Hsg huyện hạ hòa 2006 2007

PHÒNG GD & ĐT HẠ HÒA

ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG LỚP 7
MƠN : TỐN
NĂM 2006 - 2007
Thời gian: 120phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu 1 (1,5 điểm)
So sánh các số sau: 2300 và 3200
Câu 2 (3,5 điểm)
Tìm các số a1, a2, a3,…,a100, biết:
a  100
a1  1 a 2  2 a 3  3
=
=
=....= 100
100
99
98
1

và a1+ a2 + a3+ ...+ a100 = 10100

Câu 3 (3,0 điểm)
Tính giá trị của đa thức sau, biết x + y – 2 = 0
M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hai hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m +1 )x + m2
Tìm m, biết P(1) = Q(- 1)
Câu 5 (8 điểm)
Cho tam giác giác nhọn ABC, AH là đường cao. Về phía ngồi của tam giác vẽ

các tam giác vng cân ABE và ACF, vuông ở B và C. Trên tia đối của tia AH lấy
điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh:
a)  ABI =  BEC
b) BI = CE và BI vng góc với CE
c) Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm.
Câu 6 (2 điểm)
Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp khơng thể là
một số chính phương.


ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
Câu
Đáp án
300
3 100
100
1
2 = (2 ) = 8
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100. Do đó 2300 <3200
2

Điểm
0,5
0,5
0,5

a  100
a1  1 a 2  2 a 3  3
=

=
=....= 100
100
99
98
1

áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có:
(a1  a2  ...  a100 )  (1  2  ...  100) (a1  a2  ...  a100 )
=
-1
100  99  ...  1
100  99  ...  1

=

10100
5050

1,5

-1=2–1=1

1
1

 a1 = a2 =...= a100 = 101

3

Từ P(1) = Q(-1), suy ra 1+2m +m2 =1 – (2m +1) +m2  m = 4

1

2,0

4

Biến đổi mỗi đa thức theo hớng làm xuất hiÖn thõa sè x + y – 2
M = (x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y) + (x+y -2) + 1
= x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008
=x2.0 – y.0 + 0 + 2008 = 2008

0,5
1,0
1,0
0,5

5

I

E

A
M

6

F

C
B
H
- Vẽ hình,ghi giả thiết kết luận đúng đợc
a) Ta có  IAB = 1800 -  BAH =1800 – (900 -  ABC)
=900 +  ABC =  EBC
 ABI =  BEC (c – g – c)
b)  ABI = BEC (câu a) nên BI = EC (hai cạnh tơng ứng).
ECB = BIA hay ECB = BIH.
Gọi M là giao điểm của CE với AB, ta cã :
 MCB +  MBC =  BIH +  IBH = 900, do ®ã CE  BI.
c) Trong tam giác BIC: AH, CF, BE là ba ®êng cao. VËy AH, CF, BE
®ång quy t¹i mét ®iĨm.
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n - 2, n- 1, n, n + 1,n +2, trong đó n 

1,0
2,5
3,5
1

2


N và n  2
Ta có A = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n +1)2 + (n+2)2 = 5(n2 + 2)
Vì n2 khơng thể có chữ số tận cùng bởi 3 hoặc 8, do đó (n 2 + 2)
khơng chia hết cho 5, vì thế 5(n 2 + 2) khơng là số chính phương, hay
A khơng phải là số chính phương.
*) Ghi chú: Cách làm đúng khác vẫn cho điểm.