Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC








NGUYỄN VĂN QUYỀN





HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ LOẠI ĐƠN ĐIỆU






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Thái Nguyên, năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
1 Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 7
1.1. Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian . . . . . 7
1.1.2 Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Phiếm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Bất đẳng thức biến phân đơn điệu . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm . . . 19
2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 26
2.1. Bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc chính xác . . 26
2.1.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 26
2.1.2. Tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc xấp xỉ . . . 34
2.2.1. Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh . . . . . . . . 34
2.2.2. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 35
2.3. Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn
điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
2.3.1. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2. Sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . 40
Kết luận chung 42

Tài liệu tham khảo 44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
MỞ ĐẦU
Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X
∗
là không gian
liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., A : X → X
∗
là toán tử đơn điệu đơn trị và K là một tập con lồi đóng của X. Bài
toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu được phát biểu như sau: với
f ∈ X
∗
cho trước, hãy tìm phần tử x
0
∈ K sao cho
Ax
0
− f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K, (0.1)
ở đây x
∗
, x là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x
∗
∈ X
∗
tại x ∈ X. Nếu K ≡ X thì bài toán (0.1) có dạng phương trình toán
tử
Ax = f. (0.2)

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) là lớp bài toán nảy sinh từ
nhiều vấn đề của toán học ứng dụng như phương trình vi phân, các
bài toán vật lý toán, tối ưu hóa. Ngoài ra nhiều vấn đề thực tế như bài
toán cân bằng mạng giao thông đô thị, mô hình cân bằng kinh tế vv
đều có thể mô tả được dưới dạng của một bất đẳng thức biến phân
đơn điệu. Rất tiếc rằng bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu,
nói chung, lại là một bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa
nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đầu vào. Do đó
việc giải số của bài toán này gặp khó khăn, lý do là một sai số nhỏ
trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến sai số bất kì trong lời giải.
Vì thế, người ta phải sử dụng những phương pháp giải ổn định sao cho
khi sai số của dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần
với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Một trong những phương pháp
được sử dụng rộng rãi và rất có hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Tikhonov. Bằng phương pháp này, I. P. Ryazantseva [4] đã xây dựng
nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) trên cơ
sở tìm phần tử x
h,δ
α
∈ K sao cho
A
h
x
h,δ
α
+ αJ(x
h,δ
α

) − f
δ
, x − x
h,δ
α
 ≥ 0, ∀x ∈ K,
(0.3)
trong đó (A
h
, f
δ
) là xấp xỉ của (A, f), A
h
là toán tử đơn điệu từ X vào
X
∗
, J : X → X
∗
là ánh xạ đối ngẫu của X, α > 0 là một tham số
dương (gọi là tham số hiệu chỉnh) phụ thuộc vào h và δ.
Nếu toán tử nhiễu A
h
không đơn điệu thì bất đẳng thức biến
phân hiệu chỉnh (0.3) có thể không có nghiệm. Trong trường hợp này
Liskovets [3] đã đưa ra bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh dạng
A
h
x
τ
α

+ αJ(x
τ
α
) − f
δ
, x − x
τ
α
 ≥ −νg(x
τ
α
)x − x
τ
α
,
∀x ∈ K, x
τ
α
∈ K,
(0.4)
ở đây ν ≥ h, τ = (h, δ).
Trong rất nhiều bài toán thực tế tập ràng buộc K của bất đẳng thức
biến phân (0.1) lại được cho xấp xỉ. Do đó việc hiệu chỉnh bất đẳng
thức biến phân (0.1) trong trường hợp này cũng đặc biệt được quan
tâm nghiên cứu.
Mục đích của luận văn nhằm trình bày kết quả trong [1], [3], [4] về
hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) đơn điệu với tập ràng buộc
chính xác và tập ràng buộc được cho xấp xỉ đồng thời trình bày phương
pháp hiệu chỉnh trong trường hợp toán tử nhiễu không đơn điệu trên
cơ sở sử dụng ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X làm thành phần hiệu

chỉnh.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương
1 giới thiệu khái niệm và kết quả của toán tử đơn điệu cực đại trong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
không gian Banach phản xạ thực X, giới thiệu về bất đẳng thức biến
phân đơn điệu, trình bày sự tồn tại và tính chất của tập nghiệm của
bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Mối liên hệ của bất đẳng thức biến
phân đơn điệu và bài toán cực tiểu hàm lồi được trình bày trong phần
cuối của chương.
Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh, sự hội tụ của
nghiệm hiệu chỉnh, cách chọn tham số hiệu chỉnh cho bất đẳng thức
biến phân với tập ràng buộc chính xác. Trong phần thứ hai của chương
trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với tập
ràng buộc xấp xỉ và phần cuối của chương là kết quả về bất đẳng thức
biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu của Liskovets.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy
đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thày, cô công tác tại trường Đại
học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Công nghệ
Thông tin - Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, đã truyền thụ kiến thức
cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Tôi cũng xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia
sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành
luận văn này.
Tác giả
Nguyễn Văn Quyền
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6

MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
H không gian Hilbert thực
X không gian Banach thực
X
∗
không gian liên hợp của X
R
n
không gian Euclide n chiều
∅ tập rỗng
x := y x được định nghĩa bằng y
∀x với mọi x
∃x tồn tại x
inf
x∈X
F (x) infimum của tập {F (x) : x ∈ X}
I ánh xạ đơn vị
A
T
ma trận chuyển vị của ma trận A
a ∼ b a tương đương với b
A
∗
toán tử liên hợp của toán tử A
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền giá trị của toán tử A
x
k
→ x dãy {x
k

} hội tụ mạnh tới x
x
k
 x dãy {x
k
} hội tụ yếu tới x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Chương 1
Bất đẳng thức biến phân loại đơn
điệu
1.1. Toán tử đơn điệu cực đại
Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X
∗
là không gian
liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., kí hiệu x
∗
, x
là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x
∗
∈ X
∗
tại x ∈ X. Các
khái niệm và kết quả trong phần này được tham khảo trong các tài liệu
[1], [2] và [5].
1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu mặt
cầu đơn vị S = {x ∈ X : x = 1} của X là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ S
kéo theo x + y < 2.
Ví dụ 1.1. Không gian L

p
[a, b], 1 < p < ∞ là một không gian lồi chặt.
Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với
mọi ε > 0 tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ε thì bất đẳng thức
x + y ≤ 2(1 − δ)
đúng.
Ví dụ 1.2. Không gian Hilbert là không gian lồi đều.
Định nghĩa 1.3. Không gian Banach thực X được gọi là không gian
có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu
X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử

x
n
 x

và sự hội
tụ chuẩn

x
n
 → x

luôn kéo theo sự hội tụ mạnh

x
n
− x → 0


.
Ví dụ 1.3. Không gian Hilbert là không gian có tính chất E-S.
1.1.2 Toán tử đơn điệu cực đại
Cho toán tử đơn trị A : X → 2
X
∗
, như thường lệ ta ký hiệu miền
hữu hiệu của A là D(A), miền giá trị của A là R(A) và đồ thị của A là
GrA. Theo định nghĩa ta có:
D(A) = domA := {x ∈ X : Ax = ∅},
R(A) := {y ∈ Y
∗
: y = Ax, x ∈ D(A)},
GrA := {(x, y) : y ∈ Ax, x ∈ X}.
Định nghĩa 1.4. Một tập G ⊆ X × X
∗
được gọi là đơn điệu nếu bất
đẳng thức
f − g, x − y ≥ 0
thỏa mãn với mọi cặp (x, f) và (y, g) của G.
Định nghĩa 1.5. Toán tử A : X → 2
X
∗
được gọi là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
(i) đơn điệu nếu đồ thị của nó là một tập đơn điệu, nghĩa là với mọi
x, y ∈ D(A) ta có
f − g, x − y ≥ 0, ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay.

(ii) đơn điệu chặt nếu đẳng thức trong bất đẳng thức trên chỉ thỏa
mãn khi x = y.
(iii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm liên tục, tăng γ(t), (t ≥ 0),
γ(0) = 0 sao cho bất đẳng thức
f − g, x − y ≥ γ(x − y), ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay
thỏa mãn với mọi x, y ∈ D(A). Nếu γ(t) = ct
2
, ở đây c là một hằng số
dương thì A là toán tử đơn điệu mạnh.
Trong trường hợp toán tử A : X → X
∗
đơn trị thì ta có định nghĩa
sau.
Định nghĩa 1.6. Toán tử A : X → X
∗
được gọi là
(i) đơn điệu nếu
Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
(ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm
với t ≥ 0, δ(0) = 0 và
Ax − Ay, x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ D(A).
Nếu δ(t) = c
A
t
2
với c
A
là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là
đơn điệu mạnh.
(iii) ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số m

A
> 0 thỏa
mãn
Ax − Ay, x − y ≥ m
A
Ax − Ay
2
, ∀x, y ∈ D(A).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Nếu A là toán tử ngược đơn điệu mạnh thì A liên tục Lipschitz và
Ax − Ay ≤
1
m
A
x − y, ∀x, y ∈ D(A) ⊂ X.
Ví dụ 1.4. Toán tử tuyến tính A : R
2
→ R
2
được xác định bởi A =
B
T
B, trong đó B là ma trận vuông cấp 2 và B
T
là ma trận chuyển vị
của ma trận B là một toán tử đơn điệu.
Thật vậy, vì A là toán tử tuyến tính nên tính đơn điệu tương đương
với tính không âm của toán tử. Khi đó để chứng minh A là toán tử đơn
điệu ta sẽ chứng minh

Ax, x ≥ 0, ∀x = (x
1
, x − 2)
T
∈ R
2
.
Ta có:
B =


a
11
a
12
a
21
a
22


, B
T
=


a
11
a
21

a
12
a
22


.
Khi đó
B
T
B =


a
2
11
+ a
2
21
a
11
a
12
+ a
21
a
22
a
11
a

12
+ a
21
a
22
a
2
12
+ a
2
22


.
Suy ra
B
T
Bx =

x
1
(a
2
11
+ a
2
21
) + x
2
(a

11
a
12
+ a
21
a
22
),
x
1
(a
11
a
12
+ a
21
a
22
) + x
2
(a
2
12
+ a
2
22
)

T
.

Vậy
B
T
Bx, x = x
2
1
(a
2
11
+ a
2
21
) + x
1
x
2
(a
11
a
12
+ a
21
a
22
)
+ x
2
x
1
(a

11
a
12
+ a
21
a
22
) + x
2
2
(a
2
12
+ a
2
22
)
= (a
11
x
1
+ a
21
x
2
)
2
+ (a
12
x

1
+ a
22
x
2
)
2
≥ 0, ∀x ∈ R
2
.
Định nghĩa 1.7. Toán tử A được gọi là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
(i) hemi-liên tục trên X nếu A(x + ty)  Ax khi t → 0
+
với mọi
x, y ∈ X;
(ii) demi-liên tục trên X nếu từ x
n
→ x suy ra Ax
n
 Ax khi
n → ∞.
Một toán tử demi-liên tục thì hemi-liên tục. Nếu A là toán tử đơn
điệu thì chiều ngược lại cũng đúng, đó là nội dung của định lý sau.
Định lý 1.1. Nếu A : X → X
∗
là toán tử hemi-liên tục và đơn điệu
thì A là demi-liên tục trên intD(A).
Định nghĩa 1.8. Một tập đơn điệu G ⊆ X × X

∗
được gọi là đơn điệu
cực đại nếu nó không là tập con thực sự của bất kì một tập đơn điệu
nào khác trong X × X
∗
.
Định nghĩa 1.9. Một toán tử A : X → 2
X
∗
với D(A) ⊆ X được gọi
là toán tử đơn điệu cực đại nếu đồ thị của nó là tập đơn điệu cực đại
trong X × X
∗
.
Từ định nghĩa này dễ ràng suy ra kết luận sau.
Mệnh đề 1.1. Toán tử đơn điệu A : X → 2
X
∗
là đơn điệu cực đại trên
D(A) khi và chỉ khi từ bất đẳng thức
g − f, y − x
0
 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA,
suy ra x
0
∈ D(A) và f ∈ Ax
0
.
Định lý 1.2. Một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục A : X → X
∗

với
D(A) = X là toán tử đơn điệu cực đại.
Chứng minh: Giả sử
f − Ax, y − x ≥ 0, ∀x ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Ta sẽ chứng minh f = Ay. Thật vậy, vì D(A) = X, nên trong bất đẳng
thức trên ta thay x bởi x
t
= y + tz với z ∈ X và t > 0. Ta suy ra
f − Ax
t
, z ≤ 0
với mọi z ∈ X. Cho t → 0 trong bất đẳng thức này, sử dụng tính
hemi-liên tục của toán tử A trên X ta nhận được
f − Ay, z ≤ 0, ∀z ∈ X.
Vì vậy f = Ay.
✷
Định lý 1.3. Cho X là không gian Banach phản xạ, B là một toán tử
đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn từ X vào X
∗
. Nếu A là toán tử đơn
điệu cực đại thì A + B cũng là toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.10. Toán tử A : X → X
∗
được gọi là toán tử bức nếu
lim
x→+∞
Ax, x
x

= ∞, ∀x ∈ X.
Định lý 1.4. Cho X là không gian Banach phản xạ, B : X → X
∗
là
một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục với D(B) = X. Khi đó B là toán
tử đơn điệu cực đại. Ngoài ra nếu B là toán tử bức thì R(B) = X
∗
.
Ví dụ 1.5. Toán tử đồng nhất I : X → X, với X là không gian Hilbert
là toán tử bức.
Định nghĩa 1.11. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian
Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử A được gọi là khả vi
Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o(h),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
với mọi h thuộc một lân cận của điểm 0. Nếu tồn tại, thì T được gọi
là đạo hàm Fréchet của A tại x, và ta viết A

(x) = T .
Định nghĩa 1.12. Ánh xạ j : X → 2
X
∗
được gọi là ánh xạ đối ngẫu
của X nếu
j(x) := {x
∗
∈ X
∗
: x, x

∗
 = x
2
, x
∗
 = x}.
Trong trường hợp j đơn trị thì ta kí hiệu là J : X → X
∗
.
Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu j được cho trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.2. Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó,
1) j(x) là tập lồi, j(λx) = λj(x) với mọi λ ∈ R;
2) j là ánh xạ đơn trị nếu X
∗
là không gian lồi chặt.
Nhận xét 1.1.
i) Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là
toán tử đơn vị I trong H.
ii) Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu,
nó tồn tại trong mọi không gian Banach.
Ví dụ 1.6. Với X = L
p
(Ω), 1 < p < ∞ và Ω là một tập đo được của
không gian R
n
thì ánh xạ đối ngẫu J có dạng
(Jx)(t) = x
2−p
|x(t)|
p−2

x(t), t ∈ Ω.
Định lý 1.5. Nếu X
∗
là không gian Banach phản xạ và lồi chặt thì
ánh xạ đối ngẫu J : X → X
∗
là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục.
Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì J là toán tử đơn
điệu chặt.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Định nghĩa 1.13. Ta nói rằng một toán tử A : X → X
∗
có tính chất
Γ nếu từ sự hội tụ yếu của dãy {x
n
} (x
n
 x) và Ax
n
−Ax, x
n
−x → 0
suy ra sự hội tụ mạnh (x
n
→ x) khi n → ∞.
1.1.3 Phiếm hàm lồi
Một toán tử ϕ : X → R được gọi là một phiếm hàm trên D(ϕ).
Miền hữu hiệu của hàm ϕ được định nghĩa bởi
domϕ := {x ∈ X : ϕ(x) = 0}.

Định nghĩa 1.14. Hàm ϕ được gọi là
(i) lồi trên D nếu với ∀x, y ∈ D và ∀λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
(ii) lồi chặt trên D nếu với ∀x, y ∈ D, x = y và ∀λ ∈ (0, 1) ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
(iii) lồi mạnh trên D nếu với ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) tồn tại τ ∈
R, τ > 0 ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y) −
1
2
λ(1 − λ)τx − y
2
.
(iv) nửa liên tục dưới tại điểm x
0
∈ domϕ nếu với dãy {x
n
} bất kì,
x
n
∈ domϕ sao cho x
n
→ x
0
thì
ϕ(x) ≤ lim
n→∞
inf ϕ(x
n
).

(v) nửa liên tục dưới yếu tại điểm x
0
∈ domϕ nếu với dãy {x
n
} bất
kì, x
n
∈ domϕ sao cho x
n
 x
0
thì
ϕ(x) ≤ lim
n→∞
inf ϕ(x
n
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Định nghĩa 1.15. Hàm ϕ được gọi là chính thường trên X nếu domϕ =
∅ và ϕ(x) > −∞, ∀x ∈ X.
Mối liên hệ giữa hàm nửa liên tục dưới, nửa liên tục dưới yếu được
cho trong định lý sau đây:
Định lý 1.6. Nếu ϕ là phiếm hàm lồi, nửa liên tục dưới trên X thì ϕ
là nửa liên tục dưới yếu trên X.
Định nghĩa 1.16. Cho ϕ là hàm lồi trên X. Phiếm hàm x
∗
∈ X
∗
được

gọi là dưới gradient của hàm ϕ tại x ∈ X nếu
ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x − y, x
∗
, ∀y ∈ X.
Tập tất cả các dưới gradient của ϕ tại x được gọi là dưới vi phân của
ϕ tại x, kí hiệu là ∂ϕ(x), tức là
∂ϕ(x) = {x
∗
∈ X : ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x − y, x
∗
, ∀y ∈ X}.
Hàm ϕ được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ϕ(x) = ∅.
Mệnh đề 1.3. Nếu ϕ là hàm lồi chính thường và nửa liên tục dưới, thì
ánh xạ dưới vi phân là toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.17. Phiếm hàm ϕ được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm
x ∈ X nếu tồn tại x
∗
∈ X
∗
sao cho
lim
λ→+0
ϕ(x + λy) − ϕ(x)
λ
= x
∗
, y, ∀y ∈ X,
x
∗
được gọi là đạo hàm Gâteaux của ϕ tại x, kí hiệu là ϕ


(x).
Chú ý 1.1. Nếu ϕ là phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux tại x ∈ X thì ϕ
khả dưới vi phân tại x và ∂ϕ(x) = {ϕ

(x)}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Mệnh đề 1.4. Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} là phiếm hàm khả vi Gâteaux.
ϕ là phiếm hàm lồi khi và chỉ khi đạo hàm Gâteaux ϕ

là toán tử đơn
điệu từ X → X
∗
.
Tính lồi của hàm khả vi Gâteaux được cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.5. Cho ϕ là một hàm khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâtaeux
là A, khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(i) ϕ là hàm lồi;
(ii) ϕ(x) ≥ ϕ(x
0
) + A(x
0
), x − x
0
, ∀x, x
0
∈ X.
Định nghĩa 1.18. Cho K là một tập con lồi đóng khác rỗng của X.
Hàm chỉ của tập K được định nghĩa bởi

I
K
(x) =





0, nếu x ∈ K
+∞, nếu x = K.
Chú ý rằng, hàm I
K
là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục
dưới. Ánh xạ dưới vi phân ∂I
K
: X → 2
X
∗
xác định bởi
∂I
K
(x) =












θ
X
∗
, nếu x ∈ intK
∅, nếu x = K
λJx, nếu x ∈ ∂K, λ ≥ 0,
là một toán tử đơn điệu cực đại và là nón pháp tuyến ngoài của K được
định nghĩa bởi
N
K
(x) =





{w ∈ X
∗
: w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ K}, nếu x ∈ K
∅, nếu x = K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
1.2. Bất đẳng thức biến phân đơn điệu
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều đã
được nhà toán học người Italia là G. Stampacchia và các đồng sự đưa
ra lần đầu tiên vào năm 1960 trong khi nghiên cứu các bài toán biên
tự do. Từ đó các phương pháp bất đẳng thức biến phân vô hạn chiều

đã được sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong các phương trình vật
lý toán. Lớp bài toán này được xuất hiện trong nhiều ứng dụng của
toán học, phương trình phi tuyến, mô hình cân bằng trong kinh tế và
kỹ thuật vv Trong mục này, chúng tôi phát biểu bài toán, các vấn đề
liên quan và điều kiện tồn tại nghiệm.
1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X
∗
là không gian liên
hợp của X, A : X → 2
X
∗
là một toán tử đơn điệu cực đại với miền hữu
hiệu D(A), J : X → X
∗
là ánh xạ đối ngẫu của X. Bài toán bất đẳng
thức biến phân đơn điệu được phát biểu như sau: với f ∈ X
∗
, hãy tìm
phần tử x ∈ K sao cho
Ax − f, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K, (1.1)
ở đây K ⊆ D(A) là một tập con lồi đóng của X. Sau đây là các định
nghĩa về nghiệm của bài toán này.
Định nghĩa 1.19. Phần tử x
0
∈ K được gọi là nghiệm của bất đẳng
thức biến phân (1.1) nếu tồn tại một phần tử z
0
∈ Ax
0

sao cho
z
0
− f, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K. (1.2)
Một nghiệm x
0
thỏa mãn (1.2) cũng được gọi là nghiệm cổ điển của
bất đẳng thức biến phân (1.1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Trong trường hợp đơn trị ta, phần tử x
0
∈ K được gọi là nghiệm của
bất đẳng thức biến phân (1.1) nếu
Ax
0
− f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
Định nghĩa 1.20. Một phần tử x
0
∈ K được gọi là nghiệm của bất
đẳng thức biến phân (1.1) nếu
z − f, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay. (1.3)
Mối liên hệ giữa nghiệm của bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.1)
định nghĩa bởi (1.2) và (1.3) được trình bày trong các bổ đề sau.

Bổ đề 1.1. Nếu x
0
∈ K là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân
(1.1) được định nghĩa bởi bất đẳng thức (1.2) thì nó cũng thỏa mãn bất
đẳng thức (1.3).
Chứng minh: Vì A là toán tử đơn điệu nên
z − z
0
, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay,
ở đây z
0
∈ Ax
0
thỏa mãn (1.2). Khi đó
z − f, y − x
0
 + f − z
0
, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay.
Kết hợp với (1.2) ta nhận được (1.3).
✷
Bổ đề 1.2. Nếu K ⊆ D(A) và nếu intK = ∅ hoặc intD(A) ∩ K = ∅
thì Định nghĩa 1.19 và Định nghĩa 1.20 là tương đương.
Chứng minh: Giả sử x
0
∈ K là một nghiệm của bài toán (1.1) được

định nghĩa bởi (1.2) và ∂I
K
là dưới vi phân của hàm chỉ I
K
của tập K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Vì θ
X
∗
∈ ∂I
K
x với mọi x ∈ K và ∂I
K
là toán tử đơn điệu cực đại nên
ta có
η, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀η ∈ ∂I
K
y. (1.4)
Kết hợp (1.3) và (1.4) ta nhận được
z + η − f, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay, ∀η ∈ ∂I
K
y. (1.5)
Ta có z + η ∈ By, ở đây B = A + ∂I
K
: X → 2

X
∗
là toán tử đơn
điệu cực đại và D(B) = K (vì điều kiện K ⊆ D(A)). Từ (1.5) suy ra
f ∈ Bx
0
. Mặt khác, vì tồn tại phần tử z
0
∈ Ax
0
và η
0
∈ ∂I
K
x
0
nên
f = z
0
+ η
0
. Do đó
z
0
+ η
0
− f, y − x
0
 = 0, ∀y ∈ K. (1.6)
Từ bất đẳng thức này suy ra

z
0
− f, y − x
0
 = η
0
, x
0
− y.
Hơn nữa vì K là một tập con lồi đóng của X nên ∂I
K
là nón pháp
tuyến ngoài của K nên
η
0
, x
0
− y ≥ 0, ∀y ∈ K.
Do đó
z
0
− f, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K,
nghĩa là ta có (1.2).
Chiều ngược lại được suy từ Bổ đề 1.1.
✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm

Bổ đề 1.3. Nếu A : X → 2
X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại với D(A) =
K thì bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.1) trong Định nghĩa 1.19
tương đương với phương trình toán tử
Ax = f. (1.7)
Chứng minh: Một nghiệm x
0
của phương trình (1.7) với toán tử đơn
điệu cực đại được định nghĩa bởi f ∈ Ax
0
, thỏa mãn Định nghĩa 1.19.
Do đó, nó là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1). Bây giờ giả sử
x
0
là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) trong Định nghĩa 1.19.
Khi đó x
0
thỏa mãn (1.3) (theo Bổ đề 1.1). Vì A là toán tử đơn điệu
cực đại và D(A) = K, từ (1.3) và Mệnh đề 1.1 suy ra f ∈ Ax
0
. Tức là
x
0
là nghiệm của phương trình toán tử Ax = f.
✷
Nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) với toán tử đơn điệu cực
đại A cũng là nghiệm của phương trình toán tử Ax + ∂I
K

(x) = f với
toán tử đơn điệu cực đại A + ∂I
K
. Đó là nội dung của bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.4. Cho A : X → 2
X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại, K ⊂ D(A)
là một tập lồi đóng, ∂I
K
là dưới vi phân của hàm chỉ I
K
của tập K.
Nếu intK = ∅ hoặc intD(A) ∩ K = ∅ thì x
0
∈ K nghiệm của bất đẳng
thức biến phân (1.1) thỏa mãn
f ∈ Ax
0
+ ∂I
K
(x
0
). (1.8)
Chiều ngược lại cũng đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Chứng minh: Giả sử x
0
là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1)

trong Định nghĩa 1.19. Khi đó (1.2) và (1.3) thỏa mãn. Ta xây dựng
hàm chỉ I
K
(x) của tập K và tìm dưới vi phân ∂I
K
: K ⊂ X → 2
X
∗
.
Theo định nghĩa của ∂I
K
ta có
u, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀u ∈ ∂I
K
(y).
Do đó (1.3) có dạng
z + u − f, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay, ∀u ∈ ∂I
K
(y).
Theo Định lý 1.2, sử dụng điều kiện intK = ∅ hoặc intD(A) ∩ K = ∅
ta suy ra A + ∂I
K
là toán tử đơn điệu cực đại với D(A + ∂I
K
) = K,
suy ra

f ∈ Ax
0
+ ∂I
K
(x
0
).
Bây giờ giả sử (1.8) thỏa mãn với x
0
∈ K. Khi đó tồn tại một phần tử
z
0
∈ Ax
0
sao cho f − z
0
∈ ∂I
K
(x
0
). Do đó ta có
z
0
− f, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K.
Vì vậy x
0
là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1).
Từ bổ đề này ta có kết quả sau.

Định lý 1.7. Với điều kiện của Bổ đề 1.4, tập nghiệm S
0
của bất đẳng
thức biến phân (1.1) là một tập lồi đóng, nếu nó khác rỗng.
Định lý 1.8. Nếu toán tử đơn điệu cực đại A là đơn điệu chặt thì
nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) tồn tại duy nhất.
Chứng minh: Giả sử x
1
là một nghiệm khác của bất đẳng thức biến
phân (1.1). Khi đó x
0
và x
1
thỏa mãn (1.2), do đó với phần tử z
0
∈ Ax
0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
và z
1
∈ Ax
1
ta có
z
0
− f, y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K,
và

z
1
− f, y − x
1
 ≥ 0, ∀y ∈ K.
Từ hai bất đẳng thức này dễ dàng suy ra
z
0
− f, x
1
− x
0
 ≥ 0,
và
z
1
− f, x
0
− x
1
 ≥ 0.
Cộng hai bất đẳng thức cuối cùng ta được
z
1
− z
0
, x
0
− x
1

 ≥ 0.
Vì A là toán tử đơn điệu nên từ bất đẳng thức này suy ra
z
0
− z
1
, x
0
− x
1
 = 0,
điều này mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của A và giả thiết x
1
= x
0
.
✷
Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) được phát biểu
trong định lý sau:
Định lý 1.9. Giả sử A : X → 2
X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại và bức,
K là một tập lồi đóng trong D(A) với intK = ∅ hoặc intD(A)∩K = ∅.
Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.1) có ít nhất một nghiệm với mọi
f ∈ X
∗
.
Chứng minh: Lấy f là một phần tử tùy ý của X
∗

, vì A là toán tử
đơn điệu cực đại nên R(A + αJ) = X
∗
với mọi α > 0. Do đó tồn tại
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
một phần tử x
α
∈ D(A) sao cho
y
α
+ αJx
α
= f, y
α
∈ Ax
α
. (1.9)
Khi đó,
fx
α
 ≥ f, x
α
 = y
α
, x
α
 + αx
α


2
≥ y
α
, x
α
.
Suy ra
y
α
, x
α

x
α

≤ f, y
α
∈ Ax
α
.
Vì toán tử A có tính chất bức, nên từ bất đẳng thức này suy ra dãy {x
α
}
bị chặn. Do đó x
α
 ¯x ∈ X khi α → 0. Từ (1.9) ta có y
α
= f − αJx
α
và từ tính chất đơn điệu của toán tử A suy ra

f − αJx
α
− y, x
α
− x ≥ 0, ∀(x, y) ∈ GrA.
Cho α → 0 ta nhận được
f − y, ¯x − x ≥ 0, ∀(x, y) ∈ GrA.
Vì A là toán tử đơn điệu cực đại, từ Mệnh đề 1.1 suy ra f ∈ A¯x. Kết
luận của định lý được suy từ Bổ đề 1.3.
✷
Định lý 1.10. Giả sử A : X → 2
X
∗
là một toán tử đơn điệu cực đại,
K thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.8. Khi đó bất đẳng thức biến
phân hiệu chỉnh
Ax + αJx − f, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K, x ∈ K, (1.10)
có duy nhất nghiệm với mọi α > 0 và mọi f ∈ X
∗
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
Nghiệm x
α
thỏa mãn (1.10) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bất
đẳng thức biến phân (1.1).
Sau đây là mối liên hệ giữa bất đẳng thức biến phân (1.1) và bài
toán cực tiểu phiếm hàm lồi. Cho ϕ : X → R là phiếm hàm lồi chính
thường, nửa liên tục dưới, khi đó dưới vi phân ∂ϕ : X → 2
X

∗
của ϕ là
một toán tử đơn điệu cực đại (Mệnh đề 1.3). Giả sử K là một tập lồi
đóng, K ⊆ D(∂ϕ). Ta xét bài toán tìm
min{ϕ(y) : y ∈ K}. (1.11)
Giả thiết rằng bài toán này giải được.
Bổ đề 1.5. Hàm lồi ϕ : X → R đạt cực tiểu tại điểm x ∈ D(∂ϕ) khi
và chỉ khi θ
X
∗
∈ ∂ϕ(x).
Chứng minh: Theo định nghĩa dưới vi phân, nếu θ
X
∗
∈ ∂ϕ(x) thì ta
có ϕ(y) ≥ ϕ(x), nghĩa là
ϕ(x) = min{ϕ(y) : y ∈ X}. (1.12)
Giả sử (1.12) thỏa mãn. Khi đó ϕ(y) − ϕ(x) ≥ 0 với mọi y ∈ X. Theo
định nghĩa dưới vi phân, từ đây suy ra θ
X
∗
∈ ∂ϕ(x).
✷
Định lý 1.11. Nếu intK = ∅ hoặc intD(∂ϕ) ∩ K = ∅ thì bài toán
(1.11) tương đương với bất đẳng thức biến phân
∂ϕ(x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K, x ∈ K. (1.13)
Chứng minh: Giả sử x
0
là nghiệm của (1.13). Khi đó theo định nghĩa
của dưới vi phân ∂ϕ tại điểm x

0
, ta có
ϕ(y) − ϕ(x
0
) ≥ ∂ϕ(x
0
), y − x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên