Hsg huyện anh sơn 2015 2016

UBND HUYỆN ANH SƠN
GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Mơn: Tốn
Năm học: 2015-2016
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bµi 1 : Cho biĨu thøc A =

x 1
x1

a. TÝnh gi¸ trị của A tại x =

.
16
9

và x =

25
9

.

b. Tìm giá trị của x để A =5.
Bài 2 : Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng hai
đờng cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là :5 : 7 : 8.

Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức

a
c

b d

.

Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia
đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c. Chứng minh:  HMN cân.
Câu 5. (1,0 điểm)
a

b

c



2
a. Cho ba số dương 0 a b c 1 chứng minh rằng:
bc  1 ac  1 ab 1
b. Cho a, b, c là ba cạnh cđa mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng:
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.

Cõu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
trị nguyên nào?

Bi 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
Giải:

14  x
; x Z .
4 x

Khi đó x nhận giá


a.
b.
c.

3  2 5 9
:    .
4  3 9 4
1  1
45  1  1  1   


 
19  2  3  4   



1

5.415.9 9  4.320.89
5.210.619  7.2 29.27 6

Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
1

=

21
22

b. Tìm x, biết: 3 2 :

2x  1

c. Tìm x, y, z biết :

2x  y 3y  2z

5
15

Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức

a
c


b d

và x + z = 2y
.

Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên
tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c. Chứng minh:  HMN cân.

3  2 5 9 3 1 9
:     : 
4  3 9 4 4 9 4
3 9 9 36
= 4 . 1  4  4 9

0,75đ
0,75đ


45

19

1  1 
1 1

     1   
 2  3  4   

 


1

45
1
 
1
1
19

2 1 4
3

1,0đ

45 26 19

 1
= 19 19 19

5.415.9 9  4.320.89
5.210.619  7.2 29.27 6





1,0đ

5.2 2.15.32.9  2 2.320.2 3.9
10
19 19
29
3 .6
= 5.2 .2 .3  7.2 .3



01đ
01đ

2 29.318 5.2  32
2 29.318  5.3  7 

10  9
1

8
= 15  7

0,5đ

2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16
-12x – 20 = 16
-12x = 16 + 20 = 36

x = 36 : (-12) = -3

0,25đ
0,25đ
0,50đ
0,50đ
0,25đ

x

Nếu

1
2.

Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)

1
: 2x  1
32
7
2

=

11
3

2x =
x=

Nếu

7
2

14
3

:

21
22

x

1
2.

1
: 2x  1
32

=

7 22 11
.

2 21
3

7
3

>

0,25đ
0,25đ

14
3

+1=

:2=

0,25đ

21
22

: (2x – 1) =

2x – 1 =

7
2

21
22

0,25đ

1
2

0,25đ

Ta có:
=

21
22

: (1 - 2x) =

21
22

0,25đ

8
3

0,25đ

4 1

3 2

0,25đ

-2x =
x=

8
3

11
3

-1=

: (-2) =
7
3





4
3

Vậy x =
hoặc x =
Từ x + z = 2y ta có:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0
hay 2x – y = 3y – 2z
Vậy nếu:

2x  y 3y  2z

5
15

thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5  15).

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ


Từ 2x – y = 0 suy ra: x =

0,25đ

1
y
2

Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y.  x + z + y – 2z = 0 hay
0
hay

3
y
2

- z = 0 hay y =

2
3

z. suy ra: x =

Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x =
1
2

1
3

1
3

1
y
2

+y–z=

0,25đ

z.

z; y =

2
3

z ; với z  R }

0,5đ

3
2

hoặc {x = y; y  R; z = y} hoặc {x  R; y = 2x; z = 3x}
Ta (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
có:
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
cb = ad suy ra:
Giải:

0,25đ

a c

b d

0,75đ
0,75đ

D

B
K
N

M
A

C
H

a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: ABK và DCK có:
BK = CK (gt)
ˆ A CK
ˆ D (đối đỉnh)
BK
AK = DK (gt)
 ABK = DCK (c-g-c)
ˆ B 90 0  AC
ˆ D AC
ˆ B  BC
ˆ D 90 0
ˆ K ; mà AB
ˆ C  AC
 DCˆK DB
 ACˆD 900 BAˆC  AB // CD (AB  AC và CD  AC).
b. Chứng minh rằng: ABH = CDH
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:
BA = CD (do ABK = DCK)
AH = CH (gt)
 ABH = CDH (c-g-c)
c. Chứng minh:  HMN cân.
Xét 2 tam giác vng: ABC và CDA có:
AB = CD; ACˆD 90 0 BAˆC ; AC cạnh chung:  ABC = CDA (cg-c)

ˆD
 ACˆB CA

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,50đ

0,25đ
0,25đ


ˆ A  NH
ˆ C (vì ABH = CDH)
mà: AH = CH (gt) và MH
 AMH = CNH (g-c-g)
 MH = NH. Vậy HMN cân tại H

Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng

abcabc ln

0,50đ
0,50đ
0,50đ

chia hết cho 11.

Giải:

Ta có:

= a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c
= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)
= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)
= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)
= 11.91( a.102 + b.10 + c) 11
Vậy abcabc 11
abcabc

Hết

0,25đ
0,50đ
0,50đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ