Bất đẳng thức Phan Đức Chính

"`

ĩ

een
SE ly 180g BỊ

a

SN.

Py
&

Se

ee

Si
ga ae

AEP eer:

oe

"II

"`.

et ee by ea

A ies

rat

“RA ee

£23 4
es

pee

nhoeQc lie86460806E 018P

ae

Ả

oN

%:

5

*
+ ae

oor

%

ae

l8

`
ập no,

ae

CAI

ề

éa

AE
eee

=
oa oe
capgee*
soe
ee

ae

OEE

Bone:
Nó dáng HR

hang gi ly, 248646

# oo

UY)

in

higge l THEE
re

eek.

ay

lá

of
ae

Se

Sa ee
*

3

oa

he

E

Š

louyy

(lá

li lên aeni

te Bơi

el

XU

it ý tên nội Sah

ee

te

.

an


7x
“AZ

⁄
A
7
A
nhiều
biển thức:
học tập
cách uận
dụng đó,⁄ bạn có Z thé ~
ttm ra cach gidi quyết cho nhiều bài toán khac
lién quan
đến bất đẳng thức, Chúng tôi đã chọn ra 4
Phụ lục này
tu mot số chuyên. đề uề bất đẳng thúc đã từng
giảng cho
_ học sữth chun Tốn, đơi hhi trong
i bhóa bồi
dương nâng cao tdy nghề cho các thây giáo
dạy các lớp
chuyên Toán.

Voi muc dich nang cao, tron & sach nay, sau
méi § ở
moi Chương, thơng thường chúng tơi có đưa
ra mot so
bat tap đi sâu, do véy khó. Để bạn đọc suy
ngẫm, chúung

tơi cố tình

khéng đưa

tim ra loi giải, suy
nhiều thời gian. Các
này hhác. Đặc biệt có
đọc sẽ từn thấy trong

ra lời giới.

Các bạn nên cố gang

di va ngdm lại, cé khi phai
bạn. có thể tìm ra lời giỏi Ở tài
một số bài tap vii Idi giải mà
cuốn “Tuyển tập Toán Sơ cấp”

tdc gia, sẽ xudt ban trong nam

mdt
liệu
bạn
của

1994,

nghĩ lai: có lúc nào đó sẽ xuất hiện mot vt

tướng đột

.biến" đưa ra chìa bhóncúu phép giỏi. Mong

răng cỗn

sách này là một bạn đồng hành, cùng uới nhiều đài liệu
bhác, trong suốt quá trình học tập từ lớp 9 đến lớp 12

của các bạn học sinh u Tốn.

|

“Bản thảo thơ" của cuốn sách đã được soạn. ra cách
đây 1ð năm,

nhưng hồi

đó chưa có điều hiện

chặt chẽ để đưa ra xuất bản.
XBGD,

nưy

chúng

tơi biên

4

it

Theo u cầu của Nhà

soạn

lại thành cuốn

sách

này, đóng góp cho uiệc thành lập “Tủ sách chuyên. Toán”
màà Nhà XBGD) quyết tâm xây dựng.
Tác gia chân thanh cam On. lanh dao Nha XBGD
da tao mọt điều hiện

thuận

lợi để cuốn. sách được ra mat

cdc ban doc.
Ngày r mùng ð Tết Xuân. Quy Déu 1994
Tac gia G.S. PHAN ĐỨC

Ngay từ lớp 9, các bạn học sinh yéu Todn da
c6 thé
sử dụng cuốn sách này: đã nhiên các ban chi
nén doc va
ngam nghi vé nhiing diéu có thể hiểu duoc.
Vé nhung
vdn dé ma bạn chưa hiểu: ban sé duoc hoc
thém, hoặc
ban sẽ phải tự tìm hiểu. Đơi uới các bai

tập cũng udy,
néu ban chua tim ra ngay lời giỏi, thì thỉn
h thống nên.

chỉnh

CHÍNH

{

|
t

|
i


-

|

PHAN|

NEEUNG VAN DE CO BAN

được gọi là một bất đẳng thức, A, B được gọi là các uế
của bất đẳng thức ấy. Người ta cũng viết bất đẳng thức
trên dưới dạng.

B

đó là mệnh đề "B nhỏ hơn A", tương đương với mệnh để.

Chương I

trên.

BAT DANG THUC

Như bất cứ một mệnh đề toán học nào, bất đẳng

thức A > B có thé dung hoac sai. Vi du:
1)

§1. DAI CUONG VE BAT DANG THUC

a7+1>0

là một bất đẳng thức đúng v61 mol sd ï thực a;a

2) bat dang thtic

x"-õx+6<0_

1. Quan hệ thứ tự trong R
Trong tập hợp số thực R, có quan hệ ¿hứ tự, túc là:
Với mỗi cặp số thực a, b bất kì, ln ln xây ra
một và chỉ một trong ba khả năng:

- hoặc a lớn hơn b, kí hiệu: a >b,

2. Bất đẳng thức

Mệnh đề "A lớn hơn PB", kí hiệu:
A>B,

|

3. Bất đẳng thức suy rộng

- hoặc a nhỏ hơn b, kí hiệu: a
đặc biệt, A, B có thể là những Số).

Khi noi uê một bết đẳng thức mà khơng ch? rõ gì

hơn, thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.

- hoặca bằng b, kí hiệu: a =b,

Giả sử A, B là hai biểu thức bằng

đúng nếu x e (2; 3), sai nếu x ¢ (2; 3)..
Vì thế, người ta quy ước:

số

xưởng

hợp

Khi so sánh hai biểu thức A, B, nhiều. khi người ta
chưa thể kết luận dứt khoát: A bang B, Alén hon B, A
nhỏ hơn B, mà chỉ có thể đưa ra một kết luận mềm dẻo
hơn, chẳng hạn: A lớn hơn hay bằng B.

Do vậy, người ta sử dụng các mệnh đề sau đây dưới

dạng kí hiệu:

S


A= B ("A lén hon hay bang
B")

A Các mệnh đề trên cũng được gọi là bất đẳng thức,
r6 hon: bdt dang thức suy rộng, để phân biệt với các bấi
đẳng thức ngặt, dạng A>B, A< 8.
Ví dụ: Với mọi a e R

xảy
=u
Gởi vì dấ

a’+2a+1

ra khi a=-1)

20

;

nh.

—

|

|
|

nhớ

lại các tính chất

quan

trọng

a>b

|

.c>d

—=a+c>b+d
|

|

Tinh chat 5

:

a>b

— [ae > be nếu e > Ö,
ac < be nếu c < Ö

Hé qua 1
- Hệ quả 2

sau

đây của

2P nếu ce>0,

bất. đẳng thức, đã được trình bày tron
g sách giáo khoa

arb

Đại số 10:

"

Cc

Tính chất 2

~“nếuc<0
Cc

|

Tính chất 6
1

_

a»>b

;, =a>C
_b>e]'

Tinh chat 3
|

ec. hU

3

Tin h chết 1
a>boa-b>0

.

|

a>b<©-a<-b

4. Các tính chất của bất đẳng thức
Ta

|

. Tính chất 4

-

a>bea+b>b+e

_ Hệ quả 1

Tính chất 7
Tinh chét

a>bea-

|
eN
mọin "
với >b
a>b>0>a"

&.

a>bo

|

c>b- c

at! > b™" véi moin e N

Tinh chất 9

a>b>O0=> Va> nÍb với mọi n ¢ N

(He q 2.
ate>beoa>bec

1

Tính chất 10


<>

2n+1

a> ?"⁄/b với mọi n € N

Ghi chit 1. Hoc sinh hãy phát biểu các tính chất
tương ứng cho các bất đẳng thức suy rong.
Ghi chit Z. Tất cả các. tính chất và hệ qua trén đều
có dạng

|

4< Z',

Như đã biết trong phép suy luận tốn học:
ta có /

A,

thi A, ft! la hai

mệnh

đề đồng

thời đúng, hoặc đồng thời sai;
- nếu

ta có

A =>

mình rằng néu

VÍ DỤ 3.1. Chứng

_§2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHAP

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phép lập luận nhằm

đẳng thức đạng A >B

mục đích chứng tổ một bất

(hay A>

gọi là phép chitng minh bất đẳng

10

B, v.v...) la dung, được
thức Ấy.

a

b

b

a

—=+—>2

|

Gidi. Bat dang thức trên tượng đương với
3

+b

2

92002

|

2

— 2ab + b

ee,

nếu 4 đúng, thì ' sai.

Ghi chú 3. Nhiều khi người ta dùng tính chất 1
làm định nghĩœ khái niệm bất đẳng thức
|

a, 6 la hat số

cùng dấu, thì:

ab

đúng,

có

của bất đẳng thức

a

J’, va:

nếu 4 đúng, thì

1. Phương pháp sử dụng các tính chất cơ bản

—

hoặc4 > #7,

_với 4, 4' là những bất đẳng thức (mệnh để toán học).
- nếu

Phương pháp chứng: minh bat đẳng thức rất “da
dang, phu thudc vào đặc thù của từng bất đẳng thức.
Sau đây chúng ta xem một vài phương.pháp chủ yếu. '

2

>0

ab

ab

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, vì ab > 0.

Vi DỤ 3.3. Chứng mình rằng nếu t #0, thi

leatot

>2.

Giai. Voit > 0, ta có — > 0, va theo vi du trén
t+—

1

=t+

>2

Với t <0, ta có t' = -t > 0, nên
w

Stade

>b

e+
|

2


1

t+-—|=eh

=t'+
—
_

|

Giới. Ta có

>2

aA+bB

VI DU 3.3. Với hai sốa, b tùy ý, ta ln có

Q

` _ 9(a? +b°- )(a* + 2ab
+ b’)

2

4

4

4

ˆ

Giải. Xét hiệu
Ta có:

4

> 0®.

Phương

|

pháp này khai thác các tính chất của tam

thức bậc hai, các định lí thuận và đảo về dấu của tam
thức bậc haI.

bồ + be + ca
VI DU 9.6. a, b, c, là ba số cho trước, uới a° + b” >0,
con x, y là hai số thay đổi, nhưng luôn luôn thỏa mãn

H =a”+ b+c? - (ab + be + ca)

điều biện ax + by = c. Chứng mình rang

Sóc
œ“+(e-a)?>0

VI DU 2. db. Chứng minh rang néu a >b, A >B, thì ta có
aA + bB > a+b „AB

2

2

9

(Đất đẳng thức Tsê-bư-sep)

25

©

Gidi. Vi a* + b’ > 0, nên trong hai số a, b phải có ít nhất
LS Ee

Vậy H >0, từ đó suy ra kết quả cần chứng minh.

2

x°+y°> =y—
a” +b"
2,

=2(? + bẺ + eÐ - 2(ab + be + ca) =
=(a-b)"+(b-

4

2. Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai

VI DU 2.4. a, b, e, là ba sé tity #. Ta có
|

_

Bất đẳng thức (*®) đúng bởi vì a-b>0, A - B>0.

_ a” - 9ab
a + b ° _ (a —_ b) py >

|

9

= —

Giới. Ta cóc

2

2
4

2

a + b ==

A+B _2(aA+bB)—-(aA+aB+bA+bB

_ aA+bB-aB- bÀ _- a(À = B)+b(B- A)_

(azby cash
2-

ath

_ một số khác O. Ta có thể coi rằng b #0. Từ ax + by =0, rút ra

c—ax
b

y=
do vay
x+y

5

y =x

24

(c-axỲ

D5

—

1

-[ (a?

ple

+b’)
) x” - 2acx + cÏ 1
13


vette
a

Bi + C2
A+
+
)x
cC
+
dB
+
2A
?
c)x
+
bề
+
fGÒ = (a2

Tam thức bậc hai

0 véi moix € R.
= b=c=0, thi bat dang

Nếu 3° + bỶ + c = 0, tức là a
vế đều bằng 0). Nếu a’ +
thức @) hiển nhiên đúng (cả bai
thức bậc hai, ln có giá tri
b2 + c2 > 0, thi f(x) la mot tam

f(x) = (a? +b’) x”- 2acx + ¢°

dat gia tri nho nhat:

minn ͌) = fs, =
nên ta suy ra

4

x"+y” >

\

SẺ aC in

. minf(x) =

¬ oF

gọn) A' < 0, tức là
khơng âm, vậy có biệt số (thu
(r+ B+)
(aA + bB + cĨ) - (a? + bi +c)

2

từ đó suy ra (1)

> 4b”
b
Cách gidi khdc. Van dung bat dang thtte Cési -

ˆ

Svacxo (Bunhiaképxki) cho hai cap sd, ta dude

= (ax + by)’ < (a? + IG? +?)

Š
2
suyrax +y 2

/

=

3

|i

'|

VÍ DỤ 2.7. Chitng minh ring v6i a, b, c, A, B, C la
những số tùy ý, ta ln ln có

(dA + bB + cŒ}? <(a°+b?+c)(A”+B”+C)
(Bất đẳng thức Côsi - Svacxở cho hai bộ ba số).

Gidi. V6i moi x € R, ta cé

(ax - A)’ = a2x” - 2aAx + A’ 20,
(bx - BY? = b’x® - 2bBx + B’ = 0,

(ex - CP? = c?” - 2cOx + C7 > 0.
Cộng các về tương ứng, suy ra

€ 2.)
(pq- œc - bđ)? >(p°- d” - b) (d7-

m

3

(@)

hiện.

p + g° - d7 - bˆ-€ 2_d3” >0.

Chứng minh rằng

2

a“+b

q thỏa mãn điêu
Vi DU 2. 8. Cac số a, b, c, ở, p,

<0

_ @

h với bài toán trong
(Ghi chú: học sinh nên so sán
cùng lời già)).
Đề 53, bộ Dé thi Tuyển sinh,
viết dưới dạng ˆ
Giải. Điều kiện đã cho có thể

—
Néu

œ-a?-b)+(g-

- d9 >0

©)

oe

theo (3), gd-c?- dˆ>0),
- hoae p” -a?-b’ < 0 ai đó
theo (3), p’-a’-b’ 20),
- hoặc d7 - €Ý 2 & <0 0ehi đó

ên, vì có về š phải khơng dương.
thi bất đẳng thức @) là hiển nhi
ng han:
Do vậy có thể giả thiết chẳ

pr-a’-b' >0

(4)

2
as os p.>
an
a'2 +b>2 0.
vì
bởi
0,
#
Ð
ra
suy
Từ giả thiết này

15
14


Do sự gợi ý của (4), ta hay
xem tam thức bac hai

f(x) = (p’ - a? - b?)x2 - 2(pq

- ac - bd)x + (q?- @2- d®)

= (PK - 9)” - (ax - â)- (bx - ?

Dat

= ơ
p

T C:

Ví D 1.9. Cho œ„ d„,..., d, là n số dương, uới tích
gG;œ›...G,„ = 1. Chứng minh

|

_(đŒp+ Ø,) (d¿ + dạ)... (d„¡ + d„) („+ d) >2"

Giới. Ta vận dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số
không âm a, b:

|

M(t) = - (aa - @}” - (bơ đ)? < 0,
vậy (p* - a”- b3). f(œ)
<0.
we

a+b>9/ab
va dude

Theo định lí đảo về đấu
của tam thức bậc hai. ta
ra f(x)
phai cé nghiém

la, +a; >2\jaA¡A;

(phan biét hay tring nh
au)

va œ thuộc đoạn xác địn
h bởi hai nghiệm), tức
là f(x)
phải có biệ
t số (thu gọn) A'> 0, hay

¬

aed

A'= (pq - ac - bd)” - - (p? - - a a2 -- b*)2) (a:(q?-

là điều cần chứng minh.
3.

Phương

phá

trung gian

1"

3

¬

P sử dụng những

at

bất

_

=

2 - g2) >

)>0, đó

,

s,

đả

dang thức

Đề rut gọn phép chứng
minh một bat đẳng thứ
c
A ,nền sử dụng một số
bất đẳng thức (đúng) đã
biết.
Chẳng hạn

a, +a, >2Z,/a,a,

a, ta, 2

„

⁄

, trong cách giải2 của
bài tốn ở: Ví dụ 2.6, ta-|
da
9
5 ` ae bấta” đă2 ng
*,
+
thức Côs1 - Svacxơ cho
hai cặp số
a; n D), (%;; y) ma moi01 hoe
să
học | sinh sinh đềudéy biếbik
t,t,. muén6 nhấtất | làlà ởở

2./asa,

....ư “a6 mẰ me, me 80 em G

im mo mo

+a,>22j3„
:

(ay

+

ay

2

2

¡;a,

n-1

đnÄ

Nhân các vế tương ứng của n bất đẳng thức này, thì được
(ay

+

Ay)

(ay

>On

>?

+ aa)...

Gut

+

[e,a,..2,,?

2n)

Z

_

(a,

+

8y)

>

9H"

2”.

vi DU 2.10. a, b la hai số dương cho trước, còn +, y

là hai số đương thay đổi, thỏa mãn điêu biện

—..

Sau day ta xem vài ví
dụ khác
A

,

\

x

(5)

y

-?

a

có

®

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = x + y.
~

ˆ.

`

”ptmLA

16

3
.¢

4

“Al

Shatt

Ệ
i
5

Ẵ

È

.

4

1Ø.

"

&

Gy

woes

1

Fait $ `
+: & Roel?

eo

ý

Q12

š

ư»
ee

a

x
tớ
°

a?K

/4C¿

em

a

bathe

i

là & M hv~ BRE
S
KẾ
*Ỹ
PO
Rega IF SỐ

ERS

3

Take

a BROLIN
are REET
Me LE

a

tk

{
Ệ
x

T

ẸỆ

Ỹ

‘17


a
x

7

Nhận xét rằng chỉ có thể kết luận m = min S
nếu ta chứng tỏ được rằng
Giải.

x-tva

|

l)x+y>m

y= irlb

-

với mọi x, y đương thỏa mãn điều kiện (5):

Ũ

1
bo
y ˆ

2) chỉ ra được hai giá trị Xụ, yạ của x, y sao cho xạ + yạ = m
(Ghi chú: nhận xét trên là đường lối chứng mình gia tri
số).
hàm số)
hay củacủa một
một hàm
của một
biéu thức c hay
mdt biểu
nhất, lớn i nhất, , cua
nhỏ onnat,

ccó
¡. Ta
Bướ

ta được

L

x= Jala + vb)

5-Ê.

eae

be
|

:

t- Ja +b.

y= Jb(Va + Vb)

|

là
Kết luận. Giá trị nhỏ nhất m của tổngx + y
vay

Gla+Jby = fees

+

2

- ở]

<

m=

đạt được khi x= Va(/a + Vb), y= Vb(Va + 4b)

6)

(242) oc ty)=xty

tuy
VÍ DỤ 2.11. Chứng manh rằng uới ba sé a, b, c

|

wy

ý, tœ luôn có

Bước 2. Dấu = chỉ xảy ra ở (6) nếu ta có:

~

Cy”
a “pO

“

x

y

Ja

vb

'
_

y=tvb

Giai hé

ab+be+ca< s(a+b+o}

|

xa2:y,

|

(va avby

g đương với
Giải. Bất đẳng thức cần chứng mình tươn
3(ab + be + ca) < (a + b + c}” =

|

=a’ > 4b? +c? + 2(ab + be + ca)
hayy

`

ctea+
ap b+b

b+bẺ ⁄ dcc

du 2.4.
Bất đẳng thức này đã được chứng minh 6 vi

19.


4. Phương pháp phản chứng

a(1 - a). b( -b). c(1 -

VI DU 2.12. Chứng tỏ rằng nếu ba số a, Ð, c thỏa
mãn điều biện
a+b+c>0

(7)

+ab+ be+ca
>0

(8)

abe > 0,

(9)

~ (10)

5 > all- a) <

Lập luận tương tự cho b và c, suy ra.
'

a(1- a) .bQ1 - b) . e(1-e) < =,

.

Giai. Giả sử trái lại, trong ba số a, b, e có (it nhất)
một số khơng dương. Vai trị a, b,c ngang nhau, ta
cố
thể coi rang a < 0. Nhung theo (9), a phai khac 0, vay
a
<0, và ta có be < 0. Theo (8)

a(b+c)=ab+ca>-be>0
mà a <0, nên b+ e<0. Với a <0,b+e<0suyr
aa+b
+c<0, trái với (7).

Thành thử cả ba số a, b, c phải là dương.

Chứng mình rồng trong ba bất đẳng thức
b(1 - e)> *

phải có ít nhất một bất đẳng thức sai.

5. Phương pháp quy nạp.
Phương pháp quy nạp được sử dụng khi trong bất |
đẳng thức cé sự tham gia của n, với tính chất là một số
nguyên

dương tùy ý, hoặc số nguyên

dương lấy mọi

giá

VI DU 2.14. Chung minh

rang 1 néu a >

-1, thi vot

_ mọi số nguyên dương n, ta đều có:

,„ C( - dg) > I

47

mâu thuẫn với (10).

trị bắt đầu từ nạ.

VI DỤ 2.13. a, b c là ba số thuộc bhoảng (0; 1).

4”

|

Vi a e (0; 1), nên a và 1 - a là hai số dương: áp
dụng bất đẳng thức Cési cho hai số ấy, ta được ..
|

wfa(L—a) <¬.—

thi a, b, c là ba số dương.

đ(1- ồ)>—,

>

4

"Giải. Giả sử cả ba bất đẳng thức đều đúng. Nhân

các vế tương ứng, ta được

(1+a)">1+mna

(11)

(Bất đẳn Ø thức Becnuh)
Giải. Với n = 1, (11) hiển nhiên đúng.

Gia sti (11)

đúng với số nguyên dương n = k, tức là

_

(1+a)“>1+ka

Nhân hai vế với số dương 1 + a, ta được .
2L

21


Ta sẽ có kết quả cần chứng

ạ + a}*f > (1 + ka)(@ + a) = 1 + Œ& + La + ka” >
=

|

>1+(k+

được rằng

la,

vậy (L1) đúng với số nguyên dương n = k + 1. Theo nguyên

kién a + 6 20,

thỏa mãn. điều

at

-

"

b

an

dod6-

d2

—

suy

(Ghi chú: hãy so súnh uố: Ví dụ 2.3).

Giải. Với n = 1, (12) trở thành đẳng thức đúng.

Giả sử (12) đã đúng với số nguyên dương n: ta cần
chứng mình nó đúng với số ngun dương n + 1.
Nhân hai vế của (12) với sé = +b
(see)

2

a®+b"

an???

(> 0), ta duge

\(a+b)

(2

_ am

2

|

— a"+b*.
2

22

a"b—ab"

"
4

(a-b)@'-b`)
4

.

—

az

!

có

“b

a>|bl
at

ra

7

BT"

2B"

ề

|

`

và ta được q3).

|

thi ì bất
(Ghi chú: nếu n là số nguyên dương chin,
a + b >0, bởi
dang thức (12) đúng, khơng cần giả thiết

đó ta. tiến bành
vì (12) đúng với n = 2 (Ví dụ 2.3), sau
n = 2m và quy
phép quy nạp theo các số chẵn, tức là đặt

nạp theo m e N)).

ụ ¬5 <3

+a"b+ab"

ch

|

|

a 2p.

Vi DU 2.16. Chitng minh rang

2.)-

4

_ an?

củ

Hắn

+ bh

2

2)"

Lại vì a + b > 0, nên

|

|

đương n, tœ đều có

|

|

thi vdi mot sé ngun

08

ta có
vay, val trị các số a, b ngang nhau, nên

thé coi rang

Vi DỤ 9.15. Chứng tỏ rằng nếu a, b là hai số tùy ý,

nếu chứng tỏ

(a- b(@"-b)>0

Qua

lý quy nạp, (11) đúng với mọi số nguyên dương n.

mình,

-

voi moi sO nguyén duong n.
(Ghi chu: Hiển nhiên không

a4
thể quy nạp trực tiếp

'theo n, mà cần phải tìm một cách giải quyết thích hợp).

-

= bởi vì
Giải. Bất đẳng thức (14) đúng với n = 1,n =2

2ä


+k

_ Vậy ta xét n > 3, và chứng minh
rang: véi mọi số

nguyên dương k thỏa mãn điều
kiện l
ay

oR

( l+—|4

Tt

<

tsn

mm"

—+——

n

a

V6i k = n, thi (15) tré thanh (14).
|
Để chứng minh (15), ta sử dụng phép
quy nạp "hạn
chế", tức là cố định n(n> ở), và xét
các sốn guyên dương
k, với l|
Với k = 1, (15) trở thành

1 pie 1+
n.

n

+. i. : đúng

†

nn

_ Giả sử (15) đúng với k Œnminh (15) đúng với k + 1. Ta có:
1

k+1

-

ụ “| = (1 tạ) (1 2
7

aye

n

nj)

< Gee
n

k + =)
n
m

=

¬

k 2 TR +

k

1s

1,

rw

ta chứng

nˆ
hay

>

~

kK?

(+1).

n°

nỶ

—x+<

nk’ +nk +k’ okBất đẳng thức này đúng vì k6. Phương pháp đạo hàm
| Phương pháp này dựa vào tính đồng biến, nghịch

. biến của hàm số trên một khoảng.
VÍ DỤ 9.17. Chứng mình rằng

X
: 1) e0s % > 1- ~~

¬
_ĐỔi mọi x e JÈ”

2a

.
x
2)%>Sitx>~ TS

3

"
¬
VOL moi x > 0.

Gidi. Hoc sinh tu chting minh bat dang thtic

Sa

<

+

sin x
(x > 0)

dựa vào định nghĩa của hàm số sin.
1) Xem hàm số
2

9

rey

|
Để chứng tỏ rằng (15). đúng với
k + 1, ta chỉ cần
chứng tỏ
:

(x) = cosx - h _ 4

, (x € R)

đây là một hàm chẵn, có đạo hàm

Œ) = -sinx + x > 0 khi x > Ö

25


tty
tinh

Loại trừ trường hợp n = 1 quá hiển nhiên, ta xét n

dương, và chứng to

> 2, tức là m - Ì là một số nguyên
rang f'(x) > 0 khix > 0, tức là

- C2)

(c+x)"'>(c-x)"'

Quả vậy với x > 0, ta ln có

f(t) = tC - t), v6it e (0; 1).

Hàm số có dao ham

f

từ đó suy ra (17) bởi vì n - 1 là một số nguyên dương

VÝ DỤ 3.19. Ba số đương +, y, z thỏa mãn điều hiện

xZ+y°+zZ =1

x
3
yur

3

+

y
2
Z+xX

7
3
x+y

_
3

+

x

3

2

0

cac

—+

ví

—+

ma) * ya-y) *
3/3

3/3
2

ae

Từ đó suy ra

>~ø—x

Chứng mình

-

32/3

a

0°

|c-x],

1

|

0
2
—=

+

Kết hợp hai kết quả trên, ta được
c+x>

1

J8
TS

|

O

f

Vì (c + x) tc- x) = 2c > 0, nên ta cũng có
c+x>-(c-x)

f(t) =1 - 3t”

vay trên khoảng (0 ; 1) có bảng biến thiên
t

C+t+x>c-xX

|

Xét hàm số:

†

ÃT2—Tt ae (x a+y

y"ST
3/3

=z)

|

3 3

ns

"

= sẽ:
+z y=

nen

teh tee

Gidi. Vix +y? +2 =1, nén bat dang thtic trén cd dang
x
1-xÝ
hay

,

x

~ +
9

y
ly.

— +

x(i-x”)

Z

> +
V

l-Z

2

>>

— +

yd-y)

3./3

;

2
Zz

2

|
5 3/3

—>

zd-z)

2

Để ý rằng từ điều kiện của bài toán, suy ra
0
29

28


.

Nhén xét. Hién nhién chi cần chứng mình bất đẳng

thức Côs1 cho n số đương ai, a;,..., 8ụ.

Chwong II
NHỮNG BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI SỐ QUAN TRỌNG

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp, nhưng
đây không phải là kiểu quy nạp thông thường, mà là

quy nạp kiểu Côsi, gồm các bước sau:Bước

1 (bước cơ sổ): chứng

mình bất đẳng thức

đúng với n = 2.

Như

đã nói ở Chương I, để rút gọn phép chứng
mìỉnh bất đẳng thức, ta có quyển sử dụng những bất

đẳng thức trung gian mà "mọi người làm Toán" đều biết

(va phải biết). Chương II này giới thiệu các bất đẳng
thức quan trọng nhất, đó là bất đẳng thức Cési, CésiSvacxo,

Tsébusep,

Becnuli cùng

cách vận

đẳng thức ấy thơng qua một số Ví dụ.

dụng các bất,

Buée

2 (buéc

|
tién

"nhay

vot"):

gia thiét rang bat

đẳng thức đã đúng với n, trên cơ sở đó chứng minh rằng
bất đẳng thức đúng với 2n.

(Nhận xét: với kết luận ở bước 1 và kết quả ở bước

2), ta thấy bất đẳng thức đúng với n =2, 4, 8, 16,...
Bước 3 (bước lùi "lấp chỗ trống": giả thiết rằng bất
đẳng thức đã đúng với n (n > 9), trên cơ sở đó chứng minh

rằng bất đẳng thức đúng với n - 1. Nhận xét: sau bước 2,
ta biết bất đẳng thức đúng với mọi n = 2" (k tùy ý), thì

§1. BAT DANG THUC COST

bước 3 cho hay bất đẳng thức đúng với mọi n < 2", mà k
tùy ý, nên bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n > 2).

C thể mình họa sơ đồ lập luận ở các bước 2 và 3 như sau:

1. Bất đẳng thức Cési
Với n số không âm a;, a;,.... a,„ ta luôn luôn có
$
NAjAy.A,

-8a.+a,
2 +...+a
I
n

dau dang thtic chi xay ra khia,-a,=...=a

30

Bước 3

ne

Hình 2
31

-


|

theo 3 budc da néu.

Bước ¡. Với n = 2, bất đẳng thức Côsi đã được
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đã đúng cho n số

không âm. Xét 2n s khụng õm.
an;

ay,

a.+..+8a. +

ai +...+

ơ

a, tay +--+ Ay

17**n-]

nè

n-l

|

ta c.
Nang ca hai về : lên lũy thừa. bậc n,

Bon»

...}

Ant

; Ẩn;

~"

hay

n—l

n=
- G.ư

> nl3i---Än_1

chứng mình trong SGK ĐS 10.

`

=.—

1
—| a,+...+ +

Ta hãy trở về phép chứng minh bat dang thtic Cosi

ta có

n

1

——(a, +ay +...+8)=S|
2n

>— iS (nla,...a,
v.v

+ la

l(a,+...+a

—

2

n

20 | >

y=

a

neler

n

a...+...+a

mm

(Ateễ

Ay

Ay,

ay

=a

1

**”

không âm. Lấy n - 1 sô không âm: ä¡, 8;, ---, An1- Đặt
a,+a,
;

-1

)

.

>

n-l

>

n-l

A,Ay---Ay

|

5

FT
aja,

ng

---

đẳng thức chỉ xảy ra khi

ay,

Bước 3. Giả sử bất đẳng thức đã đúng cho n số

Ay, =

¡> 0, nên suy ra

n—Ì

n

Hiển nhiên dấu
one

n

n-1l

a,+a,+...+a
2
1

la

Ta cd:

a,+a,+t...t+a
3
]

+.-.-tTa,

được
rồi lấ - ‘an bac n - 1 của hai về, thì

Dấu đẳng thức chỉ xay ra khi ta có
a, =. =a

=)

h
(

=— 3 2a

a,

(SS
n-

= aye

+...

2n 4

1
++ Aon
.
..a, ray
> Jxfa,.

ay

a,t+a,t+...-ta,.

¬

+..+a
1

ne]

(>

:

a,

Z

0)

<>

ay

= ay =

ay

=

ay

—

oe =A
...

—

=A

_

8a +a,+..t8
m—1

:

ant

+ 1.
Ghi chú: Ở bước 3, ta có thể lài từ 2n xuống n
2. Ví dụ áp dụng

|

Vi DU 1.1. Chon s6 duc.g a; (t= 1, 2,..., 0.

OZ


Chitng minh
(a,

tay

Giải. Ta aco có

:

+...)

[Tr+

(A,

a,>n

chứng minh.

các vế tương

2, +

ứng,

ee

at

ay

a¡+ 8a... ta
1
1
—+—+

Nhân

VI DU 1.3. Chứng tô rằng trong mọi tam giác, ta đều có

[1

3

n°

S<

a

>nh
1

>

va A, a,

(S là diện tích, 2p là chu ui của tam giác):

...a,

Giải. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, thế

n

>

thìa +b+c=

ta được bất đẳng thức cần

VI DỤ 1.2. a, b, ¢+ le ba số đươ
ng. Chứng minh
a.
b- 4. cL 3
b+c
c+a
a+b
2

(bất đẳng thức Nesbit cho
3 sé “đương)

Giải. Sử dụng kết quả ở Ví
dụ 1.1, tả được
a
sb.
Ca!
+
+
b+c
c+a
a+b

a

=

Ge

+1

(ob
} ‘les

T+I]Ị:

bre! ¢c+ta

CrÌ

+(e)

1

I;

dương). Theo cơng thức Hêrơng_

"= pp - 2) @-b) œ- ©),

ta có

SSP.

[22 + (p—b) + 2-2) _pt
a

3

27

Để ý rằng dấu = chỉ xảy ra khi p - a=p-b=p-c,
hay a =b =c (am giác đều).

fy)

trén. khoảng (0 ; +3.

ac

sẽ

l=

© là ba số

= e+

x”

-

_ Giải. Với x > 0, ta có 1,
1.
3=...
8h
3h `3 .

ij

bac ra

1

1

3

..

ĐỀ

3

>—.9+3-°2
5
3
2

34

1.

2p (và nhớ rằng p - a, Pp - b, P-

Ví DỤ 1.4. Tim gid iri nho nhất. cua ham sé

a+b

1
=lesacesasesal

2

oo

“848

Dấu đẳng thức xảy ra khi ta có

35

e
Peet
x
3

min f(x)=| =2
xe(0;+z)

Vay

5. )+5@-xz)Ì "xẻ
(1,„ (Œx
39 —[8

xo a36x=%38
—

f(Œ) < =

2m

oo

Ghi chú

1) Học sinh cần học tập "thủ thuật" trên, để vận
dụng được bất đẳng thức Cơsi
|
|

-

ae

¬

2) Sau khi đã có

By.

1

ee pe v2 a

tan

|

fŒ) = gian” để chứng tỏ rằng

cea

te

im}

là giá trị nhỏ nhật cua f(x) trén khoang (0; +),

cầi

>

|

^“

=

2°

ˆ

Z3

^

ˆz

¬

ân chi ra dấu = xay ra với một giá trị nào đó của biến

số %x (Ở dây x=
a’

2

^

427).

5

3) Học sinh có thể dùng cơng cụ đạo hàm

để giải

bài tốn này.

>
Oo
bằng 3X

36

3

f(x) = 2 [2

7

_

.

5°

33

4s

4Š

5

—x=2-x
8

4

(thích hợp vì ` c [0; 2}).
Ví dụ trên,
(Học sinh cần ngẫm nghĩ các ghi chú ở

áp dụng cho bài tốn ở Ví dụ này).

dù

3.50e

cao cấp.
Số e có vai trị quan trọng trong Tốn học

Nhu da biét trong SGK DS va GT 11
tsa 1+2)

nope

na

= 2.71828 18284...
.

nhiên

3

=—~..|/—xX

3

(2

—yy)

x)

?

Cési cho 8 sế không âm: 3 số

Ta
5 so bang 2 - x, ta dude

5°

8Š

=

đó là lơgar1t tự
số e được dùng làm cơ số cho một lôgar1t,

trên doan [0; 2].

rồi áp dụng bất đẳng thức

|

e=

2 =x ?2- x“)?

5°

g3

ä

, tức là
Dấu = chỉ xảy ra khi 8 số trên bằng nhau

VÍ DU 1.5. Tim gia tri lén nhat của ham: số

Giải. Biến đổi

_

8

In x = log.x

_—_ (««>0)

céng nhan su
Tuy nhién SGK DS va GT 11 yêu cầu
tổn tại của

số e, một

phát

minh

quan

trọng

của Toán

học ở cuối thế kỉ 16 - đầu thế kỉ 17.

387


The_ O chuanA mực của
h loáắn học hiện đại, học sin
h

u Tốn cần biết rõ hơn q

trình đi đến sốe
VI DU 1 6. Chứng mình ran
g day sé
1

_VÍ DỤ 1.7. Chứng tỏ rằng đấy số

là một dãy số tăng, tức lò
Ủị € Hạ €... < tu < tu. <...

1

(

tế)

n

u,, = 1 + — |
voi moi n

1

ana]

<|1+——

@=

Ấp dụng bất đẳng thức Côsi

n

dụ 2.16 Chương Ï:

|

i tả]

1

n_

u,

nhau)
1

l

tnd +—)] >
_—

|

< 3 với mọi n = Ì, 2,...

n

144

1

neil

1, 2,--)

Giới. Đây chỉ là kết quả đã chứng minh trong Vi

.__ Kết luận. Dãy số

n

n số (bảng

——i]

:


= 1, 2,... (Hinh 3).

cho n + 1 sé dương

không đồng thời bằng nhau:
|

ta được

n=

a)

l1,1+—, 1+

(n. = 1, 2,...)

bị chặn trên, tức là tôn tại một sốM sao cho
aan

Giới. Ta cần chứng minh
.

.

H7

FT, inh ở

n

nh

u, = [+]
M

1

1+ n+l sol
VA a)n

quả cần chứng minh.

(+ = 1, 2,...)

n

`

7

Nâng cả hai vế lên lũy thừa bậc n + 1, thì được kết

no

Lí, = h +2]

hay

n+

ID

"
I

có tính chất:

=

i

n

+2)

‘

(n — 1,

2...)

u;
Tốn học cao cấp đã chứng mình:

|

"Nếu (u,) là một dãy số tăng và bị chặn trên bởi sốM
Uy

38

<

Uy

<

...

<

tạ

<

HN

<

oe

<

M,

39


thi day sé dé cé giéi han hitu han L
L=

Chứng minh. Viết các số hữu tỉ dương rị, Tạ,..., Tụ
dưới dạng phân số, gọi M là mẫu số chung của chúng,

limn,

M—>+y

thế thì ta có

' Suy ra kết quả:
-

.

1

n

Day s6 u, = h +2]

_m,

‘

Yr,

a = 1, 2,...).c6 gidi han hitu han’
VỚI

e= nñm(1+
2]
tel

1

I

an

1

< —a,+—ay,
1

1

+...+—a,

h

(3)

Tn—

M

Giả sử ay, a›,..., a„ là m số dương tùy ý, và Oh, Qạ;..., œ„ là
n số thực, dương có tổng
ơi

+o¿

+...

+

0,

=,

Thế thì
a,

ha

aitas°...an"

Œn

(5)

S$ ,a, +O a, +...+0,a,

Dấu đắng thức chỉ xây ra khi a, = a, =... = a).
7

Gia su ai, a,,.... a„ là n số đương tùy ý, và rụ, Y;,.... Y„ là n
số hữu tỉ dương có tổng bằng 1

ở

+

°

.

—

—

—

s-

Ta có thể hình dung q trình chuyển từ (4) sang
(5) bằng cách "xấp xử" các số thực dương dị, G¿;..., Oíạ bởi

các số hữu tỉ dương rị, rạ,..., Y„ {í; + r; +... +, = 1), và
Cho rị¡ —> Œ\, Y„ —> ¿;...; Yạ —> Ơn.

Tạ tT;ạ†+...+r,= 1.

|

Ở chương III, ta sẽ thấy một cách chứng minh bất

ay ry a,’...a! Sia, +ra,+..4+7a,
T5

th

0

Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi a, = a, =

40

M

28°9

m¡ + m, +... + m„==M.

n

Người ta mở rộng bat dang thtic (3) như sau:
_ Mở rộng bước 1

Thế thì

_m,
>

Mở rộng bước 2

Sử dụng khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỉ, nếu
â¡, a, ..., 4, là những số đương, thì ta có thể viết bất
đăng thức Cơsi dưới dang
an ¬

M

1m,

—-

a, (ca thay có M số): áp dụng (3) thì được O..

4. Bất đẳng thức Cơsi mở rộng

1

_
; tạ

Xét m; số dương a¡, m„ SỐ dương a,; ..., m, sO dương

lại

ap

—

=

^

(4)

đẳng thức (5) dựa trên khái niệm hàm số lồi. .
VÍ DỤ 1.8. Cho Lp Xy, X3 la ba số dương, 0ò -

41


thu,

Giới. Để ý rằng một mặt ta khơng có điều kiện a, +

Vy =8iiXi Tâ¡¿X;, TayX;s
Ye = Ag Xy FAgXy +Ay XK,
Ýạ — 8ạiXi T8¿yX; +AjyX;

a,t+..+a,=1dé

mặt khác cần biến đổi thích hợp dé vận dụng được điều

.UỐi đ¿ (1, J = 1, 2, 3) là những số thực dương, thôa mãn

kiện xị +xy,+..+x,=l.

các điều biện

:

Gol

a3, taj tajy= 1

G=1, 2,3)

1 bagi ta,y= 1

G =1, 2, 3)

Xi]

ay

Giới. Ta có với 1 = 1,2, 3
r

ait

r3 xu Aig

Ky

KAS

r

=

a,

9

+

ay

+

..e-

_

+

štb,=
Aa

dat

b,

_~

7”

G

đ=1,2
—

?

:
>

"9

n

)

?

theo (5)

⁄J1⁄3Y3 2X;X¿;X¿

My

|

a

thế thì b,, by, ..., b, la n số đương có tổng bằng 1. Do vậy

Ching minh rang ©
|

4p dung ngay bat dang thtic (5), va

Dạ

bạ

| Xe

|=

ay

.

bạ

b

b

ay

3;

< ly, +x, +..4-x,=

(an

ay

r

ay Xk) +a.yX,y FAX;yo:=;

Nhân các vế tương ứng của ba bất đẳng thức này,

thì được

XY
hay

+ai

tang

xy

Ayes

Fava

4Aga

1a

By

r Aaa

rags

Ẳ

r

a,

The

a7

X¡ +4; +... +#„= 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
ey
gala
phy
“Ấn
Xy
Xị

trong dO a), ay,..., a, lan số dương cho trước.

ba

| Xe

wre

ay

bạ

Xn

|<

~~

a.

1

a

a

hay

1.9. Cho -n sé duong x1, %5..., x, thay doi,
ue

nhưng luôn luôn thỏa mãn điều kiện

42

Xi}

SV Y2Ys

-_ XIX¿X; SYIY¿Y;

VI DU

*

81

bạ

we

HX,

Ay ~, aa
yin
Xy ---X

<
S

_——,

ahia*
Tờ
y3

sự

qos
n

Dấu đẳng thức xây ra khi
X:+X,+...+X,=l

X,
_ Xe
a,
a,

_

-

— **n

a

n

43


XX

a,

Xu

a,

a,

>x,==

1,

Ey - 1

a,ta,+..¢a,

“i

_ 3

Thanh

_ Xi +Xy Ht

4.a, b,c là ba số ï dương

G=1,2,.,n) . ©)

a, ta, t...+a,

ees

an

a

~

sa

ay

ay

6. Chứng

Aa

as

eoc

(a

an"

—

+

ay

ay

+

...

TP

a„)

€ 2 ta đều có

- nguyênk

:

BÀI TẬP:

'd#+a0

k

5

1

a'+2bc

(142)

+—

€

1

b+2ca

+: —

> 64

,

l

ce” +2ab Ỷ |

3. a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a” + b
< 1. Chứng minh:
44

_

b

k

a

>2".

+8) -.(L3 a)> (1+ l8; say }5

9::a)

ahaa
Cho n số dương a; > 0 có téng a; +a;

n. Chứng mình:
mye
my

c <1. Chứng minh:

b)

|

(142)

-(@a,-1)@-10)...(a,-D
2.a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b +

b

a+b+e

cta

8. Cho n số a, > 1 q= 1, 2,..., n). Chứng minh

HA EDeD
a

tùy. ý. Chứng mình

7. Cho n sé a, = 0 G=1;2,...; ; BỘ. Chứng mình

_1. Chứng minh: với x, y, z> 0, ta có

+2)

2

Si

bj}-

KH

9

minh rằng néu a, b > O thì với mọi ¡ số

+?)

a)

c +ab*

b+c

a+b

-_ đạt giá trị lớn nhất bằng

Ì

>

5. a, b, e là ba số dương lớn hơn 1. Chứng minh:
9
log, cy 5
2 (108v2 , 1og.P ,log,

x)'x)? ... XẾ

a’

1

+

‘all +e- a) +b? (c+a- b)+ca tb- 6) < Babe

.

thử biểu thức

|

bo +ca

a? + be

a

1

+

; =

ut

4 .ụ

can Ty
i

Be

>

2

=

:

.

_.

¬.

“Ð Hãy tìm cách suy rộng kết qua trên.

S10. Cho n's0 a;> 06 ténga, +a, +... +a,= 1. Phai

`
_ chăng bất đẳng thức sau đây luôn luôn đúng:

45

"1

—


Se} oe
1

1...

11. Chứng mình

thoa mãn điều kiện
1
9

¬-

a

ue

1

.

1. Bất đẳng thức Côsi - Svacxơ
Đề giúp các bạn học sinh hiều rõ vấn đề (và cả sự mở
x

rằng nếu n số dương

TU

Mg
+

cuc

A), Ay,..., a

—>Mm-]

Ajay

... a,

x

`

:

Ầ

s

#1 lệ với nhau.
(Theo ngơn ngữ của Hình học phẳng, với u = (a; b),

(Chương V), trường hợp

trung gian: giữa hai

kết qua. Kết qua thấp nhất: Côsi
đã biết và sử dụng bất

đẳng thức cho hai bộ n số. Kết
quả caori hất là |Svacxơ|
đã tổng qt hóa: trong một
&hơng gian uectd có

định. bởi: một: đích. hướng,:
thì tích vơ

| hướng:
¬
. của hai veetd. khơng: thể. vượt. tích cớc chuẩn
cua: hai-vecte-dé. - ¬..-

46

a7

(ax thy) sa Eb) G+ y")

1

Đunhiakơpxki: Cách: này: chỉ đúng. cho

bất. đẳng: thức
tích

xác

~

dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi (a 3b), &3 y) là hai cặp số

Các tài liệu của Nga thường gọi là
bất đẳng thức

mêfric

“2

Với hai cặp sé (a ; b), (K; y), ta ln ln có'

|

§2. BAT DANG THUC COST- SVACKO

phân

»°

1) SGK DS 10 da chứng minh:

thì ta phải có

|

Lá

_ rộng sẽ trình bày ở cuối §2 này), xin trình bày dần dần:

n

1

+...,+

+4

| v =(x; y), thì dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi u, v là hai
_vectd cùng phương).
|

|

2) Với hai bộ ba số (a ; b; c), (x ; y ; z), ta luôn

. ln có

0,

dấu đẳng

a

|

|

x tby ten s@ 4b? +e) @+y? +2")

thức chỉ xảy ra khi (a :b;e),Œ@;y ; z2 là hai

bộ số tỉ lệ với nhau.

—

.

-

sóc

(Rất quả của Ví dụ 2.7, Chương).
_ (Theo ngồn ngữ của Hình học phẳng, với u = (a; b;

c), v = (x; y; Z), thì dấu đẳng thức chỉ xây ra khi u¿ v ]à
hai vectd cùng: phương).

-

8) Ta chứng minh kết quả "tổng quát" sau đây
(dẫu chưa phải là tổng quát nhất.
-

AT

-


Dodd

BAT DANG THUC COSI - SVACXG

,b,x +,
(a2?+a?+...+a,)x” —~2(,bị + ayb, +...+a

b,), ta ln ln

có

+Œ?+b‡+...+bj) > 0

_

⁄

+

a;b;

+

¬

< (aj +a,t+..+a)) (b? +b; +...+b*)

(1)

Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi (a,, As, " a.) vaa (by, b

2s

eee,

b;

(bị #D;ỹ tr... bí) <0,
(ab,+ab,t..+ab}-@ +a?+...+ai)
ton tai x, sao cho
từ đó suy ra (1). Dấu = chỉ xảy ra khi
8iXo

c

bb
ay

-Đụị

ay

-

mình.

Bất

đẳng

nếu hoặc a?+a?+...+a?”

(1) hiển nhiên

= 0, hoặc

by +b; +..+b2

đúng
= 0.

Do vậy ta chỉ cần xét trường Hợp

bị 2 +b, 2 +...+b, 2. z 0

Ạ = -la) Fay te bay # 0, B=
_ Cách 1. Ta có với. mol xe

R

-



.

2

45

e

=

â

2a,,b,x

e

+b,

.

2

ô



5



nH

uXo

Do Ac |srateauta! 40,B=

#0, nộn ta cú th t...
G;



A

si

bl

b=

ie!

0.

_.

lo

B

} +d2 +...+ 0

=re

>

—

2

2.

5

-8a,bx + bị = (ax- b>

2 “2a bx +b? ="(a,x "_

7 bạ

¬a

1+9

an

2

Cách 2

ay

thức

a, _ 3; _
1

(theo duy ước: nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0).
_ Chứng

A2Xo

—

- bị

©

9-

€

©

by

hoac

a

O

tuế

- tức là:
.

b,) là hai bộ số tỉ lệ với nhau; tức là
b,

n có giá trị
Tam thức bậc hai ở vế trái luôn luô
số không dương,
không âm với mọi x e R, vậy có biệt

a„,b,)“<

ie

(a,b,

= BỆ+BŠ+...+B?

=1

đ#1,2, m7

⁄

Với hai bộ n số lấn, Ay, ... 8,), Gị,b 23 a

¬_

2

(a„x—b,)

2

¬

49

Vị


,B,|+lc,B,| +

hay

lo.,,8.,| <

Giải

9»
< Œi2 †0;+
...+œ 2 + Bị 3 +;in +...+?
ee
—= ——————————
=1."
——_Ì\,
"

————————~
=
a
9
2
|

(aj 1 ta,t..t+a,)?
...
n
.
°

l

£

¢

+

2

Bất đẳng thức này suy ra từ (1) áp dụng cho hai

- abi|+la„b,| +...+ Ja„b;|
<>
< AB= >
lJAi ta? +...+aŠ - Vb, ° + by : —

+...4b? > ,

dang nay “tương đương" với (1).

Bất đẳng thức trên tương đương với

.

N

n số (1; 1; .¿; 1 và (a, yay ; 2

-

|

“

@,)-

(x ; 3) của

|
2x + 3y =I,

hay chi ra nghiệm có tổng.

VI DU 3.1. (Gidi lai Vi du 2.
46 Chuong 1) Chứng
minh rang UỔ a, b,

3+” + 2y

cla ba sé tiny ¥, ta l
n. ln có-

nhỏ nhất.

ab
+ bc + ca <đ”+ ð?
+ c2

¬-L= Qx + 3y)°= CC - RR 3
x43 + TC

4

+a)'= (24 524 ey

—+—9 | (8x" 24 +2y"Oy?))
<($+

_ Lay can bac hai cia hai'vé, ta di đến
a

suyra

.

lab+bet+cal sa? +b24 02,

os,

“ab+be+ ca

Nơi

VI DU 2.2. Chứng mi
nh rằng VOL 1), Ay, ...:
a, ‘lan
SỐ tùy ý, tợ hn ln có

G
ar
a
T
n
n

50

"

2

I

3i †a
.+aể 2
|g ‹ Bi

t
haa
pj+..
y
9

n

3)

;
củ

|

.

— Giải. Ta có

Giải. Áp dụng (1) cho hai bộ số (a ;b;©), (đbịc; a)
(ab + be + ca)? < (a? + bề + C)
B+

|

—>

8x”
ox

¢

+ 2y*
Vụ > —
35

J2y<
- v42)

= “2 (8x
4 2y
2")
6.

ị

4 od

i

Dau dang thức chỉxảy ra khi ta có

—

tức là khi

xV3:-2.=yJ8: 2`

b

|

VI DU 2.3. Trong tất cả các nghiệm

phương trình

sóc

bộ


2x+3y =.

"=

¬

-

. =|
4
_=
Am. N ¬¬

ti pe+ga

6
bằngSor
3x” + 2y? đạt giá trị nhỏ nhất
Vậy tổng

Lr
one
`

ays

với nghiệm (% ; ÿ) = | —— ;- |-

y)

Vi DU 3.4. (Hãy đối chiếu uới Ví dụ 1.2 của

Chuong nay). a, b, c, p, q la 5 số dương tùy ý. Chúng
minh
|
an
pb+qe

b

=8(p+gq) @b + be + ca).

"-

pe+qa

»

~

De

„

a=

|

a

>

pa+qb

3

`

bởi vì

+ be + ca) <
3(ab + be + ca) = (ab + be + ca) + 2(ab

+ @}”.
Với kết quả đó, từ (3) suy ra

'@

ptq:..

¬

@ 2h19,
3

&+b+7
joa
pb + qe - - Ya(pb + 0°) ‹

reer
pc+ga

(3)

(A+b +

ab + be +ca
Giải. Để ý rằng
®%

.A/jc(pa + gb) <

]==
<8. [a(pb + qe) + b(pc + qa) + ca † qb)

tz =|

ay

+eb
a+q
Íss

Nhưng

9

{4

_

+

_ a b(pe+ qa)

p+q

p†rg>0

_a+b+c>0,

bởi vì

—=S>

dụ
(Mở rộng một bước bài tốn. Ở Ví

trước, cịn x, y, Z là ˆ
2.10, Ch D. a, 6, c là ba sô “dương cho
mãn điều hiện
ba so đương thay đổi, luôn luôn thỏa
VÍ DỤ

lưtaaa.aaS _
- B{pe + qa)»

3.5.

ae ye ay
x

)=( Gobe ge

(&+b+@°=

52

+ -.
Ja(pb+qc)".
"

+ y +Z.
Hay tim gid tri nho nhất của tổng S = x
Giải. Ta có chẳng hạn
oe

2

2

.

`.

ĐĨ

—c..

Gọi S là vế trái của bất đẳng thức @. Ta có:

Z

y