Tiểu luận môn toán ứng dụng Tìm hiểu về tỉ lệ vàng và ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực đời sống

TIỂU LUẬN
TÌM HIỂU VỀ TỈ LỆ VÀNG

1


Mục lục
Khái niệm tỉ lệ vàng
Tỉ lệ vàng trên cơ thể người
Ứng dụng của tỉ lệ vàng trong đời sống
Hình học Fractal
Ứng dụng của tỉ lệ vàng vào các lĩnh vực nghệ thuật

3
6
16
32
60

1. Khái niệm tỉ lệ vàng

2


Hai phát hiện vĩ đại nhất của hình học, một là định lý Pytago (Pythagoras) và hai là tỷ lệ vàng.
Một thứ có thể so sánh là quý như vàng, cịn thứ kia có giá trị như một viên ngọc quý – Kepler.
Xét các đoạn thẳng sau, đoạn thẳng dài là a, đoạn thẳng ngắn là b, tổng hai đoạn thẳng là a+b.
Khi các số này thỏa mãn điều kiện (a+b)/a = a/b thì lúc đó tỷ lệ a/b được gọi là tỷ lệ vàng. Bằng
cách giải phương trình điều kiện trên tìm được tỷ lệ đó là con số 1,61803398875; (gần bằng
1,62) người ta ký hiệu nó là φ (phi).

Vậy tỷ lệ vàng φ là tỷ lệ kích thước dài / kích thước ngắn bằng 1.62
Trong tốn học và nghệ thuật, hai đại lượng được gọi là có tỷ số vàng hay tỷ lệ vàng nếu tỷ số
giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn với đại
lượng nhỏ hơn.
Tỷ lệ vàng thường được ký hiệu bằng ký tự φ (phi) trong bảng chữ cái Hi Lạp nhằm tưởng nhớ
đến Phidias, nhà điêu khắc đã xây dựng nên đền parthenon.
Vậy ta có:

Nguồn gốc tỉ lệ vàng:

3


Người ta chưa biết tỉ lệ vàng có từ bao giờ. Trước đây, người ta vẫn cho rằng một người La Mã là
Vitruvius sống cách đây gần 2100 năm đã phát minh ra tỉ lệ vàng. Gần đây các nhà khảo cổ học
tìm thấy các di bút viết về tỉ lệ vàng trong các kim tự tháp ở Ai Cập. Điều đó chứng tỏ tỉ lệ vàng
xuất hiện rất sớm (cách đây khoảng hàng nghìn năm). Một số nguồn thơng tin khác lại cho rằng
theo truyền thuyết, vào thể kỷ thứ 5 TCN, một nhà toán học Hy Lạp cổ đại tên là Hippasus đã
khám phá ra tỷ lệ vàng.
Tuy nhiên, thời đó chưa một ai hiểu được sức mạnh của tỷ lệ này trong vũ trụ.

Theo nhà vật lý học thiên thể Mario Livio thì:
Một vài bộ óc tốn học vĩ đại nhất mọi thời đại, từ Pytago và Ơ-cơ-lít (Hy Lạp cổ đại), Leonardo
of Pisa (Fibonacci), nhà thiên văn học nổi tiếng thời Phục Hưng Johannes Kepler cho tới các nhà
khoa học thời hiện đại như nhà vật lý Roger Penrose tại Oxford đều dành rất nhiều thời gian để
nghiên cứu về tỷ lệ đơn giản này và các thuộc tính của nó. Sự hấp dẫn của tỷ lệ vàng khơng chỉ
đối với các nhà tốn học mà các nhà sinh học, nghệ sĩ, nhà soạn nhạc, nhà lịch sử, kiến trúc sư,
nhà tâm lý học hay thậm chí là những người thần bí cũng bị tỷ lệ này làm cho mê
đắm. Thực tế, cơng bằng mà nói không giống như bất kỳ con số nào khác trong lịch sử toán học,
tỷ lệ vàng đã truyền cảm hứng cho những nhà tư tưởng thiết lập ra tất cả các quy tắc trên thế giới.

4


Tỉ lệ vàng giúp bố cục có thể dẫn dụ cái nhìn đến các chi tiết quan trọng của tấm hình. Dùng Tỉ lệ
vàng, bạn chia bức hình thành 3 phần khơng bằng nhau, sau đó dùng các đường thẳng và các
điểm giao nhau để chia bố cục.
Tỉ lệ là 1:0.618:1 – để chiều ngang của cột dọc thứ nhất và thứ ba là 1, chiều ngang cột ở giữa là
0.618. Tương tự với các hàng ngang: chiều cao của cột ngang thứ nhất và thứ ba là 1 và cột
ngang ở giữa là 0.618. Giờ dùng các đường và các điểm giao nhau để dẫn dắt hướng nhìn và sự
chú ý của người xem. Điều này còn tạo sức hút và thêm vào sự thú vị cùng năng lượng cho bố
cục.

Một cách khác đơn giản hơn để cắt hình theo Tỉ lệ vàng là dùng Luật 1/3. Nó khơng chính xác
như Tỉ lệ vàng như cũng cho bạn một kết quả tương đối. Với luật này, đặt tất cả đoạn dọc và
ngang theo tỉ lệ 1:1:1 để các khoảng bằng nhau. Sắp xếp các chi tiết quan trọng của hình xung
quanh hình chữ nhật trung tâm.

2. Tỉ lệ vàng trên cơ thể người
2.1. Tỉ lệ vàng ở khuôn mặt người

5


Tỉ lệ vàng khuôn mặt đẹp của nữ
Ai cũng biết rằng, một khuôn mặt đẹp bao giờ cũng sẽ được ưu ái hơn so với những người có
khn mặt bình thường khác. Tuy nhiên, ít ai biết được rằng tỉ lệ vàng khuôn mặt đạt chuẩn là
như thế nào? Chúng ta sẽ cùng sét từng tỉ lệ khuôn mặt theo các bộ phận riêng rẽ:
- Đôi môi – khuôn miệng: Môi trên không được quá dày hay quá mỏng. Chuẩn độ dày của mơi
trên trung bình là khoảng 8,2mm cịn môi dưới là 9,1mm. Khoảng cách giữa 2 môi trên dưới là 9

– 11mm.
- Mũi: Một chiếc mũi cần có độ cong tự nhiên, không quá thẳng cũng không được có đường gấp.
Phần chóp mũi trịn, cánh múi thon gọn, lỗ mũi kín nhỏ. Chiều dài mũi = 1/3 chiều dài khuôn
mặt, sống mũi cao khoảng 9-11mm. Độ cao của chóp mũi = 1/2 chiều dài mũi và chóp mũi.
- Mắt: Tỉ lệ chuẩn giữa mắt và mặt là 2 – 2 ,5 và chiều dài là 3cm và rộng khoảng 1cm. Khoảng
cách giữa 2 đơi mặt = chính chiều dài của mắt sẽ tạo ra sự cân đối hài hòa nhất.

Các nhà thẩm mỹ học cũng nhận định rõ ràng rằng: Để đánh giá một gương mặt đẹp là như thế
nào thì cần phải bỏ qua những yếu tố về da và tóc bởi đây là hai bộ phận này có thể thay đổi
thơng qua q trình trang điểm, tạo kiểu thường xuyên.

6


Xét một khuôn mặt đẹp chỉ nên xét đến những yếu tố tỉ lệ và kích thước. Đây là những yếu tố
chung để xét một khuôn mặt đẹp là như thế nào. Tuy nhiên, khi xét khuôn mặt đẹp trai là như thế
nao, khuôn mặt xinh gái là như thế nào thì lại dựa vào những tiêu chuẩn khác nhau để đánh giá.
Tỉ lệ vàng khuôn mặt nam
Một khuôn mặt đẹp trai là như thế nào cũng là một trong những điều khiến nhiều người chú ý.
Quan điểm vẻ đẹp khuôn mặt của người phương Tây khác nhiều so với người phương Đơng.
Theo đó tỉ lệ vàng khn mặt nam được đánh giá qua các tiêu chí sau :

Tỉ lệ khuôn mặt đẹp của nam như thế nào?
-Đàn ông phương Tây có quai hàm rõ ràng được đánh giá là nam tính, mạnh mẽ. Đàn ơng
phương Đơng có gương mặt thư sinh, nhẹ nhàng mới dễ dàng gây được sự chú ý.
-Ngũ quan cân đối, tương xứng 2 bên.
-Hàm không quá thô.
-Tướng mũi cao, thẳng, mũi Rồng, đẹp.
-Mày rậm, nhân trung rõ ràng.

7


Thế nào là khuôn mặt đẹp trai?
Một gương mặt đẹp của con trai thường dễ dàng để đánh giá xếp loại hơn phái nữ. Điều quan
trọng nhất là khuôn mặt tốt lên được vẻ nam tính cũng như mạnh mẽ của một người con trai.
Một số chỉ số đánh giá khác :
- Chiều dài 2 mắt bằng nhau và = khoảng cách giữa 2 đuôi mắt trong và = khoảng cách giữa 2
cánh mũi
- Khoảng cách đường thẳng nối 2 đỉnh chân mày tới đường thẳng nối điểm giữa của 2 trịng mắt
đen chính bằng 3 đường nối 2 điểm cuối của cánh mũi tới đỉnh môi trên.
- Đỉnh trán tới đỉnh chân máy và đỉnh chân mày tới điểm cuổi của đầu mũi có tỉ lệ chuẩn là 1,8 –
2.

8


- Đoạn dài nối từ 2 điểm của tròng mắt đen = khoảng cách giữa 2 điểm cuối của khóe miệng.
link : />2.2. Tỉ lệ vàng của một hàm răng đẹp
Trước hết, hàm răng đẹp phải có màu sắc trắng, sáng, đều màu. Tồn khn răng đều đặn với
nhau, tạo thành vịm khum hình cung chuẩn.

Hàm răng đẹp thỏa mãn tất cả những tiêu chí về thẩm mỹ, tỷ lệ và chức năng.
Bản thân các răng phải có chiều dài và độ rộng chuẩn, tương quan với nhau và với mô nướu cũng
như khuôn mặt theo tỷ lệ chuẩn. Răng cịn phải mọc đúng thế và có trục hơi nghiêng, cạnh răng
sát khít nhau từ trên xuống dưới.

9

Tỉ lệ vàng cho hàm răng đẹp.
Đường thẳng đi qua kẽ giữa hai răng cửa phải ở chính giữa cung hàm và giữa khuôn mặt. Các
kiến trúc liên quan trên khuôn mặt như mũi cằm, đầu – cuối chân mày, đầu – đi mắt, tháp mũi,
hai khóe miệng phải song song với đường giữa hoặc với đơi mắt.

Ngồi ra, nướu và mơi cũng cần đạt độ hài hịa nhất định. Rìa nướu đối xứng qua đường giữa,
cười khơng lộ nướu hoặc lộ rất ít. Khi cuời bờ cạnh cắn hàm răng trên chạm đến đường viền môi
dưới. Khoảng cách từ mặt ngồi răng tiền hàm đến khóe mép là nhỏ nhất.

10


2.3. Tỉ lệ vàng trên cơ thể con người
Con người là một thực thể của tạo hóa. Con người đẹp một cách hoàn hảo. Đấy là những điều
kinh thánh vẫn nói. Cái đẹp của con người ở đây có lẽ là sự cân đối về vóc dáng. Và nếu bạn tự
tin, về bản thân, hãy cùng đọc những dòng sau đây và thử đo trên chính cơ thể bạn, để khẳng định
một lần nữa rằng: "Bạn thật sự đẹp".

- Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) / đỉnh đầu tới ngực = φ
- Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) / chiều rộng đôi vai = φ
11


- Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) / chiều dài cẳng tay = φ
- Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) / chiều dài xương ống quyển = φ
- Đỉnh đầu tới ngực / đỉnh đầu tới gốc sọ = φ
- Đỉnh đầu tới ngực / chiều rộng của bụng = φ
- Chiều dài của cẳng tay / chiều dài bàn tay = φ
- Vai đến các đầu ngón tay / khuỷu tay đến các đầu ngón tay = φ
- Hông đến mặt đất / đầu gối đến mặt đất = φ

- Gọi độ dài từ rốn lên đến đỉnh đầu là x, độ dài từ rốn xuống đến chân là y. Độ dài một dang tay gọi
là a. Nếu x/y = a/(x+y) = 1,618 = Ф, thì đó là thân hình của các siêu người mẫu.

Tỉ lệ vàng trên chiếc mông người phụ nữ.

12


Tỉ lệ giữa độ dài đốt 1 bàn tay và độ dài xương bàn tay là một tỉ lệ vàng.

Tỉ lệ vàng của một chiếc tai.

13


3. Ứng dụng của tỉ lệ vàng trong đời sống
3.1. Tỉ lệ vàng trong kỹ thuật tạo dáng bonsai
Trong nghệ thuật Bonsai, để tạo được một dáng cây đẹp, người nghệ nhân cần biết
cách xác định được tỷ lệ vàng của cây (TLV). Từ tỷ lệ vàng này người ta có thể tạo ra
những nét uốn lượn cân đối và tạo điểm nhấn cho cây.
Chiều cao của cây bằng 6 lần bề dày của thân (1/2 của TLV).
Thân (khoảng cách từ gốc đến cành thấp nhất) = 1/3 chiều cao của cây. Cành nhánh
(từ cành thấp nhất đến ngọn) = 2/3 chiều cao của cây. Khoảng cách giữa các cành
nhánh nhỏ dần từ dưới lên theo tỷ lệ 1/3. Chiều dài của cành nhánh cũng ngắn dần từ
dưới lên trên theo tỷ lệ này.
Tỷ lệ vàng của cây giữa cây và chậu
Bề dày của chậu bằng xấp xỉ 2/3 chiều cao của cây
Từ hai quy ước: Chiều cao của cây bằng 6 lần bề dày của thân (2 lần của TLV) và độ
sâu của chậu bằng đường kính của thân, ta thấy độ sâu của chậu cũng tương ứng với
1/2 TLV.

Với một cây cao 60 cm (đường kính của thân)

14


Tỷ lệ vàng của cây trong chậu
Nếu chia chậu làm 3 phần theo quy tắc phần ba thì vị trí của gốc trong chậu ln nằm
trên vị trí của những điểm mạnh (những giao điểm của các đường phân chia). Hoặc là
ở phần ba lùi về sau và một phần ba phía bên phải hay bên trái. Nói chung khơng ra
ngoài quy ước của TLV.
Trên đây chỉ nêu một vài nét sơ lược. Xét cho cùng, TLV là một chuẩn mực để theo
đó thể hiện những tác phẩm nghệ thuật đạt được những yêu cầu thẩm mỹ (mà trong đó
nổi bật nhất là sự hài hòa về bố cục). Nhưng cũng như vô số các chuẩn mực khác ở
trên đời này đối với người nghệ sĩ, TLV cũng chỉ là một chuẩn mực để vượt qua chứ
không

phải

là

những

chuẩn

mực

để

tuân

thủ

một

cách

thụ

động.

Một điều nghịch lý nữa là những tác phẩm tuyệt kỹ thường là những tác phẩm gần
như chối bỏ chuẩn mực. (Những bài thơ Đường tuyệt tác đa phần là những bài thơ
khơng gị bó trong niêm luật, nhiều tác phẩm hội họa của các danh họa cũng chối bỏ
những nguyên tắc cơ bản nhất về điều sắc, phối cảnh...).
Tuy nhiên, cũng cần nói lại, đằng sau những tuyệt tác đó là cả một ngẫu hứng tài tình
khởi đầu từ những miệt mài khổ luyện. Nói một cách nào đó thì việc khám phá TLV
là một thành quả rất đáng trân trọng mà những con người tài hoa khát khao chiếm hữu
cái Đẹp đã cống hiến cho nghệ thuật. Vấn đề còn lại thuộc về cảm quan nhạy bén và
tinh tế của người sáng tạo.
2. Dáng cây cơ bản
Trên thế giới, người ta chia bonsai thành bốn nhóm:
Cây dưới 15 cm là loại bonsai rất nhỏ
Cây cao từ 16 đến 30 cm là loại bonsai nhỏ
Cây cao từ 31 đến 60 cm là loại bonsai trung bình
Cây cao trên 60 cm là loại bonsai lớn

15


Loại dưới 15 cm là "mini bonsai", thường được trồng trong chậu nhỏ và trưng bày

trong nhà. Còn loại trên 60 cm là bonsai trồng trong chậu đặt ở sân vườn hoặc trước
hàng hiên nhà.
Ban đầu, chỉ có 5 thế bonsai cơ bản là: thẳng đứng (Chokkan), thẳng đứng phóng
khống (Moyogi), nghiêng (Shakan), thác đổ (Kengai) và nửa thác đổ (Han Kengai).
Về sau, người ta phát triển thành nhiều thế khác như: rễ phủ trên đá (Sekijoju), rễ
trong đá (Ishizuke), chổi (Hokidachi), bạt phong (windswept), song thụ và tam thụ
(Ikadabuki), thế lùm (clump style), văn nhân (bunjin-gi), thế cành rủ (weeping style),
thế gỗ mục (dead wood) và nhóm cây hay rừng (Yose Uye)...

Bonsai 15cm thường được trưng bày trong nhà.

16


Loại trên 60 cm là bonsai trồng trong chậu đặt ở sân vườn hoặc trước hàng hiên nhà.
Nguyên tắc cho chậu bonsai
Với chậu chữ nhật, cây nên đặt tránh 4 đường chia đôi chậu cây (4 đường màu đỏ) bởi
trong bonsai để tác phẩm trơng có vẻ tự nhiên thì nên tránh mọi sự cân xứng.

17


Màu men chậu cần phải hài hòa với màu sắc của cây. Cách đơn giản nhất là chọn màu
nâu đỏ của đất nung, màu đất phù hợp với tất cả các loại cây.
Nên chọn những chậu có chiều rộng gấp 2/3 chiều cao của cây. Với những cây lùn thì
chiều rộng chậu phải gấp 2/3 bề rộng thân cây.
Kiểu dáng chậu cũng cần phải phù hợp với kiểu dáng của cây bonsai. Chậu hình chữ
nhật thì thích hợp với những cây dáng thẳng khơng uốn éo nhiều, cịn với những cây
thẳng khơng bình thường, những cây mà có nhiều điểm uốn trên thân thì chậu hình
oval hay hình trịn là thích hợp nhất

Để có những cây bonsai giá trị, người ta thường dựa vào các yếu tố sau:
Cây phải trổ nhiều hoa và hoa phải có màu sắc đẹp
Lá xanh mướt, bóng; lá càng nhỏ càng tốt
Thân cây phát triển kiểu "đầu voi đi chuột" (phần góc lớn hơn phần ngọn). Một cây
có thân sn đuột, đường kính gốc và phần ngọn khơng chênh lệch nhau nhiều thì
khơng thể làm thành cây bonsai
Cành, nhánh phải phân chi rõ ràng, phù hợp với một loại dáng thế nào đó đã định
trước.
Cành, nhánh phải mọc được những chồi non tốt.
Vỏ cây phải thu hút được cái nhìn của người thưởng ngoạn (càng sần sùi, lộ vẻ già
nua càng tốt)
Bộ rễ dày, to, gân guốc nằm lộ khoảng 1/3 trên mặt chậu
18


Những yếu tố nêu trên kết hợp hài hòa với nhau sẽ tạo ra một cây bonsai lý tưởng (nếu
có dáng thế phù hợp).
Hình ảnh một số cây bonsai có giá trị thẩm mỹ cao:

Cây táo nở hoa tinh khiết.

19


Cây ớt cũng được nghệ nhân biến thành tác phẩm bonsai độc đáo.

Cây bonsai này đã 390 tuổi.
20