  c
3
4
5

4,0đ
1,0đ

(*) và a + b + c =147

2a 3b 4c
12a 12b 12c
a
b
c
 
 


Từ (*)  3 4 5  18 16 15  18 16 15

1,0đ

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có :
a
b

c
a b c
147
 

3
18 16 15 = 18  16  15 49
.

4
4
điể
m

0,5đ

Suy ra : a = 54, b = 48, c = 45
Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45.
a) Tính số đo các góc của  ABC:
Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180

  

200
ˆ
ˆ
ˆ
6 2 1
6  2 1
9

Từ A 3B 6C
0
0
 Aˆ 6.20 120

1,0đ
1,0đ
2,0đ

0

Bˆ 2.200 400
Cˆ 1.200 200

1,0đ

1,0đ

0
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
Vậy: A 120 ; B 40 ; C 20

b) Chứng minh AD < BD < CD.
- Trong  ACD có
ˆ 900 ; Cˆ 200  Aˆ 700
ADC

2
 Aˆ 500
1

2,0đ

1,0đ

0
0
ˆ
ˆ
- Xét  ADB có B 40  A1 50  AD  BD (1)
0
0
2
2
ˆ
ˆ
- Xét  ABC có B 40  C 20  AB  AC  AB  AC (*)

1,0đ


- Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vng ADB và ADC
có:
AB2 = AD2 + BD2 và AC2 = AD2 + CD2
Do đó, từ (*)  AD2 + BD2 < AD2 + CD2
 BD2 < CD2  BD < CD (2)
Từ (1) và (2)  AD < BD < CD

a) Chứng minh rằng: BM = CN
Theo giả thiết, ta có:
2AB = AB + AB = AB + AM + BM
AM + AN = AM + AC + CN
 ABC cân ở A  AB = AC
Do đó, từ AM + AN = 2AB
 BM = CN
5
4
điể
m

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
Qua M kẽ ME // AC (E  BC)
 ABC cân ở A   BME cân ở M  EM = BM = CN
  MEI =  NCI (g-c-g)  IM = IN
Vậy: BC đi qua trung điểm của MN.
c) Chứng minh rằng: KC  AN.
+ K thuộc đường trung trực của MN  KM = KN (1)
ˆ
ˆ  ACK
+  ABK =  ACK (c-g-c)  KB = KC (2); ABK
(*)
+ Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (3)
ˆ
ˆ  NCK
+ Từ (1), (2) và (3)   BMK =  CNK (c-c-c)  ABK
(**)
1800
ˆ

ˆ
ACK  NCK 
900
 KC  AN
2
+ Từ (*) và (**) 

1,0đ

1,5đ
0,75đ
0,75đ
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ