Các phương pháp xử lí những dạng toán chứng minh trong hình học

CHỨNG MINH DỄ DÀNG VỚI CÁC PHƯƠNG PHÁP HAY
I. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
A. PHƯƠNG PHÁP
1. Hai đoạn thẳng có cùng số đo
2. Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba
3. Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân, của hai đoạn thẳng bằng
nhau đôi một.
4. Hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều,
tam giác vuông,
5. Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
6. Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến của tam giác, định
nghĩa trung trực của đoạn thẳng
7. Tính chất của một hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang
cân,
8. Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc
30
o
trong tam giác vuông
9. Tính chất giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác, tính chất giao điểm
của ba đường trung trực trong tam giác
10. Định lí đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang
11. Các tính chất của dây cung, cung bằng nhau của đường tròn
12. Tính chất của các tỉ số bằng nhau
13. Một số định lí như Ta-lét, Pitago,
14. Tính chất hai đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song
15. Các tính chất của các phép tịnh tiến, đối xứng, quay.
B. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài toán 1.
Cho tam giác ABC có AP là phân giác của góc A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa
đỉnh A, vẽ tia Px sao cho
·

·
CPx BAC=
. Tia này cắt AC ở E. Chứng minh rằng PB = PE.
Bài toán 2.
Cho tam giác ABC có góc A khác 60
o
. Dựng phía ngoài tam giác ABC các tam giác
đều ABD và ACE. Vẽ hình bình hành EADF. Chứng minh tam giác BCF là một tam
giác đều.
Bài toán 3.
Gọi P là điểm nằm trên đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Hạ các đường
vuông góc PA
1
, PB
1
, PC
1
xuống các cạnh BC, CA, AB.
a. Chứng minh rằng A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng
b. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng A
1
B
1
C

1
(đường thẳng
Simson) cắt PH tại I. Chứng minh IP = IH.
HD: b. Lấy Q đối xứng với P qua điểm C
1
, lấy R đối xứng với P qua điểm A
1

thẳng hàng (PP10)
Gọi K và L lần lượt là điểm đối xứng với H qua BA và BC.
Dễ thấy K, L thuộc (O). PQKH và PRLH là các hình thang cân.
thẳng hàng
Chú ý: QR là đường thẳng Stai-nơ. Đường thẳng Stai-nơ song song với đường thẳng
Simson
Bài toán 4.
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Lấy AB và BC là cạnh, dựng hai tam
giác đều ABE và BCF nằm về cùng một phía bờ AC. Gọi I và J là trung điểm của AF
và CE. Chứng minh rằng
EF
IJ =
2
.
HD: Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của BE, BF và AC. Ta có
EF
MN =
2
. Chứng
minh MN = IJ 
BMN KJI∆ = ∆
Bài toán 5.

Cho tam giác ABC và ( I ) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm trên
các cạnh BC, CA, AB lần lượt là A
1
, B
1
, C
1
. Gọi E là điểm đối xứng của B qua CI, F
là điểm đối xứng của B qua AI. Chứng minh rằng B
1
E = B
1
F.
HD: Chứng minh B
1
F = BC
1
, B
1
E = BA
1

Bài tập 6.
1 1
/ / , / /IP IH IC QH IA HR= ⇐
, ,Q H R⇐
·
·
·
·

·
·
·
·
·
·
·
180 , ,
o
QHK KHL LHR PKH KHL PLH
PBC KHL PBA ABC KHL Q H R
+ + = + +
= + + = + = ⇒
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt đường tròn (O). Gọi A là hình chiếu
của (O) trên d. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (O) ở B và C. Hai tiếp tuyến của (O) tại B
và C cắt d ở E và F. Chứng minh AE = AF.
HD: Chứng minh
·
·
·
OF ( ) OF OFOEB C OAC OEB C OE= = ⇒ ∆ = ∆ ⇒ =
II. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU
A. PHƯƠNG PHÁP
1. Sử dụng hai góc có cùng số đo
2. Sử dụng góc thứ ba làm trung gian (hai góc cùng bằng một góc), hai góc cùng
phụ một góc, hai góc cùng bù một góc
3. Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của 2 góc tương ứng bằng nhau
4. Sử dụng định nghĩa tia phân giác của một góc
5. Hai góc đối đỉnh
6. Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song (đồng vị, so le, )

7. Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc
8. Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau
9. Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung
10. Hai góc đáy của một tam giác cân, hình thang cân
11. Các góc của một tam giác đều
12. Sử dụng các tính chất về góc của một hình bình hành
13. Sử dụng kết quả của hai tam giác đồng dạng
14. Sử dụng tính chất của tam giác, tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp một đường tròn
15. Sử dụng hàm số lượng giác sin, cos, tan và cot
16. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến, đối xứng, quay.
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1.
Cho tam giác ABC, trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD
= CE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Đường thẳng qua M và N
lần lượt cắt AB và AC tại P và Q. Chứng minh rằng góc
·
·
MPB MQC=
.
·
BAC
Khai thác: Chứng minh MN song song với tia phân giác của .
Bài toán 2.
Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ
nửa đường tròn đường kính AM và nửa đường tròn đường kính AD. Tiếp tuyến tại
D của đường tròn nhỏ cắt nửa đường tròn lớn tại C và các tiếp tuyến tại C và A
của đường tròn lớn cắt nhau tại B. Nối P bất kì trên cung nhỏ AC với điểm D cắt
nửa đường tròn nhỏ tại K. Chứng minh rằng AP là phân giác của góc
HD: AP là phân giác của
và tam giác DAP cân tại D

Bài toán 3.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, E là điểm nằm giữa A và B, đường thẳng CE cắt
đường thẳng AD tại K. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với CE, cắt AB tại I.
a. Chứng minh trung điểm của IK di động trên một đường thẳng cố định khi E di
động trên đoạn AB.
b. Cho BE = x. Tính BK, CK, IK và diện tích tứ giác ACKI theo a và x.
Bài toán 4.
Cho tam giác ABC với góc A < 90
o
, có AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.
Vẽ đường cao AH và bán kính OA. Chứng minh rằng
·
µ
µ
OAH B C= −
.
HD: Theo GT ta có
µ
µ
B C>
. Ta tạo ra
µ
µ
B C−
bằng cách lấy B làm đỉnh, BC làm một
cạnh, vẽ
·
µ
CBx C=

. Ta chỉ cần chứng minh
·
·
ABx OAH=
. AH kéo dài cắt (O) tại D, Bx
cắt (O) tại E, chứng tỏ AE
⊥
AD
⇒
D, O, E thẳng hàng. Từ đó suy ra điều cần
chứng minh.
Cách 2: Có thể tạo ra
·
µ
ABx C=
Cách 3: Có thể tạo ra
·
µ
µ
ACE B C= −
( B và E khác phía bờ AC )
Cách 4: Có thể tạo ra
·
µ
µ
BCQ B C= −
( A và Q khác phía bờ BC )
Cách 5: Kẻ đường kính AK. Xét góc trong tam giác ABK
Cách 6: Tương tự tìm cách cách để chứng minh
µ

·
µ
B OAH C= +
Bài toán 5.
Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau ở A và B (O
1
và O
2
thuộc hai nửa mặt
phẳng bờ AB). Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O
1
) ở C, cắt đường tròn (O
2
) ở
D. Các tiếp tuyến của hai đường tròn kẻ từ C và D cắt nhau ở I. Chứng minh rằng
khi cát tuyến CAD thay đổi thì :
·
BAK
·
·
» »
BAP PAK AI IK AI IK⇐ = ⇐ = ⇐ =
·
·
ADI IDP DI AP⇐ = ⇐ ⊥
·

BAK
a.
·
CBD
không đổi
b.
·
CID
không đổi
HD:a)
·
·
·
CBD CBA ABD= +
. Biến đổi chứng tỏ
·
·
1 2
CBD O AO=
không đổi.
Bài toán 6.
Cho hình bình hành ABCD, P ở trong hình bình hành sao cho
·
·
PAB PCB=
. Chứng
minh rằng
·
·
PBA PDA=

.
HD: Vẽ hình bình hành APQD suy ra PQCB cũng là hình bình hành. Ta có
·
·
·
·
,PBA QCD PDA QPD= =
. Phải đi chứng minh
·
·
QCD QPD=
bằng cách chứng minh tứ
giác PDQC nội tiếp
Bài toán 7.
Cho hình bình hành ABCD, trên BC và CD lấy 2 điểm tương ứng là M và N sao
cho BN = DM. Gọi I là giao điểm của BN và DM. Chứng minh
·
·
AID AIB=
.
HD: Kẻ AE và AF lần lượt vuông góc với DM và BN. Chứng minh
AIFAIE∆ = ∆
.
Muốn vậy phải chứng minh AE = AF, ta chứng minh
1
( )
2
ADM ABN ABCD
S S S
∆ ∆

= =

Bài toán 8.
Cho (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc trong với nhau tại A. Điểm C thuộc (O
1
). Kẻ tiếp tuyến
của (O
1
) tại C cắt (O
2
) tại B và D. Chứng minh
·
·
BAC CAD=
.
HD: AC cắt (O
2
) tại M. Chứng minh
¼
¼
BM MD=
.
Khai thác: Chứng minh tương tự cho trường hợp hai đường tròn tiếp xúc ngoài
nhau.
III. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU
A. PHƯƠNG PHÁP

1. Xét vị trí các cặp góc tạo bởi 2 đường thẳng định chứng minh song song với
một đường thẳng thứ ba ( ở các vị trí đồng vị, so le, )
2. Sử dụng các tính chất của hình bình hành
3. Hai đường thẳng cùng song song hoặc vuông góc với đường thẳng thứ ba
4. Sử dụng tính chất đường trung bình của một tam giác, một hình thang, tính chất
hình bình hành
5. Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song
6. Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng
tương ứng song song (định lí Ta-lét)
7. Sử dụng tính chất đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên hoặc trung điểm
hai đường chéo của hình thang.
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1.
Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Kẻ phân giác MI của góc
·
BMA
và phân
giác MJ của góc
·
CMA
(I thuộc AB, J thuộc AC). Chứng minh IJ // BC.
HD:
Bài toán 2.
Cho ABCD là hình thang cân, có đáy lớn CD. Theo thứ tự từ A và B vẽ các
đường thẳng song song với BC và AD cắt hai đường chéo BD và AC tại E và F.
Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân.
Khai thác: Nếu ABCD là tứ giác lồi thì DEFC là hình gì?
Bài toán 3.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là một điểm trên
nửa đường tròn. Tia phân giác của góc CAx cắt nửa đường tròn ở E, AE và BC cắt

nhau ở K.
a) Tam giác ABK là tam giác gì? Vì sao?
b) Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh KI // Ax.
c) Chứng minh OE // BC
Bài toán 4.
Cho (O) và (I) tiếp xúc ngoài với nhau tại E. Qua E vẽ cát tuyến cắt (O) và (I) tại
A và C. Một cát tuyến khác cũng qua E cắt (O) và (I) tại B và D. Chứng minh rằng
tứ giác ABCD là hình thang.
Khai thác: Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tiếp xúc ngoài với đường
tròn ngoại tiếp tam giác CDE tại E.
HD: Qua E kẻ tiếp tuyến chung xy của hai đường tròn
Bài toán 5.
Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) (AD // BC, BC là đáy nhỏ). Gọi I
là giao điểm của AB và CD. Hai tiếp tuyến của (O) tại B và D gặp nhau ở K.
Chứng minh IK // BC.
IJ / /
IA JA
BC
IB JC
⇐ =
, ,
IA MA JA MA
MB MC
IB MB JC MC
⇐ = = =
HD: Phải chứng minh
·
·
·

·
CBK IKB BDC IKB= ⇔ = ⇔
BDKI là tứ giác nội tiếp
Bài toán 6.
Cho hình bình hành ABCD, điểm I thuộc BD. Gọi E, F, K, L thứ tự là hình chiếu
của I xuống AB, BC, CD, DA. Chứng minh EF // KL.
HD: Sử dụng kiến thức tứ giác nội tiếp
Bài toán 7.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M ở trong tam giác sao cho
·
·
·
MAB MBC MCA= =
. Kẻ tiếp tuyến Ax của (O), Ax cắt CM ở I. Chứng minh IB //
AC.
HD: Ta phải chứng minh
·
·
·
·
BIC ACI BIC BAM= ⇔ = ⇔
AIBM là tứ giác nội tiếp
IV. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
A. PHƯƠNG PHÁP
1. Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù
2. Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc 90
o
3. Dựa vào tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180
o
, đi chứng minh

cho hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 90
o
4. Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông
góc với đường thẳng kia
5. Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
6. Định nghĩa ba đường cao của tam giác, định nghĩa đường trung trực của đoạn
thẳng
7. Tính chất tam giác cân, tam giác đều
8. Tính chất ba đường cao của tam giác
9. Định lí Pitago
10. Tính chất đường kính của đường tròn đi qua trung điểm một dây cung hoặc đi
qua điểm chính giữa của một cung
11. Định lí nhận biết một tam giác vuông khi biết tam giác này có trung tuyến
thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
12. Tính chất: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông
góc với bán kính tại tiếp điểm
13. Tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ở ngoài đường tròn thì
đường thẳng đi qua điểm đó và tâm đường tròn phải vuông góc với dây cung
nối hai tiếp điểm.
14. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Tam giác ABC vuông tại A
2 ,
2 ,
b ab
c ac

=
⇔

=


.
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1.
Cho tam giác ABC. Chọn A làm đỉnh, theo thứ tự lấy AC và AB làm cạnh ta vẽ
các tam giác vuông cân CAE và BAD ra phía ngoài tam giác đã cho. Gọi P, Q, M
lần lượt là trung điểm của BD, CE, CB.
a. So sánh BE và CD. Chứng minh BD vuông góc với CE
b. Chứng minh PMQ là tam giác vuông cân.
HD: a.
AECI là tứ giác nội tiếp

b. PM // DC, QM // BE
Mà

2
DC
PM =
,
2
BE
QM =
mà BE = CD
Suy ra PM = QM
Vậy tam giác MPQ vuông cân tại M.
Bài toán 2.
Cho E là một điểm nằm trên (O) đường kính CD và M là điểm bất kì nằm trong
đoạn CD, đường thẳng vuông góc với ME tại E cắt hai tiếp tuyến Cx và Dy của
(O) lần lượt tại A và B. Chứng minh
·

90
o
AMB =
.
Bài toán 3.
Cho hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc ngoài với nhau tại N, đường nối tâm IO cắt
(O) và (I) tại A và D. Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (I) có tiếp
điểm lần lượt tại E và F, các đường thẳng AE và DF cắt nhau tại M. Chứng minh
rằng:
a. Tứ giác MENF là hình chữ nhật
·
·
( . . ) ,ABE ADC c g c BE CD AEB ACD∆ = ∆ ⇒ = =
·
·
AEB ACD= ⇒
·
·
90
o
EIC EAC BE DC⇒ = = ⇒ ⊥
BE CD PM QM⊥ ⇒ ⊥
b. MN vuông góc với AD.
Khai thác: Cho hai đường tròn (O) và (I) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OI cắt
các đường tròn (O) và (I) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng
đó. Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (I) có tiếp điểm lần lượt tại
E và F. Các đường thẳng AE và DF cắt nhau tại M và BE, CF cắt nhau tại N.
Chứng minh rằng
a. Tứ giác MENF là hình chữ nhật
b. MN vuông góc với AD.

Bài toán 4.
Cho tam giác ABC ( AB = AC ) có O là tâm đường tròn ngoại tiếp, D là trung
điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh OE vuông góc với
CD.
HD: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, H và M lần lượt là trung điểm của BC
và CD. Chứng minh EG // AB. Xét tam giác DEG có
,GO DE DO GE EO GD⊥ ⊥ ⇒ ⊥
Bài toán 5.
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB.
Điểm H thuộc đoạn DI sao cho AH vuông góc với DI.
a. Chứng minh rằng tam giác CHD cân
b. Tính diện tích tam giác CHD theo a.
HD: a) AH cắt BC tại M. Gọi N là trung điểm của AD. CN cắt HD tại K.
Chứng minh
,CK DH DK KH⊥ =
Bài toán 6.
Cho tam giác MNP cân tại M, các đường cao MD và NE cắt nhau tại H. Vẽ
đường tròn (O) đường kính MH. Chứng minh rằng:
a. Điểm E nằm trên đường tròn (O)
b. DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
HD: Phải chứng minh
·
·
DE OE DEH OEM⊥ ⇔ =
Bài toán 7.
Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc CD. Lấy CD và MB làm đường kính vẽ
hai đường tròn gặp nhau ở I, CI cắt AD tại N. Chứng minh MN vuông góc với
BD.
HD: Đường tròn đường kính BM cắt AB tại J, CJ cũng là đường kính, C, J, D
thẳng hàng. Ta phải chứng minh DM = DN

AJ AJDN CDN D⇔ = ⇔ ∆ = ∆
V. CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TRONG HÌNH HỌC
A. PHƯƠNG PHÁP
1.Tính chất các đoạn thẳng tỉ lệ
2. Định lí Ta-let thuận, đảo và hệ quả của nó
3. Tính chất đường phân giác của tam giác
4. Các tỉ số được suy ra từ hai tam giác đồng dạng
5. Tính chất của đường cao, đường phân giác, trung tuyến và diện tích của hai tam
giác đồng dạng
6. Vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
7. Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
8. Hệ thức lượng trong tam giác thường
9. Hệ thức lượng trong đường tròn
C. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1.
Ba đường trung tuyến AA
1
, BB
1
và CC
1
của tam giác ABC cắt nhau tại G. Chứng
minh rằng
1 1 1
1 1 1
1
AA
GA GB GC
BB CC
+ + =

Khai thác:
1. Ba đường cao AA
1
, BB
1
và CC
1
của tam giác ABC cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng:
1 1 1
1 1 1
1
AA
HA HB HC
BB CC
+ + =
2. Ba phân giác AA
1
, BB
1
và CC
1
của tam giác ABC cắt nhau tại I.
Chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1
1
AA
IA IB IC
BB CC

+ + =
3. Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các tia AO, BO và
CO kéo dài cắt BC, CA và AB lần lượt tại A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh hệ thức:
1 1 1
1 1 1
1
AA
OA OB OC
BB CC
+ + =
Bài toán 2.
Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, CD theo
thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:
a. AE
2
= EK.EG
b.
1 1 1
AE AK AG
= +
HD:
Vì AB // DG
Vì AD // BK Từ đó suy ra điều cần chứng minh
Ta có: . Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Bài toán 3.
Cho AA
1
là đường cao của tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn
đường kính CE = 2R. Chứng minh rằng: AB.AC = CE.AA
1
Khai thác:
1. Chứng minh công thức diện tích tam giác ABC
a. S =
4
abc
R
b. S =pr c.
1 1 1 1
a b c
h h h r
+ + =
2. Gọi O, H, G là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác
ABC. Chứng minh:
a. O, H, G thẳng hàng
b. HG = 2GO
Bài toán 4.
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Chứng minh rằng AB.CD + BC.AD = AC.BD
HD: Lấy điểm E thuộc cạnh BD sao cho
·
·
BAE CAD=
.
ABE∆
:

ACD
∆
và
ABC AED∆ ∆:
.
Bài toán 5.
2
. AE .
AE EG
a EK EG
EK AE
= ⇔ =
EG ED
AE EB
⇒ =
AE ED
EK EB
⇒ =
1 1 1 1 1 1 1
.
.
EK EK AK
b
AE AK AG AE AK AG AE AK AG AE AG
= + ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
AK DC AB EB EK
AG DG DG ED AE
= = = =
Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB, AC và trung tuyến AM theo
thứ tự tại E, F, N.

1. Chứng minh:
2
AF
AB AC AM
AE AN
+ =
2. Giả sử d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại
P và đường thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ // BC.
HD: a) Lần lượt kẻ AA
1
, BB
1
, CC
1
, MM
1
vuông góc với d rồi áp dụng định lí Ta-
lét
b) KP cắt BC tại R, KQ cắt d tại S. Chú ý rằng EN = NF. Vận dụng định lí Ta-lét
ta chứng minh
EP FQ
PB QC
=
.
Bài toán 6.
Cho hình thang ABCD,
µ
µ
A D=
= 90

o
, AC vuông góc với BD.
a) Chứng minh rằng AD là trung bình nhân của hai đáy
b) Cho AB = 18cm, CD = 32cm. Tính OA, OB, OC, OD
c) Chứng minh rằng độ dài AC, BD, AB + CD là độ dài ba cạnh của một tam giác
vuông
HD: a) Kẻ AK // BD ( K
∈
BC ). Ta có DK = AB và
AK AC⊥
Bài toán 7.
Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy của góc xOy theo thứ tự tại A
và B. Từ A vẽ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn tại điểm thứ hai là C.
OC cắt đường tròn tại điểm E (E khác C), đường thẳng AE cắt OB tại K. Gọi a, b, c
theo thứ tự là khoảng cách từ C đến AB, OB, OA. Chứng minh:
a. OK = KB b.
EB CB
EA CA
=
c. a
2
= b.c
HD: a) Chứng minh KB
2
= KO
2
(= KE.KA)
b) Xét
( . ); ( . )EBA BOC g g BAC OBA g g∆ ∆ ∆ ∆: :
. Thiết lập tỉ số, dùng tính chất bắc cầu

suy ra kết quả.
c) Gọi M, N, P lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ C xuống AB, OB, OA. Xét
( . );CPA CMB g g CNB CMA∆ ∆ ∆ ∆: :
.
HẾT