LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 11 cực HAY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1010.35 KB, 51 trang )
Lý thuyết Toán 11
GIÁO VIÊN:
NAÊM HOÏC:
!"#$%
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 1 -)
Lý thuyết Toán 11
!&'(()*
+!(,((-'(.&/0,(
$+(-'((1 "+(-'(/-
2+(-'(.3(
cos a+
4+(-'(.&/005(
.cos
.sin
.cos
.sin
a b
a b
c
+
+ =
a b
a b
c
−
− =
6+(-'(.&/05(0
[cos(a – b) + cos(a + b)]
[cos(a – b) - cos(a + b)]
[ ]
ac a b a b
+ + −
[ ]
c a a b a b
+ − −
(789:;<9:=>?@A9::B7CDE9
•
α α
+ =
α
α
α
=
k
π
α π
∀ ≠ +
∈
•
α
α
α
=
x k
π
∀ ≠
∈
α
α
+ =
k
π
α π
∀ ≠ +
∈
•
α
α
+ =
x k
π
∀ ≠
∈
•
α α
=
k
π
α
∀ ≠
∈
(F9:C9GHG"IJKGI
•
( )
x k x
π
+ =
( )
x k x
π
+ =
•
( )
x k x
π
+ =
( )
x k x
π
+ =
(F9:;LB
•
( )
x x
− = −
( )
x x
− =
•
( )
x x
− = −
( )
x x
− = −
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 2 -)
Lý thuyết Toán 11
(F9:DM
•
( )
x x
π
− =
( )
x x
π
− = −
•
( )
x x
π
− = −
( )
x x
π
− = −
(F9:NO
•
x x
π
− =
÷
x x
π
− =
÷
•
x x
π
− =
÷
x x
π
− =
÷
(F9:C9GHI!"
•
x x
π
+ =
÷
x x
π
+ = −
÷
•
x x
π
+ = −
÷
x x
π
+ = −
÷
(F9:C9GHI
•
( )
x x
π
+ = −
( )
x x
π
+ = −
•
( )
x x
π
+ =
( )
x x
π
+ =
(P9:=>BQ;PB
•
x x
−
= ±
x x
+
= ±
•
x x x
x x
− −
= ± =
+
(P9:=>9R9DQ
•
x x x
= −
•
x x x
= −
•
x x
x x x k
x
π
π
−
= ∀ ≠ +
÷
−
•
( )
x x
x x x k
x
π
−
= ∀ ≠
−
(P9:=>SDT
•
( )
x x
= −
( )
x x
= +
•
x
x x k
x
π
π
−
= ∀ ≠ +
÷
+
( )
x
x x k
x
π
+
= ∀ ≠
−
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 3 -)
Lý thuyết Tốn 11
•
x x
x
−
=
x x
x
+
=
(P9:=>=UV
x
t
=
•
t
x
t
=
+
t
x
t
−
=
+
t x
x x k
t
π
π
= ∀ ≠ +
÷
−
%+.W,X,((Y(,((/Z(.
[
\
Q
]
^π
- - - - - - -
#
π
;
_
^$`#
V
^$6#
V
^$26
V
^$"#
V
^a#
V
^%#
V
^46
V
^2#
V
# 2#
V
46
V
%#
V
a#
V
$"#
V
$26
V
$6#
V
$`#
V
bB9 # ^ ^ ^ ^$ ^ ^ ^ # $ #
Vb ^$ ^ ^ ^ # $ # ^ ^ ^ ^$
=Q9 # $ cc ^ ^$ ^ # $ cc ^ ^$ ^ #
V= cc $ # ^ ^$ ^ cc $ # ^ ^$ ^ cc
!"##$%&
y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx
Tập
xác đònh
D = R D = R D = R \ {
π
+ kπ} D = R \ {kπ}
Tập
giá trò
T = [– 1 ; 1 ] T = [– 1 ; 1 ] R R
Chu kỳ
T = 2π T = 2π T = π T = π
Tính
Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 4 -)
Lý thuyết Tốn 11
chẵn lẻ
Sự biến
thiên
Đồng biến trên:
k2 ; k2
2 2
π π
− + π + π
÷
Nghòch biến trên:
3
k2 ; k2
2 2
π π
+ π + π
÷
Đồng biến trên:
( )
k2 ; k2
−π + π π
Nghòch biến trên:
( )
k2 ; k2
π π+ π
Đồng biến trên mỗi
khoảng:
k ; k
2 2
π π
− + π + π
÷
Nghòch biến trên mỗi
khoảng:
( )
k ; k
π π+ π
Bảng
biến
thiên
x –π
2
π
−
0
2
π
π
y = sinx 0
–1
0
1
0
x –π 0
π
y =cosx
– 1
1
– 1
a
x
2
π
−
2
π
y = tanx
–∞
+∞
x 0
π
y = cotx
+∞
–∞
a
Đồ thò
y = sinx
……………………………………………………………………………….
y = cosx
y = tanx
…………………………………………………………………………………….
y = cotx
+(,(d,(eZ
$+@C9:=\f9bB9[gQ+h^$≤Q≤$i
'⇔
(
(
x
x
π
π π
=
= −
)∈'α⇔
x
x
α π
π α π
=
= −
)∈α
'*⇔'π)∈
'⇔'π)∈
'⇔'π)∈
"+@C9:=\f9Vb[gQ+h^$≤Q≤$i
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 5 -)
Lý thuyết Toán 11
'⇔
(
(
x
x
π
π
=
= −
)∈'α⇔
x
x
α π
α π
=
= −
)∈α
'*⇔'π)∈
'⇔'π)∈
'⇔'ππ)∈
2+@C9:=\f9=Q9[gQ+
+,-
.
k k
π
π
+ ∈
¡ ¢
' '(
π
⇔ ∈¢
' '
α α π
⇔ ∈¢
' '
' '
'* '
k k
k k
k k
π
π
π
π
π
⇔ + ∈
⇔ + ∈
⇔ ∈
¢
¢
¢
4+@C9:=\f9V=[gQ+
+,-
{ }
. k k
π
∈¡ ¢
' '( co
π
⇔ ∈¢
' '
α α π
⇔ ∈¢
' '
' '
'* '
k k
k k
co k k
π
π
π
π
π
π
⇔ + ∈
⇔ + ∈
⇔ + ∈
¢
¢
¢
+(,(d,(eZ+
$+@C9:=\f9Q+bB9[jDVb[gh
*a b+ ≠
i
' '
a b c
c
a b a b a b
⇔
+ + +
/0-
a
c
a b
b
a b
α
α
+
=
+
12345(62(7282-
' '
c
c c
a b
α α
+ =
+
c
x
a b
α
⇔ + =
+
*Chú ý
92345(62:52;<2
c a b≤ +
=>
* *a b c≠ =
26-
*
b
a x b x x
a
+ = ⇔ = −
"+@C9:=\f9
'' *x b x+ =
h$i
=>*-
'' *b x =
'''*c⇔
'*
''*
c
⇔
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 6 -)
Lý thuyết Toán 11
=>*-
''*x b+
'''*⇔
'*
''*
⇔
=>
* * *a c x≠ ≠ ≠
-
''
*
x x
a b c
x x x
⇔ + + =
'*a x b⇔ +
!(7Gk=lFE=@m9:]M9:
•
x x x x
π π
+ = + = −
÷ ÷
•
x x x x
π π
− = − = − +
÷ ÷
•
x x x x k
π
+ = − ∀ ≠
÷
•
x x x k
x
π
− = ∀ ≠
÷
•
x x x
+ = +
•
? ?
@
A A
x x x
+ = +
•
x
x
π
+ = −
÷
•
x
x
π
− = −
÷
•
x
x
x
π
−
÷
+ =
x
x
x
π
−
÷
− =
!(789:;<9:=>=\V9:=Q:B7
•
A B C
A B C
+ + =
•
A B C
A B C
+ + = +
•
A B C A B C
+ + =
•
A B B C C A
+ + =
•
A B C A B C
+ + = −
•
A B C A B C
+ + = +
•
A B C A B C+ + =
•
A B C A B C
+ + = − −
•
A B C A B C
+ + =
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 7 -)
Lý thuyết Toán 11
•
A B B C C A
+ + =
VI/Các phương trình lượng giác thường gặp :
(79:BnCDE9
•
u v k
u v
u v k
π
π π
= +
= ⇔
= − +
( )
u v k
u v k
u v k
π
π
= +
= ⇔ ∀ ∈
= − +
¢
•
( )
v l
u v k l
u v k
π
π
π
≠ +
= ⇔ ∀ ∈
= +
¢
( )
v l
u v k l
u v k
π
π
≠
= ⇔ ∀ ∈
= +
¢
@C9:=\f9DT9o==UV_=KbL?@A9::B7pQF
#:BC5-
( )
( )
( )
( )
*
*
) *
*
*
b
u
a
a u b
b
u
a u b
a
a
a u b b
u
a
a u b
b
u
a
−
=
+ =
−
=
+ =
≠ →
+ = −
=
+ =
−
=
,DE12345(628F:2G</H>;
b
a
−
≤
#2Iα2
[ ]
[ ]
) )
) *)
) )
) *)
b
a
b
a
b
a
b
a
π π
α α
α α π
π π
α α
α α π
− −
= ∈
−
= ∈
− −
= ∈
−
= ∈
⇒/3HE2I52;<4J/K5J
$+
"+ @C9:=\f9DTQB=UV_=KbL?@A9::B7pQF
#:BC5-
*
*
) *
*
*
a u b u c
a u b u c
a
a u b u c
a u b u c
+ + =
+ + =
≠
+ + =
+ + =
,0
u t
t
u t
u t
u t
=
≤
=
=
=
⇒92345(62L2
*
MJ12345(626<'N/H>;=>:⇒E2I52;<4J5J6<'
2+ (7]S9:G7
S9:pQN@C9:=\f9 @C9:N7N:BEB
S9:$92345(62L2O20L2/D
P'(5/:P'Q8<RK>2SQ3T55E ,0U12VP'
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 8 -)
Lý thuyết Toán 11
8/:
S9:"92345(62L2O/D
x
8
x
(7$
%=/W=(EHBC5
( )
C x
α
+
C a b= +
αQ8D2X2
a
a b
α
=
+
8
b
a b
α
=
+
(7"
• 6<52;<2Y
*
x
=
• Z
*
x
≠
26/0
x
t
=
:-
t
x
t
=
+
)
t
x
t
−
=
+
,3
12345(62/[228212345
(62L22\U
S9:292345(62/D'S5
x
8
x
-
•
( )
*a x x b x x c
+ + + =
•
( )
*a x x b x x c
− + + =
,0
)
t x x x
π
= ± = ± ∈ −
÷
26
t
x x
−
= ±
÷
S9:492345(622>FL2/D
x
8
x
-
*a x b x x c x
+ + =
Z
]*
(7$
• 6<52;<2Y
*x
=
• Z
*x
≠
2622=^
12345(622
x
BK/3
12345(62/[2HBC512345
(62L22\U
x
(7"
• 6<52;<2Y
*x
=
• Z
*x
≠
2622=^
12345(622
x
BK/3
12345(62/[2HBC512345
(62L22\U
x
S9:692345(622>FL/D
x
8
x
-
a x b x c x x d x x
+ + + +
*e x f x
+ + =
#E25J345X2312345(622>F
2OL223522=2
x
20
x
82_`E1BV5E2a5/b5
2SQ3T55E4J
4. k=ANP9:=>9:Bn
=2T1c52S52;<(5E9 dM2b52e55_12:2KQC/3T52;<5CQ
<8f:2K:/3T<Rc52S52;</45J24g/:;5Jh>i=8E(7G/4
5J245D5238E<8g'N7(G,cQ_;=2T1c52S52;<j5345X
23;5J<R2;12345(62Q3T55E4Ja51234512E12=k/li2c5/H01/=
1234512E18i<82m:/=21234512E12^i=>>-
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 9 -)
Lý thuyết Tốn 11
Qi ,3n5(fQ3T55E
(7G7B9BnCDE9
• ,3n5(fQ3T55E-Q8/3n5(f:Eo2/4p
q
8(G/:/[2I<R2H>
B345
( )
2c523n52H>B345Q82H>53T2H></r52r
• #>5Q3T55E-
»
AB
s%Q8/K<(G/3n5(fQ3T55EQ8>5C27/K<t
B2>iK(G/3n5(fQ3T55E2\<R2H>2O/p2gs/=%
• M:Q3T55E-2E5:6223n55:Q3T55E:<R2H>2O/p2
@C9:N7NDBqF]Br9:sJKF9:?@A9::B7
• %K>BuE/K<5I^>5Q3T55E=D/:BC5
v
π
-
/3D/HBC5
v k
m
π
+
_=bLP9:=>t9;@A]M9:9BuFvN@C9:N7N9Kw
5 5'x tgx− =
5
x tgx
x
+ =
5 5'
x
x
− = −
0x,(yz
.KB 1. QUI T { C /& M
|{((1
|{(
tRc5;/3T282827_==\V9:QB282/R5=>282/R58i:72X2;282
/R5:972X2;GP9:=\M9:O6E28^282/R52S2O26c5;/::j9
72X2;
(}~w>ixR5:2K<7(R522H>(3n52T1
|{(
|{(
tRc5;/3T282827<R(52282/R5?B•9=BkN=>:72X2;282/R52S
2O8S5<yE2/::E22X2;282/R52S226:+9728282c5;
(}~w>ix2l:2K<7(R522H>(3n52T1
.KB" .HOÁN VỊ - CHỈNH HP - TỔ HP
HOÁN VỊ
1. Đònh nghóa : Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) . My=h>J^Xsắp thứ tự n phần tử của tập hợp
A được gọi là một hoán vò của n phần tử đó
1. Giai thừa:
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 10 -)
Lý thuyết Tốn 11
n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1
n! = (n–1)!n
!
!
n
p
= (p+1).(p+2)…n (với n>p)
!
( )!
n
n p−
= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
2. Hoán vò (không lặp):
Một tập hợp gồm n phần tử (n
≥
1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó
được gọi là một hoán vò của n phần tử.
Số các hoán vò của n phần tử là: P
n
= n! = 1.2.3………(n-1).n
3. Hoán vò lặp:
Cho k phần tử khác nhau: a
1
, a
2
, …, a
k
. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n
1
phần tử a
1
,
n
2
phần tử a
2
, …, n
k
phần tử a
k
(n
1
+n
2
+ …+ n
k
= n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán
vò lặp cấp n và kiểu (n
1
, n
2
, …, n
k
) của k phần tử.
Số các hoán vò lặp cấp n, kiểu (n
1
, n
2
, …, n
k
) của k phần tử là:
P
n
(n
1
, n
2
, …, n
k
) =
1 2
!
! ! !
k
n
n n n
4. Hoán vò vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là
một hoán vò vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vò vòng quanh của n phần tử là: Q
n
= (n – 1)!
CHỈNH HP
1. Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử( n ≥ 1) .
K=h>J^;QOi12Fz2E2>g12FzcủaL12T1s8x12SX2_52\<R2SX8/:
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đcho.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :
Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là
A
k
n
thì
{
{
kn
n
A
k
n
−
=
1. Chỉnh hợp (không lặp):
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1
≤
k
≤
n) theo một thứ tự nào
đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
!
( 1)( 2) ( 1)
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
= − − − + =
−
•
Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
•
Khi k = n thì
n
n
A
= P
n
= n!
2. Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 11 -)
Lý thuyết Tốn 11
lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất đònh được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của
n phần tử của tập A.
|E2}22c~1Q•12€1>•128‚•-
k k
n
A n=
TỔ HP
.Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử ( n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A ( 1 ≤ k ≤ n ) được gọi
là là một tổ hợp chập k của n phần tử .
1. Tổ hợp (không lặp):
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1
≤
k
≤
n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
•
Qui ước:
0
n
C
= 1
Tính chất:
0
1
1 1
1
1
1
n
n n
k n k
n n
k k k
n n n
k k
n n
C C
C C
C C C
n k
C C
k
−
−
− −
−
= =
=
= +
− +
=
2. Tổ hợp lặp:
Cho tập A =
{ }
1 2
; ; ;
n
a a a
và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một
hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:
1
1 1
k k m
n n k n k
C C C
−
+ − + −
= =
3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
•
Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:
!
k k
n n
A k C=
•
Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự.
⇒
Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vò trí các phần tử –> chỉnh hợp
Ngược lại, là tổ hợp.
•
Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k
≤
n):
+ Không thứ tự, không hoàn lại:
k
n
C
+ Có thứ tự, không hoàn lại:
k
n
A
+ Có thứ tự, có hoàn lại:
k
n
A
Bài 3 . NHỊ THỨC NIUTƠN
1. (P9:=>9€=>BF=C9
( )
*
n
k n n
n n n n k k n n
n n n n n n
a b a a b a b a b a b b
C C C C C C
−
− − − −
+ = + + + + + + +
(1)
=
kkn
n
k
k
n
ba
C
−
=
∑
*
(*)
H nlFE
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 12 -)
Lý thuyết Tốn 11
Z:-
###
*
+++=
V):-
( ) ( )
####
*
* −++−++−=
(}~+\V9:DBqF=>vJkNEBpQP9:=>h$i
a/ Số các hạng tzQ8(n +1).
b/ #E2C5z:D<j^5J<BFg/=*D<j^ƒ5BFg*/=235W5ED<j^
8(5<y2C5zQ>ca5h>3
*
*
#E2;D^<y2C5zE2/H>22C5z/F>8>D26a52>
"+Q:B7Q^[Q9
*
?
@@**@
T9[H=
###
−
−
−
+=
1. Công thức khai triển nhò thức Newton: Với mọi n
∈
N và với mọi cặp số a, b ta có:
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b
−
=
+ =
∑
2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: T
k+1
=
k n k k
n
C a b
−
( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:
k n k
n n
C C
−
=
5)
0
1
n
n n
C C= =
,
1
1
k k k
n n n
C C C
−
+
+ =
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhò thức Newton, ta gán cho a và b những giá trò đặc biệt thì ta
sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)
n
=
0 1 1
n n n
n n n
C x C x C
−
+ + +
⇒
0 1
2
n n
n n n
C C C+ + + =
(x–1)
n
=
0 1 1
( 1)
n n n n
n n n
C x C x C
−
− + + −
⇒
0 1
( 1) 0
n n
n n n
C C C− + + − =
.KB4+•‚.&(ƒ
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 13 -)
Lý thuyết Tốn 11
^ •‚„-…
$!HN=†
92N12z5„>2GQ812N12z<82c5/E(3/3T=h>J^:<0B…/[=L12T1OJE=
h>J:2K^12N12z/:
!P9::BQ9‡F
L12T1E=h>J:2K'Ji(^<R12N12z/3T5IQ82c55<„>^12N12z8o2;>Q8
Ω
^ .&(ƒ
.Bk9LQ8<RL1^2c55<„>
TN∅/3T5IQ8=D2c52K#fL1
Ω
/3T5IQ8=D2x2x
^ •ˆ,‰(,(.&(ƒ
L1
Ω
.s/3T5IQ8=D/D^=Dso2;>Q8
s
TNs∪%/3T5IQ8AN^E=Ds8%
TNs∩%/3T5IQ8:BQV^E=Ds8%
=>s∩%∅26:s8%[F9:GŠ+
#2_`-s∪%'Ji(282m2s'Ji(20%'Ji(
s∩%'Ji(282m2s8%/r52n'Ji(%=Ds∩%f/3To2;>s%
s8%'>52x282m22_52c528…5'Ji(
.KB6+x,(yz(Y.&(ƒ
/X‹(0/Œ(Yx,(yz
/€99:•Q
MJzs=DQGh>/=<R12N12z2m:<RD2e>2C=h>J/r52Jƒ5'>O2; 5ImD
s
Ω
Q8'E>O^=Dso2;>Q89sZLi
s
s9
Ω
=
(}~sQ8D12Fz^s
Ω
Q8DE=h>J:2K'Ji(^12N12z
!5(z(Yx,(yz
$!/€9?t
9∅*9
Ω
*≤9s≤<I=Ds
=>s8%'>52x269s∪%9s9%
nlFEZ<I=Ds:
( )
( )
APAP −=
!(,(.&(ƒ/1(3„(-'(x,(yz
s8%Q82=D/RQL1282m29s%9s9%
1. Biến cố
•
Không gian mẫu
Ω
: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
•
Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A
⊂
Ω
.
•
Biến cố không:
∅ •
Biến cố chắc chắn:
Ω
•
Biến cố đối của A:
\A A=
Ω
•
Hợp hai biến cố: A
∪
B
•
Giao hai biến cố: A
∩
B (hoặc A.B)
•
Hai biến cố xung khắc: A
∩
B =
∅
•
Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất
•
Xác suất của biến cố: P(A) =
( )
( )
n A
n
Ω
•
0
≤
P(A)
≤
1; P(
Ω
) = 1; P(
∅
) = 0
•
Qui tắc cộng: Nếu A
∩
B =
∅
thì P(A
∪
B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì: P(A
∪
B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
•
P(
A
) = 1 – P(A)
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 14 -)
Lý thuyết Tốn 11
•w>N2l-\E>s%†€Q€1269s%9s9%
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
• X = {x
1
, x
2
, …,x
n
}
•
P(X=x
k
) = p
k
p
1
+ p
2
+ … + p
n
= 1
2. Kì vọng (giá trò trung bình)
•
µ
= E(X) =
1
n
i i
i
x p
=
∑
3. Phương sai và độ lệch chuẩn
•
V(X) =
2
1
( )
n
i i
i
x p
=
−
∑
µ
=
2 2
1
n
i i
i
x p
=
−
∑
µ
•
σ
(X) =
( )V X
(
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC
A. LÝ THUYẾT
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị ngun dương n, ta thực hiện
như sau:
•
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 15 -)
Lý thuyết Toán 11
•
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k
≥
1), chứng minh rằng mệnh đề
đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n
≥
p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k
≥
p và phải chứng minh
mệnh đề đúng với n = k + 1.
§2. DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩatR28<D>'E/p2(GL1
¥
ED5>iGB3455IQ8B[iDc2C
o2;>
-
n u n
u ®
a
¥ ¡
,0
n
u u n=
5I
n
u
Q8D2C5W5h>E2iD2C52S^B[iD
2. Cách cho một dãy số:
• #2a5c52S^D2C5W5h>E
• #2a5c52S(>i2r
• #2a5E2<cJ
3. Dãy số tăng, dãy số giảm:
• >
Q8B[iDƒ5⇔>
‡>
∀∈
⇔ >
>
‡*∀∈⇔
1
1
n
n
u
u
+
>
∀∈>
‡*
• >
Q8B[iD5J< ⇔>
ˆ>
∀∈
⇔>
>
ˆ*∀∈⇔
1
1
n
n
u
u
+
<
∀∈>
‡*
4. Dãy số bị chặn:
• >
Q8B[iDp20(G⇔∃t∈q->
≤t∀∈
• >
Q8B[iDp20B3⇔∃<∈q->
≥<∀∈
• >
Q8B[iDp20⇔∃<t∈q-<≤>
≤t∀∈
§3. CẤP SỐ CỘNG
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: (u
n
) là cấp số cộng
⇔
u
n+1
= u
n
+ d,
∀
n
∈
N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát:
1
( 1)
n
u u n d= + −
với n
≥
2
3. Tính chất các số hạng:
1 1
2
k k
k
u u
u
− +
+
=
với k
≥
2
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 16 -)
Lý thuyết Toán 11
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 2
( )
2
n
n n
n u u
S u u u
+
= + + + =
1
2 ( 1)
2
n u n d
+ −
§4. CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: (u
n
) là cấp số nhân
⇔
u
n+1
= u
n
.q với n
∈
N* (q: công bội)
". Số hạng tổng quát:
1
1
.
n
n
u u q
−
=
với n
≥
2
3. Tính chất các số hạng:
2
1 1
.
k k k
u u u
− +
=
với k
≥
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1
1
(1 )
1
1
n
n
n
S nu vôùi q
u q
S vôùi q
q
= =
−
= ≠
−
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
(Y/Ž*(Y•yƒ
+ &'((.W
$+ /€99:•Q
Định nghĩa 1: :(a5B[iD>
:52CQ8*2BFcX=>
u
n
:2K2Y24<RDB345N…i`KgD2C58/:(7/o2;>-
( )
Q< *2i> *2
u
n
n
= → → ∞
→+∞
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 17 -)
Lý thuyết Toán 11
Định nghĩa 2: :B[iD>
:52CQ82i>
BF2BFc
X
n → +∞
=>
( )
Q< *
n
n
u a
→+∞
− =
o2;>-
( )
Q< 2i> 2
n
n
u a a
→+∞
= → → ∞
Chú ý:
( ) ( )
Q< Q<
n n
n
u u
→+∞
=
"+ _=JKB:B•BS9;‘DBn=+
Q< *Q< *
+
= = ∈¢
n
( )
lim 0
n
q =
1q <
d<>
Q82a5D‡d<>
Q<
2+ _=bL;€9?~Ju:B•BS9pQ]’wbL+
Định lý 1:#2B[iD>
8‰
:-
*
n
v n
n n
u w≤ ≤ ∀ ∈¥
8
( ) ( ) ( )
n
lim lim lim u
n n
v w a a= = ⇒ =
Định lý 2:=>Q<>
Q<
26-
( ) ( ) ( )
lim lim lim
n n n n
u v u v a b± = ± = ±
( )
lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b= =
( )
( )
( )
*
n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
n
n
n n
u
u
a
b
v v b
= = ≠ ∀ ∈ ≠¥
( ) ( )
lim lim , 0 ,a 0
n n n
u u a u= = ≥ ≥
4+ “9:pQoNbL9R9?MBJPS9sP9:D_Bl„J•B
1.q <
1
lim lim
1
n
u
S
q
=
−
6+ ’wbL]”9=•BJP•
:B[iD>
BFcX
( )
n
u → +∞
2BF4X
( )
n → +∞
=>>
Q24<RDB345OŠKgD2C58/:(7/o2;>-Q<>
+∞
2i
>
→ +∞
2
n → +∞
:B[iD>
:52CQ8
−∞
2
n → +∞
=>Q<
( )
n
u− = +∞
`2;>-
Q<>
−∞
2i>
→ −∞
2
n → +∞
i /€9?~
o =>-
( )
( )
*
n
lim 0 u 0 , n
n
u
= ≠ ∀ ∈
¥
26
1
lim
n
u
= ∞
o =>-
( )
lim
n
u = ∞
26
1
lim 0
n
u
=
% ,Wˆ,
B•BS9pQ]’wbLhF
9
iJ•B
( )
( )
n
P n
u
Q n
=
J•B„|?K7;Q=>
o =>DTgDT|gG2;D2O^9Q8
*
2;D2O^wQ8
*
26
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 18 -)
Lý thuyết Toán 11
2zD8<„>D2
/K//==h>J-
( )
0
0
lim
n
a
u
b
=
o =>DT9–C9DT|gG262z8<„>2
/K//==h>J
-Q<>
*
o =>GgDT—DT|2z8<„>2
/K//==h>J-Q<>
∞
B•BS9pQ]’wbL]S9:
( )
( )
n
f n
u
g n
=
„˜JK:?K7DBq9=>>Q9+
o #2z8<„>2
2I2o22T1
2lz8<„>K>2SQG2T1
*(Yyƒ
+ &'((.W
/€99:•Q#228<DP''E/p2(G2J5 :(a528<DP':5
2CQ8d2'BF=><IB[iD'
'
∈
8'
≠
*
n∀ ∈¥
<8
Q<'
/H>:Q<‹P'
Œdo2;>-
( )
lim
x a
f x L
→
=
"+ _=bL;€9?~Ju:B•BS9pQKbL
/€9?~$=>28<D:52Ca5d2652C/:Q8B>i2O
/€9?~"=>E52C-
( ) ( )
lim , lim
x a x a
f x L g x M
→ →
= =
26-
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x L M
→ → →
± = ± = ±
( ) ( ) ( ) ( )
lim . lim .lim .
x a x a x a
f x g x f x g x L M
→ → →
= =
( )
( )
( )
( )
lim
lim , M 0
lim
x a
x a
x a
f x
f x
L
g x M
g x
→
→
→
= = ≠
( ) ( ) ( )
lim lim ; 0, 0
x a x a
f x f x L f x L
→ →
= = ≥ ≥
#228<DP'2'85''E/p2(G2J52S/K<:2K(g
/K<5'
≤
P'
≤
2'
,x K x a∀ ∈ ≠
8
( ) ( ) ( )
lim lim lim
x a x a x a
g x h x L f x L
→ → →
= = ⇒ =
2+ v\_9:G7B9Bn:B•BS9KbL
(5/p252•52C28<D=><IB[iD'
Q<'
/H>:
Q<‹P'
Œ
∞
26:P'BFcX2'BFo2;>-
( )
lim
x a
f x
→
= ∞
=><IB[iD'
Q<'
∞
/H>:Q<‹P'
Œd26:P':5
2CQ8d2'BFcXo2;>-
( )
lim
x
f x L
→∞
=
(5/p252•52C28<D2m/f2Y<IB[iD'
<8'
‡
*
n∀ ∈¥
26:P':52CHG12JCo2;>-
( )
lim
x a
f x
+
→
=>2m/f2Y
<IB[iD'
'
ˆ
*
n∀ ∈¥
26:28<D:52CG(ECo
2;>-
( )
lim
x a
f x
−
→
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 19 -)
Lý thuyết Toán 11
.+ ,Wˆ,
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
$+ B•BS9pQKbL]S9:
( )
( )
0
lim
0
x a
f x
g x
→
÷
o =>P'5'Q8E28</2S26:2K2zD<„>D2'20'
o =>P'5'Q8EK>2S2Sƒ262lz8<„>2EK>2SQG
2T1
"+ B•BS9pQKbL]S9:
( )
( )
lim
x
f x
g x
→∞
∞
÷
∞
o #2z8<„>2'
2I2o22T1#2_`(a5=>
x → +∞
2623
'‡*=>
x → −∞
2623'ˆ*2/3'(2082YƒL2Ž
2+ M2C^28<DBC5-
( ) ( ) ( )
lim . 0.
x
f x g x
→∞
∞
=/WHBC5-
∞
÷
∞
4+ B•BS9pQKbL]S9:
( ) ( ) ( )
lim -
x
f x g x
→∞
− ∞ ∞
+,3HBC5-
( ) ( )
( ) ( )
lim
x
f x g x
f x g x
→∞
−
+
yƒ‰™(
+ &'(()*
$+ KbL?B•9=O=SB_=;Bq=\•9_=GVE9:
o #228<DP''E/p2(G2J5)!8<D/3T5IQ8QGVC/K<'
*
∈
)=>-
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
,K<'
*
C/:P'2c5QGV5IQ8/K<5E
/C^28<D
o P''E/p2(G2J5)
QGVC/K<'
*
∈
)
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
0
lim lim lim
x x
x x x x
f x f x f x f x
+ −
→
→ →
⇔ = = =
o P''E/p2(G2J5)/3T5IQ8QGV(G2J5)=>:QGV
C<I/K<2>R2J5Oi
o P''E/p2(G2J5‹)Œ/3T5IQ8QGV(G2J5‹)Œ=>:QGV
(G2J5)8
( ) ( )
( ) ( )
lim
lim
x a
x b
f x f a
f x f b
+
−
→
→
=
=
"+ _=bL;€9?~JuKbL?B•9=O
o /€9?~$P'85'QGVC'
*
26-
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
, . , 0
f x
f x g x f x g x g x
g x
± ≠
j5QGVC'
*
o /B9?~"#E28</2S28<2e>•28<Q3T55EQGV(GL1'E/p2
^2_5
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 20 -)
Lý thuyết Toán 11
o /€9?~2P'QGV(G/C‹)Œ26:/CM dM 8<I5E(p(>5
5eM d8M (G/C/:
• !;h>J-=>P'QGV(G/C‹)Œ8PPˆ*26rCo2O<R
/K<
∈
)2P* SQ8:o2O<R52;<2>R2J5
)
.+ ,Wˆ,+
$+ xH==t9?B•9=OpQKbL]S9:
( )
( ) ( )
( )
0
0
x x
a x=x
g x
f x
≠
=
o 6<
( )
0
lim
x x
g x
→
!8<DQGVC'
*
( )
0
lim
x x
g x a
→
⇔ =
"+ xH==t9?B•9=OpQKbL]S9:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
0
x<x
x=x
x>x
g x
f x a
h x
=
o 6<-
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
x x x x
x x x x
f x g x
f x g x
f x
− −
+ +
→ →
→ →
=
=
!8<DQGVC''
*
( ) ( ) ( )
0 0
0
lim lim
x x x x
f x f x f x a
+ −
→ →
⇔ = = =
2+ (>9:B9N@C9:=\f9˜h[ig#s9:Bn=\V9:GVE9:hQšDi+
o #2S5YP'QGV(G/C‹)Œ
o #2S5YPPˆ*
2/:P'*:o2O<R52;<2>R)
=>23:)26Fo2E5E(pP'/K6<8t>D2S5<2
P'*:252;<266<22J5(n2>8(G<y2J5
P'*/H>:52;<
CHƯƠNG VI
ĐẠO HÀM
• &'(()*
$+ /€99:•Q;SVK=SB_=;Bq
o Định nghĩa :#228<D
( )
y f x=
'E/p2(G2J5
( )
)a b
8
( )
*
)x a b∈
/C
28<^28<DC/K<
*
x
Q8:
( )
( )
( )
*
*
*
*
• Q<
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
o Chú ý :
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 21 -)
Lý thuyết Toán 11
• =>o2;>
( ) ( )
* * *
)x x x y f x x f x∆ = − ∆ = + ∆ −
26-
( )
( ) ( )
*
* *
*
*
*
• Q< Q<
x x x
f x x f x
y
f x
x x x
→ ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
− ∆
• =>28<D
( )
y f x=
:/C28<C
*
x
26:QGVC/K</:
"+ ›9:•QpQ;SVK
o Ý nghĩa hình học: #228<D
( )
y f x=
:/r2p
( )
C
•
( )
*
•f x
Q82;D5:^=1>i=/r2p
( )
C
^28<D
( )
y f x=
C
( )
( )
* * *
M x y C∈
• 92345(62=1>i=^/r2p28<D
( )
y f x=
C/K<
( )
( )
* * *
M x y C∈
Q8-
( ) ( )
* * *
•y f x x x y
= × − +
o Ý nghĩa vật lí :
• ZLDS2n^2>iK/R52b5'E/p2712345(62-
( )
s s t=
C
2n/K<
*
t
Q8
( ) ( )
* *
•v t s t=
.
• #3n5/RS2n^/;Q3T5
( )
Q Q t=
C2n/K<
*
t
Q8-
( ) ( )
* *
•I t Q t=
2+ |FB=Š=t9;SVKJKP9:=>=t9;SVK
o Các quy tắc : #2
( ) ( )
) ) -u u x v v x C= =
Q82a5D
•
( )
• • •u v u v± = ±
•
( ) ( )
• • • u v u v v u C u C u
′
′
= + ⇒ =
•
( )
• •
*
u u v v u C C u
v
v u
v u
′
′
−
= ≠ ⇒ = −
÷ ÷
• =>
( ) ( )
x u x
y f u u u x y y u
′ ′ ′
= = ⇒ =
o Các công thức :
•
( ) ( )
* ) C x
′ ′
= =
•
( ) ( )
( )
n n n n
x n x u n u u n n
− −
′ ′
′
= ⇒ = ∈ ≥¥
•
( )
( )
( )
( )
* *
u
x x u u
x u
′
′ ′
= > ⇒ = >
•
( ) ( )
x x u u u
′ ′
′
= ⇒ =
•
( ) ( )
x x u u u
′ ′
′
= − ⇒ = −
•
( ) ( )
( )
u
x x u u u
x u
′
′ ′
′
= = + ⇒ = = +
•
( )
( )
( )
( )
u
x x u u u
x u
′
′ ′
′
= − = − + ⇒ ⇒ = − = − +
4+ BNR9
o Định nghĩa :
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 22 -)
Lý thuyết Toán 11
• #228<D
( )
y f x=
:/C28<C
*
x
12l^28<D
( )
y f x=
C/K<
*
x
Q8-
( ) ( )
* *
df x f x x
′
= ∆
• #228<D
( )
y f x=
:/C28<
( )
f x
′
26o2
( )
f x x
′
∆
/3T5IQ812l^
28<D
( )
y f x=
o2;>-
( ) ( ) ( )
df x f x x f x dx
′ ′
= ∆ =
2i
dy y dx
′
=
o Công thức tính gần đúng :
( ) ( ) ( )
* * *
f x x f x f x x
′
+ ∆ ≈ + ∆
6+ /SVKoNQV
o Đạo hàm cấp 2 :
• Định nghĩa :
( ) ( )
f x f x
′
′′ ′
=
• Ý nghĩa cơ học:MDS2n^2>iK/R5
( )
s f t=
C2n/K<
*
t
Q8
( ) ( )
* *
a t f t
′′
=
.
o Đạo hàm cấp cao :
( )
( )
( )
( ) ( )
n n
f x f x n n
−
′
= ∈ ≥
¥
• (,(ˆ,eZ
$+ f;SVK=UV;€99:•Q
o Phương pháp : ,K6</C28<2\/p252•:E2>-
• Cách 1 : 2\h>ix
o Bước 1 :#2
x
<RD5
x∆
86<D5
y∆
6<
( ) ( )
y f x x f x∆ = + ∆ −
dL1
mD
y
x
∆
∆
o Bước 2 : 6<52C
*
Q<
x
y
x
∆ →
∆
∆
• Cách 2 :‘1BV5c52S-
( )
( )
( )
*
*
*
*
• Q<
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
"+ Bk=N@C9:=\f9=BkN=Fwk9pQ;@m9:V9:
o Phương pháp :
• Khi biết tiếp điểm : =1>i=^/r2p
( ) ( )
-C y f x=
C
( )
* *
)M x y
:12345(62
Q8-
( ) ( )
* * *
• y f x x x y
= − +
• Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: =>=1>i=^/r2p
( ) ( )
-C y f x=
:2;D
5:Q8
k
265I
( )
* * *
)M x y
Q8=1/K<
( )
*
•f x k⇒ =
MJ12345(626<
*
x
>i(
( )
* *
y f x=
92345(62=1>i=12J6<:BC5-
( )
* *
y k x x y= − +
Chú ý :
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
( )
( )
* *
M x y C∈
là
( )
*
k f x
α
′
= =
Trong
đó
α
là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến .
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 23 -)
Lý thuyết Toán 11
Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng
nhau .
Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng
−
.
• Biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )
)A x y
:
Z=12345(62=1>i=^
( )
y f x=
C
( )
* * *
)M x y
-
( ) ( ) ( )
* * *
• y f x x x y= − +
Z6=1>i=/h>
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * *
) • A x y y f x x x f x⇒ = − +
MJ12345(626<
*
x
2=8>i(12345(62=1>i=
ĐẠO HÀM
1.Tóm tắt lý thuyết
/SVKpQ
xf
=SB
*
x
„GtBnF
*
•
xf
Qw
*
•
xy
*
***
*
*
•
Q<
Q<
*
xx
xfxf
x
xfxxf
xf
xxx
−
−
=
∆
−∆+
=
→→∆
]S9:+
**
•
*
xxxfyy
−=−
(7P9:=>=t9;SVK
/SVKpQ89:bL
#’*
/SVKpQ[
( )
•=x
( )
•
−
=
nn
xnx
x
x
•
=
•
x
x
−=
/SVKpQKAN
( ) ( )
••
ukku =
( )
•
•
uunu
nn −
=
( )
•
•
u
u
u =
•
•
u
u
u
−=
'
*
≠
/SVKpQ“9:„BnF„t„@C9:
( )
•••
•
wvuwvu −+=−+
( )
*
••
•
••
•
≠=
−
=
+=
xvv
v
uvvu
v
u
uvvuuv
B•BS9pQ
x
x
Q<
*
=
→
x
x
x
/SVKpQKbL?@A9::B7
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 24 -)
( )
( )
••
•
••
•
vuvu
vuvu
−=−
+=+
Lý thuyết Toán 11
( )
xx
•
=
( )
uuu
•
•
=
( )
•
•
uunu
nn −
=
( )
xx
•
−=
( )
uuu
•
•
−=
••
uunu
nn −
=
( )
x
x
•
=
( )
u
u
u
•
•
=
••
uunu
nn −
=
( )
x
x
•
−=
( )
u
u
•
•
−=
••
uunu
nn −
=
=>28<D>5':/C28<C'Q8
x
u
•
828<D
ufy =
:/C28<C>Q8
u
y
•
26
28<2T1
xgfy =
:/C28<C'Q8-
2. Các bài toán cơ bản:
.KB=V79$ o2/C28<a5/p252•-
@C9:N7N:BEB
.@•$MI
x∆
Q85D^'C
*
x
o2
**
xfxxfy −∆+=∆
.@•"dL1mD
x
y
∆
∆
.@•2 6<
x
y
x
∆
∆
→∆ *
Q<
.KB=V79"#2S5<228<D2c520:/C28<C
*
x
@C9:N7N:BEB-,K2S5<228<D
xfy =
2c520:/C28<C'
*
x
Q8<23>-
6<52C
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
+
→
8
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
−
→
^28<Di
xf
>/:
E2
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
+
→
8
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
−
→
-
=>
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
+
→
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
−
→
2628<D
xfy =
:/C28<
C
*
x
=>
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
+
→
≠
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
−
→
2628<D
xfy =
2c5:
/C28<C
*
x
.KB=V794Bk=N@C9:=\f9=BkN=Fwk9pQKbL
xfy =
S9:$#228<D
xfy =
:/r2p#=12345(62=1>i=C/K<t
**
) yx
@C9:N7N:BEB
.@•$+E/p2I/R
**
) yx
.@•" o2/C28<^
•
xf
C
*
x
.@•2Z=12345(62=1>i=C/K<t
**
) yx
:BC5-
**
•
*
xxxfyy −=−
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 25 -)
xux
uyy
•••
=
