Public giữa kì đại số tuyến tính k16 21 22

Training
Đại số tuyến tính
BHT Đồn khoa MMT&TT – Training giữa kì I K16

PHAN HUY VŨ - ATTN2021

LƯU THỊ HUỲNH NHƯ - ATTT2021
PHẠM NGUYỄN HẢI ANH - ATTT2021

LÊ XUÂN HOÀNG - ATCL2021


MA TRẬN VÀ HPTTT
ĐỊNH THỨC

KHÔNG GIAN VEC TƠ

2


1. Khái niệm ma trận
Định nghĩa:
Ma trận cỡ m × n trên ℝ là một bảng gồm m.n số thực được viết
thành m hàng và n cột như sau:

hoặc

với aij

ℝ là phần tử nằm ở hàng i cột j của ma trận A.

3


1. Khái niệm ma trận
Ta gọi:
là dòng thứ i của ma trận A.

là cột thứ j của ma trận A.

Kí hiệu: A = [aij]mxn
Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m × n trên ℝ được ký hiệu là
Mmxn(ℝ)
4


1. Khái niệm ma trận
• Ví dụ:

5


1. Khái niệm ma trận
Ma trận có số dịng = số cột = n gọi là ma trận vuông cấp n.
Mn (ℝ): Tập hợp tất cả ma trận vuông cấp n với hệ số thực.
Mn (Z): Tập hợp tất cả ma trận vuông cấp n với hệ số nguyên.
a11 a22 … ann là đường chéo chính

6

1. Khái niệm ma trận
- Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo chính của A đều bằng 0 (nghĩa
là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên.
- Nếu các phần tử nằm trên đường chéo chính của A đều bằng 0 (nghĩa là
aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới.
- Nếu các phần tử nằm ngồi đường chéo chính đều bằng 0 (nghĩa là, aij
= 0, ∀i ≠ j) thì A 2 được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu: diag(a11, a22,
..., ann).

7


1. Khái niệm ma trận
- Ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính là 1 được gọi là ma
trận đơn vị.
- Ký hiện I (Hoặc ký hiệu là In trong trường hợp cần thể hiện rõ là ma trận
đơn vị cấp n)
- Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng
khơng. Ma trận không thường được ký hiệu là θ.

8


1. Khái niệm ma trận
- Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT, là ma trận cấp n×m, có được bằng
cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng.
- Ví dụ:

- Nếu AT = A thì ma trận A là ma trận đối xứng.
- Nếu AT = −A thì ma trận A là ma trận phản xứng.

9


1. Khái niệm ma trận
- Ma trận bậc thang là ma trận có các tính chất:
+ Các hàng bằng 0 (nếu có) nằm dưới các hàng khác 0.
+ Dưới phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ bên trái) của mỗi dịng
khác 0 là các phần tử 0.

- Ví dụ:

10


2. Các phép toán trên ma trận
2.1. Phép cộng 2 ma trận

 aij  + bij  =  aij + bij 
m n
m n
m n
(cộng theo từng vị trí tương ứng)

Ví dụ:

Tính chất:
Tính giao hốn:
Tính kết hợp:

A+B = B+A
A+(B+C)=(A+B)+C
11


2. Các phép toán trên ma trận
2.2. Nhân ma trận với một số

  aij  mn = .aij  mn ,  
(nhân từng phần tử của ma trận với )
Ví dụ:

Tính chất
1.A = A
0.A = θ
α(A + B) = αA + αB

(α+β)A= αA+ βA
α(βA) = (αβ)A

12


2. Các phép toán trên ma trận
2.3. Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận A= [aij]m×p và B = [bij]p×n . Khi đó tích của hai ma trận A, B
là ma trận C = [cij]m×n được định nghĩa bởi:
cij= ai1 b1j + ai2b2j + ... + aipbpj
Như vậy cij= hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j của

ma trận B rồi cộng lại.

13


2. Các phép tốn trên ma trận
Ví dụ:

14


2. Các phép toán trên ma trận
2.4. Lũy thừa ma trận
Lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn(R), ký hiệu Ak, được xác
định như sau:

=>

15


2. Các phép tốn trên ma trận
Ví dụ:

16


3. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Các phép biến đổi sơ cấp trên dịng (PBĐSCTĐ) gồm:
Loại 1: Hốn vị hai dòng i và j

Ký hiệu: di ↔ dj
Loại 2: Nhân dòng i với một số α khác 0.
Ký hiệu: αdi
Loại 3: Cộng vào dòng i một lượng β lần dòng j
Ký hiệu: di + βdj

17


4. Hạng của ma trận
Một ma trận A có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang
của A đều có số dịng khác khơng bằng nhau. Ta gọi, số dịng khác
khơng này là hạng của A, ký hiệu r(A).
Ví dụ:

r(A)=2

r(B)=1

r(C)=3
18


4. Hạng của ma trận
Tính chất:
Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó:
1. 0 ≤ r(A) ≤ min{m,n}.
2. r(A) = 0 ⇔ A = θ.
3. Nếu A ∼ B (A dùng các PBĐSCTD ra B) thì r(A) = r(B).
4. r(AT ) = r(A).

19


4. Hạng của ma trận
Vận dụng PBDSCTD để xác định hạng của ma trận

20


5. Hệ phương trình tuyến tính
Một hệ phương trình tuyến tính trên R gồm m phương trình, n ẩn số là một
hệ phương trình có dạng:

Trong đó:
- aij ∈ R: các hệ số.
- bi ∈ R: các hệ số tự do.
- x1, x2, ..., xn: các ẩn số nhận giá trị trong R.
Nếu các hệ số tự do bằng 0 thì ta nói, hệ phương trình trên là hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất trên R.
21


5. Hệ phương trình tuyến tính
Với:

Ta gọi, A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn (các biến), B là cột các hệ số tự
do của hệ phương trình. Khi đó, hệ đã cho có dạng
AX = B
Ta gọi à là ma trận mở rộng

(ma trận bổ sung) của hệ
phương trình.
22


5. Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình

23


5. Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ:

24


5. Hệ phương trình tuyến tính
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:
- Một nghiệm của HPT tuyến tính là một bộ
sao cho khi
thay
thì tất cả các phương trình trong hệ
đều thỏa.
- Bài tốn tìm nghiệm của HPT tuyến tính được gọi là bài tốn giải HPT
tuyến tính.
- Hai HPT tuyến tính (có cùng số ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng
có cùng tập nghiệm.
- Khi giải HPT tuyến tính, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để
đưa về HPT tương đương.

25