Public giữa kì đại số tuyến tính k16 21 22

Training
Đại số tuyến tính
BHT Đồn khoa MMT&TT – Training giữa kì I K16

Trainer PHAN HUY VŨ - ATTN2021
s:
LƯU THỊ HUỲNH NHƯ - ATTT2021
PHẠM NGUYỄN HẢI ANH ATTT2021
LÊ XUÂN HOÀNG - ATCL2021


MA TRẬN VÀ HPTTT
ĐỊNH THỨC
KHÔNG GIAN VEC TƠ

2


1. Khái niệm ma trận
Định nghĩa:
Ma trận cỡ m × n trên ℝ là một bảng gồm m.n số thực được
viết thành m hàng và n cột như sau:

hoặc

với aij

ℝ là phần tử nằm ở hàng i cột j của ma trận A.

3

1. Khái niệm ma trận
Ta gọi:
là dòng thứ i của ma trận A.

là cột thứ j của ma trận A.

Kí hiệu: A = [aij]mxn
Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m × n trên ℝ được ký hiệu
là Mmxn(ℝ)
4


1. Khái niệm ma trận
• Ví dụ:

5


1. Khái niệm ma trận
Ma trận có số dịng = số cột = n gọi là ma trận vuông cấp n.
Mn (ℝ): Tập hợp tất cả ma trận vuông cấp n với hệ số thực.
Mn (Z): Tập hợp tất cả ma trận vuông cấp n với hệ số nguyên.
a11 a22 … ann là đường chéo chính

6


1. Khái niệm ma trận
- Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo chính của A đều bằng 0

(nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên.
- Nếu các phần tử nằm trên đường chéo chính của A đều bằng 0
(nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới.
- Nếu các phần tử nằm ngồi đường chéo chính đều bằng 0
(nghĩa là, aij = 0, ∀i ≠ j) thì A 2 được gọi là ma trận đường
chéo, ký hiệu: diag(a11, a22, ..., ann).

7


1. Khái niệm ma trận
- Ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính là 1 được
gọi là ma trận đơn vị.
- Ký hiện I (Hoặc ký hiệu là In trong trường hợp cần thể hiện rõ là
ma trận đơn vị cấp n)
- Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng
khơng. Ma trận không thường được ký hiệu là θ.

8


1. Khái niệm ma trận
- Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT, là ma trận cấp n×m, có
được bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng.
- Ví dụ:

- Nếu AT = A thì ma trận A là ma trận đối xứng.
- Nếu AT = −A thì ma trận A là ma trận phản xứng.

9

1. Khái niệm ma trận
- Ma trận bậc thang là ma trận có các tính chất:
+ Các hàng bằng 0 (nếu có) nằm dưới các hàng khác 0.
+ Dưới phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ bên trái) của mỗi
dịng khác 0 là các phần tử 0.
- Ví dụ:

10


2. Các phép toán trên ma trận
2.1. Phép cộng 2 ma trận

 aij 
  bij 
 aij  bij 
m n
mn
mn
(cộng theo từng vị trí tương ứng)

Ví dụ:

Tính chất:
Tính giao hốn: A+B = B+A
Tính kết hợp: A+(B+C)=(A+B)+C
11

2. Các phép toán trên ma trận
2.2. Nhân ma trận với một số

  aij  mn  .aij  mn ,   R.
(nhân từng phần tử của ma trận với )
Ví dụ:

Tính chất
1.A = A
(α+β)A= αA+ βA )A= αA+ β)A= αA+ βA A
0.A = θ
α(β)A= αA+ βA A) = (αβ)A= αA+ βA )A
α(A + B) = αA + αB
12


2. Các phép toán trên ma trận
2.3. Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A= [aij]m×p và B = [bij]p×n . Khi đó tích của hai ma
trận A, B là ma trận C = [cij]m×n được định nghĩa bởi:
cij= ai1 b1j + ai2b2j + ... + aipbpj
Như vậy cij= hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng với cột
thứ j của ma trận B rồi cộng lại.

13


2. Các phép tốn trên ma trận
Ví dụ:

14


2. Các phép toán trên ma trận
2.4. Lũy thừa ma trận
Lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn(R), ký hiệu Ak,
được xác định như sau:

=>

15


2. Các phép tốn trên ma trận
Ví dụ:

16


3. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Các phép biến đổi sơ cấp trên dịng (PBĐSCTĐ) gồm:
Loại 1: Hốn vị hai dòng i và j
Ký hiệu: di ↔ dj
Loại 2: Nhân dòng i với một số α khác 0.
Ký hiệu: αdi
Loại 3: Cộng vào dòng i một lượng β)A= αA+ βA lần dòng j
Ký hiệu: di + β)A= αA+ βA dj

17

4. Hạng của ma trận
Một ma trận A có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc
thang của A đều có số dịng khác khơng bằng nhau. Ta gọi, số
dịng khác khơng này là hạng của A, ký hiệu r(A).
Ví dụ:

r(A)=2

r(B)=1

r(C)=3
18


4. Hạng của ma trận
Tính chất:
Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó:
1.
2.
3.
4.

0 ≤ r(A) ≤ min{m,n}.
r(A) = 0 ⇔ A = θ.
Nếu A ∼ B (A dùng các PBĐSCTD ra B) thì r(A) = r(B).
r(AT ) = r(A).

19

4. Hạng của ma trận
Vận dụng PBDSCTD để xác định hạng của ma trận

20