Góp phần phát triển năng lực tư duy và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông trong dạy học đại số

1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ơng Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định: Phải đổi mới phơng
pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành
nếp t duy sáng tạo cho ngời học .
Luật Giáo dục nớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)
quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn .
Dự thảo chơng trình (năm 1989) quy định những nhiệm vụ của môn
Toán trờng phổ thông trung học: Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, t
duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy lôgic và ngôn ngữ chính
xác, t duy biện chứng, , đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy nh
linh hoạt, độc lập, sáng tạo .
Chơng trình môn Toán (Thí điểm) trờng Trung học phổ thông (năm
2002) cũng đã chỉ rõ: Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát
triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trng của Toán học
cần thiết cho cuộc sống; ; rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học
vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn; phát triển khả năng suy luận
có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt
các vấn đề một cách chính xác .
1.2. Nhận định về phơng pháp dạy học Toán ở trờng phổ thông trong
giai đoạn hiện nay, các nhà toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết:
Kiến thức, t duy, tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục. Thế
nhng, hiện nay trong nhà trờng t duy và tính cách bị chìm đi trong kiến
thức [128, tr. 7]. Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức
2

(khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung
khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng
các công thức, các định lý để tính toán, để chứng minh [127, tr. 4]. Ta
còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài
toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho
học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản [138, tr. 38].
1.3. Nhà giáo dục học Nga vĩ đại K. Đ. Usinxki [52, tr. 53] và nhiều công
trình nghiên cứu về Giáo dục học, Tâm lí học, Lôgic học, Triết học, Phơng
pháp dạy học bộ môn, đã khẳng định sự cần thiết phải phát triển t duy
lôgic cho học sinh. Tuy nhiên, trong số đó, không phải tài liệu nào cũng đa
ra một cách hiểu tơng đối cụ thể về khái niệm t duy lôgic.
Nhiều tài liệu về phơng pháp giảng dạy Toán của các tác giả trong nớc
và ngoài nớc, bên cạnh việc nhấn mạnh yêu cầu phát triển t duy lôgic cho
học sinh (hoặc t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác - tuỳ theo quan điểm của
từng tác giả) nh một trong các nhiệm vụ quan trọng của dạy học Toán ở
trờng phổ thông, đã nêu lên những thành tố của loại hình t duy này [18],
[21], [22], [48], [75], [80], [133], [156], [162], . Tuy nhiên, cha phải đã có
một quan điểm thống nhất về những thành tố của nó. Hơn nữa, do tính khái
quát trong cách trình bày, các tài liệu cũng cha có dịp đi sâu để xem xét
những hình thái của loại hình t duy này trong từng cấp học và trong từng
phân môn (của môn Toán).
Lời chỉ giáo của V. I. Lênin: Không có chân lý trừu tợng, chân lý bao
giờ cũng cụ thể [90] là một tiền đề rất quan trọng để chúng ta có thể đi vào
việc nghiên cứu sâu hơn vấn đề phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng
chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong
dạy học Đại số.
1.4. Đại số ở bậc Trung học phổ thông nói chung, Đại số 10 nói riêng là
môn học có nhiều chủ đề thích hợp với việc phát triển năng lực t duy lôgic và
3

sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh. Chẳng hạn, chủ đề phơng
trình, bất phơng trình chứa trị tuyệt đối hoặc chứa tham số thích hợp với việc
rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân chia các trờng hợp riêng; phơng trình,
bất phơng trình vô tỷ thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến
đổi tơng đơng; bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thích hợp với việc
rèn luyện cho học sinh kỹ năng phối hợp giữa suy đoán và suy diễn; các thuật
ngữ và ký hiệu của lôgic toán thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ
năng biểu đạt vấn đề một cách ngắn gọn và chính xác; hệ bất phơng trình
bậc nhất thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng toán học hoá tình
huống thực tiễn; . Tuy nhiên - nh thực tiễn s phạm đã cho thấy - năng lực
t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh trong Đại
số nhìn chung cha đạt tới mức độ mà nó có thể đạt tới (điều này sẽ đợc
phân tích kỹ trong phần nội dung của Luận án). Nguyên nhân dẫn đến điều
này phải chăng vì giáo viên cha ý thức đợc tầm quan trọng, hoặc cha có
những biện pháp s phạm thích hợp để phát triển năng lực t duy lôgic và sử
dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh?.
Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến t duy lôgic, chẳng hạn
luận án Tiến sĩ của Nguyễn Đinh Hùng (1996): Bồi dỡng t duy lôgic cho
học sinh trờng trung học cơ sở Việt Nam thông qua hệ thống câu hỏi và bài
tập Đại số lớp 7 [70], nhng cha có công trình nào nghiên cứu việc phát
triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học
sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong dạy học Đại số.
Vì những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận án là:
Góp phần phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác
ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong
dạy học Đại số.


4

2. mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu để xác định những thành tố đặc trng
đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học
sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số, đồng thời nghiên cứu để xây dựng các biện
pháp nhằm góp phần phát triển năng lực này cho học sinh lớp 10 trong dạy
học Đại số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Tổng hợp quan điểm của một số nhà khoa học về t duy toán học,
năng lực toán học, t duy lôgic, ngôn ngữ toán học - nhằm hỗ trợ cho việc xác
định các thành tố đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác
ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số. Phân tích, so
sánh, đối chiếu các quan điểm đó để rút ra những nhận định cần thiết;
3.2. Đề xuất những căn cứ làm cơ sở để xác định các thành tố đặc trng
đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học
sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số;
3.3. Đề xuất một cách quan niệm về năng lực t duy lôgic và sử dụng
chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số thông
qua việc làm rõ những thành tố đặc trng của năng lực này;
3.4. Xác lập những định hớng cơ bản làm cơ sở cho việc xây dựng và
thực hiện các biện pháp s phạm;
3.5. Xây dựng và thực hiện các biện pháp s phạm nhằm góp phần phát
triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học
sinh lớp 10 trong dạy học Đại số;
3.6. Thực nghiệm s phạm.
4. Giả thuyết khoa học
Dựa vào những cơ sở lý luận và thực tiễn, có thể xác định các thành tố
đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán
5

học của học sinh đầu cấp THPT thể hiện trong Đại số. Trên cơ sở đó, trong
dạy học Đại số 10, nếu xây dựng đợc một số biện pháp thích hợp thì có thể
phát triển cho học sinh năng lực này, góp phần quan trọng vào việc nâng cao
chất lợng dạy học môn Toán ở trờng Trung học phổ thông.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài
nớc về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận án;
5.2. Điều tra quan sát: thực trạng về năng lực t duy lôgic và sử dụng
chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 trong Đại số;
5.3. Thực nghiệm s phạm: tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính
khả thi và hiệu quả của các biện pháp s phạm đã đề xuất.
6. Cái mới và đóng góp của luận án
6.1. Về mặt lý luận
6.1.1. Đã xác định đợc (kèm theo những lý giải xác đáng) nội dung của
khái niệm năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của
học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số thông qua việc làm rõ những thành tố
đặc trng của năng lực này;
6.1.2. Đã nêu lên đợc một cách tơng đối hệ thống và khái quát (kèm
theo sự phân tích nguyên nhân) những khó khăn, những sai lầm phổ biến của
học sinh khi đứng trớc những vấn đề toán học - mà việc giải quyết những vấn
đề đó đòi hỏi một sự thể hiện về năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác
ngôn ngữ toán học của học sinh;
6.1.3. Đã đa ra đợc những định hớng và những biện pháp s phạm
nhằm góp phần phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn
ngữ toán học cho học sinh trong dạy học Đại số 10. Không chỉ dừng lại ở việc
đề xuất mà còn hiện thực hoá việc thực hiện các biện pháp (theo hớng tích
cực hoá hoạt động của học sinh - phù hợp với định hớng đổi mới phơng
6

pháp dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay), nói cách khác, Luận án rất quan

tâm đến phơng thức dẫn dắt, lôi cuốn một cách hợp lý để học sinh tham gia
tích cực vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
6.2. Về mặt thực tiễn
6.2.1. Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên
Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trờng Trung
học phổ thông;
6.2.2. Phân tích, đề xuất cách trình bày hợp lý hơn đối với một khái niệm
cơ bản của Đại số 10 (việc nắm vững khái niệm này cũng nh hiểu rõ các vấn
đề liên quan đến khái niệm ấy có ảnh hởng quan trọng đến sự phát triển năng
lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh).
7. những luận điểm đa ra bảo vệ
7.1. Cách quan niệm về những thành tố đặc trng đối với năng lực t duy
lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 trong Đại
số nh Luận án của chúng tôi, là một trong những cách quan niệm mang ý
nghĩa lý luận và thực tiễn. Phát triển năng lực này vừa là một điều kiện, vừa là
một kết quả của dạy học Đại số;
7.2. Các biện pháp góp phần phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng
chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học Đại số (đề
xuất trong Luận án) là khả thi và hiệu quả;
7.3. Trong khi thực hiện các biện pháp, đã quan tâm hợp lý đến việc tăng
cờng hoạt động, bồi dỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho
học sinh;
7.4. Có thể trình bày khái niệm Hai phơng trình tơng đơng trên D một
cách hợp lý hơn so với sách giáo khoa hiện hành, nhằm đáp ứng các yêu cầu:
tính lôgic, tính chính xác, tính s phạm.

7

8. Cấu trúc của luận án
Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3

chơng:
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Quá trình t duy.
1.2. Một số quan điểm về những thành phần của t duy toán học và năng
lực toán học.
1.3. Sơ lợc về ngôn ngữ.
1.4. Ngôn ngữ toán học.
1.5. Năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học.
1.6. Kết luận.
Chơng 2: Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực t
duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10
trong dạy học Đại số
2.1. Định hớng xây dựng và thực hiện các biện pháp.
2.2. Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực t duy lôgic
và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học
Đại số.
2.3. Kết luận.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận.
8

Chơng 1
cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Quá trình t duy
1.1.1. Khái niệm về t duy
Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lý của con
ngời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lý cao hơn. Tuy nhiên, thực

tế cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con ngời không thể
nhận thức và giải quyết đợc. Muốn cải tạo thế giới, con ngời phải đạt tới
mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tính (hay còn gọi là t duy).
Trong Tâm lý học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về t duy đã
đợc trình bày trong các công trình của X. L. Rubinstêin. Những công trình
này đã thúc đẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt vấn đề cơ bản liên quan
đến việc nghiên cứu hình thức hoạt động tâm lý phức tạp. Theo cách hiểu của
X. L. Rubinstêin: T duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về
khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các t liệu cảm tính
xuất hiện do tác động của khách thể (dẫn theo [43, tr. 246]).
Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về t duy, chẳng hạn: T duy
là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan
hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tợng trong hiện thực khách quan [57,
tr. 117], hoặc: T duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn
ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách
từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. T duy
sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vợt xa giới
hạn của nó [163, tr. 290].
T duy con ngời mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.
Trong quá trình phát triển, t duy con ngời không dừng lại ở trình độ t duy
bằng thao tác tay chân, bằng hình tợng mà con ngời còn đạt tới trình độ t
duy bằng ngôn ngữ, t duy trừu tợng, t duy khái quát - hình thức t duy đặc
9

biệt của con ngời [57, tr. 119]. Trong quá trình t duy, con ngời sử dụng
phơng tiện ngôn ngữ, sản phẩm có tính xã hội cao để nhận thức tình huống
có vấn đề, để tiến hành các thao tác t duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu
tợng hoá, khái quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lý,
những quy luật - những sản phẩm khái quát của t duy.
1.1.2. Đặc điểm của t duy

Thuộc bậc thang nhận thức cao - nhận thức lý tính - t duy có những đặc
điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. T duy có những đặc điểm cơ
bản sau [57, tr. 119-125]:
* T duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;
* T duy có tính khái quát;
* T duy có tính gián tiếp;
* T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: t duy và
ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhng cũng
không đồng nhất với nhau. Sự thống nhất giữa t duy và ngôn ngữ thể hiện rõ
ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình t duy.
Đặc điểm điển hình của t duy của con ngời là mối liên hệ không thể
chia cắt đợc giữa t duy và ngôn ngữ. Nhận thức, t duy của con ngời chỉ có
thể thực hiện thông qua ngôn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của t
duy của con ngời khác với tính chất thuần tuý sinh vật của sự hoạt động tâm
lý của động vật [115, tr. 874-875].
* T duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: t duy thờng bắt
đầu từ nhận thức cảm tính, dù t duy có khái quát và trừu tợng đến đâu thì
nội dung của t duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri
giác, hình tợng trực quan, ). X. L. Rubinstêin khẳng định rằng: Nội dung
cảm tính bao giờ cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ nh làm thành chỗ
dựa cho t duy (dẫn theo [57, tr. 122]).
10

* T duy là một quá trình: t duy đợc xét nh một quá trình, nghĩa là t
duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình t duy bao gồm nhiều giai
đoạn kế tiếp nhau đợc minh hoạ bởi sơ đồ (do K. K. Plantônôv đa ra):
đ
Nhận thức vấn
Xuất hiện các liên tởng
Sàng lọc liên tởng và hình thành giả thuyt

Kiểm tra giả thuyt
Chnh xác hoá
đ
Khẳng
nh
đ
Phủ
nh
đ
Giải quy
t vấn
Hoạt động t duy mới

Hình 1.1
* Quá trình t duy là một hành động trí tuệ: quá trình t duy đợc diễn ra
bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao
tác trí tuệ tham gia vào một quá trình t duy cụ thể với t cách một hành động
trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá,
1.1.3. Tác dụng của t duy
T duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Ngời ta dựa vào t duy
để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng
những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình [115, tr. 876].
1.1.4. Về sự phân loại t duy
Có nhiều cách phân loại t duy.
Theo [57], [117], [143] có ba loại t duy:
a) T duy trực quan, hành động: đó là loại t duy bằng các thao tác cụ thể
tay chân hớng vào việc giải quyết một số tình huống cụ thể, trực quan.
11

b) T duy trực quan hình tợng: là loại t duy phát triển ở mức độ cao

hơn, ra đời muộn hơn so với loại t duy trực quan hành động, chỉ có ở ngời,
đó là loại t duy mà việc giải quyết vấn đề dựa vào các hình ảnh của sự vật,
hiện tợng.
c) T duy trừu tợng (t duy ngôn ngữ, lôgic): là loại t duy phát triển ở
mức độ cao nhất, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy mà việc giải quyết vấn đề
dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn
ngữ, lấy ngôn ngữ làm phơng tiện.
Theo A. V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có 4 loại t duy: t duy hình
tợng, t duy thực hành, t duy khoa học và t duy lôgic.
Trong đó, t duy lôgíc đợc hiểu là: T duy thay thế các hành động với
các sự vật có thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc của Lôgic
học [105, tr. 126-130].
Trong một số công trình của V. A. Cruchetxki, ông có nói đến: t duy
tích cực, t duy độc lập, t duy sáng tạo, t duy lý luận [30, tr. 112-117].
Các thuật ngữ t duy lý luận, t duy kinh nghiệm đã đợc V. V. Đavđôv
sử dụng trong cuốn Các dạng khái quát hoá trong dạy học [43, tr. 247].
J. Piaget thờng nói đến 2 loại t duy: t duy cụ thể, t duy hình thức.
Trên đây là một số cách phân loại t duy, qua đó có thể nhận thấy rằng:
cách phân loại t duy là hết sức đa dạng.
1.2. Một số quan điểm về những thành phần của t duy toán học
và năng lực toán học
Phần này không nhằm mục đích đi sâu nghiên cứu về năng lực toán học
hay t duy toán học, mà chỉ nhằm hỗ trợ cho việc xác định các thành tố đặc
trng của năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của
HS trong Đại số (sẽ đợc trình bày trong những phần về sau) mà thôi.
Qua phần này chúng ta sẽ thấy rằng:
12

- Cha có sự thống nhất hoàn toàn giữa các quan điểm của các nhà
khoa học;

- Chỉ có sự độc lập tơng đối giữa các thành phần đợc tách ra từ năng
lực toán học hoặc t duy toán học;
- Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các loại hình t duy là cha
thống nhất, một loại hình t duy nào đó theo cách hiểu của tác giả này có thể
không đồng nhất với loại hình t duy ấy theo cách hiểu của tác giả kia, và
cũng không nhất thiết phân biệt hoàn toàn với loại hình t duy có tên
gọi khác;
Việc tham khảo quan điểm của các nhà khoa học về những thành phần
của t duy toán học hay năng lực toán học nh là một trong những điểm tựa
hỗ trợ cho việc xác định các thành tố đặc trng của năng lực t duy lôgic và sử
dụng chính xác ngôn ngữ toán học, sẽ góp phần khẳng định tính giá trị của
việc phát triển năng lực này trong giáo dục Toán học, bởi: dẫu có khác nhau
về quan điểm cũng nh cách sử dụng thuật ngữ, nhng tựu trung lại, những
thành tố có mặt trong các quan điểm ấy đều cần thiết và tác động đến chất
lợng học tập môn Toán của HS. Hơn nữa, nó thể hiện Quan điểm tiếp cận hệ
thống trong nghiên cứu Khoa học Giáo dục (đã đợc các tác giả Trần Thúc
Trình, Nguyễn Bá Kim trình bày trong [56, tr. 92-95] v [77, tr. 24-26]).
1.2.1. Vai trò của t duy toán học và một số hớng nghiên cứu về t
duy toán học
Giáo dục Toán học cho HS là một quá trình phức tạp, nhằm đạt các mục
tiêu [156, tr. 130-131]:
a) Truyền thụ cho HS một hệ thống nhất định những kiến thức cơ bản của
Toán học;
b) Rèn luyện cho HS những kỹ năng và kỹ xảo toán học;
c) Phát triển t duy toán học của HS.
13

Có quan niệm cho rằng, việc giải quyết có kết quả vấn đề thứ nhất và
vấn đề thứ hai trong số các vấn đề trên, sẽ tự nó kéo theo việc giải quyết vấn
đề thứ ba. Có nghĩa là cho rằng, sự phát triển t duy toán học diễn ra một cách

tự phát trong quá trình giảng dạy Toán. Trong một chừng mực nào đó, điều
này có thể đúng, nhng chỉ trong một chừng mực nào đó mà thôi [156, tr.
131], [162, tr. 105].
T duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt
động toán học của HS, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một
cách có phơng hớng thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ
cho HS hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học [156, tr. 131].
Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn nhận xét: Làm khoa học gì thì cũng đụng
chạm đến kiến thức, t duy và tính cách con ngời một cách sâu đậm. Kiến
thức, t duy, tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục [128, tr. 7].
Nhận xét đó đợc Ông nhắc lại trong bài Văn hoá Toán học (Tạp chí Giáo
dục, số 38, tr. 41).
Nhà tâm lý học A. N. Lêônchiev trong Hoạt động, ý thức, nhân cách có
nhận định tơng tự [91, tr. 350].
Tới nay, đã có nhiều tài liệu đề cập (theo các mức độ khác nhau) đến các
khía cạnh xung quanh vấn đề t duy toán học: [66], [75], [17], [137], [73],
[128], [97], [94], [125], [16], [156], [157], [162], [171], [158],
1.2.2. Một số quan điểm về những thành phần của t duy toán học và
năng lực toán học
Trong số những công trình có đề cập về t duy toán học, trớc hết có thể
kể đến Phơng pháp giảng dạy Toán ở trờng phổ thông của nhóm tác giả:
Iu. M. Kôliagin, V. A. Ôganhexian, V. Ia. Xannhixki và G. L. Lukankin.
Cuốn sách này đợc ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975 [156] và đợc tái
bản lần thứ nhất vào năm 1980 [162].
14

Trong các cuốn sách này, tác giả đã trình bày rất cụ thể về những thành
phần của t duy toán học. ít thấy tài liệu nào đề cập đến t duy toán học một
cách chi tiết nh vậy.
Khẳng định về sự đa dạng của những quan điểm về t duy toán học, tác

giả viết: Tuỳ theo những quan điểm giáo học pháp khác nhau, việc phân chia
các thành phần t duy toán học có thể có và có thể còn hợp lý hơn nữa [162,
tr. 131].
Trớc khi nêu ra các thành phần của t duy toán học, tác giả lý giải: T
duy toán học có những nét, những đặc điểm đặc trng của mình, mà những
đặc điểm này đợc quy định bởi tính đặc thù của các đối tợng nghiên cứu và
đợc quy định bởi tính đặc thù của các phơng pháp nghiên cứu [156].
Về cấu trúc t duy toán học, theo [156, tr. 136-151], các thành phần chủ
yếu của t duy toán học gồm:
1) T duy cụ thể;
2) T duy trừu tợng;
3) T duy trực giác;
4) T duy hàm;
5) T duy biện chứng;
6) T duy sáng tạo;
7) Các phong cách toán học của t duy.
Đặc biệt, t duy trừu tợng có thể đợc tách thành:
* T duy phân tích;
* T duy lôgic;
* T duy lợc đồ không gian.
Điều thú vị là: [162] đợc chỉnh lý có bổ sung từ [156] của cùng một
nhóm tác giả. Tuy nhiên, trong [162] quan điểm về t duy toán học không
hoàn toàn đồng nhất với [156].
15

Trong [162], các tác giả quan niệm rằng, t duy toán học bao gồm các
thành phần chủ yếu sau đây:
1) T duy cụ thể;
2) T duy trừu tợng;
3) T duy trực giác;

4) T duy hàm [162, tr. 116].
Nói riêng, t duy trừu tợng có thể đợc tách thành [162, tr. 120]:
* T duy phân tích;
* T duy lôgic;
* T duy không gian.
Có thể lu ý một đặc điểm nữa của [156], [162]: khi đề cập đến loại hình
t duy nào, đều mô tả tơng đối cụ thể bằng cách chỉ ra những đặc trng của
loại hình t duy ấy.
Trong các bài báo của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về giáo dục Toán
học (ở trờng phổ thông), không thấy Ông nói đến những thành phần của t
duy toán học hay cấu trúc của năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng
cụm từ những yêu cầu đối với t duy toán học của học sinh. Những yêu cầu
đó là:
1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy đợc
sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;
2) Sự cô đọng;
3) Sự chính xác của các ký hiệu;
4) Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận;
5) Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic [152], [153], [154].
Nhà toán học nổi tiếng A. Ia. Khinshin, Giáo s A. I. Marcusêvich, cũng
không nói rõ rằng t duy toán học; năng lực toán học bao gồm những thành
phần nào mà có cách sử dụng khác về thuật ngữ.
Theo A. Ia. Khinshin, những nét độc đáo của t duy toán học là:
16

1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm u thế;
2) Khuynh hớng đi tìm con đờng ngắn nhất dẫn đến mục đích;
3) Phân chia rành mạch các bớc suy luận;
4) Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩa
xác định chặt chẽ);

5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [176], [66, tr. 127].
Theo A. I. Marcusêvich, những kỹ năng cần phải đợc bồi dỡng cho HS
trong dạy học Toán là:
1) Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại những cái
bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tợng hoá;
2) Kỹ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho;
3) Kỹ năng phân tích một vấn đề thành những trờng hợp riêng, phân biệt
khi nào đã bao quát đợc mọi khả năng, khi nào chỉ là ví dụ chứ cha bao quát
hết mọi khả năng;
4) Kỹ năng khái quát hoá các kết quả nhận đợc và đặt ra những vấn đề
mới ở dạng khái quát;
5) Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tợng, sao cho, trong đó chỉ giữ lại
những yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học;
6) Kỹ năng vận dụng các kết luận đợc rút ra từ các suy luận, biết đối
chiếu các kết quả đó với các vấn đề đã dự kiến; kỹ năng đánh giá ảnh hởng
của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả (dẫn theo [93]).
Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn trong Phơng pháp luận duy vật biện chứng
với việc học, dạy, nghiên cứu Toán học có đề cập bảy loại t duy: t duy lôgic
hình thức, t duy biện chứng, t duy quản lý, t duy kỹ thuật, t duy kinh tế, t
duy thuật toán, t duy hình tợng [128, tr. 146-149].
Một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về cấu trúc năng lực toán học là
công trình Tâm lý năng lực toán học của học sinh của V. A. Cruchetxki.
17

Theo V. A. Cruchetxki: Những năng lực toán học đợc hiểu là những
đặc điểm tâm lý cá nhân (trớc hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp
ứng những yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện
vững chắc nh nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm
vững một cách sáng tạo toán học với t cách là một môn học, đặc biệt nắm
vững tơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo

trong lĩnh vực Toán học [158, tr. 91].
Theo Ông, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học
sinh là nh sau:
1) Về mặt thu nhận những thông tin toán học:
Năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm đợc cấu
trúc hình thức của bài toán;
2) Về mặt chế biến thông tin toán học:
a) Năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng và các quan
hệ không gian, các ký hiệu dấu và các ký hiệu số; năng lực suy nghĩ với các
ký hiệu toán học;
b) Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tợng, quan hệ,
các phép toán của Toán học;
c) Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép
toán tơng ứng; năng lực suy nghĩ với những cấu trúc đợc rút gọn;
d) Tính mềm dẻo của các quá trình t duy trong hoạt động toán học;
e) Khuynh hớng vơn tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính
hợp lý của lời giải;
f) Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hớng suy nghĩ, dạng t
duy thuận chuyển qua t duy ngợc.
3) Về mặt lu trữ thông tin toán học:
Trí nhớ toán học (tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, về các
đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng minh).
18

4) Về thành phần tổng hợp khái quát:
Khuynh hớng toán học của trí tuệ [66, tr. 129], [158, tr. 385-386].
Theo Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv, trong thành phần của năng lực toán học
có:
1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
con đờng giải các phơng trình không theo quy tắc chuẩn, hoặc nh các nhà

toán học quen gọi là năng lực tính toán hay năng lực angôritmic;
2) Trí tởng tợng hình học hay là trực giác hình học;
3) Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bớc đợc phân chia một cách đúng
đắn. Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học
(trích theo [158, tr. 71]).
So với các tác giả đề cập ở trên, khi nghiên cứu về năng lực toán học của
học sinh, E. L. Thorndike đã đi sâu hơn vào lĩnh vực Đại số. Theo E. L.
Thorndike, những thành tố của năng lực Đại số gồm:
1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;
2) Năng lực biểu diễn các tơng quan số lợng thành công thức;
3) Năng lực biến đổi các công thức;
4) Năng lực thiết lập các phơng trình biểu diễn các quan hệ số lợng
đã cho;
5) Năng lực giải các phơng trình;
6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;
7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại luợng
(dẫn theo V. A. Cruchetxki trong [158, tr. 47]).
Các tác giả: A. A. Stôliar [171]; E. L. Gingulixơ [151]; X. B. Xuvôrôva
[173]; A. S. Krgôvxcaia [159]; X. I. Xvacxbua [177]; cũng đề cập đến một
số khía cạnh liên quan đến vấn đề t duy toán học; năng lực toán học hoặc
hoạt động toán học.
19

Bên cạnh các tác giả nớc ngoài, một số loại hình của t duy toán học đã
đợc các tác giả Việt Nam nghiên cứu.
Trong [66, tr. 60-61], tác giả cho rằng: Để nhận thức mặt nội dung của
hiện thực cần có t duy biện chứng, để nhận thức mặt hình thức của hiện thực
cần có t duy lôgic, nên t duy toán học cũng phải là sự thống nhất biện
chứng giữa t duy lôgic và t duy biện chứng.
Trong [75], tác giả đã chỉ rõ những thành phần của t duy thuật toán

(thuật giải) [75, tr. 201-202]; tác giả cũng đề xuất một số hớng có thể thực
hiện để rèn luyện t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng suy
đoán và tởng tợng, rèn luyện những thao tác t duy cho học sinh qua môn
Toán [75, tr. 30-33].
Những đặc trng của t duy hàm và bốn T tởng chủ đạo để phát triển t
duy hàm đã đợc tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày trong [76, tr. 122-149].
Theo đó, t duy hàm đợc đặc trng bởi các hoạt động:
- Phát hiện hoặc thiết lập những sự tơng ứng;
- Nghiên cứu những sự tơng ứng;
- Lợi dụng những sự tơng ứng [76, tr. 123].
1.2.3. Một số nhận xét đợc rút ra từ việc tham khảo các quan điểm
của các tác giả về t duy toán học và năng lực toán học
Có thể nhận thấy rằng:
* Hai thành phần có tên gọi nh nhau theo quan điểm của hai tác giả có
thể không đồng nhất về nội hàm. Chẳng hạn, t duy hàm theo quan điểm của
tác giả Nguyễn Bá Kim [76, tr. 123-124] với t duy hàm theo quan điểm của
tác giả Iu. M. Kôliagin, V. A. Ôganhexian [162, tr. 127] không là đồng nhất
với nhau;
* Giữa các thành phần có sự giao thoa. Xin dẫn chứng bởi nhận xét của
V. A. Cruchetxki: Các thành phần của cấu trúc năng lực toán học liên quan
mật thiết với nhau tạo thành một hệ thống duy nhất, một tổ chức toàn vẹn. Sự
20

liên quan chặt chẽ giữa chúng trong quá trình giải toán đã đợc thấy qua rất
nhiều ví dụ. Chẳng hạn thành phần năng lực rút gọn quá trình suy luận là hệ
quả của thành phần năng lực khái quát hoá [158, tr. 385-388], và Iu. M. Kô-
liagin: Biểu đồ những thành phần t duy của toán học ở trên chỉ là gần đúng
và đơng nhiên, không là đầy đủ và bao quát mọi khía cạnh. Trong thực tế của
quá trình t duy toán học, tất cả những thành phần t duy ở trên tác động qua
lại một cách hữu cơ với nhau, kết cấu chặt chẽ với nhau trong những thao tác

t duy này hay khác. Sự phân chia diễn ra ở trên cho một quá trình phức tạp
nh t duy toán học, bằng cách xét các thành phần riêng rẽ của nó, chẳng qua
là do muốn nghiên cứu các biểu hiện riêng biệt của t duy toán học trong quá
trình giảng dạy Toán mà thôi. Chỉ có nh vậy ngời giáo viên mới có điều
kiện thúc đẩy sự phát triển nếu không đợc toàn diện thì cũng là sự phát triển
từng phần t duy toán học cho học sinh [156, tr. 136].
Xin nêu thêm một dẫn chứng nữa, đó là nhận xét: Chúng tôi quan niệm
rằng, t duy hàm thể hiện một phần của t duy lôgic hình thức và t duy biện
chứng của tác giả Trần Thúc Trình trong bài báo Trao đổi thêm về t duy
hàm trong dạy học Toán ở trờng phổ thông (Thông tin khoa học giáo dục,
số 77, năm 2000).
ở Mục 1.5 của Luận án, khi chúng tôi đa ra những thành tố đặc trng
của năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học, cũng
không thể tránh khỏi sự giao thoa giữa các thành tố với nhau.
* Vẫn một nhóm tác giả, nhng trong hai thời điểm, có thể có quan điểm
không đồng nhất về các thành phần của t duy toán học (chẳng hạn trờng
hợp của [156] và [162]);
* Không dễ so sánh tính hợp lý giữa các cách quan niệm. Có thể quan
niệm này hợp lý hơn quan niệm kia nếu xét ở khía cạnh HS Trung học phổ
thông, nhng không hợp lý bằng nếu xét ở khía cạnh HS Trung học cơ sở.
21

Tơng tự nh vậy nếu xem xét trên khía cạnh chất liệu kiến thức (Đại số, Số
học, Hình học, Giải tích, ).
Nh vậy, để đánh giá đúng mức vai trò của một loại hình t duy hay năng
lực, cũng nh tìm kiếm các biện pháp phát triển chúng, không nên chỉ đơn
thuần dựa vào tên gọi một cách chung chung, mà trớc hết phải có quan niệm
cụ thể về loại hình t duy hoặc năng lực này. Hợp lý hơn cả là nên làm rõ
những thành tố đặc trng của nó.
1.3. Sơ lợc về ngôn ngữ

Vấn đề ngôn ngữ mà Luận án muốn đề cập đến là ngôn ngữ toán học.
Tuy nhiên, thuật ngữ khoa học không cách biệt hoàn toàn với từ thông thờng
và các lớp từ vựng khác không phải là thuật ngữ. Dẫu sao, thuật ngữ khoa học
vẫn là một bộ phận của hệ thống từ vựng nói chung, có quan hệ với các từ
khác trong hệ thống ngôn ngữ. Cả các từ thông thờng lẫn thuật ngữ khoa học
đều chịu sự chi phối của các quy luật ngữ âm, cấu tạo từ và ngữ pháp của ngôn
ngữ nói chung. Mặt khác trong giảng dạy Toán, không thể không quan tâm
đến việc nâng cao trình độ sử dụng tiếng mẹ đẻ một cách chính xác [73,
tr. 3, 4], [21, tr. 59], [80, tr. 387]. Do đó, cần sơ lợc vài nét cơ bản nhất về
ngôn ngữ tự nhiên.
1.3.1. Chức năng của ngôn ngữ
* Ngôn ngữ là phơng tiện giao tiếp trọng yếu nhất của con ngời.
* Ngôn ngữ là phơng tiện của t duy.
1.3.2. Về một số hiện tợng trong tiếng Việt
Trong tiếng Việt, ta thờng gặp một số hiện tợng. Trớc hết là hiện
tợng đồng âm khác nghĩa.
Từ đồng âm là những từ giống nhau về âm thanh, nhng có những ý nghĩa
hoàn toàn khác nhau, chúng trùng nhau về cả âm thanh lẫn chữ viết trong tất
cả (hoặc hàng loạt) hình thái ngữ pháp vốn có của chúng [54].
22

Chẳng hạn, theo Từ điển tiếng Việt thì từ đờng có thể hiểu theo 9 nghĩa
khác nhau.
Hiện tợng đồng âm trong tiếng Việt càng đợc thấy rõ hơn khi ta đọc
các câu sau đây:
Ba ngày trớc khi đi Hạ Long tôi có gặp bạn Nam.
Cái xe đạp nhẹ lắm.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập đợc bao nhiêu số có ba chữ số
khác nhau?
Thứ hai là hiện tợng phi lôgíc. Chẳng hạn các câu:

Cấm không đợc hút thuốc lá.
Con ông cháu cha.
Cao chạy xa bay.
Thứ ba, trong nhiều trờng hợp, phép hội không có tính giao hoán. Chẳng
hạn, hai câu sau đây là không đồng nghĩa:
Anh Ba lúng búng nói và mọi ngời cời ầm lên.
Mọi ngời cời ầm lên và anh Ba lúng búng nói.
1.3.3. Thuật ngữ khoa học là bộ phận từ vựng đặc biệt của ngôn ngữ, nó
bao gồm những từ và cụm từ là tên gọi chính xác của những khái niệm và
những đối tợng thuộc các lĩnh vực chuyên môn. Thuật ngữ là bộ phận từ
vựng rất quan trọng của ngôn ngữ. Đối với các ngôn ngữ có trình độ phát triển
cao, thuật ngữ chiếm tỷ lệ rất lớn. So với các bộ phận khác trong hệ thống từ
vựng thì thuật ngữ là bộ phận phát triển nhất. Theo K. Xôkhôra, nhà ngôn ngữ
học ngời Cng hũa Czech, 90% từ mới trong ngôn ngữ là các thuật ngữ khoa
học, kỹ thuật.
Thuật ngữ khoa học có các đặc điểm sau [54, tr. 118-121]:
Trớc hết, thuật ngữ khoa học có tính xác định về nghĩa.
23

Đặc điểm thứ hai là tính hệ thống: mỗi lĩnh vực khoa học đều có một hệ
thống các khái niệm chặt chẽ đợc thể hiện ra bằng hệ thống các thuật ngữ
của mình.
Đặc điểm thứ ba của thuật ngữ là xu hớng một nghĩa: nếu nh ở những
từ thông thờng, hiện tợng nhiều nghĩa rất tự nhiên và phổ biến, thì đối với
thuật ngữ, do tính xác định về nghĩa, cũng nh do nó nằm trong hệ thống thuật
ngữ nhất định, nên mỗi thuật ngữ thờng chỉ có một nghĩa. Tất nhiên, một
thuật ngữ cụ thể nào đó có thể tham gia vào nhiều hệ thống thuật ngữ khác
nhau, nhng trong cùng một hệ thống, mỗi thuật ngữ thờng chỉ có một nghĩa
mà thôi.
Đặc điểm thứ t của thuật ngữ là tính quốc tế.

Đặc điểm thứ năm của thuật ngữ thể hiện ở chỗ nú không mang sắc thái
tu từ biểu cảm.
1.3.4. Việc sử dụng ngôn ngữ, nói riêng trong giới học sinh, còn có những
điều đáng bàn. Chúng ta có thể tổ chức dạy và học đạt tới trình độ ngôn ngữ
hay. Đó là công việc ở các trờng dạy viết Văn chẳng hạn. Nhng khi nói đến
rèn luyện ngôn ngữ thì ngời ta chủ yếu nhìn vào mục tiêu là ngôn ngữ đúng,
ngôn ngữ chuẩn mực. Việc xây dựng kỹ năng sử dụng ngôn ngữ đúng, về
nguyên tắc phải đợc hoàn thành ở bậc học phổ thông. Nhng trên thực tế, ở
nớc ta, học sinh tốt nghiệp 12 năm phổ thông nói, viết tiếng mẹ đẻ cha tốt
lắm. Cho nên, muốn giữ gìn sự trong sáng của tiếng Việt, chúng ta phải tốn
nhiều công sức cho việc rèn luyện ngôn ngữ, trớc hết, tập trung vào luyện kỹ
năng sử dụng ngôn ngữ đúng, chuẩn xác [126, tr. 20].
N. G. Trernsepxki cho rằng: Cái gì anh hình dung không rõ thì diễn đạt
không sáng, diễn đạt thiếu chính xác và lộn xộn thì chứng tỏ ý nghĩ của mình
rối rắm, phức tạp mà thôi (dẫn theo [1]). Vì vậy, rèn luyện kỹ năng dùng
ngôn ngữ chính xác chính là rèn luyện t duy chính xác. Khi học sinh học
hoặc làm bài mà chú ý đến từng câu, chữ, các dấu chấm, dấu phẩy, dấu chấm
24

phẩy thì chính là họ đơng t duy. Trong các bài tập ra cho học sinh, nên có
các bài tập yêu cầu diễn tả các công thức sang ngôn ngữ thông thờng để
chống bệnh hình thức và rèn luyện dùng ngôn ngữ cho chính xác [130,
tr. 141].
1.4. Ngôn ngữ toán học
1.4.1. Một số tác giả quan niệm rằng: Toán học hiểu theo nghĩa nào đó
là một thứ ngôn ngữ để mô tả những tình huống cụ thể nảy sinh trong nghiên
cứu khoa học, hoặc trong hoạt động thực tiễn của loài ngời [66, tr. 96],
[171, tr. 229]. Bởi vậy: Dạy học Toán, xét về mặt nào đó là dạy học một
ngôn ngữ, một ngôn ngữ đặc biệt, có tác dụng to lớn trong việc diễn tả các sự
kiện, các phơng pháp trong các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt

động thực tiễn [19, tr. 7].
Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự cải tiến ngôn ngữ tự nhiên theo
những khuynh hớng sau [171, tr. 226]:
- Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên;
- Mở rộng các khả năng biểu diễn của nó;
- Loại bỏ sự đa nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên.
Nhà Vật lý học Niels Bohr coi ngôn ngữ toán học là sự cải tiến ngôn ngữ
chung, sự trang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối
phụ thuộc, mà nếu biểu đạt bằng ngôn ngữ thông thờng thì sẽ không chính
xác hoặc phức tạp (trích theo [116, tr. 230]).
Theo các tác giả A. A. Stôliar; Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần
Thúc Trình, ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ:
Thứ nhất, trong ngôn ngữ toán học một dấu, chữ số, chữ cái, dấu phép
tính, hay dấu quan hệ biểu thị điều mà ngôn ngữ tự nhiên phải dùng đến từ
hay một kết hợp từ mới biểu thị đợc, điều đó làm cho ngôn ngữ toán học gọn
gàng hơn so với ngôn ngữ tự nhiên.
25

Thứ hai, mỗi ký hiệu toán học hoặc một kết hợp các ký hiệu đều có một
nghĩa duy nhất, điều đó làm cho ngôn ngữ toán học có khả năng diễn đạt
chính xác t tởng toán học hơn hẳn ngôn ngữ tự nhiên (đôi khi ta gặp những
từ hoặc cụm từ có nhiều nghĩa).
Thứ ba, trong ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ biến (biểu thị
nhiều đối tợng trong một quan hệ nào đó) điều đó cho phép ngôn ngữ toán
học rất thích hợp để diễn đạt khái quát các quy luật chung [66, tr. 95], [171,
tr. 226-228].
Ngôn ngữ toán học có tính quốc tế nên rất thuận lợi trong giao lu toán
học giữa các nớc trên thế giới.
1.4.2. Trong dạy học môn Toán thờng sử dụng đan xen ba dạng ngôn
ngữ: Các ký hiệu toán học, các thuật ngữ toán học và ngôn ngữ tự nhiên.

Chẳng hạn, trong Định nghĩa: Phơng trình dạng ax + b = 0 trong đó a, b là
những hằng số, a

0, đợc gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn số; b đợc
gọi là hạng tử tự do (Đại số 8, tr. 67) có sự xuất hiện của ký hiệu; thuật ngữ và
ngôn ngữ tự nhiên.
Hệ thống các ký hiệu toán học có thể coi là một ngôn ngữ riêng, ngôn
ngữ ký hiệu. Để làm sáng tỏ lợi ích của các ký hiệu toán học, G. Pôlya dẫn ra
ví dụ: chúng ta thử cộng nhiều số khá lớn với giả thiết là không đợc dùng chữ
số ảrập mà chỉ đợc dùng chữ số La Mã, nh vậy thì phải mất bao lâu để làm
phép tính: MMMXC + MDCXII + MDCCCLXXXVII? [110, tr. 135].
G. W. Leibnitz ví ngôn ngữ ký hiệu nh sợi chỉ đỏ của nàng Ariane, ông
cho rằng: Chúng ta sử dụng ký hiệu không phải chỉ để diễn đạt sự suy nghĩ
của ta cho ngời khác, mà còn để đơn giản hoá quá trình suy nghĩ của chính
chúng ta (dẫn theo [51, tr. 4]).
Năng lực t duy toán học và năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu có liên
quan chặt chẽ với nhau, nắm vững đợc ngôn ngữ các ký hiệu toán học cũng
có nghĩa là nắm vững đợc những đặc trng của t duy toán học [173, tr. 30].