Bài tập armtrong

BÀI TẬP AMRSTRONG
Bài tập:
Câu 1: Cho lược đồ quan hệ R ( A, B, C, D, E, F, G ) và tập phụ thuộc hàm F xác định
trên R:
F ={ A→ B, D → F, BF → E, EF → G, A → C, BC → D }
Chứng minh: AF → G được suy dẫn logic từ F dựa vào hệ tiên đề Armstrong.
Giải:
Ta có:
A  C (f5)
A  B (f1)
AF  BF (tăng trưởng)
BF  E (f3)
AF  E (bắc cầu 3,4)
D  F (f2)
BF  F (phản xạ)
BF  EF (4, 7 hợp)
EF  G (f4)
BF  G (bắc cầu 8,9)
 AF  G (bắc cầu 3, 10 )
Câu 2: Cho lược đồ quan hệ R ( A, B, E, I, G, H ) và tập phụ thuộc hàm F xác định trên
R:
F = { AB → E, AG → I, E → G, GI → H }
Chứng minh: AB → GH được suy dẫn logic từ F dựa vào hệ tiên đề
Armstrong.
Giải:
Ta có:
AB  E (f1)
E  G (f3)
AB  G (bắc cầu 1,2)
AG  I (f2)
AB  I( tựa bắc cầu)

GI  H (f4)
AB  H
 AB  GH (hợp 3,7)
Câu 3: Cho lược đồ quan hệ R (A, B, C, D, E, G, H} và tập phụ thuộc hàm F xác định
trên R:
F={ AB → C, B → D, DC → GH, HC → E }
Chứng minh: BC → G và AB → E được suy dẫn logic từ F dựa vào hệ tiên
đề Armstrong.
Giải:
Ta có:
B  D (f2)
BC  DC (luật tăng trưởng)
DC  GH (f3)
DC  G (phân rã)
 BC  G (2,4 bắc cầu)
• AB  E
Ta có:
AB  C (f1)
AB  B (phản xạ)
B  D (f2)
AB  D (2,3 bắc cầu)
AB  DC (hợp 1,3)
DC  GH (f3)
AB  GH (bắc cầu 5,6)
AB  H (phân rã 6)
AB  HC (1, 8 hợp)
HC  E (f4)
 AB  E (bắc cầu 9,10)
Câu 4: Cho lược đồ quan hệ: Q(ABCDEGH) với:
F= { AB  C, B D, CD  E, CE  GH, G  A }

Chứng minh: AB  E và AB  G được suy dẫn logic từ F dựa vào hệ tiên
đề Armstrong.
Giải:
Ta có:
AB  C (f1)
AB  B (phản xạ)
B  D (f2)
AB  D (bắc cầu 2,3)
CD  E (f3)
AB  CD (hợp 1,4)
 AB  E (bắc cầu 4,5)
* AB  G
Ta có:
AB  E (cmt)
AB  C (f1)
AB  CE (hợp 1,2)
CE  GH (f4)
AB  GH (bắc cầu 3,4)
 AB  G ( phân rã)
Câu 5: Cho phụ thuộc hàm F= { A  B, BC  D, AB  E, CE  G}. Dùng luật
suy diễn Armstrong chứng minh: AC  DG, AC  E thuộc F.
Giải:
AC  DG
Ta có:
A  B (f1)
AC  BC (tăng trưởng)
BC  D (f3)
AC  D (2, 3 bắc cầu)
AC  C (phản xạ)
CE  G (f4)

AE  G (5,6 tựa bắc cầu)
Câu 6: Cho G={ AB  C, B  DE, CD  EK, CE  GH, G  AC}.
Chứng minh: AB  EG bằng luật tiên đề Armstrong.
Giải: Ta có:
B  DE (f2)
B  E ( 1 phản xạ)
AB  C (f1)
AB  CE (3,4 tựa bắc cầu)
CE  GH (f4)
AB  GH (bắc cầu 4,5)
AB  G (phân rã)
AB  B (phản xạ)
B  DE (f2)
AB  DE (Bắc cầu 8,9)
AB  E (phân rã)
 AB  EG (hợp 7,11)
Câu 7: Cho lược đồ quan hệ R (A,B,C,D,E,G,H,I,J) và tập các phụ thuộc hàm:
F = {AB  E, AG  J, BE  I, E  G, GI  H }.
Tìm chuỗi suy diễn AB  GH bằng hệ tiên đề Armstrong.
Giải: Ta có:
AB  E (f1)
E  G (f4)
AB  G (Bắc cầu 1,2)
AB  B (phản xạ)
AB  BE (1,4 hợp)
BE  I (f3)
BE  E (phản xạ)
BE  G ( bắc cầu 2, 7)
BE  GI ( 6,8 hợp)
GI  H (f5)

BE  H (9, 10 bắc cầu)
AB  H (5, 11 bắc cầu)
 AB  GH (3,12 hợp)
Câu 8: Với F = { X  Y, X  Z, Y  T }
Thì ta có các phụ thuộc hàm X  YZ và X  T.
Giải:
Ta có:
X  Y (f1)
X  Z (f2)
 X  YZ (1,2 hợp)
Y  T (f3)
 X  T (1,3 suy ra)
Câu 9: Cho R = { A,B,C,D,E,G,H,I}
F= { A → B, BH → I, B → D , D  BE}. Chứng minh: A  E.
Giải:
Ta có:
A  B (f1)
B  D ( f3)
A  D ( bắc cầu 1,2)
D  BE (f4)
D  E ( f4 phân rã)
 A E (dpcm) {bắc cầu 1,3)
Câu 10: Cho lược đồ quan hệ p= (U,F) với U= ABCDEGH, F= { B AC, HD E,
ACBE, E  H, A D, G  E}. Kiểm tra tính đúng đắn của các suy diễn của hệ tiên
đề Armstrong: F|= CG  EH.
Giải: Tính đúng đắn của hệ tiên đề Armstrong luôn đúng: F|= CG  EH: đúng, vì
(CG)
+
= CGEH chứa EH.
Câu 11: Cho lược đồ quan hệ LĐQH) P= (U,F), trong đó U= ABCDE, F= { A B, B 

E, D  CE). Chứng minh: AD  BE bằng luật suy dẫn Armstrong.
Giải:
Ta có:
A  B (f1)
AD  BD (tăng trưởng)
B  E (f2)
A  E ( 1,3 bắc cầu)
AD  DE (tăng trưởng)
AD  BDE (hợp 2,5)
 AD  BE (phân rã)
Câu 12: Cho R = { A, B, C, D, E, G } và
F= { AB → C , D → EG , BE → C , BC → D , CG → BD, CE → AG}. Chứng
minh: AB  CG dựa vào tiên đề Armstrong.
Giải:
Ta có:
AB  C (f1)
AB  B (phản xạ)
AB  BC (hợp 1,2)
BC  D (f4)
D  EG (f2)
BC  EG (bắc cầu 4,5)
AB  EG (3, 6 bắc cầu)
AB  G (phân rã)
 AB  CG (hợp 1,8)
Câu 13: Cho F={A→B, C→D} với C B, hãy chứng minh A→D suy dẫn được từ F.⊂
Giải:
Ta có:
B  C (vì C B )⊂
A  B (f1)
A  C (bắc cầu 1,2)

C  D (f2)
 A  D (bắc cầu 3,4)
Câu 14: Cho lược đồ quan hệ R(ABCD) v à F={A→B, BC→D}
hãy cho biết các phụ thuộc hàm nào dưới đây có thể suy dẫn được từ F:
a. AC→D
b. B→D
c. AD→B
Giải:
Câu a.
A  B (f1)
AC  BC (tăng trưởng)
BC  D (f2)
 AC  D (bắc cầu 2,3)
Câu b:
Không thể suy dẫn từ F
Câu c:
Giải:
A  B (f1)
AD  BD (tăng trưởng)
 AD  B (phản xạ)
Câu 15: F={XY→W, Y→Z, WZ→P, WP→QR }
Chứng minh rằng XY→P suy dẫn được từ F.
Giải:
Ta có:
XY  W (f1)
XY  Y (phản xạ)
XY  WY (hợp 1,2)
WY  Y (phản xạ)
Y  Z (f2)
WY  Z (bắc cầu 4,5)

XY  Z (bắc cầu 3,6)
XY  WZ (hợp 1,7)
WZ  P (f3)
 XY  P
Câu 16: Cho lược đồ quan hệ (=(U, F) với U=ABCDEGHIJ và tập phụ thộc hàm
F={AB→ E, AG→J, BE→I, E→G, GI→ H}
f=AB→GH, Chứng minh rằng f suy dẫn được từ F
Giải:
Ta có:
AB  E (f1)
E  G (f4)
AB  G (Bắc cầu 1,2)
AB  B (phản xạ)
AB  BE (1,4 hợp)
BE  I (f3)
BE  E (phản xạ)
BE  G ( bắc cầu 2, 7)
BE  GI ( 6,8 hợp)
GI  H (f5)
BE  H (bắc cầu)
AB  H (5, 11 bắc cầu)
 AB  GH (3,12 hợp)
Câu 17: Cho lược đồ quan hệ (=(u, F) với U=ABCDEGH và tập phụ thộc hàm
F={AB→C, B→ D, CD→E, CE→GH, G→A}
Hãy chứng minh:
a. AB→E
b. BG→C
c. AB→G
Giải:
Câu a

Giải:
Ta có:
AB  C (f1)
AB  B (phản xạ)
B  D (f2)
AB  D (bắc cầu 2,3)
CD  E (f3)
AB  CD (hợp 1,4)
 AB  E (bắc cầu 4,5)
Câu b:
Giải:
Ta có:
G  A (f5)
BG  AB (tăng trưởng)
AB  C (f1)
 BG  C (bắc cầu 2,3)
Câu c: AB  G
Ta có:
AB  E (cmt)
AB  C (f1)
AB  CE (hợp 1,2)
CE  GH (f4)
AB  GH (bắc cầu 3,4)
 AB  G ( phản xạ)
Câu 18: Cho lược đồ quan hệα =(U, F) với U=ABCDEG và F={B→C, AC→D, D→G,
AG→E} hãy cho biết:
a. AB→G
b. BD→AD
( từ các luật suy dẫn của tiên đề Armstrong).
Giải:

a. Ta có:
B  C (f1)
AB  AC (tăng trưởng)
AC  D (f2)
AB  D (2, 3 bắc cầu)
D  G (f3)
 AB  G
b. Ta có:
B  C (f1)
Câu 19: Giả sử ta có lược đồ quan hệ Q(C,D,E,G,H,K) và tập phụ thuộc hàm F như
sau;
F = {CK→ H; C →D; E→C; E →G; CK →E}
Từ tập F, hãy chứng minh EK → DH
Gi ải:
Ta có:
E  C (f3)
EK  CK (Tăng trưởng)
CK  H (f1)
EK  H (2,3 bắc cầu)
E  C (f4)
C  D (f2)
E  D (bắc cầu 5,6)
 EK  DH (4,7 hợp)
Câu 20: Cho lược đồ quan hệ Q(A,B,C,D,E,G,H,K) và tập phụ thuộc hàm F như sau;
F = {C → AD; E→ BH; B→ K; CE→ G}
hãy cho biết các phụ thuộc hàm nào dưới đây có thể suy dẫn được từ F không?
a. E→ K
b. E→G
a. Giải:
Ta có:

E  BH (f2)
E  B (1 phân rã)
B  K (f3)
 E  K (2,3 bắc cầu)
b. Giải:
E  G khơng suy dẫn từ F
Câu 21: Cho lược đồ quan hệ α = (U, F) với U = ABCDEGH và
F = { B→ AEG , ABE→ CH , ACD→ BEG } .
Bằng các luật của hệ tiên đề Armstrong hãy chứng tỏ phụ thuộc hàm f = BD→ CGH
suy
dẫn được từ tập các phụ thuộc hàm F.
Giải:
Ta có:
B  AEG (f1)
ABE  CH (f2)
ACD  BEG (f3)
Câu 22: Cho lược đồ quan hệα = (U,F) với U = ABCDEGH và
F = { AE→ BEG , CEH→ BD , DG→ BCD, ABC→ DE}
và một phụ thuộc hàm f = ACE→ DEG. Hãy chỉ ra rằng f có thể dẫn được từ tập F
theo
các luật của hệ tiên đề Armstrong.
Câu 23: Cho lược đồ quan hệ α = (U,F) với U = ABCDEGH và
F = { AE→ BEG , CEH→ BD , DG→ BCD, ABC→ DE} và một phụ thuộc hàm f =
ACE→ DEG. Hãy chỉ ra rằng f dẫn được từ tập F bằng việc
ứng dụng các luật của hệ tiên đề Armstrong.