Hsg 2015 2016

Phòng giáo dục và
đào tạo

thi chọn học sinh giỏi CP TRNG
năm học 2015 - 2016
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ny có 05 câu, in trong 01 trang

®Ị thi chÝnh thøc

Câu 1: (4.0 điểm):
3
3

11 12  1,5  1  0,75
tính:
5
5
5
 0,625  0,5 

2,5   1,25
11 12
3
0,375  0,3 

a/ Thực hiện phép

b/ Tính B = 1+ 22 + 24 + ...+ 2100 .So sánh B với 2102.
Câu 2: (5.0 điểm):

a/ Tìm x biết:

x  2  3  2 x 4 x  1

b/ Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7
c/ Tìm x; y  Z biết: xy + 2x – y = 7
Câu 3: (4.0 điểm):
a/ Cho biểu thức A =

2012  x
6 x

. Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá

trị lớn nhất . Tìm giá trị đó
b) Cho các số a, b, c khác 0 thoả mãn:
Tính giá trị của biểu thức: M 

ab
bc
ca


.
a b b c c a

ab  bc  ca
a2  b2  c2

Câu 4: (5.0 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC. Về phía ngồi của tam giác vẽ các tam giác
vuông cân ABE và ACF vuông ở B và C . Có AH vơng góc với BC ,trên tia
đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC . Chứng minh :
a/ ∆ABI= ∆BEC;
b/ BI = CE và BI vng góc với CE ;
c/ Ba đường thẳng AH,CE,BF cắt nhau tại một điểm.
Câu 5: (2.0 điểm):
Tam giác ABC cân ở B có ABC = 800 . I là một điểm nằm trong tam giác,
biết IAC = 100 và ICA = 300. Tính AIB = ?


Phòng giáo dục và đào P N thi chọn học sinh giỏi CP TRNG
tạo
năm học 2015 - 2016
Môn: Toán 7
đề thi chính thức
Thời gian làm bài: 150 phút (không kĨ thêi gian giao ®Ị)

Câu

Ý
a/ (2
điểm)

Nội dung

b/(2
điểm)

3

3

11 12  1,5  1  0,75
5
5
5
 0,625  0,5 

2,5   1,25
11 12
3
0,375  0,3 

A=

A=

Câu 1
4
điểm

3 3
3
3
3 3

 
 
8 10 11 12  2 3
5 5

5
5
5 5
 


 
8 10 11 12 2 3

a/ (2
điểm

3
4
5
4

=

1
1
1 1
1 1
3 
  
3  
 8 10 11 12    2 3
1
1
1 1

1 1
 5 
   5  
 8 10 11 12 
2 3

=

 3 3
 =
5
5

1
1

4
1

4

0

4B – B = (22 + 24 + 26 + ...+ 2102 )- (1+ 22 + 24 + ...+ 2100 )
2102  1
3

Do đó ta có : B < 2102
a/ Tìm x biết: x  2  3 

0,5
0,5
0,5
0,5

2 x 4 x  1

Nếu x >2 ta có: x - 2 + 2x - 3 = 4x + 1  x = - 6 ( loại)
Nếu

0,5

0,5

Ta có 4B = 22 + 24 + 26 + ...+ 2102

3B = 2102 – 1 => B =

Câu 2
5
điểm

Điểm

0,5

3
 2
 x 2 ta có: 2 - x + 2x - 3 = 4x + 1  x =
(loại)

3
2

0,5

3
4
ta có: 2 - x + 3 - 2x = 4x + 1  x = 7 ( nhận)
2

0,5

Nếu x<

Vậy: x =

4
7

0,5


b/ (2
điểm

b. Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7
Từ: 2x= 3y; 4y = 5z  8x = 12y = 15z
x
y
z 4 x 3 y 5z

4x  3 y  5z 7
    
 12
 1 1
1
1
1
1 = 1 1 1
7
 
8 12 15 2
4
3
2 4 3
12
1 3
1
1 4
 x = 12. = ; y = 12.
= 1; z = 12. 
8 2
12
15 5

Vậy ta tìm được : x =
c/ (1
điểm

3
2

; y = 1; z =

0,5
1
0,5

4
5

c. Tìm x; y  Z biết: xy + 2x – y = 7
Ta có: xy + 2x - y = 7  x(y+2) - (y+2) = 5
 (y+2)(x-1) = 5.1 =1.5 = (-1).(-5) = (-5).(-1)
y+2
5
1
-1
-5
x-1
1
5
-5
-1
x
2
6
-4
0
y
3

-1
-3
-7

0,5
0,5

Vậy ta tìm được các giá trị của:
(x;y) = (2;3), (6;-1), (- 4 ; - 3),(0; - 7)
a/ (2
điểm

Để A lớn

Câu 3
4
điểm

2006
;
x
2006
nhất thì 6  x

0,5

Ta có A = 1+ 6 

phải đạt giá trị lớn nhất,

ta thấy 2006 là số dương nên 6- x > 0 và 6 – x phải đạt giá trị
nhỏ nhất => x= 5 ( vì x  Z)
thì A đạt giá trị lớn nhất là A = 2007
b/ (2
điểm

0,5
0,5
0,5

ab
bc
ca
abc
bca
cab





a b bc ca
(a  b)c (b  c)a (c  a)b

0,5

abc
abc

 ac  bc ab  ac  bc ab  a c

ac  bc ab  ac
Tương tự, chứng minh được: a b c

0,5
0,5
0,5

Thay b = a; c = a được M = 1


I

A

F

E

M

B

Câu 4
5
điểm

a/ (2
điểm

b/ (2

điểm

c/
(1điể
m

H

C

a/ Ta có: IAB = 1800 – BAH = 1800 – ( 900 – ABC)
= 900 + ABC = EBC
∆ABI = ∆BEC ( c – g – c )

0,5
0,5
1

b/∆ABI = ∆BEC ( câu a ) nên BI = EC ( hai cạnh tương ứng )
ECB = BIA hay ECB = BIH .
Gọi giao điểm của CE với AB là M, ta có:
MCB + MBC = BIH + IBH = 900, suy ra BMC = 900 ,
do đó CE  BI . Chứng minh tương tự BF  CI .
c/ Trong tam giác BIC: AH , CE, BF là ba đường cao . Vậy
AH , CE, BF đồng quy tại một điểm

0,5
1
0,5

1

K

Câu 5
2
điểm

B

I
A

C

Tam giác ABC cân ở B, ABC = 800 nên BAC = BCA = 500 .
vì IAC = 200 , ICA = 300 nên IAB = 400 , ICB = 200 .

0,5


Vẽ tam giác đều AKC ( K và B thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AC ) ta có BAK = BCK = 100
∆ABK = ∆CKB (c - g – c ) nên BAK = BCK = 300
∆ABK = ∆AIC (g – c – g ) suy ra AB = AI . Tam giác ABI
cân ở A , AIB = 700 .

Chú ý: Học sinh làm bài theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa./.

0,5

0,5
0,5