Chuyên đề hàm số luyện thi đại học

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ

GV. ĐỖ VĂN THỌ
















2012
Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

2

CHUYÊN ĐỀ: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT MIỀN
- Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số
- Bước 2: Tính đạo hàm
'
y

- Bước 3: Xét dấu
'
y

- Bước 4: Kết luận
Ta cần nhớ:
Với tam thức bậc hai


2
f x ax bx c
  
, với
0
a

có hai nghiệm phân
biệt
1 2
;
x x

 Nếu



f x
vô nghiệm


0
 
hoặc có nghiệm kép


0
 
thì dấu
của


f x
phụ thuộc và hệ số
a

 Nếu


f x
có hai nghiệm phân biệt


0
 

1 2
;
x x
với
0
a

ta có
bảng xét dấu sau:
-
+
+
0
0
f x( )
+∞-∞
x
2
x
1
x

a. Nếu
 
1 2
0
0
0
2
a

x x
af
S
 





 


   








Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

3

b. Nếu
 
1 2
0
0

0
2
a
x x
af
S
 





 


   








c. Nếu
 
 
1 2
0
0

0
a
x x af
af
  




    





 Giả sử


f x
có hai nghiệm phân biệt


0
 

1 2
;
x x
với
0

a

ta có
bảng xét dấu sau:
-
-
+
0
0
f x( )
+∞-∞
x
2
x
1
x

d. Nếu
 
1 2
0
0
0
2
a
x x
af
S
 






 


   








e. Nếu
 
1 2
0
0
0
2
a
x x
af
S
 






 


   








Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

4

Ví dụ 1: Cho hàm số




2
y f x x m x m
   
. Tìm m để hàm số đồng
biến trong khoảng
1 2

x
 

Giải:
Miền xác định:
D R




 
3 2
2
' 3 2
f x x mx m
f x x mx
   
   

Xét
 
1 2
2
' 0 0
3
m
f x x x    
Vì
3 0
a

  
nên ta có bảng xét dấu sau
-
-
+
0
0
f' x( )
+∞-∞
x
2
x
1
x

Hàm số đồng biến trong khoảng






1,2 ' 0, 1,2
f x x   
Hay
   


 
1 2 1 1 2

' 1 0
1,2 , 2
' 2 0
af
x x x x x
af



     





 
 
3
3 2 3 0
3
2
3 4 12 0
3
m
m
m
m
m

  


 
   
 
  






Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số
     
3
2
1 3 4
3
x
y f x a x a x
       
. Xác định a
để hàm số đồng biến trong khoảng


0,3

ĐS:
12
7

a


Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

5

Bài 2: Cho hàm số


3 2
3 6 1
y f x x mx mx
    
. Xác định m để hàm số
nghịch biến trong
1
0;
2
 
 
 
. ĐS:
1
4
m
 

Bài 3: Cho hàm số
 



2
2 1 1
x m x m
y f x
m x
   
 

. Xác định m để hàm
số nghịch biến trong khoảng


2,3

ĐS:
5 3 2 7 4 2
m m
    
Bài 4: Cho hàm số
 


2
2 1 1
x m x m
y f x
x m
   

 
 
. Xác định m để hàm
số nghịch biến trong khoảng


2;

. ĐS:
5 3 2
m
 
Bài 5: Cho hàm số
4 2
8 9
y x mx m
   . Tìm m để hàm số đồng biến trên


2;

. ĐS:
1
m


Bài 6: Tìm m để hàm số
       
3
2 2

2 2 8 1
3
x
y f x m m x m x m
        
luôn nghịch biến
R
x
 
. ĐS:
2
m
 

Bài 7: Cho hàm số
 
2 2
2 3
2
x mx m
y f x
m x
 
 

. Xác định m để hàm số
nghịch biến trong khoảng


1,2

. ĐS:
2 3 4 2 3
m m
    
Bài 8: Cho hàm số
   
3 2
1
2 1 2
3
y f x x mx m x m
      
. Tìm m để
hàm số nghịch biến trong khoảng


2,0
 . ĐS:
1
2
m
 

Bài 9: Cho hàm số


4 2
2
y f x x mx m
   

. Tìm m để hàm số đồng
biến trên




1,0 2,3
  . ĐS:
4 1
m
   

Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

6

Bài 10: Cho hàm số
 
2
1
1
x mx
y f x
x
 
 

. Tìm m để hàm số đồng biến
trên





, 1 1,
   
. ĐS:
x

khi
0
a


Bài 11: Tìm các giá trị của m để hàm số
 
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
    

đồng biến trên khoảng


1,2
. ĐS:
1
5
m



Bài 12: Tìm các giá trị của m để hàm số
   
3 2 2
1
2 1 9 9 2
3
y x m x m m x
      
đồng biến trên khoảng


,1


ĐS:
1
m


Bài 13: Tìm các giá trị của m để hàm số


2
2 1 1
2
x m x
y
x

  


nghịch
biến trên khoảng


0,1
. ĐS:
3
2
m
 

Bài 14: Tìm các giá trị của m để hàm số


2
1 2 1
2
x m x m
y
x m
   


đồng
biến trên khoảng



1;

. ĐS:
1
m



CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÀM SỐ
Bài toán định tham số m để hàm số


f x
có cực trị
Các dạng đặc biệt của hàm số


f x

a.
 
2
' '
ax bx c
y f x
b x c
 
 


Tập xác định
'
\
'
c
D R
b
 
 
 
 

 
2
2
'
' '
Ax Bx C
y
b x c
 



Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

7

 Hàm số có cực đại, cực tiểu
2

0
Ax Bx C
   
có hai nghiệm phân
biệt
0
0
A



 


 Hàm số không có cực trị
2
0
Ax Bx C
   
vộ nghiệm
0
0
A



 


b. Hàm số

3 2
y ax bx cx d
   

Tập xác định
D R


2
' 3 2
y ax bx c
  

 Hàm số có hai cực trị
2
3 2 0
ax bx c
   
có hai nghiệm phân
biệt
 Hàm số không có cực trị
2
3 2 0
ax bx c
   
vô nghiệm
c. Hàm số
4 2
y ax bx c
  

Tập xác định
D R




3 2
' 4 2 2 2
y ax bx x ax b
   

 Hàm số có 3 cực trị
2
2 0
ax b
  
có 2 nghiệm phân biệt khác 0
a

và
b
trái dấu
. 0
a b
 

 Hàm số chỉ có 1 cực trị
0; 0
0; 0

. 0
a b
a b
a b
 


 

 


Phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT:
 Đối với hàm bậc 3:
3 2
y ax bx cx d
   

- Bước 1: Tính
'
y
.
- Bước 2: Thực hiện phép chia
y
cho
'
y
ta được





'.
y y p x q x
 
- Bước 3: Khi đó phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT là


y q x

Ví dụ: Cho hàm số




3 2
2 3 1 6 2 1
y x m x m x
     

a. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu và lập phương
trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của
đồ thị hàm số
Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

8

b. Xác định m để (d) song song với đường thẳng
y kx


, với k
cho trước. Biện luận theo k số giá trị của m
Giải:
a.
Tập xác định: D=R
Đạo hàm:




2
' 6 6 1 6 2
y x m x m
    





2
' 0 6 6 1 6 2 0
y x m x m
      



2
1 2 0
x m x m
     

(1)
Hàm số có CĐ, CT


1
 có hai nghiệm phân biệt






2 2
0 1 4 2 0 3 0 3
m m m m
            
-
Cách 1: “Tìm ra tọa độ hai điểm CĐ, CT”
Tọa độ CĐ, CT là
 


   


2
1;3 2 ; 2 ; 2 5 1
A m B m m m
     

Phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT nhận
AB

làm véctơ chỉ
phương




2 2
: 6 9 3 3 0
d m m x y m m
      

Cách hai: “ chia y cho y’ ”
Tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn:
     
 
' 0 ' 0
'.
y y
y q x
y f x y y p x q x
 
 
  
 
  
 

Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

9





   
   
   
 
 
2
3 2
2
2
2 2
2 2
6 6 1 6 2 0
2 3 1 6 2 1
6 6 1 6 2 0
1 1
6 6 1 6 2
3 6 6
6 9 3 3
6 9 3 3
x m x m
y x m x m x
x m x m

m
y x x m x m
m m x m m
y m m x m m

    


     



    


 
 
        

 
 
 


    

       

Vậy





2 2
: 6 9 3 3 0
d m m x y m m
      

b.
Đường thẳng (d) song song với đường thẳng
y kx

nên
2 2
6 9 6 9 0
k m m m m k
        
(2)
Ta có
' 9 9
k k
     

Vậy số nghiệm của phương trình (2) thỏa mãn điều kiện
3
m


bằng số giá trị của m
- Nếu

0
k

không tồn tại giá trị m
- Nếu
0
k

tồn tại một giá trị m
- Nếu
0
k

tồn tại hai giá trị m
 Đối với hàm
 
2
ax bx c
y f x
dx e
 
 


Toạ độ các điểm CĐ, CT của đồ thị thỏa mãn hệ:
Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

10

 







 
2
2
2
2
0
' 0
ax b dx e d ax bx c
y
dx e
y f x
ax bx c
y
dx e

    







 




 





 
 
2
2
1
2
1
2
ax bx c
ax b
dx e d
y ax b
d
ax bx c
y
dx e

 
 




   

 






Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT là đường thẳng có
dạng
2
ax b
y
d


Ví dụ: Cho hàm số
 
2 2
x mx m
y f x
x m
  
 

. Viết phương trình
đường thẳng đi qua CĐ, CT của hàm số
Giải:



\
D R m

Tọa độ các điểm CĐ, CT thỏa mãn hệ:
 




 
2 2
2
2 2
2
0
' 0
x m x m x mx m
y
x m
y f x
x mx m
y
x m

     





 

 

  







2 2
2 2
2
2
x mx m
x m
x m
y x m
x mx m
y
x m
  

  




    

  






Vậy
2
y x m
  
là đường thẳng đi qua CĐ, CT
Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

11

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
 


. Tìm m để hàm số có cực trị.

ĐS:
1 1
m
  

Bài 2: Định m để hàm số


3 2
3 3 1
y f x x x mx m
     
có CĐ, CT
với hoành độ điểm cực trị đều nhỏ hơn 2. ĐS:
0 1
m
 

Bài 3: Cho hàm số






3 2
2 3 1 6 2 1
y f x x m x m x
      
. Tìm m để

hàm số có CĐ, CT với hoành độ các cực trị ở trong khoảng


2,3
 .
ĐS:
1 4
m
  
và
3
m


Bài 4: Tìm các giá trị của m để hàm số
3 2
1
2
3
y x mx mx
   
có hai cực
trị
1 2
;
x x
thỏa mãn
1 2
4
x x

 

ĐS:
1 4
m m
   

Bài 5: Tìm các giá trị của m để hàm số


4 2
1 2 1
y x m x m
    
có ba
cực trị. ĐS:
1
3
m
m






Bài 6: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
2
3 1
2

mx mx
y
x
 


có đúng
hai cực trị nằm về hai phía trục tung. ĐS:
1
0
6
m
 

Bài 7: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số




3 2
3 1 3 1 1
y x m x m x
     
có hai cực trị, đồng thời đường thẳng
nối hai điểm cực trị đi qua điểm


0, 3
A


. ĐS:
1
m
 
và
3
m


Bài 8: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
3 2
1
3 3
m
y x mx x
   
có
hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với đường thẳng


: 2
y x
  

ĐS:
1
m

và
2

m
 

Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

12

Bài 9: Tìm các giá trị của m để hàm số
3 2
1
3
y x x mx m
   
có CĐ, CT
đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng
2 15
. ĐS:
2
m
 

Bài 10: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
2
3
1
x mx
y
x
 



có hai cực
trị cách đều đường thẳng


: 2 0
x y
   
. ĐS:
2
m
 


* Khảo sát hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d
   

- Bước 1:
 Tập xác định
D R


 Đạo hàm:
2
' 3 2
y ax bx c
  


2
' 0 3 2 0
y ax bx c
    
(1)
- Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu

(1) có hai nghiệm phân biệt
0
' 0
a




 


Và hai nghiệm
1 2
;
x x
thỏa mãn
1 2
1 2
.
x x S
x x P
 






- Bước 3: Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ được:
   




   
1 1 1
2 2 2
'.
y y x h x
y y g x h x
y y x h x

 

  

 



Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:



1 1
;
A x y
và


2 2
;
B x y

* Khảo sát hàm bậc bốn tổng quát
4 3 2
y ax bx cx dx e
    

- Bước 1:
 Tập xác định
D R


Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

13


3 2
' 4 3 2
y ax bx cx d
   
(1)

- Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu


1
 có ba nghiệm
phân biệt thỏa mãn định lý Viet
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
3
4
2
. . .
4
. .
4
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x
a

   




  



 



Nếu phân tích được




2
1
'
y x x Ax Bx C
   
, ta có:
2 3
2 3
/
. /
x x B A
x x C A
  





- Bước 3: Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được:




'.
y y g x h x
 
Do đó:




1 1 1
y y x h x
  và




2 2 2
y y x h x
  và




3 3 3
y y x h x

 
Vậy tọa độ các điểm cực trị của hàm số là:






1 1 2 2 3 3
; ; ; ; ;
A x y B x y C x y

* Đồ thị hàm số


y f x
 :
Đồ thị hàm số


y f x
 gồm 2 phần:
- Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị


y f x

- Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của



y f x
 qua
trục hoành
* Đồ thị hàm số


y f x

Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

14

Đồ thị hàm số


y f x
 gồm 2 phần:
- Phần bên phải Oy của đồ thị


y f x

- Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy
* Đồ thị hàm số


 
f x
y
g x


- Lấy các phần của đồ thị


 
f x
y
g x
 tưng ứng với x sao cho


0
g x


- Lấy đối xứng qua trục Ox của các phần của đồ thị hàm số


 
f x
y
g x
 tương ứng với x sao cho


0
g x


* Đồ thị hàm số



 
f x
y
g x

- Lấy các phần của đồ thị


 
f x
y
g x
 tưng ứng với x sao cho


0
f x


- Lấy đối xứng qua trục Ox của các phần của đồ thị hàm số


 
f x
y
g x
 tương ứng với x sao cho



0
f x


* Đồ thị hàm số




y f x g x
 
Đồ thị gồm 2 phần:
- Phần đồ thị (C):




y f x g x
  tương ứng với x sao cho


0
g x


Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

15

- Phần đồ thị (C):




y f x g x
  tương ứng với x sao cho


0
g x


* Bài toán: “Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập
thành cấp số cộng”
Cách 1:
- Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
hàm số với trục hoành là
3 2
0
ax bx cx d
   
(1)
- Bước 2: Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành cấp số cộng thì phương trình (1) có ba
nghiệm sau:
0 0 0
; ;x x x
 

 

Khi đó,






   
 
 
3 2
0 0 0
2
2
0 0
3 2 2 2 3 2
0 0 0 0
0
0
2 2
0
3 2
0 0
.
3 . 3
3
3

ax bx cx d a x x x x x x
x x x x
ax ax x a x x ax a x
b ax
x
c a x
d ax a x
 

 
 

   
        
   
 
   
 
     

 


 
   
 
 

  




Cách 2: Sử dụng định lý Viet
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm
số với Ox
3 2
0
ax bx cx d
   
(1)
- Bước 2:
Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

16

 Giả sử phương trình có 3 nghiệm


1 2 3 1 2 3
; ;
x x x x x x
  . Khi
đó
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
b
x x x
a
c

x x x x x x
a
d
x x x
a

   



  



 



 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt với hoành độ lập thành
cấp số cộng thì:
1 3 2 2 2
2 3
3
b b
x x x x x
a a
       

Với
2

3
b
x
a
 
thay vào (1)

tham số m
- Bước 3: Thử lại giá trị m
* Sự tiếp xúc của hai đồ thị:
Cách 1:
Hai đồ thị hàm số


y f x
 và


y g x
 tiếp xúc nhau khi và chỉ
khi hệ phương trình sau có nghiệm




   
' '
f x g x
f x g x









Khi đó nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm
Cách 2: Phương pháp đại số
- Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ
thị:




f x g x
 (1)
Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

17

- Bước 2:


1
C
và


2

C
tiếp xúc nhau


1
 có nghiệm bội bậc
chẵn
*Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số


y f x
 tại điểm
Nếu đề bài cho các dữ kiện sau:
1. Phương trình tiếp tuyến tại


0
0
;
M x y
trên đồ thị
- Tính


' '
y f x
 rồi tính


0

'
f x

- Viết PTTT:




0 0 0
'
y y f x x x
  
2. PTTT tại điểm có hoành độ
0
x
trên đồ thị (biết trước hoành
độ
0
x
của tiếp điểm )
- Tính




0
' ' '
y f x f x
 
- Tính tung độ



0 0
y f x
 bằng cách thay
0
x
vào phương trình


y f x

- Viết PTTT




0 0 0
'
y y f x x x
  
3. Viết PTTT tại điểm có tung độ
0
y
(biết trước tung độ
0
y
của
tiếp điểm)
- Tính hoành độ

0
x
bằng cách thay
0
x
vào phương trình


0
f x y


- Tính


' '
y f x
 . Rồi tính


0
'
f x

- Sau khi tìm được
0 0
;
x y
. PTTT có dạng





0 0 0
'
y y f x x x
  
4. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung Oy (nghĩa là
0
0
x

)
- Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục Oy bằng cách cho
0
0
x

và tính
0
y

Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

18

- Tính


' '

y f x
 . Rồi tính




0
' ' 0
f x f
- Viết PTTT:




0
' 0 0
y y f x
  

5. Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox (nghĩa là
0
0
y

)
- Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục Ox bằng cách cho
0
0
y


và tính
0
x

- Tính




0
' ' '
y f x f x
  tại các giá trị
0
x
vừa tìm được
- Viết PTTT:




0 0
0 '
y f x x y
  
6. Góc hợp bởi hai đường thẳng hợp bởi hai đường thẳng
1 2
;
d d
có hệ số góc

1 2
;
k k


 
1 2
1 2
1 2
tan ;
1 .
k k
d d
k k




*Bài toán 2:
Viết PTTT của đồ thị hàm số


y f x

1. Tiếp tuyến song song với đường thẳng
ax
y b
 

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng

ax
y b
 
nên có hệ số
góc là
k a


- Khi đó


0
'
f x k


- Tính


0
'
f x
. Rồi tính


0 0 0
'
f x k x y
  
- PTTT:



0 0
y y a x x
  
2. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
ax
y b
 

- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
ax
y b
 
nên hệ số
góc tiếp tuyến là
1
. 1k a k
a
    

Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

19

- Khi đó
 
0
1
'f x k

a
  

- Tính


0
'
f x
. Rồi tính
 
0 0 0
1
'
f x x y
a
   
- PTTT:
 
0 0
1
y y x x
a
   
*Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm một điểm


;
A A
A x y

cho trước đến đồ thị
Cách 1:
- Bước 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là
0
x x

, khi đó PTTT có
dạng:
(d):






0 0 0
'
y f x x x f x
  
- Bước 2: Điểm











0 0 0
; '
A A A
A x y d y f x x x f x
    

0
x


0
y

tiếp tuyến
Cách 2:
- Bước 1: Phương trình (d) đi qua


;
A A
A x y
có dạng
(d):


A A
y k x x y
  

- Bước 2: (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm







 
'
A A
f x k x x f x
k
f x k

  

 




tiếp tuyến
* Bài toán 4: Tìm điểm để từ đó kẻ được K tiếp tuyến tới đồ thị
- Bước 1: Giả sử


0 0
;
A x y
. Phương trình đường thẳng đi qua



0 0
;
A x y
với hệ số góc k có dạng




:
A A
d y k x x y
  

Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

20

- Bước 2: Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có
nghiệm






   
1
' 2
A A

f x k x x y
f x k

  






Thay (2) vào (1) ta được:






'
A A
f x f x x x y
  
(3)
- Bước 3: Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ
được từ A tới đồ thị (C)
* Một số tính chất cần lưu ý:
1. Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng (d)



  






. 0
trung ®iÓm I cña AB thuéc (d)
d
AB d AB u
 

2. Hai điểm nằm về hai phía hoặc một phía đối với một đường
thẳng
Cho đường thẳng (d)
0
ax by c
  
và hai điểm




; ; ;
A A B B
A x y B x y

- Hai điểm A và B ở hai phía đối với (d):





0
A A B B
ax bx c ax bx c
     

- - Hai điểm A và B cùng phía đối với (d):





0
A A B B
ax bx c ax bx c
     

3. Hai điểm nằm về hai phía trục tung
1 2
. 0
x x
 

4. Hai điểm nằm về hai phía trục hoành
1 2
. 0
y y
 

5. Hai điểm M, N cách đều đường thẳng (d) cho trước:









, ,
d M d d N d
 
6.So sánh nghiệm của f(x)với số 0
 Nếu
1 2
0 0
P x x
   

Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

21

 Nếu
1 2
0, 0, 0 0
P S x x
      

 Nếu
1 2

0, 0, 0 0
P S x x
      

7. Hai đồ thị (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm sau cho
Cho (C)
 
2
' '
ax bx c
y f x
b x c
 
 

và (C’):


;
y g x m
 là một
đường thẳng
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’):




; ;
f x m g x m
 (1). Tiệm cận đứng của (C) là đường thẳng

'
'
c
x
b

  

- (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm thuộc một nhánh của (C)


1 2
1 2 1 2
1 cã hai nghiÖm ph©n biÖt ;
hoÆc
x x
x x x x
 




   



- (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau
của (C):



1 2
1 2
1 hai nghiÖm ph©n biÖt x ;
cã x
x x





 




BÀI TẬP
Bài 1: Cho hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
   . Xác định m để các
điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng
y x


ĐS:
1
2
m  
Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

22

Bài 2: Cho hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m
    
. Chứng minh rằng
với mọi m hàm số đã cho luôn có CĐ, CT. Hãy xác định m sao
cho khoảng cách giữa các điểm CĐ, CT là nhỏ nhất
ĐS:
0
m


Bài 3: Cho hàm số




3 2
2 3 2 1 6 1 1
y x m x m m x
     
. Với
giá trị nào của m thì hàm số có hai cực trị đối xứng nhau qua
đường thẳng

2
y x
 

ĐS:
1 17
1,
4
m m
 
  
Bài 4: Cho hàm số
3 2 2
3
y x x m x m
   
. Xác định m để điểm
CĐ, CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng
2 5
x y
 

Bài 5: Cho hàm số
4 2 4
2 2
y x mx m m
   
. Xác định m để hàm
số có các CĐ, CT lập thành một tam giác đều
ĐS:

3
3
m


Bài 6: Cho hàm số


2 2
1 4 2
1
x m x m m
y
x
    



a. Xác định m để hàm số có cực trị
b. Tìm m để tích các giá trị CĐ, CT đạt giá trị nhỏ nhất
ĐS: a.
1 2
m
 
b.
7
5
m


Bài 7: Cho hàm số


2 2 3
1 4
mx m x m m
y
x m
   


. Xác định m để
hàm số có một cực trị thuộc góc phần tư thứ (II), một điểm cực trị
thuộc góc phần tư thứ (IV)
Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

23

ĐS:
1
5
m  
Bài 8: Cho hàm số
2
8
1
x mx m
y
x
  



. Xác định m để điểm CĐ,
CT của đồ thị hàm số nằm về hai phía đường thẳng
9 7 1 0
x y
  

Bài 9: (ĐHAN - 1997)
Cho
3 2
2
x
y
x



(C). Viết PTTT của (C) có hệ số góc bằng 4.
Tìm tọa độ tiếp điểm
ĐS:
4 3
y x
 
và
4 19
y x
 

Bài 10: (Khối D - 2010):

Cho (C)
4 2
6
y x x
   
. Viết PTTT của (C), biết tiếp tuyến này
vuông góc với đường thẳng
1
1
6
y x
 

ĐS:
6 10
y x
  

Bài 11: (ĐHNTHCM)
Cho (C):
3 2
3 9 5
y x x x
   
. Viết PTTT của (C) sao cho nó có
hệ số góc nhỏ nhất
ĐS:
12 4
y x
  

Bài 12: (Khối D - 2007)
Cho (C)
2
1
x
y
x


. Tìm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại
M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
1
4
OAB
S


ĐS:
 
1 2
1
1;1 ; ; 2
2
M M
 
 
 
 

Bài 13: (Khối A - 2009)
Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

24

Cho (C)
2
2 3
x
y
x



. Viết PTTT (d) của (C), biết (d) cắt Ox ở A,
cắt Oy ở B sao cho
OAB

tại tại O
ĐS:
2
y x
  

Bài 14: (ĐHQG - Khối A - 1988)
Cho (C)
1
1
x
y

x



. Tìm A thuộc Oy mà từ đó kẻ được đúng một
tiếp tuyến đến (C)
ĐS:


0; 1
A


Bài 15: Cho (C):
3
1
x
y
x



. Tìm M trên (C) để tiếp tuyến tại M
song song với (d):
2
y x
 

ĐS:



3;3
M 
Bài 16: Cho (C)
3 2
3 2
y x x
   
. Viết PTTT của (C) sao cho
nó có hệ số góc lớn nhất
ĐS:
3 3
y x
 

Bài 17: Tìm m để
 
3 2 2
1
1 1
3
y x mx m m x
     
đạt cực
đại tại
1
x


ĐS:

2
m


HD:
 Điều kiện cần: Giả sử y có CĐ tại


1 ' 1 0 1; 2
x y m m
     

 Điều kiện đủ:






'' 2 '' 1 2 1
y x m y m
    

Khi


2
1 1 0
m x
    

y không có cực trị
1
m
 
loại
Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ

25

Khi


2 '' 1 2 0 1
m y x
      
là điểm CĐ
2
m
 

thỏa mãn
Bài 18: Cho
3 2 2
2 9 12 1
y x mx m x
   
. Tìm m để y có CĐ,
CT thỏa mãn
2
CD CT

x x

ĐS:
2
m
 

Bài 19: (ĐHNT - 1998)
Cho (C) là đồ thị hàm số


3 2 2 3
3 3 1 3
y x mx m x m m
     
. Chứng minh (C) có các
điểm cực trị với mọi m và khoảng cách giữa chúng không đổi
ĐS:
2 5
AB


Bài 20: (Khối B - 2007) Cho (C)


3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
      
. Tìm m để (C) có điểm

CĐ, CT và các điểm cực trị của (C) cách đều gốc tọa độ
ĐS:
1
2
m
 

Bài 21: (ĐHMB - 1986) Cho hàm số






3 2 2 2
2 1 4 1 2 1
y x m x m m x m
       
. Tìm m để y
có cực trị tại
1 2
;
x x
thỏa mãn
 
1 2
2
1
1 1 1
2

x x
x
x
  
ĐS:
1; 5
m m
 

Bài 22: (Khối B - 2002) Tìm m để


4 2 2
9 10
y mx m x
   

có 3 cực trị
ĐS:
3
0 3
m
m
 


 


Bài 23: Cho (C)

4 2
2 2
y x x m
   