Giải bài tập toán cao cấp a1 chương 3 phép tính tích phân của hàm 1 biến

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 1 -


Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến
























Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 2 -























 )






 

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 3 -

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 4 -














Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 5 -














D












Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 6 -






 


 :




Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 7 -



















 :


 :

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 8 -






  :

 :

  :

 :


Câu 43
   
Cxx
xx
xx
x
dx
I 







12arctan12arctan
22
1
12
12
ln
24
1
1
2
2
4


  
12
2
22
1
12
2
22
1
1
1
12121
22
4
224









xx
x
xx
x
x
xxxxx



 :


 :



 :


Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 9 -



 :

 :

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 10 -



 :



 :











 :

Câu 54
 
       
dx
xxxxxx
dx
xx
xx
dx
xxx
xx
dx
xxx
xx
I

























2
3
2
2
22
3
2
23
2
345
2
1
1
1
1
1
1
1

1
12
1
2
1


Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 11 -


 
     
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
xx
I







































22222
1
1
1
1
3
11
6
11
1
3
1
21
1
1
1
11

 

1
4
1

1
3
10
6
5
22














dx
x
x
x






 :










 :






Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 12 -

Câu 65
   
xChiaHDba
xbxa
dx
I
222
2222
cos:0
sincos





x

x
b
a
dx
bxxba
dx
I
2
2
2
222222
cos
1
tan
1
cos
1
tan








x
dtxt
2
cos

1
tan 

C
a
xb
ba
C
a
bt
ba
C
a
bt
a
b
b
t
b
a
dt
b
I 

































tan
arctan
1
arctan
1

arctan
11
2
2
2
22

Chú ý: Áp dng công thc:
C
a
x
a
ba
dx
I 










arctan
1
22

Xem them ti GT Toán Cao c

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 13 -

















Câu 69
dx
x
x

dx
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
xx
I







































33
2
33
2
3
2
1
1
11
1

11
1

t
dttdxtxxtxt
233
3
3111 
Vi
 
2/3
2
32
1;1 txtx 

Vy tích phân tr thành:
 
   
dttdttttdtttdtttdtt
t
t
dtt
t
t
I




2/5362/3

2
32
2/3
2
2
3
3.1.23.3.1333.
1

 
CttttCttttdttdtttt 















2/72582/72582/547
7
2
2

1
.
5
2
8
1
3
7
2
3
2
1
.
5
2
8
1
33 23

       
Cxxxx 







2/7
3

2
3
5
3
8
3
1
7
2
1
2
1
1.
5
2
1
8
1
3

Câu 70
dx
x
x
I




3

1
1


t
 
dt
t
t
dx
t
t
x
x
x
t
x
x
t
2
3
2
3
3
3
3
1
6
1
1

1
1
1
1













Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 14 -


Vy tích phân tr thành:
 


 dt

t
t
I
2
3
3
1
6


Câu 74
dx
x
x
I




1
1

t
xttdttdxtxtx arccos;cos.sin2coscos
2


Vy tích phân tr thành:
 
 

   







 tdttdttt
t
t
dttt
t
t
I coscos12cos.sin2
cos1
cos1
cos.sin2
cos1
cos1
2
2

 
 
Ctttdtttdttt 

2sin
2
1

sin22cos1cos2coscos2
2

 
Cxxx  arccos2sin
2
1
arccosarccossin2












Câu 93


 dx
x
x
I
2
6
1

Xem ng 3.1.6.2

t
 
3
26
2
2222
1;
1
;111 

 tx
t
tdt
dxtxxtxt

Vy tích phân tr thành:
 
 


 
Ctttttttdttdt
tt
tt
I 





11
4
1
1
8
3
1ln
8
3
1
1
.1
2222
3
2
2
3
2



Cxxxxxx 
2322
1
4
1
1
8

3
1ln
8
3

Câu 99



1
24
xx
dx
I

Xem ng 3.1.6.2

t
 
2
24
2
2222
1;
1
;111 

 tx
t
tdt

dxtxxtxt

Vy tích phân tr thành:

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 15 -


 
 





5
2
2
22
1
.1.1
t
dt
dt
ttt
t

I



Cxxxxxx 
2322
1
4
1
1
8
3
1ln
8
3

t
 
;
cos
1
1;
cos
tan
5
5
2
2
u
t

u
du
dtut 

Vy tích phân tr thành:
 
Cuuduuuduudu
u
u
I 








sin33sin
3
1
4
1
cos33cos
4
1
.cos
cos
cos
3

2
5

C
x
x
x
x
C
t
t
t
t
Cuu 

























3
22
3
22
3
1
3
11
1
3
1
1
sin
3
1
sin

Xem thêm GT TCCA1  d i sinu sang t
Câu 100




3
1 xx
dx
I

Xem ng 3.1.6.2

t
 
 
2
24
3/2
2
3
2323
1;
1
3
2
;111 


 tx
t
tdt
dxtxxtxt

Vy tích phân tr thành:

C
x
x
C
t
t
t
dt
t
dt
I 











11
11
ln
2
1
1
1
ln

2
1
11
3
3
22


 :

 l 
  .
 




Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 16 -



   
 :

 :

Câ :


 ;
 :


d).
 
  
   
dx
x
x
xx
dxx
x
dxx
xx
dxx
x
dx
I
  
  


















2
2
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
sin
cos
sin
1
sin

cos1
cos1
cos1
cos1cos1
cos1
cos1











0
2
2
sin
1
cot 











x
x

e).
 
  

2
0
2
0 0
22
0
cos2cos2cos21cos212cos1



 
xdxxdxdxxdxxdxxI

0
2
sin2
0
2
sin2 




xx

f).















xv
dxdt
x
dx
dv
xt
ĐătTPTPHDdx
x
x
I

cot
sin
:
sin
3
4
2
2




Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 17 -


g).



8
3
1
dx
x
x

I

dttdxtxxtxtĐăt .2111
22


38;23  txKhitxKhi

 









3
2
32
3
32
2
3
3
1
212 ttdttI

h).

dxxxI


1
0
22
1

 






 xxttxttxĐătHD 4cos1
8
1
2sin
4
1
cos.sin;1cossin:
2222


i).
dx
x
x
dx

x
x
dx
x
dx
x
xx
dx
x
x
dxxI .
sin
sin
.
sin
sin2
.
sin
1
.
sin
sinsin21
.
sin
cos
.cot
3
4
4
4

3
4
4
2
3
4
4
3
4
4
42
3
4
4
4
3
4
4





























3
4
3
4
2
3
4
4
2
2
3
4
3
4

2
3
4
4
.
sin
2
.
sin
cos
sin
1
.
sin
2
.
sin
1













dxdx
x
dx
x
x
x
dxdx
x
dx
x




3
4
3
4
22
3
4
2
2
3
4
3
4
2
3
4

4
2
sin
.
sin
1
sin
cos
sin
.
sin
cos












dx
x
dx
dx
xx
x

dx
x
dx
dx
x
x

ng dn:
 
4
3
cot
3
1
cot.cot.
sin
1
sin
cos
3
3
4
2
2
3
4
2
2







xxdxdx
xx
x



j).
   
1;51:.
1
.
.
1
545
2
0
3
5
54
2
0
3
5
9
55







txxdtxtĐătHDdx
x
xx
dx
x
x
I


 :


Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 18 -




Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 19 -



 
1
3
33
0
1
1 . 1
I dx
xx




Li gii:

     
1 1 1 1
3 3 3
12
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3
0 0 0 0
1 1 1
1 . 1 1 . 1 1 1 . 1
x x x
I dx dx dx dx I I
x x x x x x x

     
      
   




 
 
 
 
 
1
3
'

2
3
3
'
3
3
2
33
3 2 2 3 3
33
33
1
1
31
1
1 1 . 1
11
x
x
x
x
x x x
xx




     

  




 Tính
1
I
:

1
1
3
3
0
1
1
I dx
x



t:
3
3
1
1
u
x
dv dx










 
2
3
33
1 . 1
x
du dx
xx
vx









Vy:
 
1
1
3

12
3
33
3 3 3
0
0
1
2
1 1 . 1
xx
I dx I
x x x

   

  



 Ta có:
1 2 2 2
33
11
22
I I I I I     

 
 
1
0

11
2
1 . 1
n
n
n
nn
I dx
xx




I=
2
1
4
0
1
1
x
dx
x




Li gii: Trên
 
0;1

, ta có:
 
  
2
4 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1x x x x x x x        


 
 
   
 
2
4
22
32
4
1 Ax Cx
0;1 ;
1
2 1 2 1
2 2 2 2
=
1
2
2
0
1
2 2 1
2

2 2 0 2
2
1
1
2
x B D
x
x
x x x x
A C x A B C D x A B C D x B D
x
A
AC
B
A B C D
A B C D
C
BD
D
  
   

   
           












    



   











c:

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 20 -

   
 
2
1 1 1
4
22
0 0 0
22
11
22
00
1
22
0
2
2
1 2 2 2 2 2
14
2 1 2 1
2 1 2 1
2
=
4
2 1 2 1
2
= ln 2 1 ln 2 1
4
2 2 1
= ln

4
2
x x x
dx dx dx
x
x x x x
d x x d x x
x x x x
x x x x
xx
xx

  




   


   



   

    


  


 
1
0
2
ln 3 2 2
4
1




I=
4
2
0
4 x dx


Li gii: t

2sin , ;
22
x t t


  


.

Khi x = 0 thì t = 0. Khi
2x 
thì
2
t


.
T
2sinxt
2cosdx tdt


4
22
2 2 2
0 0 0
4 4 4sin .2cos 4 cos    
  
x dx t tdt tdt


.
t
tan , ;
22


  



x t t
.
Khi
0x 
thì
0t 
, khi
1x 
thì
4
t


.
Ta có:
2
tan
cos
  
dt
x t dx
t
.

1
44
2 2 2
0 0 0
1

4
1 1 tan cos 4
0



    

  
dx dt
dt t
x t t

Chú ý: Trong thc t chúng ta có th gp dng tích phân trên dng t
Nu hàm s i du tích phân có chng
2 2 2 2
,a x a x
và
22
xa

hng s i sang các hàm s  làm mc, c th là:
 Vi
22
ax
t
sin , ;
22
x a t t



  



hoc
 
cos , 0;x a t t


.

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 21 -


 Vi
22
ax
t
tan , ;
22


  



x a t t

hoc
 
, 0;

x acott t
.
 Vi
22
xa
t
 
, ; \ 0
sin 2 2
a
xt
t


  



hoc
;
cos
a

x
t

 
0; \
2
t






.

 :




  :

 










   )

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 22 -













 :  


m không âm  ( Khi



Câu 1. :
b. 

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 23 -







liên h a ch sau :
1. Facebook cá nhân :
2. Gmail:





Ngun: Sites.google.com/site/dethidhnl

Toán Cao Cp A1
: Phép Tính Tích Phân Ca Hàm 1 Bin

Truy cp : sites.google.com/site/dethidhnl

- Trang | 24 -