Tuyển chọn bài tập lượng giác ôn thi đại học có hướng dẫn giải chi tiết

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
1 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP LUYỆN THI ĐẠI HỌC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )
1/.
2 2
sin x cos x 1
 
2/.
sinx
tanx
cosx
 3/.
cosx
cotx
sinx

4/.
tanx.cotx 1

5/.
2
2
1
1 tan x
cos x
  6/.
2

2
1
1 cot x
sin x
 
Điều kiện tồn tại :
 tanx là(x  / 2 + k , k  Z)

cotx là (x  k , k  Z)
 sinx là – 1  Sinx  1

cosx là – 1  Cosx  1
Chú ý :
 a
2
+ b
2
= ( a + b)
2
– 2ab

a
3
+ b
3
= ( a + b)
3
– 3ab( a + b)
B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ):

7/.
cos(a b) cosa.cosb sina.sinb
  
8/.
cos(a b) cosa.cosb sina.sinb
  

9/.
sin(a b) sina.cosb cosa.sinb
  
10/.
sin(a b) sina.cosb cosa.sinb
  

11/.
tana tanb
tan(a b)
1 tana.tanb

 

12/.
tana tanb
tan(a b)
1 tana.tanb

 


13/.

cot a.cotb 1
cot(a b)
cota cotb

 

14/.
cot acotb 1
cot(a b)
cota cotb

 


C. CÔNG THỨC NHÂN:
I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/.
sin2a 2sina.cosa

16/.
2 2 2 2
cos2a 2cos a 1 1 2sin a cos a sin a
     

17/.
2
2tana
tan2a
1 tan a




II. NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/.
3
Cos3a 4Cos a 3Cosa
 
19/.
3
Sin3a 3Sina 4Sin a
 

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
2 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

20/.
3
2
3Tana Tan a
Tan3a
1 3Tan a




III. HẠ BẬC : ( 4 công thức)
21/.
2
1 Cos2a
Sin a

2

 
2
1 Cos2a 2Sin a
 

22/.
2
1 Cos2a
Cos a
2

 
2
1 Cos2a 2Cos a
 

23/.
3
3Sina Sin3a
Sin a
4

 24/.
3
3Cosa Cos3a
Cos a
4



IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức) với
x
t Tan
2

25/.
2
2t
Sinx
1 t


26/.
2
2
1 t
Cosx
1 t



, 27/.
D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
28/.
a b a b
Cosa Cosb 2Cos Cos
2 2
 
  29/.

a b a b
Cosa Cosb 2Sin Sin
2 2
 
  
30/.
a b a b
Sina Sinb 2Sin Cos
2 2
 
  31/.
a b a b
Sina Sinb 2Cos Sin
2 2
 
 
32/.
Sin(a b)
Tana Tanb
CosaCosb

  33/.
Sin(a b)
Tana Tanb
CosaCosb

 
34/.
Sin(a b)
Cota Cotb

SinaSinb

  35/.
Sin(a b)
Cota Cotb
SinaSinb
 
 

E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
36/.
 
1
CosaCosb Cos a b Cos(a b)
2
 
   
 

37/.
1
SinaSinb Cos(a b) Cos(a b)
2
 
   
 

38/.
1
SinaCosb Sin(a b) Sin(a b)

2
 
   
 

2
1
2
t
t
Tanx


THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
3 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

CHÚ Ý:
 
2
2 2
x x
1 sin2x sinx cosx ;1 sin2x (sin x cos x) ;1 sin x (si
n cos ) ;
2 2
        
2
x x
1 sinx sin cos
2 2
 

  
 
 
2 2 2 2
x x
1 cos2x 2sin x;1 cos 2x 2cos x;1 cos x 2cos ;1 cosx 2sin
2 2
       
sinx cosx 2 sin x 2 cos x ;sinx cosx 2 sin x ;
4 4 4
     
  
       
     
     

cosx sin x 2 cos x
4
 

  
 
 
sinx 3 cosx 2cos x 2sin x ; 3 sin x cosx 2sin x 2cos x
6 3 6 3
       
   
         
       
       

4 4 2 6 6 2
1 3
sin x cos x 1 sin 2x. sin x cos x 1 sin 2x
2 4
     
F. CUNG LIÊN KẾT :


Góc đ
ố
i nhau

Góc bù nhau

Góc ph
ụ

nhau

cos( ) cos
  

sin( ) sin
    

sin cos
2
 
   

 
 

sin( ) sin
   

cos( ) cos
     

cos sin
2
 
   
 
 

tan( ) tan
   

tan( ) tan
     

tan cot
2
 
   
 
 

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970

4 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M




G. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:




PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.
0
6


4


3


2


2
3


3
4





3
2


2


0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360

0
sin 0
1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2

0 –1 0
cos 1
3
2

2
2

1
2

0

1
2


2
2

–1 0 1
tan 0
3
3

1
3


3

–1 0

0
cot

3

1
3
3

0

3
3

–1

0

Góc hơn kém


Góc hơn kém
2


sin( ) sin
     

sin cos
2
 
   
 
 

cos( ) cos
     

cos sin
2
 

    
 
 

tan( ) tan
    

tan cot
2
 
    
 
 

cot( ) cot
    

cot tan
2
 
    
 
 

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
5 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

 
u v k2
sin u sin v , k Z

u v k2

  
  

   


 
u v k2
cos u cos v , k Z
u v k2

  
  

   




tanu tanv u v k , k Z
     


cot u cot v u v k , k Z
     
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT:
 
cos u 0 u k , k Z

2

     



sin u 0 u k , k Z
    


cos u 1 u k2 k Z
    
 
sin u 1 u k2 , k Z
2

     



cosu 1 u k2 k Z
      
 
sin u 1 u k2 , k Z
2

      


PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

DẠNG:


2
asin u bsin u c 0 a 0
   
 . Đặt
t sinu

,điều kiện
1 t 1
  



2
acos u bcosu c 0 a 0
   
 . Đặt
t cosu

,điều kiện
1 t 1
  



2
a tan u btan u c 0 a 0
   

 . Đặt
t tanu

, điều kiện
cos u 0




2
acot u bcot u c 0 a 0
   
 . Đặt
t cotu

,điều kiện
sin u 0


PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sin VÀ cos:
1)PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT:
DẠNG:
asin u bcosu c
asin u bcosu c
acosu bsinu c

 

 



 





Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
2 2 2
a b c
 

Giả sử giải phương trình:


asin u bcos u c *
 
Cách giải chia hai vế của (*) cho
2 2
a b


THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
6 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

Ta được :
2 2 2 2 2 2
a b c
sinu cosu
a b a b a b

 
  

Đặt
2 2 2 2
a b
cos sin
a b a b
    
 
.
2 2
c
sinu.cos sin .cosu
a b
    


 
2 2
c
sin u
a b
   

(**)
Đặt
2 2
c
sin

a b
 

.
(**)


sin u sin
    
. Giải phương trình cơ bản.
PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI sin VÀ cos


2 2
asin x bsinxcosx ccos x d 1
  
Cách giải.Xét 2 trường hợp :

Trường hợp 1 :Xét
cos x 0 sin x 1
   
.Thay vào (1) xem thoả hay không thoả.Kết
luận

Trường hợp 2:Xét
cos x 0.

Chia hai vế của (1) cho
2
cos x

,rồi đưa về phương trình
bậc hai theo
tan x
,giải bình thường.




2
1 a d tan x btan x c d 0.
     

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sin VÀ cos
4)PHƯƠNG TRÌNH DẠNG :




a sinx cosx bsin xcosx c 0 1
   

Cách giải.Đặt :
 
2
t 1
t sin x cosx sin xcos x 2 t 2
2

      
 

2
1 t
t sin x cosx sinx cos x 2 t 2
2

      
 
2
1 t
t cosx sinx sinx cos x 2 t 2
2

      

Thay vào (1) rồi giải phuong trình bậc 2 theo t.
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
7 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M


1.29: Giải các phương trình:
a)




1 tanx 1 sin 2x 1 tan x
    b)
2tan x.cos x 1 2cosx tan x
  

c)
sin 2x 2tanx 3
 
d)
sin 2x 2cos x 3 sin x 3
  

LỜI GIẢI
a)






1 tanx 1 sin 2x 1 tan x 1
   
Điều kiện:
cos x 0 x k
2

    

   
sinx sinx
1 1 1 sin2x 1
cosx cosx
 
    
 

 

 
2
cosx sinx cosx sin x
sinx cosx
cosx cosx
   
  
 
 







sinx cos x cosx sinx cos x sin x 1 0
 
     
 










2 2
sin x cosx cos x sin x 1 0 sinx cosx cos2x 1 0
        

 
2 sin x 0
sinx cosx 0
x k x k
k z .
4
4 4
cos2x 1 0
2x k2 x k
cos2x 1

  
   
 
  
      

 
 
    
 


 
 


   

 

 


So với điều kiện nghiệm của phương trình:
 
x k ,x k k z
4

      

b)


2tan x.cosx 1 2cosx tanx 1
  
Điều kiện
 
cos x 0 x k k
2

     





1 2tanx.cos x 1 2cosx tan x 0
    









tan x 2cosx 1 2cosx 1 0 2cosx 1 tanx 1 0
        

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
8 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

 
1
x k2
2cosx 1 0
cosx
3
k .
2
tanx 1 0
tanx 1
x k
4
 


   

  


   



 




  






So với điều kiện của phương trình:
 
x k2 ,x k2 ,x k k .
3 3 4
  
          


c)
sin 2x 2 tan x 3
 
(1)
Điều kiện
cosx 0


(1) 2sin xcosx 2 tanx 3
  
2 2 2
2sinxcosx 2 tanx 3
cos x cos x cos x
  




2 2
2tan x 2 tan x 1 tan x 3 1 tan x
    

3 2
2 tan x 3tan x 4 tan x 3 0 tan x 1 x k ,(k )
4

           


d)



sin2x 2cosx 3 sin x 3 1
  


1 2sin xcosx 2cosx 3 sin x 3 0
    









2cos x sin x 1 3 sin x 1 0 sin x 1 2cos x 3 0
        

 
sinx 1
x k2
sinx 1 0
2
k
3
2cos x 3 0
cosx
x k2

2
6
 
 
  

  

   




 




   






1.30: Giải các phương trình :
a)


1 sinx sin x cos x cos x

   b)
9sin x 6cosx 3sin 2x cos 2x 8
   

c)
1 sin x sin 2x cosx cos2x 0
    
d)sin4x cos4x 1 4 2 sin x
4
  
   
 
 

e)
sin x sin 2x sin 3x cos x cos2x cos x3x
    

LỜI GIẢI
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
9 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

a)




1 sin x sinx cosx cos x 1
  



2
1 1 sin x sin xcosx cos x
   
2 2
1 cos x sin x sinxcosx 0 sin x sinx sinxcosx 0
        



sinx sin x 1 cosx 0 sin x 0 sinx-cosx-1=0
      
Với


sin x 0 x k k    


Với
1
sinx cosx 1 0 2 sin x 1 sin x sin
4 4 4
2
      
         
   
   

 
x k2

x k2
4 4
k .
2
x k2
x k2
4 4
  
 
   

  

  


 

  
    






b)
9sin x 6cosx 3sin 2x cos 2x 8
   

2
9sinx 6cosx 6sinxcosx 2cos x 9 0
     





2
9sinx 9 6cosx 1 sin x 2 1 sin x 0
      









9 1 sin x 6cosx 1 sin x 2 1 sin x 1 sin x 0
        










1 sinx 9 6cosx 2 2sin x 0 1 sinx 6cosx 2sin x 7 0
           

 
sinx 1 x k2
1 sin x 0
2
6cosx 2 sinx 7 0
6cosx 2sin x 7 2
 
    
  

 


  

 



Phương trình


2
vô nghiệm vì:
2 2 2
6 2 7 .

 
c)
1 sin x sin 2x cosx cos2x 0
    





2
sin x 2sinxcos x cos x 2cos x 0 sin x 1 cos2x cos x 1 2c
osx 0
         





1 2cosx sin x cosx 0 1 2cosx 0 sinx + cosx =
0
       
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
10 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

Với
1 2 2
1 2 cos x 0 cos x cos x k2 .
2 3 3
 
          

Với
 
sinx cosx 0 2 sin x 0 x k x k k z
4 4 4
    
              
 
 

1.31: Giải các phương trình:
a)
2
3x
cos 2x cos x 2sin
2
 
b)




2
1 cosx 2sin x cosx sin x
  
c)
cos 2x
sin x cosx
1 sin 2x
 


d)
1 cos2x sin 2x
cos x 1 cos2x




e)
2 2 2 2
sin 4x sin 3x sin 2x sin x
   f)
2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
  
LỜI GIẢI
a)
2
3x
cos 2x cos x 2sin
2
 
1 cos 3x
cos 2x cosx 2.
2

  

cos 2x cosx 1 cos 3x
   

cos 3x cosx cos2x 1 0
    



2sin2xsin x 1 cos2x 0
    

2
2sin2xsinx 2sin x 0
   



2sinx sin 2x sinx 0
   



2sinx 2sin xcosx sin x 0
   



2
2sin x 2cosx 1 0 sinx 0 2cosx + 1 = 0
      

Với



sin x 0 x k k    


Với
 
1 2 2
2cos x 1 0 cos x cos x cos x k2 k .
2 3 3
 
            


b)




2
1 cosx 2sin x cosx sin x
  




2
1 cosx 2sin x cosx 1 cos x
    









1 cosx 2sin x cosx 1 cosx 1 cosx 0
      





1 cosx 2sin x cosx 1 cosx 0
     





1 cosx 2sin x 1 0 1 cosx 0 2sinx - 1 = 0
       
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
11 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

Với
1 cos x 0 cos x 1 x k2 .
         

Với
 
x k2
1
6
2sinx 1 0 sin x sinx sin k
5
2 6
x k2
6
 
  


       



  




c)
 
cos 2x
sin x cosx 1
1 sin 2x
 


 
 
 
2 2
2
cos x sin x
1 sin x cos x
sin x cos x

   


Điều kiện:
 
1 sin2x 0 sin 2x 1 2x k2 x k k
2 4
 
            


   




 
 
2
sinx cosx cosx sin x

sinx cosx
sin x cosx sin x cosx
cosx sinx
cosx sin x
 

      







sin x cosx cosx sin x 1 0 sin x cosx 0 cos x sinx 1
0
           

Với
sinx cosx 0 2 sin x 0 x k x k
4 4 4
    
             
 
 

Với
1
cosx sinx 1 0 2 cos x 1 cos x cos
4 4 4

2
      
         
   
   

 
x k2
x k2
4 4
k
x k2
x k2
2
4 4
  
  
   


  



 
   

    







So với điều kiện nghiệm của phương trình:
 
x k
4
x k2 k
x k2
2
 
   


  




   



d)
 
1 cos2x sin2x
1
cos x 1 cos2x





THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
12 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

Điều kiện:
 
cos x 0 cosx 0
x k x k
k
2 2
1 cos2x 0 cos 2x 1
2x k2 x k
   
   
     
 
   
   
  
 
 
   
 


Sử dụng công thức nhân đôi
2 2
sin2x 2sinxcosx, 1 cos2x 2sin x, 1 cos2x 2cos x

    
 
2
2
2cos x 2sin xcos x cos x
1 2cosx 2cosxsin x cos x
cos x sin x
2sin x
      (vì
cos x 0

)
 
1 5
2sin x 1 sinx sinx sin x k2 x= k2 k z
2 6 6 6
  
             

e)


2 2 2 2
sin 4x sin 3x sin 2x sin x 1
  
Ý tưởng: Có bình phương ta hạ bậc, sau đó biến đổi tổng thành tích, và đặt nhân tử chung
 
1 cos8x 1 cos6x 1 cos 4x 1 cos 2x
1
2 2 2 2

   
   
cos8x cos6x cos4x cos 2x 2cos7x.cos x 2cos 3x.co
sx
     



cosx cos7x cos3x 0 cosx 0 cos7x cos3x 0
       

Với
 
cos x 0 x k k
2

     


Với
 
k
x
7x 3x k2
2
cos7x cos3x 0 cos7x cos 3x , k
k7x 3x k2
x
5
 



   
      


   







Kết luận nghiệm của phương trình:
x k
2

  
,
k
x
2


,
k
x
5



,


k


f) f)
2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
   (1)
 
1 cos2x 1 cos 6x 1 cos 4x 1 cos8x
1
2 2 2 2
   
   





cos6x cos2x cos8x cos4x 2cos 4x.cos2x 2cos6x.c
os2x
       


2cos 2x cos6x cos 4x 0 4cos2x.cos5x.cosx 0
    

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
13 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

 
2x k x k
2 4
cos2x 0
k
cos5x 0 5x k x , k
2 10 5
cosx 0
x k
x k
2
2
   
     
 
 
 
  

 
         

 


 


 
 
  
  
 
 


Kết luận nghiệm của phương trình:
 
k
x k ,x ,x k , k
4 10 5 2
   
        


1.32: Giải các phương trình:
a)
tan x tan2x sin 3x.cos x
 
b)
2 2
cos x sin x sin3x cos4x
  
c)
3
2sin x cos2x sinx
  d)
1

sin x.sin 2x.sin 3x sin 4x
4


LỜI GIẢI
a)


tanx tan2x sin 3x.cos x 1
 
Điều kiện:
 
x k
cosx 0
2
k
cos2x 0 k
x
4 2
 
  

 

 
 
  


 





 
sin x sin 2x
1 sin 3x.cosx
cos x cos2x
  

2
sinx.cos2x sin2x.cosx sin 3x.cos x.cos2x
  


2 2
sin 3x sin3x.cos x.cos2x sin3x cos x.cos2x 1 0
    

2
sin3x 0 cos x.cos2x 1 0
    

Với
 
k
sin 3x 0 3x k x k
3

      



Với
2 2
1 cos2x
cos x.cos2x 1 0 .cos2x 1 0 cos 2x cos2x 2 0
2

        

cos 2x 1 cos 2x 2
    
(loại)
Với


cos2x 1 2x k2 x k k       


THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
14 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

So với điều kiện nghiệm của phương trình:
k
x
3


,
x k

 


k


b)


2 2
cos x sin x sin 3x cos4x 1
  


1 cos2x sin3x cos 4x sin 3x cos4x cos2x 0
      



sin3x 2sin 3x.sin x 0 sin3x 1 2sin x 0 sin3x 0 1
2sinx 0
          

Với:
 
k
sin 3x 0 3x k x k
3

      



Với:
 
x k2
1
6
1 2sinx 0 sin x sin x sin k
5
2 6
x k2
6
 
  


       



  




c)


3
2sin x cos2x sinx 1

 


3
1 2sin x sinx cos2x 0
   



2
sin x 2sin x 1 cos2x 0
   



cos2x.sin x cos2x 0 cos2x sin x 1 0
       

 
k
2x k x
cos2x 0
2 4 2
k
sin x 1
x k2 x k2
2 2
    
    
 

 
   
 

  
 

     
 
 


d)
 
1
sin x.sin 2x.sin 3x sin 4x 1
4


   
1 1 1
1 sin x.sin2x.sin 3x sin 2x.cos 2x cos2x cos 4x .s
in 2x sin 2x.cos 2x
2 2 2
    



sin2x cos2x cos4x cos2x 0 sin2x.cos 4x 0 sin 2x.c
os4x 0

       

k
2x k
x
sin2x 0
2
k
cos4x 0
4x k
x .
2
8 4
 
  


 

  




 

  


 






1.33: Giải các phương trình:
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
15 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

a)




2 2
1 sin x .cosx 1 cos x .sin x 1 sin2x
    
b)
3 3 2 2
sin x 3 cos x sin x.cos x 3 sin x.cosx
  

c)


sin 2x cos 2x .cosx 2cos 2x sinx 0
   

d)
sin 2x cos2x 3sinx cos x 1 0

    

LỜI GIẢI
a)






2 2
1 sin x .cosx 1 cos x .sin x 1 sin2x 1
    


2 2
1 cosx sin x.cosx sinx cos x.sin x 1 sin 2x
     






2
sin x cosx sinx.cosx sinx cosx sin x cosx
     






sinx cos x 1 sin x.cosx sin x cosx 0
 
     
 







sin x cos x 1 sin x cosx 1 sinx 0
 
     
 







sin x cosx 1 sin x 1 cos x 0
    

 
x k x k
2 sin x 0

4 4
sinx cosx 0
4
1 sin x 0 sin x 1 x k2 x k2 k
2 2
1 cos x 0 cosx 1
x k2 x k2
   

  
      
 
 

 
  
 
 

 

 

             

 


  
 



   
 


 
 


b)


3 3 2 2
sin x 3 cos x sin x.cos x 3 sin x.cosx 1
  


3 2 3 2
1 sin x sin x.cos x 3 cos x 3 sin x.cos x 0
    





2 2 2 2
sinx sin x cos x 3 cosx cos x sin x 0
    

sin x.cos 2x 3 cos x.cos 2x 0
   



cos2x sin x 3 cos x 0
   
cos 2x 0 sinx+ 3 cosx 0.
   

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
16 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

Với:
k
cos 2x 0 2x k x
2 4 2
  
       

Với:
1 3
sin x 3 cos x 0 sin x cosx 0
2 2
    

 
sin x.cos cosx.sin 0 sin x 0 x k x k k
3 3 3 3 3
      

               
 
 


Kết luận nghiệm của phương trình:
 
k
x ; x k k
4 2 3
  
      


c)




sin 2x cos2x .cosx 2cos2x sin x 0 1
   


1 sin 2x.cosx cos2x.cos x 2cos2x sin x 0
    








2 2
2sinx.cos x sinx cos2x cosx 2 0 sin x 2cos x 1 cos2x
cosx 2 0
         





sinx.cos 2x cos2x cosx 2 0 cos2x sin x cosx 2 0
       

cos 2x 0 sinx + cosx + 2 = 0
  

Với:
 
k
cos 2x 0 2x k x k
2 4 2
  
        


Với:
sinx cosx 2 0 2 sin x 2 sin x 2
4 4
     

          
   
   
(vô nghiệm).
Kết luận nghiệm của phương trình:
 
k
x k
4 2
 
  


d)


sin 2x cos2x 3sinx cosx 1 0 1
    




2
1 2sinxcosx 1 2sin x 3sin x cosx 1 0
      

2
2sinxcosx 2sin x 3sinx cosx 2 0
     

2
2sinxcosx 2sin x 4sin sinx cosx 2 0
      









2sinx cos x sin x 2 sin x cosx 2 0 sinx cosx 2 2sin x 1 0
           

Với
sin x cos x 2 0
  
( vô nghiệm )
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
17 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

Với:
 
x k2
1
6
2sin x 1 0 sin x sin x sin k
5
2 6

x k2
6
 
  


       



  




Giải các phương trình sau:
1).
cos x cos5x
8sin xsin 3x
cos 3x cos x
 
2).
sin 4x 3sin 2x tan2x
 

3).
2
cos 5x.cos x cos 4x.cos 2x 3cos x 1
  
4).





3 tanx cot x 2 2 sin2x
  
5).
2
1 2sin x 3 2 sin x sin2x
1
2sin xcosx 1
  


6).


2 cosx sinx
1
tan x cot 2x cot x 1


 

7).
2
2
1 sin x 1
3 tan2x
cos 2x

1 tan x

 

8).
3
sin x 2 sinx
4
  
 
 
 

9).
3 3 2 2
2cos x 2 sin x 2sin xcosx 2cos xsinx 2 0
    

10).
sin x sin 2x sin 3x
3
cos x cos 2x cos 3x
 

 

LỜI GIẢI
1).
cos x cos5x
8sin xsin 3x (1)

cos 3x cos x
 

Điều kiện:
k
x
3x k
cos3x 0
6 3
2
cosx 0
x k
x k
2
2
  
 
 
  

 
 
 
  
 


 
  
  

 





2
1 cos x cos3x.cos5x 8sin x.sin 3x.cos3x.cosx
  
2
cos x cos3x.cos5x 2sin 2x.sin6x
  
 
1 cos2x 1
cos 2x cos8x cos 4x cos8x
2 2

    

1 cos2x cos 2x cos8x 2cos4x 2cos8x
     



2
1 cos8x 2cos 4x 0 2cos 4x 2cos4x 0 2cos4x cos4x 1 0
         

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
18 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

 
k
x
cos4x 0
4x k
8 4
, k
2
cos4x 1 0
k
4x k2
x
2
  
 
 

 
  

   



 



 








2).


sin4x 3sin2x tan2x 1
 
Điều kiện:
k
cos 2x 0 2x k x
2 4 2
  
       

 
2
sin2x
1 2sin 2x.cos2x 3sin 2x 2sin 2x.cos 2x 3sin2xcos
2x sin 2x
cos2x
     


2 2
sin2x 2cos 2x 3cos2x 1 0 sin 2x 0 2cos 2x 3cos2x 1 0

         

sin 2x 0
 
( vì
2
2cos 2x 2 0
 
)
 
k
2x k x k
2

     



3).


2
cos5x.cosx cos4x.cos2x 3cos x 1 1
  
     
1 1 1 cos2x
1 cos 4x cos6x cos2x cos6x 3. 1
2 2 2

     

2
cos4x cos2x 3 3cos2x 2 2cos 2x 1 4cos2x 5 0
         

2
2cos 2x 4cos2x 6 0 cos2x 3
     
(vô nghiệm) hoặc
cos2x 1
 

Với
 
cos 2x 1 2x k2 x k , k
2

           


4).






3 tan x cot x 2 2 sin2x 1
  
   

sin x cosx
1 3 2 2 sin2x
cosx sin x
 
   
 
 

 
1
3 2 2 sin 2x
sin x.cosx
  

 
6
2 2 sin 2x
sin 2x
  

Điều kiện
 
k
sin 2x 0 2x k x k
2

      


THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970

19 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

2
sin 2x 2sin 2x 3 0 sin 2x 1
      

sin 2x 3
 
(vô nghiệm).
Với
 
sin 2x 1 2x k2 x k k
2 4
 
         



5).
 
2
1 2sin x 3 2 sinx sin 2x
1 1
2sin xcosx 1
  



Điều kiện:
2sin xcos x 1 sin 2x 1 2x k2 x k

2 4
 
          



2 2
1 1 2sin x 3 2 sin x sin2x sin 2x 1 2 2 sin x 3 2 sin x 0
         

2
2sin x 3 2 sin x 2 0 sin x 2
     
(vô ngiệm) hoặc
2
sinx
2

Với
 
x k2
2
4
sinx sin x sin , k
3
2 4
x k2
4
 
  



    



  





Biểu diễn nghiệm
x k
4

  
, có hai đầu mút là
4

và
5
4

.
Biểu diễn nghiệm
x k2
4

  

, có một đầu mút
4

. Vậy so với điều kiện nghiệm này loại
3π
2
π
π
2
0
3π
4
4π
5
π
4
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
20 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

Biểu diễn nghiệm
3
x k2
4

  
, có một đầu mút
3
4

không trùng với 2 đầu mút

4

và
5
4

. Vậy nghiệm này nhân.
Kết luận nghiệm của phương trình
 
3
x k2 , k
4

   


6).


 
2 cosx sinx
1
1
tan x cot 2x cot x 1


 

Điều kiện:
cosx 0

sin 2x 0
cot x 1
 







 


2 cosx sin x
1
1
sin x cos2x cos x
1
cosx sin 2x sinx

 
 



2 sin x cos x sinx
cosx.sin2x
sin2xsin x cos2xcosx cosx sin x

 

 

cos x2sin xcosx
2 sin x 2cosx 2
cos x
   

 
2
cosx cosx cos x k2 k
2 4 4
 
         


7).
 
2
2
1 sin x 1
3 tan 2x 1
cos 2x
1 tan x

 


Điều kiện:
2
cos 2x 0

1 tan x 0
cos x 0
 

 





 
2
2
2
1 sin x 1 3 sin 2x
1
cos 2x cos2x
sin x
1
cos x

  


2 2
2 2
cos x sin x 1 3 sin 2x
cos2x cos2x
cos x sin x


  


2 2
cos x sin 1 3 sin2x
cos2x cos2x cos 2x

  
2 2
cos x sin x 1 3 sin 2x
   

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
21 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

2 2
cos x sin x 3 sin 2x 1
   

cos2x 3 sin 2x 1
  

1 3 1
cos2x sin 2x
2 2 2
  

1
cos2x.cos sin2x.sin
3 3 2

 
  

 
2x k2
x k
3 3
cos 2x cos k
3
3 3
x k
2x k2
3 3
  
 
   

  
   

     

 

 
 

 
    







8).
 
3
sin x 2 sinx 1
4
  
 
 
 

Đặt
t x x t
4 4
 
    

 
3 3
1 sin t 2 sin t sin t sint cos t
4
  
     
 
 



3 2
sin t sint cost 0 sin t sin t 1 cost 0
       



2
cos t.sin t cos t 0 cos t sin t.cost 1 0 cost 0 sin t.
cost 1 0
            

Với:
 
cos t 0 t k x k x k k
2 4 2 4
   
              


Với
1
sin t.cost 1 0 sin2t 1 sin 2t 2
2
        
(vô nghiệm).
9).



3 3 2 2
2cos x 2sin x 2 sin xcosx 2cos xsin x 2 0 1
    






3 3
1 2 sin x cos x 2sin xcosx cosx sinx 2 0
     







2 sinx cosx 1 sin xcosx 2sinxcosx cosx sin x 2 0
      







2 sinx cosx 2sin xcosx sin x cosx 2sinxcosx cosx s
in x 2 0

       

 
2 sinx cosx 2 2 2 sin x 2
4
  
     
 
 

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
22 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

 
x k2
x k2
1
4 6
12
sin x k
7
4 2
x k2 x k2
4 6 12
  
 
   
   



  
     
 
 
  
 
 
        






10).
 
sin x sin 2x sin 3x
3 1
cos x cos 2x cos 3x
 

 

 
sin 3x sin x sin 2x 2sin 2x.cos3x sin 2x
1 3 3
cos3x cosx cos2x 2 cos2x.cosx cos 2x
  
   
  



 
 
sin 2x 2cosx 1
3
cos 2x 2cosx 1

  

. Điều kiện:
cos2x 0
2cosx 1 0
 

 


   
k
tan 2x 3 2x k x k
3 6 2
  
          


11).
 
3

2
3
1 cos x
tan x 1
1 sin x




 
2 3 2 3
2 3 2 3
sin x 1 cos x 1 cos x 1 cos x
1
cos x 1 sin x 1 sin x 1 sin x
  
   
  

Điều kiện:
2
sin x 1 sinx 1
   





  





 
 
2
2
1 cos x 1 cosx cos x
1 cos x 1 cos x
1 sin x 1 sin x
1 sin x 1 sin x sin x
  
 
 
 
  













2 2

1 cosx 1 cosx 1 sin x sin x 1 cosx 1 sinx 1 cosx cos x
         
Giải các phương trình sau:
1).
1 cos2x
2 cos x . 1 cotx
4 sinx
   
  
 
 

2).
2sin x cos3x sin 2x 1 sin4x
   

3).
cos x tan x 1 tan x.sin x
  

4).
2 3 4
2
2
3sin x 7 sin x 2sin x 1
sin3x cot x
sin x
  
 

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
23 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

5).
2
(tan x 1).sin x cos 2x 2 3(cos x sin x).sin x
    

LỜI GIẢI
1).
1 cos2x
2 cos x . 1 cotx
4 sinx
   
  
 
 

Điều kiện
sin x 0




x k
 



 

2
2cos x sin x cosx
cosx sinx .
sinx sin x

 






2
sin x cosx 2cos x 1 0
  





sinx cosx cos2x 0
 



sinx cosx 0
cos2x 0
  







2 sin x 0
4
2x k
2

  
 

 
 



  





x k
4
k
x
4 2
 
  



 

 




x k
4
k
x
4 2
 
   


 

 



(k )



So với điều kiện nghiệm của phương trình
x k

4

   
,
k
x
4 2
 
 

(k )



2).
2sin x cos3x sin 2x 1 sin4x
   



2sin x cos3x 1 sin 4x sin 2x
   



2sinx cos 3x 1 2cos3x.sin x
  



(2sinx 1) cos3x 2cos3x.sinx 0
   



(2sinx 1) cos3x(2sinx 1) 0
   



(2sinx 1)(1 cos3x) 0
  



2sinx 1 0
1 cos3x 0
  

 


Với
2sinx 1 0
 



1
sin x

2




x k2
6
5
x k2
6
 
  




  



(k )



Với
1 cos3x 0
 



cos3x 1




3x k2
 



k2
x
3



(k )



Kết luận nghiệm của phương trình :
x k2
6

  
,
5
x k2
6


  
,
k2
x
3



(k )



THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
24 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M

3).
cos x tan x 1 tan x.sin x
  

Điều kiện
 
cos x 0 x k , k
2

     




2

sinx sin x
cosx 1
cosx cosx
  



2 2
cos x sinx cosx sin x
  


2 2
cos x sin x sinx cosx 0
   



(cosx sin x)(cos x sin x) (cosx sin x) 0
    



(cosx sin x)(cosx sin x 1) 0
   



cos x sin x 0
cos x sin x 1 0

  

  


Với
cosx sinx 0
 



2 cos x 0
4
  
 
 
 



x k
4 2
 
   



x k
4


  

(k )



Với
cosx sinx 1 0
  



2 cos x 1
4
  
 
 
 



1
cos x
4
2
  
 
 
 



cos x cos
4 4
   
 
 
 



x k2
4 4
x k2
4 4
  
   


 

    





x k2
2
x k2

 
  


 



(k )



So với điều kiện nghiệm của phương trình :
x k
4

  
,
x k2
 

(k )



4).
2 3 4
2
2
3sin x 7 sin x 2sin x 1

sin3x cot x
sin x
  
 
(1)
Điều kiện
sinx 0


(1)



2 2
2
1
sin 3x cot x 3 7 sin x 2sin x
sin x
    



3 2 2 2
3sin x 4sin x cot x 3 7sin x 2sin x 1 cot x
      
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970
25 | P a g e G I Ả N G D Ạ Y T Ạ I T P . H C M



3 2
4sin x 2sin x 10sin x 4 0
   



=


= 1
= −2(ạ)

Với
1
sin x
2




sin x sin
6





x k2
6
5

x k2
6
 
  




  



(k )



Với
sinx 1




x k2
2

  

(k )



Kết luận nghiệm của phương trình :
x k2
6

  
,
5
x k2
6

  
,
x k2
2

  

(k )



5).
2
(tan x 1).sin x cos 2x 2 3(cos x sin x).sin x
    

Điều kiện :
cosx 0


Chia hai vế cho
2
cos x
ta được :
2
2
1 cos x sin x
(tan x 1).tan x 2 3 tan x
cos x
cos x

   



3 2 2
tan x tan x 2 1 tan x 3(1 tan x).tan x
     



3 2
tan x tan x 3tanx 3 0
   



tanx 1
tanx 3

tanx 3
 




 


Với
tanx 1




x k
4

  

(k )



Với
tan x 3




x k
3

  

(k )



Với
tan x 3
 



x k
3

   

(k )



Kết luận nghiệm của phương trình :
x k
4

  
,

x k
3

   

(k )

