Chuyên đề min max lê bá bảo

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
SĐT: 0935.785.115
Đăng kí học theo địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

Hoặc Trung tâm Km 10 Hương Trà

Hoµi niƯm Tự luận:

KHảO SáT HàM Số
MộT Số BàI TOáN MAX MIN

Huế, th¸ng 8/2020


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Chủ đề:

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO BÀI TOÁN GTLN-GTNN VÀ
BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ

Kỹ thuật 1:
Thế biến đưa về khảo sát hàm một biến
Bước 1: Rút 1 biến biểu diễn theo biến kia. Xác định miền giá trị của biến được rút.
Bước 2: Thay biến được rút vào biểu thức giả thiết. Khảo sát và đưa ra kết luận.
Bài tập 1: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện y  0, x 2  x  y  12  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  xy  x  2 y  17 .
Bài giải:
Từ giả thiết ta có: y  x 2  x  12  0  x   4;3 .









Khi đó: P  x x 2  x  12  x  x 2  x  12  17  x 3  3x 2  9 x  7.

x  1
Xét hàm số f  x   x 3  3x 2  9 x  7, x   4;3 , ta có: f /  x   3x 2  6 x  9  0  
.
 x  3
Ta có: f  4   13, f  3  20, f 1  12, f  3  20 .
Suy ra: max f  x   f  3  f  3  20 , min f  x   f 1  12.
 4;3

 4;3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 12 đạt được tại  x; y   1; 10  .
Bài tập 2: (HSG Quốc gia 1998) Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 x  y  2 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  x 2   y  1  x 2   y  3 .
2

2

Bài giải:
Từ giả thiết ta có: y  2 x  2 . Thay vào biểu thức P ta có:

Khi đó: P  5x 2  4 x  1  5x 2  20 x  25
Xét hàm số f  x   5x 2  4 x  1  5x 2  20 x  25 , ta có:

f / x 

5x  2
5x  4 x  1
2



5x  10
5x  20 x  25
2

.

f /  x   0   5x  2  5x 2  20 x  25  10  5x  5x 2  4 x  1


2 
 5x  2 10  5x   0
2
 x   ;2 


x .
5 
2
2

2
2
3
 5x  2  5x  20 x  25  10  5x  5x  4 x  1
24 x 2  16 x  0

2
Từ đó suy ra: P  f  x   f    2 5
3
2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 5 đạt được tại  x; y    ;   .
3 3
Bài tập 3: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu









thức P  3 1  2 a2  2 40  9b2 .
Bài giải:
Từ giả thiết ta có: a  1  b  0  b   0;1 .
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_1


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Khi đó: P  3 1  2 1  b   2 40  9b2
2

Xét hàm số f  b   3 1  2 1  b   2 40  9b2 , b   0;1 , ta có:
2

f /  b 

6  b  1
2b  4b  3
2



18b



9b  40
2



 0  1  b  9b2  40  3b 2b2  4b  3 .









 1  b  9b2  40  9b2 2b2  4b  3   b  2  3b  2  3b 2  10b  10  0  b 
2

2
3

2
Từ đó suy ra: P  f  b   f    5 11 .
3
1 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 11 đạt được tại  a; b    ;  .
3 3
Bài tập 4: Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a  3b  4 . Tìm giá trị lớn nhất và
a
3b
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
.

1 a 1 b
Bài giải:
4
Ta có: a  3b  4  a  4  3b . Do a, b không âm nên 0  b  .
3
4  3b 3b
1

3
Khi đó: P 
.

 4

5  3b 1  b
5  3b 1  b
 4
1
3
Xét hàm số f  b   4 

, b  0;  .
5  3b 1  b
 3
Ta có: f /  b  

3

 5  3b 

2



b  1
2
2
3

; f /  b   0   5  3b   1  b   
.
1 b
b  3

Lập BBT ta suy ra GTLN của P là
a  1, b  1.

4
, đạt được khi b  0, a  4 ; GTNN của P là 2, đạt được khi
5

Bài tập 5: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  xy  3  0 và 2 x  3y  14 . Tìm





giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3x 2 y  xy 2  2 x x 2  1 .
Bài giải:

x2  3

x2  3
y


 y 
x


x

Từ giả thiết suy ra: 
2
2 x  3. x  3  14
 x  1; 9 
 5
x

 

2

 x2  3 
 x2  3 
9
2
Khi đó: P  3 x 
  x
  2 x x  1  5x  .
x
 x 
 x 
2





Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_2

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

 9
9
Xét hàm số f  x   5 x  , x  1;  .
x
 5
 9
9
 0 x  1;  . Do đó hàm số đồng biến trên
2
x
 5

Ta có: f /  x   5 

 9
1; 5 
 

9
Suy ra: max f  x   f    4, min f  x   f 1  4 .
 9
 9
x1; 
x1; 

5
5
5








9
52
Vậy GTNN của P là 4 đạt được khi x  1, y  4 ; GTLN của P là 4 đạt được khi x  , y  .
5
15
Bài tập 6: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 x  3  y  3  4 . Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  2  y  9 .
Bài giải:
Đặt

y  3  b . Ta có: a  b  4, a  0, b  0. Suy ra: b  4  a  a  0; 4 

2 x  3  a,

Khi đó: P 

a2  3
a2  1
a2  1

 2  b2  3  9 
 b2  6 

2
2
2

4  a

2

6

2
a2  1
  4  a   6 , a  0; 4  .
2
a
4a

, a  0; 4  .
Ta có: f /  a  
2
2
2 a 1
4  a  6

Xét hàm số f  a  





Ta có: f /  a   0 

a





2 a 1
2



4a

4  a

2

6

, a  0; 4  .

a  0; 4 

a  0; 4 



 4
2
2
3
2
2
2
2
a  4  a   6a  2 a  1  4  a 
a  8a  12a  16  a  2   0
a  0; 4 


a2
3
2
a

2
a

6
a

16

0







Ta có: f  0  





2
3 10
34
 22 , f  2  
, f  4 
 6.
2
2
2

Vậy GTNN của P là

1
3 10
đạt được khi x  , y  1 ; GTLN của P là
2
2

2

 22 đạt được khi
2

3
x   , y  13.
2

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_3


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Kỹ thuật 2:
Xử lý biểu thức đối xứng hai biến
Bước 1: Từ điều kiện đặt t  x  y (hoặc t  xy ) rút xy theo t (hoặc x  y theo t ). Tìm miền giá trị
của t , giả sử t  D .
Bước 2: Thay biến được rút vào biểu thức giả thiết được hàm số theo t , với t  D .
Bài tập 1: Cho x , y là các số thực không âm thỏa mãn thay đổi thỏa mãn điều kiện





4 x 2  y 2  xy  1  2  x  y  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  xy  x  y  x 2  y 2 .

Bài giải:

 x  y

xy 

2

 x  y


2

.
, x y
4
2
2
1
1
2
2
 xy
Khi đó: P  
  x  y   x  y    x  y  x  y .
2
4
 2 
1
Đặt t  x  y , t  0  P   t 4  t .
4
2
2
Từ điều kiện bài toán ta có: 4  x 2  y 2  xy   1  2  x  y   4  x  y   2  x  y   1  4 xy   x  y 

Ta có:

2

2

 1 
 3t 2  2t  1  0  t    ;1  t   0;1 .
 3 
1
Xét hàm số f  t    t 4  t, t   0;1 .
4
Ta có: f /  t   t 3  1  0, t   0;1  f  t   f 1 

3
3
P .
4
4
 x  y  1
3
1 1
  x; y    ;  .
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng đạt được tại 
4
2 2
 x  y
Bài tập 2: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3xy  3  x 4  y 4 
nhất của biểu thức P  x 2 y 2 

2
. Tìm giá trị lớn
xy

16
.
x  y2  2
2

Bài giải:
Ta có:

2
2
 2 x 2 y2 
 2 x 3 y3  2  3x 2 y 2  3xy  2 x 3 y3  3x 2 y 2  3xy  2  0
xy
xy
1 
  xy  1 2 xy  1 xy  2   0  xy   ;2  , do xy  0 .
2 
8
16
8
1 
Khi đó: P  x 2 y 2 
. Đặt t  xy, t   ;2  khi đó: P  f  t   t 2 
.
 x 2 y2 
t 1

2 xy  2
xy  1
2 
8
8
1 
 0  t  1.
Xét hàm số f  t   t 2 
, t   ;2  , ta có: f /  t   2t 
2
t 1
2 
t

1
 
3xy  3  x 4  y 4 

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_4


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

20
20
11
 1  67
Ta có: f    , f  2   , f 1 

suy ra P  f  t   f  2   .
3
3
3
 2  12
20
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
đạt tại x  y  2 .
3
Bài tập 3: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  xy  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
3

 x 1
 y 1
2
2
 4
biểu thức P  4 

  x y .
y
x




Bài giải:
Sử dụng BĐT a3  b3  ab  a  b  ,
3





16 x 2  y 2  x  y
 x 1 y 1 x 1 y 1
2
2

 x y 
 x 2  y2
ta có: P  4 



2 2
x 
x y
 y  x  y
16  2 xy  3  xy 
16  xy  3


2
xy

 2 xy
x 2 y2
x 2 y2

Từ giả thiết ta có: 3  xy  x  y  2 xy  xy  2 xy  3  0  xy   0;1  xy   0;1
2

Đặt t  xy, t  t   0;1 khi đó: P  f  t  
Khảo sát GTNN của f  t  

16  t  3

tại x  y  1 .

t2

16  t  3
t2

 2t , t   0;1.

 2t , t   0;1 , ta có: Giá trị lớn nhất của P bằng 64  2 đạt

Bài tập 4: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu


1 
1 
thức P   x 2  2  y 2  2  .
y 
x 

Bài giải:
1

1
1
2
2
2
Ta có: P   xy  
 2 . Đặt t   xy  , do 1  x  y  2 xy  xy   0   xy   .
2
4
16
 xy 
1



1

t2 1



1

Khảo sát hàm f  t   t   2, t   0;  , có f /  t   2  0, t   0;  suy ra f  t  nghịch biến trên
t
t
 16 
 16 
 1
 0; 16  .




 1

289

1

Vậy min P  min f  t   f   
đạt tại x  y  .
 1
16
16
2


0;


 16 

Bài tập 5: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1
thức P  3
 .
3
x y
xy

Bài giải:
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_5


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Ta có: P 

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

1
1
1
1
1
1




 .
2
2
 x  y  x  xy  y xy  x  y   3xy xy 1  3xy xy





2

Đặt t  xy , do 1  x  y  2 xy  xy 

Khảo sát hàm f  t  

1
1
 0  xy  .
4
4

1
1
3
 1
 , t   0;  , có f /  t  
2
1  3t t
 4
1  3t 

 3 3  1
  0; 
t 
1
6
 4

 2 0
 3 3

t
t 

6

Lập BBT ta dễ dàng suy ra:
 3 3 
1
2 3 3 
1
 ; y  1
min P  min f  t   f 
 4  2 3 đạt tại x   1 

 6 
 1

2
3
2
 0; 4 








2 3 3 

.

3


Bài tập 6: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
1
nhỏ nhất của biểu thức P 
 xy .
1  xy
Bài giải:

 x  y
Đặt t  xy , do 0  t  xy 
4

2

 1  t   0;1. Khi đó: P 

1
 t, t   0;1 .
1 t

1
1
Khảo sát hàm f  t  
 t, t   0;1 , ta có f /  t   1 
 0, t   0;1
2

1 t
 t  1

Lập BBT ta dễ dàng suy ra:
3
GTLN của P là , đạt được khi x  y  1. Vì f  t  khơng tồn tại GTNN trên  0;1 nên P không tồn
2
tại GTNN.
Bài tập 7: (CĐ 2008) Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất và





giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 x 3  y3  3xy .
Bài giải:





2
Ta có: P  2  x  y  x 2  xy  y 2  3xy  2  x  y   x  y   3xy   3xy .



Từ giả thiết suy ra:  x  y   2 xy  2 . Như vậy nếu ta đặt t  xy thì x  y chưa thể rút theo t ngay
2

được vì x  y có nhận giá trị âm và giá trị dương.

 2
t2  2 
t2  2
3
 t 3  t 2  6t  3 .
Do đó ta đặt t  x  y , khi đó: P  2t  t  3.
  3.
2 
2
2






Ta có: t 2   x  y   2 x 2  y 2  4  t   2; 2  .
2

t  1
t  2

Khảo sát hàm f  t   t 3  t 2  6t  3, t   2;2  , ta có f /  t   3t 2  3t  6  0  
3
2

Lập BBT ta dễ dàng suy ra:
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_6

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

13
GTLN của P là
, đạt được khi
2

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

x  y  1
1 3 1 3 


x
;
y

   2 ; 2 

1
xy





2


1 3 1 3 

  x; y   
;
.
 2

2


 x  y  2
 x  y  1 .
GTNN của P là 7 , đạt được khi 
 xy  1
Bài tập 8: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện y  0 và x 2  x  y  12 . Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  xy  x  2 y  17 .
Bài giải:
Ta có: y  x 2  x  12  0  x   4;3 . Thay y vào biểu thức P ta được:
P  f  x   x  x 2  x  12   x  2  x 2  x  12   17  x 3  3x 2  9 x  7, x   4;3

 x  3
.
x  1

Ta có: f /  x   3x 2  6 x  9  0  

Ta có: f  4   13, f  3  20, f  3  20, f 1  12.
Vậy GTLN của P bằng 20 đạt được tại x  3, y  6 hoặc x  3, y  0.
GTNN của P bằng 12 đạt được tại x  1, y  10.
Bài tập 9: Cho x , y là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
x 2  xy  y 2  x  3
biểu thức P 

.
3x  xy  1
Bài giải:
Ta có: y  2  x  0  x  0;2  . Thay y vào biểu thức P ta được:
P  f x 

x2  x 2  x   2  x   x  3

Ta có: f /  x  

2

3x  x  2  x   1

2x2  2

x

2



 x 1

Vậy GTNN của P bằng

2



x2  x 1
, x  0;2
x2  x 1

 x  1   0;2 
3
1
. Ta có: f  0   1, f  2   , f 1  .

7
3
x  1

1
đạt được tại x  y  1.
3

Bài tập 10: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  y  1, x 2  y 2  xy  x  y  1. Tìm giá trị
xy
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
.
x  y 1
Bài giải:
2
Ta có: x 2  y 2  xy  x  y  1  xy   x  y    x  y   1 .
Đặt t  x  y , ta có:  x  y   4 xy   x  y    x  y 
2

2

 x  y
 1  xy 
4

2

 2 
 3t 2  4t  4  0  t   ;2  .
 3 

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_7


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
2
t  t 1
 2 
Khi đó P trở thành: P  f  t  
, t    ;2  .
t 1
 3 
t  0
1
t 2  2t
 2 1
/
Ta có: f  t  
0 
 2  . Ta có: f     , f  2   , f  0   1 .

2

t  2    ;2 
3
 3 3
t  2

 3 
1
1
Vậy GTLN của P bằng đạt được tại x  y   hoặc x  y  1, GTNN của P bằng 1 đạt được tại
3
3
x  1, y  1 hoặc x  1, y  1 .

Bài tập 11: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x, y  0, xy  x  y   x 2  y 2  x  y  2. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức P 

1 1
 .
x y

Bài giải:
2
Ta có: xy  x  y    x  y   2 xy   x  y   2 .
t 3  2t 2  4t  8
 0  t   ; 2   2;   .
t2
t 2  2t
Khi đó P trở thành: P  f  t   2

, t   ; 2  2;   .
t t 2
t  2
3t 2  4t  4
/
0 
Ta có: f  t  
2 . Lập BBT ta dễ dàng suy ra kết quả.
2
2

t


t  t  2

3
Vậy GTLN của P bằng 2 đạt được tại x  y  1 .

Đặt t  x  y , ta có:  x  y   4 xy 
2

Bài tập 12: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện 1  y 2  x  x  y  . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P 

x 6  y6  1
.
x 3 y  xy3

Bài giải:

Ta có: 1  x 2  y 2  xy  2 xy  xy  xy  xy  1 .
1
3

Mặt khác: 1  x 2  y 2  xy   x  y   3xy   x  y   1  3xy  0  xy   .
2

Ta có: P 

x  y 1

x 3 y  xy3
6

6

x

2

2





2
2
 y 2  x 2  y 2  3x 2 y 2 
1  xy   3x 2 y 2


1
1

 


.
2
2
2
2
xy
xy 1  xy 
xy x  y
xy x  y









 1 

Đặt t  xy, t    ;1 .
 3 
2t 2  3

 1 
, t    ;1 .
Khi đó P trở thành: P  f  t  
t 1
 3 
2
1
2t  4t  3
 1  25
 0 . Ta có: f     , f 1  .
Ta có: f /  t  
2
2
 3 6
 t  1

Vậy GTLN của P bằng

1
25
1
đạt được tại x   y  
, GTNN của P bằng đạt được tại x  y  1 .
2
6
3

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_8

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Bài tập 13: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2  x 2  y 2   xy  1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

x 4  y4
nhỏ nhất của biểu thức P 
.
2 xy  1
Bài giải:
Ta có: xy  1  2  x 2  y 2   xy  1  2  x  y   2 xy   4 xy  xy   .

1


5
1
2
 xy  1  2  x  y   2 xy   4 xy  xy  .


3
2

Mặt khác: xy  1  2  x 2  y 2 

2

 xy  1 

 2 x 2 y2
2
2
2 2
4
4


x

y

2
x
y
x y
2 
Ta có: P 
.


2 xy  1
2 xy  1
2 xy  1





2

7t 2  2t  1
 1 1
 1 1
Đặt t  xy, t    ;  . Khi đó P trở thành: P  f  t  
, t   ;  .
4  2t  1
 5 3
 5 3
t  0
7  t 2  t 
1
 1 2
1 2
/
f     , f    , f 0  .
Ta có: f  t  
.
Ta
có:
0 
1
1


2
t  1   ;
4
 5  15  3  15
2  2t  1

 5 3



1
2
Vậy GTLN của P bằng , GTNN của P bằng .
4
15
Bài tập 14: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  1, y  1 và 3  x  y   4 xy . Tìm giá trị lớn

 1
1
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 3  y3  3  2  2  .
y 
x
Bài giải:
3a
3a
(1)
, a  0 . Suy ra x , y là nghiệm của phương trình: t 2  at 
0
4
4
Vì (1) có nghiệm    a2  3a  0  a  3 .
3a
Vì x, y  1 nên  x  1 y  1  0  xy   x  y   1  0   a  1  0  a  4 . Vậy a  3;4  .
4
1 1 4
Mặt khác từ giả thiết suy ra:   .

x y 3

Đặt x  y  a  xy 

2

1 1
6
9
8 16
Lúc đó: P   x  y   3xy  x  y   3      a3  a2   , a  3;4.
4
a 3
 x y  xy
9
8 16
Xét hàm số f  a   a3  a2   , a  3;4 .
4
a 3
9
8
3 8
113
94

Ta có: f /  a   3a2  a  2  3a  a    2  0, a  3;4. Ta có: f  3 
, f 4  .
2
a
2 a

12
3

 x  1, y  3
94
113
3
Vậy GTLN của P bằng
đạt được tại 
, GTNN của P bằng
đạt được tại x  y  .
3
12
2
 x  3, y  1
3

Bài tập 15: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x   0;1 , y   0;1 , x  y  4 xy. Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  x 2  y 2  7 xy.
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_9


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Bài giải:
Đặt a  xy  x  y  4a . Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: g  t   t 2  4at  a  0 (1)
  0


1.g  0   0
1 1
Vì (1) có các nghiệm thoả mãn 0  t1  t2  1  1.g 1  0  a   ;  .
 4 3

S
0   1

2
2
1 1
1 1
Khi đó: M   x  y   9 xy  16a2  9a, a   ;  . Xét hàm f  t   16a2  9a, a   ;  .
 4 3
 4 3
9 1 1
5 1
11  9 
81
1
Ta có: f /  a   32a  9  0  a    ;  . Ta có: f     , f     , f     .
32  4 3 
4  3
9
64
4
 32 
11
1
1

1
Vậy GTLN của M bằng  đạt được khi xy   x  1, y  hoặc x  , y  1 , GTNN của M bằng
3
3
3
9
81
9
3
3
đạt được khi xy   x  2 y  hoặc y  2 x  .

64
32
4
4
Bài tập 16: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  xy  3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của biểu thức A  x 4  y 4  4 xy  x 3 y 3 .
Bài giải:
2
Đặt t  xy . Từ giả thiết suy ra: 3   x  y   xy   xy  xy  3 và 3  x 2  y 2  3xy  3xy  xy  1 .
Vậy t   3;1 .
Ta có: A   x 2  y 2   2 x 2 y 2  4 xy  x 3 y3   3  xy   2 x 2 y 2  4 xy  x 3 y3 .
2

2

Khi đó P trở thành: P  f  t   t 3  t 2  2t  9, t   3;1 .

Ta có: f /  t   3t 2  2t  2  0, t   3;1 . Ta có: f  3  33, f 1  5 .
Vậy GTLN của P bằng 33 đạt được khi x   y   3 , GTNN của P bằng

2
đạt được khi x  y  1.
15

Bài tập 17: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện  x 2  y 2  1  3x 2 y 2  1  4 x 2  5y 2 . Tìm giá trị
2

x 2  2 y 2  3x 2 y 2
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
x 2  y2  1
Bài giải:

Ta có:  x 2  y 2  1  3x 2 y2  1  4 x 2  5y2   x 2  y 2   3  x 2  y2   2   x 2  3x 2 y2 (1)
2

2

Đặt t  x 2  y 2 vì  x 2  3 x 2 y 2  0 nên từ (1) ta có: t 2  3t  2  0  t  1; 2  .
Khi đó P trở thành: P  f  t  
Ta có: f /  t  

t2  t  2
, t  1;2 .
t 1

 t  1 t  3  0, t  1;2 . Do đó hàm số đồng biến trên
 

2
 t  1

1; 2  .

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_10


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
4
4
Ta có: f 1  1, f  2   . Vậy GTLN của P bằng đạt được khi x  0; y   2 , GTNN của P bằng 1
3
3
đạt được khi x  0; y  1.

Bài

tập

 xy  1  9

18:

Cho

 

là

x, y

các

số

thực

dương

thỏa

mãn

điều

kiện



xy  2 xy  7 x  y  2 xy  2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  xy  xy 

2

2

1

1

.
xy
xy

Bài giải:

Đặt t  xy . Ta có: x 2  y 2  2 xy  7  x 2  y 2   2 xy  2  12 xy  2 .







Kết hợp giả thiết suy ra: t 2  1 9t  2t 2  12t 2  2  2t 4  9t 3  14t 2  9t  2  0
2
1 
  t  1  2  t  2t  1  0  t   ; 2  .
2 

Khi đó P trở thành: P  f  t   t 2  t 
Ta có: f

/

t
t  

2



 1 2t 2  t  2
t

3

1 1
1 
 , t   ;2  .
2
t
t
2 

  0  t  1  1 ;2  . Ta có:
2





24
 1  24
f    , f  2   , f 1  4.
7
2 7

1
24
đạt được khi x  y  2 hoặc x  y  , GTNN của P bằng 4 đạt được khi
7
2

Vậy GTLN của P bằng
x  y  1.

x  1  y  1  4 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

Bài tập 19: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện
64
nhỏ nhất của biểu thức P  xy 
4xy
Bài giải:

Đặt a  x  1, b  y  1 . Khi đó a  0, b  0 và a  b  4 .
Đặt t  ab , ta có t  0; 4 và a 2  b 2  16  2t .
Khi đó P trở thành:







P  a2  1 b2  1 



Xét hàm số f  t   t 2  2t 
Ta có: f  t   2t  2 
/





64
64
32
 a2 b2  a2  b2  1 
 t 2  2t 
 15, t  0;4  .
2
2
2
2
t 5
6 a b
6 a b





32
 15, t  0; 4 .
t 5

32

 t  5



2





2  t  3  t 2  6t  3

 t  5

2

  0  t  3   0;4  .

107
, f  4   23, f  3  16 .
5
Vậy GTLN của P bằng 16 đạt được khi x  0; y  8 hoặc x  8, y  0 ;
GTNN của P bằng 23 đạt được khi x  y  3.

Ta có: f  0   

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_11

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Bài tập 20: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  y  2 x  2  y  1  1. Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 





2 1  xy x  y
x
y
.
 x  y   y  x  
2
2
xy

Bài giải:
Từ giả thiết suy ra x  2, y  1.





Ta có: 2. x  2  1. y  1   22  12   x  2  y  1  2 x  2  y  1  5  x  y  1.

2

Nên từ x  y  2 x  2  y  1  1  x  y  5  x  y  1  1 .
Đặt t  x  y , ta có: t  1  5  t  1  t  1;6 .
1
2
1
2
2
 t2 
 f  t  , t  1;6 .
 x  y 
2
xy 2
t
1
5
2
 0, t  1;6  . Ta có: f 1  , f  6   18 
.
Ta có: f /  t   t 
2
t t
6
2
5
Vậy GTLN của F bằng 18 
đạt được khi x  6, y  0 , GTNN của F bằng
đạt được khi
2

6
x  2, y  1.

Khi đó: F 

Bài tập 21: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  y  x  1  2 y  2 Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x 2  y 2  2  x  1 y  1  8 4  x  y .
Bài giải:







Điều kiện x  1, y  1, suy ra x  y  0 . Sử dụng BĐT:  au  bv   a 2  b 2 u 2  v 2 ta có:
2

 x  y 
2



x  1  2y  2

 
2



 1. x  1  2 . y  1  3  x  y 
2

Suy ra x  y  3 . Đặt t  x  y  t  0; 3 .

Khi đó: P   x  y   2  x  y   8 4   x  y   2  t 2  2t  8 4  t  2, t  0;3.
2

Xét hàm số f  t   t 2  2t  8 4  t  2, t  0;3.
Ta có: f /  t   2t  2 

4
4t

, f // t   2 



4
4t



3

 0, t   0;3  .

Suy ra f /  t  đồng biến trên 0; 3 . Do đó: f /  t   f /  0   0 , t   0; 3 .
Suy ra f  t  đồng biến trên 0; 3 . Ta có: f  0   18, f  3  25 .
Vậy GTLN của P bằng 25 đạt được khi x  2, y  1 , GTNN của P bằng 18 đạt được khi x  1, y  1.

Bài tập 22: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
y
P

.
1 x
1 y
Bài giải:

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_12


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x
1 x
a
b
Áp dụng BĐT:

 a  b . Lúc đó: P 

 x  1  x  f  x  , x   0;1
b
a
1 x
x
1
1

1
Ta có: f /  x  

 0  x    0;1 .
2
2 x 2 1 x
1
1
Lập BBT ta có kết quả max f  t   f    2 . Suy ra GTNN của P bằng 2 đạt được khi x  y  .
 0;1
2
2
2
2
Bài tập 23: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  y  2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ





nhất của biểu thức M  2 x 3  y3  3xy.
Bài giải:
Ta có: x  y  2   x  y 
2

2

Mặt khác: 2  x  y
2



2

2

 x  y
 2 xy  2  xy 

 x  y




2

2

2

2

2

.

 x  y   2;2 . Đặt t  x  y, t   2;2 





Ta có: M  2 x 3  y3  3xy  2  x  y  x 2  xy  y 2  3xy  2  x  y  2  xy   3xy

  x  y 
3

3
3
2
 x  y   6  x  y   3  t 3  t 2  6t  3  f  t  , t  2;2
2
2
t  1
13
. Ta có: f  2   7, f 1  , f  2   1.
2
t  2

Ta có: f /  t   3t 2  3t  6  0  

1 3
1 3
1 3
1 3
13
đạt được khi x 
hoặc x 
, GTNN của
, y

, y
2
2
2
2
2
M bằng 7 đạt được khi x  y  1.

Vậy GTLN của M bằng

Bài tập 24: (Thi thử Chuyên Quốc Học Huế 2011) Cho a, b là các số thực thay đổi  a  0  . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức T   a  b    ln a  b 
2

2

Bài giải:
2
2
Xét hàm số f  b    b  a    b  ln a  , b  .
Ta có: f /  b   2  b  a   2  b  ln a   0  b 

a  ln a
.
2

 a  ln a   a  ln a 
Lập BBT của f  b  trên
ta có: f  b   f 
.


2
 2 
1
Xét hàm số g  a   a  ln a, a  0  g /  a   1   0  a  1 .
a
Tiếp tục lập BBT của g  a  trên  0;  ta có: g  a   g 1  1 .
2

 g  a  
1
1
1
Từ đó suy ra: f  b   
đạt được tại a  1, b  .
 . Vậy GTNN của T bằng
2
2
2
2
3
3
Bài tập 25: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  2. Tìm giá trị lớn nhất của
2

biểu thức A  x 2  y 2 .
Bài giải:
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_13

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016





Ta có: x 3  y3  2  y3  2  x 3  y  3 2  x 3 . Vì x, y dương nên x 3  y3  2  x  0; 3 2 .





Do đó: A  f  x   x 2  3  2  x 3  , x  0; 3 2 .
2

Ta có: f

/

 x   2x  3

2x2
2x

3





2x





3

2  x3  x

3

2x

3

  0   x  0

 2  x  x
3

3





 x  1  0; 3 2 .

Lập BBT của f  x  trên 0; 3 2 ta có: A  f  x   2 . Vậy GTLN của A bằng 2 đạt được khi x  y  1.
Bài tập 26: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1
thức A  x 2  y 2  2  2 .
x
y
Bài giải:
Cách 1: (Rút thế trực tiếp)
Ta có: x  y  1  y  1  x  0  x   0;1 . Do đó: A  f  x   x 2 

1
1
2
 1  x  
, x   0;1 .
2
2
x
1  x 





3
 2 x  1 x 2  x  1
x 3  1  x 
2

2
  2 x  1  3
  2 x  1 
0
Ta có: f  x   2 x  2 1  x   3 
3
3
x 1  x 3
x 1  x 
x 3 1  x 
/


x2  x 1 
1
  2 x  1 1  3
  0  x    0;1 .
3
2
 x 1  x  

17
.
2
17
1
Vậy GTLN của A bằng
đạt được khi x  y  .
2
2

Lập BBT của f  x  trên  0;1 ta có: A  f  x  

Cách 2: (Đổi biến và vận dụng đạo hàm)


1
1
1 
1 
2
Ta có: A  x 2  y 2  2  2  x 2  y2  1  2 2   2 xy  1  2 2   2 xy  .
x
y
x y 
x y 
xy







1
 1
 t   0;  .
4
 4
2

2
 1
 1
Xét f  t   2t  , t   0;   f /  t   2  2  0, t   0;  .
t
t
 4
 4
 1
1 7
Lập BBT của f  t  trên  0;  ta có: A  f  t   f    .
4 2
 4
17
1
Vậy GTLN của A bằng
đạt được khi x  y  .
2
2

Đặt t  xy  0 , và 1  x  y  2 xy  xy 

5
4

Bài tập 27: (Dự bị B 2002) Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức S 

4 1
 .

x 4y

Bài giải:
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_14


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
5
5
4
1
 5
 5
Ta có: x  y   y   x  0  x   0;  . Do đó: S  f  x   
, x   0;  .
4
4
x 5  4x
 4
 4
x  1
4
4
2
/
2
Ta có: f  x    2 
 0  x  5  4x   
.

2
 x  5   0; 5 
x
5  4x 



3  4



5

Lập BBT của f  x  trên  0;  ta có: S  f  x   f 1  5 . Vậy GTNN của S bằng 5 đạt được khi
 4
x  4, y  1.

Bài tập 28: Cho x , y là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  1. Tìm giá trị lớn nhất và
x
y
giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 

.
y 1 x 1
Bài giải:
Cách 1: (Rút thế trực tiếp)
x
1 x

, x  0;1 .

2  x x 1
1
 x    0;1 .
2

Ta có: x  y  1  y  1  x  0  x  0;1 . Do đó: A  f  x  
Ta có: f /  x  

2

2  x 

2



2

 x  1

1

 0   x  1   2  x 
2

2

2

2

Ta có: f  0   f 1  1, f    .
2 3
Vậy GTLN của A bằng 1 đạt được khi x  0, y  1 hoặc x  1, y  0 , GTNN của A bằng

2
đạt được
3

1
2

khi x  y  .
Cách 2: (Đổi biến và vận dụng đạo hàm)
x
y
x 2  x  y 2  y  x  y   2 xy  1 2  2 xy




Ta có: A 
.
y  1 x  1 x  y  xy  1
2  xy
2  xy
2

1
 1

 t  0;  .
4
 4
2  2t
6
 1
 1
Xét f  t  
, t  0;   f /  t   
 0, t   0; 
2
2t
 4
 4
2  t 

Đặt t  xy  0 , và 1  x  y  2 xy  xy 

1

2

suy ra: max f  t   f  0   1, min f  t   f   
 1
 1
4 3
0; 
0; 
 4

 4

Vậy GTLN của A bằng 1 đạt được khi x  0, y  1 hoặc x  1, y  0 , GTNN của A bằng

2
đạt được
3

1
2

khi x  y  .
Kỹ thuật 3:

Đổi biến đẳng cấp

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 

2 xy  y 2
, với x 2  y 2  0 .
2
2
3x  2 xy  y

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_15


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Bài giải:
+ Nếu y  0 thì x  0 và A  0.
+ Nếu y  0 , ta chia cả tử và mẫu cho y 2 . Đặt t 

x
. Khi đó t 
y

và A 

2t  1
.
3t  2t  1
2

2t  1
trên .
3t  2t  1
6t  t  1
t  0

0

Ta có: f /  t  
và lim f  t   lim f  t   0 .

2
t 
t 

2
t


1

3t  2t  1
Xét hàm số f  t  



2



Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN của A bằng 1, đạt được khi x  0, y 

*

1
; GTNN của A bằng  ,
2

đạt khi x   y  0.
Bài tập 2: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện 4 x 2  2 xy  y 2  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  2 xy  y 2 .
Bài giải:
P
x 2  2 xy  y 2
Ta có:  2

.
3 4 x  2 xy  y 2
3
+ Nếu y  0 thì x  0 và P  .
4
P t 2  2t  1
x
+ Nếu y  0 , ta chia cả tử và mẫu cho y 2 . Đặt t  . Khi đó t  và  2
.
3 4t  2t  1
y

t 2  2t  1
Xét hàm số f  t   2
trên
4t  2t  1

.

t  2
1
0
Ta có: f  t  
và lim f  t   lim f  t   .
1
2
t 
t 
t  
4

4t 2  2t  1

3
Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN của P bằng 1, đạt được khi x  2 y 
đạt khi 3 x   y  0.
/

6t 2  10t  4





*

; GTNN của P bằng 6 ,

Bài tập 3: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2  xy  y 2  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  xy  3y 2 .
Bài giải: Đặt f  x , y   x 2  xy  y 2
+ Nếu y  0 thì từ giả thiết ta có: 0  x 2  3 . Suy ra P  x 2  0; 3 .
+ Nếu y  0 , ta có 0  f  x , y   x 2  xy  y 2  3 . Khi đó: P  f  x , y  .
Đặt x  ty , ta có P  f  x, y  .

x 2  xy  3y 2
.
x 2  xy  y 2

t2  t  3
t2  t  1

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_16


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

t2  t  3
trên .
t2  t  1
t  2  3
2 t 2  4t  1
/
Ta có: g  t  
và lim g  t   lim g  t   1 .

0


2
t 
t 
2
t  t 1
t  2  3
Xét hàm số g  t  








3  4 3
3  4 3
 g t  
, t 
3
3
Vì 0  f  x , y   3  3  4 3  P  f  x , y  .g  t   3  4 3
Lập BBT ta dễ dàng suy ra:

.





 x  2  3 y

Suy ra: GTLN của P bằng 3  4 3 , đạt được khi 
; GTNN của P bằng 3  4 3 ,
 x 2  xy  y 2  3





 x  2  3 y

đạt khi 
.
 x 2  xy  y 2  3
Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

x 

xy 2
x  4y
2

2



3

, với x  0, y  0 .

Bài giải:
Do y  0 , ta chia cả tử và mẫu cho y 3 . Đặt t 
Xét hàm số f  t  

Ta có: f

/

t  

t 

t
t 4
2



3

t 

t
t 4
2



3

.

trên  0;  .

t 2  4  3t



x

. Khi đó t  0 và P 
y

t2  4 t  t2  4



3

 0  t 2  4  3t  t 

2
  0;  
2

1
, đạt được khi y  2 x  0 .
32
Kỹ thuật 4:
Đánh giá kết hợp đổi biến
Trong nhiều bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức F mà các biến bị rằng buộc nhau bởi
điều kiện dưới dạng BĐT, hoặc bản thân biểu thức F khơng có tính đối xứng, đẳng cấp; hoặc biểu
thức F và điều kiện của bài tốn chứa nhiều đại lượng phức tạp... thì chúng ta cần xử lú biểu thức F
thông qua một số đánh giá.
Bài tập 1: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  6 xy Tìm giá trị nhỏ nhất của
3x  1 3y  1
biểu thức P  2

  3x  y  3y  x  .
9y  1 9x2  1

Bài giải:
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN của P bằng

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_17


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN









Luyện thi THPT Quốc gia 2016

2
2
3y  1  3y  1 9 x  1
3 x  1  3 x  1 9 y  1

 3y  1 ;

 3 x  1 và
4
4
9x2  1

9y 2  1
Cộng hai BĐT trên ta được:









2
2
3 x  1 3y  1  3 x  1 9 y  1  3y  1 9 x  1



 3 x  y   2 .
4
4
9y2  1 9 x 2  1

 3x  1  9 y

2

  3y  1 9 x

1

2

 3 x y

1

   2   3x  y  3y  x 
4
4
27
9
3
3
  xy  x  y    x  y   10 xy  x 2  y 2 
4
4
4
2
2
2
27
9
3
3
27
3
  xy.6 xy  .6 xy  10 xy   x  y   2 xy      xy   22 xy  .


 2

4
4
4
2
2
1 1
2
1
 t  xy  .
Đặt t  xy . Từ x  y  6 xy  6   
x y
9
xy
Suy ra: P 





Xét hàm số f  t   

27 2
3
1
1
t  22t  , t  . Ta có: f /  t   27t  22  0, t  .
2
2
9
9

 1  34
34
1
Suy ra min f  t   f    . Suy ra: P 
, dấu "=" xãy ra khi x  y  .
1

9
3
9 9
 ; 
9



Vậy GTNN của P là

34
1
, dấu "=" xãy ra khi x  y  .
9
3

Bài tập 2: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  y 2  x 2  2 Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P   x  y   12  x  1 y  1  xy
3

Bài giải:

a2  b2

x2  2  y2
y2  2  x2
2
2
Áp dụng BĐT: ab 
và y 2  x 
.
, a, b , ta có: x 2  y 
2
2
2
Cộng hai BĐT trên ta suy ra: 2  x 2  y 2  y 2  x 2  2 .
 x  2  y 2
 x  0, y  0
Do đó, dấu "=" xãy ra  
.
 2
2
2
x

y

2


 y  2  x





Đặt t  x  y . Khi đó: t  2 x 2  y 2  2 .
Ta có: P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy
3

 x  y   x
 12
2

  x  y   12  x  y 
3

2

 y2

  12  x  y  t

3

 12t  6t 2  1  t 3  6t 2  12t  1

2
2
Xét hàm số f  t   t  6t  12t  1, t  0; 2  . Ta có: f /  t   3t 2  12t  12  0, t   0; 2  .
3

2

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_18


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Suy ra hàm số f  t  đồng biến trên 0; 2  . Do đó: max f  t   f  2   9 .
0;2 

Vậy GTLN của P bằng 9 , dấu "=" xảy ra khi x  y  1 .
Nhận xét: Với cách giải trên, chúng ta khơng tìm được GTNN của biểu thức P. Để tìm cả GTLN và
GTNN của P, ta tiến hành như sau:
 x  0, y  0
Tương tự như trên ta có:  2
. Đặt t  x  y . Khi đó: t  2 x 2  y 2  2 .
2
 x  y  2
2
Mặt khác: t 2   x  y   x 2  y 2  2  t  2  t   2; 2  .





 x  y   x
Ta có: xy 
2

2

 y2

2

t

2

2



 1.

Suy ra: P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy
3

 t2

t2
t2
3
2
  x  y   12  x  y   12   1  12 
 1  t  6t  12t 
 1, t   2 ; 2  .


2

2
2


3

t2
Xét hàm số f  t   t  6t  12t 
 1, t   2; 2  .


2
t
Ta có: f /  t   3t 2  12t  12 
 0, t  2 ; 2 . Suy ra hàm số f  t  đồng biến trên  2 ; 2  .
2


t
1
2
3

2



Do đó: max f  t   f  2   9 và min f  t   f
0;2 

0;2 



 2   14

2  12 .

Bài tập 3: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3xy  3  x 4  y 4 
nhất của biểu thức P  x 2 y 2 

2
. Tìm giá trị lớn
xy

16
.
x 2  y2  2

Bài giải:
Đặt t  xy  0 . Từ giả thiết ta có: 3xy  3  x 4  y 4 
hay 3t  3  2t 2 

2
2
 2 x 2 y2 
xy
xy

1 

2
 2t 3  3t 2  3t  2  0  t   ; 2  , do t  0 .
t
2 

Ta lại có: P  x 2 y 2 

1 
16
8
 t2 
, t   ; 2 .
2 xy  2
t 1
2 

Xét hàm số: f  t   t 2 

(1)

1 
1 
8
8
 0  t  1  ; 2  .
, t   ; 2 . Ta có: f /  t   2t 
2
t 1
2 
2 

 t  1

 1  67
20
Ta có: f    ; f  2   ; f 1  5.
3
 2  12

(2)

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_19


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Từ (1) và (2) suy ra: P 
Vậy GTLN của P bằng

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

 xy  2
20
 x  y  2.
. Dấu "=" xảy ra  
3
x

y

0



20
, đạt được khi x  y  2 .
3

Bài tập 4: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 4  y 4 
của biểu thức P 

1
 xy  2. Tìm giá trị lớn nhất
xy

2
2
3
.


2
2
1  x 1  y 1  2 xy

Bài giải:
Đặt t  xy  0 . Từ giả thiết ta có: xy  2  x 4  y 4 

1
1
 2 x 2 y2 
xy

xy

1 
1
hay t  2  2t 2   2t 3  t 2  2t  1  0  t   ;1 , do t  0 .
t
2 
Với x  0, y  0 và xy  1, ta có:

1
1
2


2
2
1  x 1  y 1  xy

 x  y   xy  1  0 , đúng do
Thật vậy: (1) 
1  x 2 1  y2  1  xy 

(1)

2

Khi đó: P 

1 
4

3
4
3



, t   ;1 .
1  xy 1  2 xy 1  t 1  2t
2 

Xét hàm số: f  t  
Ta có: f

/

x  0, y  0 và xy  1 .

t   

(2)

1 
4
3

, t   ;1 .
1  t 1  2t
2 
4



6

1  t  1  2t 
2

2

 2.

5t 2  2t  1

1  t  1  2t 
2

2

1 
 0, x   ;1 .
2 

1 
Suy ra hàm số f  t  nghịch biến trên  ;1 . Do đó: max f  t  
1 
2 
 ;1
2




1 7
f  .
2 6

(3)


1
7
2
 xy 
.
Từ (1) và (2) suy ra: P  . Dấu "=" xãy ra  
2 xy
2
6
x  y  0


7
2
, đạt được khi x  y 
.
6
2
Bài tập 5: Cho a, b là các số thực thuộc  0;1 , thoả mãn điều kiện:
Vậy GTLN của P bằng

a

3



 b3  a  b   ab  a  1 b  1  0 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

1
1  a2



1
1  b2

 5ab   a  b  .
2

Bài giải:
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_20


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN



Ta có: a  b

a
Vì

3

3

3

  a  b   ab  a  1 b  1



 b3  a  b 
ab

a
0

3



 b3  a  b 
ab

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

 1  a 1  b 

(1)

 a2 b2 
     a  b   2 ab .2 ab  4ab
a 
 b

và 0  1  a 1  b   1   a  b   ab  1  2 ab  ab nên từ (1) suy ra: 4ab  1  2 ab  ab (2)

 1
Đặt t  ab , khi đó (2) trở thành: 4t  1  2 t  t  3t  2 t  1  0  t   0;  .
 9

 a  b   ab  1  0 , đúng do
1
1
2

Ta có với a  0, b  0 , ta có:


1  a2 1  b2 1  ab
1  a2 1  b2  1  ab 
2

a, b   0;1 .

1 
2

2
 1
 2

 2.


2
2
1  ab
1  ab
1 a 1 b 
1  a2
1  b2
 1
2
2
2
2
và 5ab   a  b   ab   a  b   ab nên suy ra: P 
 ab 
 t, t   0;  .
1  ab
1 t
 9
 1
 1
2
1
Xét hàm số f  t  

 1  0, t   0;  .
 t, t   0;  . Ta có: f /  t   
1 t
 9
 9
1  t  1  t
1

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:



1

 1
1
6
1
 .
Suy ra hàm số f  t  đồng biến trên  0;  . Do đó: max f  t   f   
 1
10 9
 9
9
 0; 
9





1
1
1
ab 
Suy ra: P 
 . Dấu "=" xãy ra  
9 ab .
3
10 9
a  b  0

1
6
1
Vậy GTLN của P bằng
 , đạt được khi a  b  .
3
10 9
Bài tập 6: Cho a, b là các số thực dương phân biệt, thoả mãn điều kiện: ab  4 .
2
2
3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4  4 
.
a
b  a  b 2

6

Bài giải:

a2b2  2
2  ab
3
1  a2 b2  3
1


.



.
.


 4

16  a
b 4  4  a  b 2 8  b 2 a 2  4 a b
 2
b a
a b
1
3 1
1
3 1
1
 t2  .

 , t   2;   .
Đặt t    t  2 và P  t 2  2  .
b a
8
4 t2 8
4 t2 4
1
3 1
1
 , t   2;   .
Xét hàm số f  t   t 2  .
8
4 t2 4
Từ giả thiết 0  ab  4  P 





Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_21


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

2
1
3
1

Ta có: f /  t   t  .
 0  t  t  2   3  t  3   2;   .
2
4 4  t  2

Vì lim f  t   lim f  t    nên min f  t   f  3 
 2; 

t 

t 2

13
.
8

ab  4
 a  5  1, b  5  1
ab  4
13

Suy ra: P  , dấu "=" xãy ra   a b
.


8


3
a


b

2
5


a

5

1
,
b

5

1



b a
13
Vậy GTNN của P bằng .
8
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
4
Bài tập 1: Cho a, b không âm thoả mãn điều kiện: a  b  1 . Chứng minh ab 2 
.
27

Bài tập 2: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x 2  y 2  11 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P  x  xy 2 .

Bài tập 3: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x 2  y 2  x  y . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
M  x 3  y3  x 2 y  xy2 .
Bài tập 4: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1, x  y  xy  8 . Tìm GTLN, GTNN của biểu

Bài tập 5: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1, 3  x  y   4 xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu

 1
1 
thức P  x 3  y 3  3  2  2  .
y 
x
Bài tập 6: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y  1  2 x  4  y  1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu
thức P   x  y   9  x  y 

1

2

xy

.





Bài tập 7: Cho a, b là các số thực dương thoả mãn điều kiện: 6 a 2  b 2  20ab  5  a  b  ab  3 .
 a4 b4 

 a3 b3 
 a2 b2 
Tìm GTNN của biểu thức P  9  4  4   16  3  3   25  2  2  .
a 
a 
b
b a 
b
a, b
Bài tập 8:
Cho
là các số thực dương thoả

a

2

 2b 2



2







mãn

điều

kiện:

 3a 2 b 2  2 a 2  b 2 a 2  2b 2 .

 a  b 2  2a 2  5b 2   a  b 2  2a 2  5b 2 


a  b 8b 
 

Tìm GTNN của biểu thức P 
.


b3
a3
ab a 2  2b 2
3

3

3





Bài tập 9: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x 2  xy  y 2  3 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
P  x 2  xy  2 y 2 .
Bài tập 10: Cho x , y thoả mãn điều kiện: xy  0, x  y  0 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

x 2 y  4y3
.
P 3
x  8y 3
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_22


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Bài tập 11: Cho x , y là các số thực lớn hơn 1. Tìm GTNN của biểu thức
P

x 3  y3  x 2  y 2
 2 x 2  y 2  16 xy .
 x  1 y  1





Bài tập 12: Cho a, b là các số dương thoả mãn điều kiện: a 2  2b  12 . Tìm GTNN của biểu thức
4
4
5

P 4  4
.
a
b 8 a  b2
GỢI Ý:
Bài tập 1: Cho a, b không âm thoả mãn điều kiện: a  b  1 . Chứng minh ab 2 

4
.
27

Gợi ý:
Rút a  1  b  b  0;1 . Khi đó BĐT trở thành: 1  b  b2 

4
4
 b3  b 2 
0.
27
27

Khảo sát hàm f  b   b3  b 2 

4
, b  0;1 , dễ thấy được kết quả cần chứng minh.
27
Bài tập 2: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x 2  y 2  11 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P  x  xy 2 .
Gợi ý:
Ta có: x 2  y 2  11  y 2  11  x 2  x    11; 11  .



Lúc đó: P  x  x 11  x 2   x 3  12 x , x    11; 11 .


Khảo sát hàm f  t    x 3  12 x , x    11; 11 .







Ta có u cầu bài tốn: min P  16 khi x  2; y   7 và max P  16 khi x  2; y   7 .
Bài tập 3: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x 2  y 2  x  y . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
M  x 3  y3  x 2 y  xy2 .
Gợi ý:





Đặt t  x  y  t 2   x  y   2 x 2  y 2  2t  t 2  2t  0  t  0; 2  .
2

Ta có:  x  y   2 xy  x  y  xy 
2

t2  t
2

 t2  t  t2  t
.t  t 2 .
Lúc đó: M   x  y  x 2  y 2  xy  xy  x  y   t  t 

2 
2

Khảo sát hàm f  t   t 2 , t  0; 2  .





 x  y  0
 x  y  0 và max M  4 khi
Ta có u cầu bài tốn: min M  0 khi  2
2
 x  y  x  y
 x  y  2
 x  y 1 .
 2
2
 x  y  x  y
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_23


Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN

Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Bài tập 4: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1, x  y  xy  8 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
M  x2  y2  x2y2 .
Gợi ý:
2

xy
t2
Đặt t  x  y  8  x  y  xy  x  y  
   t  8  0  t  4 do t  0 .
4
 2 
 9
9
Mặt khác vì x  1, y  1   x  1 y  1  0  xy   x  y   1  0  x  y  . Suy ra t   4; 
2
 2

Lúc đó: M   x  y   2 xy  x 2 y 2  t 2  2  8  t   8  t   2t 2  14t  48 .
2

2

 9
Khảo sát hàm f  t   2t 2  14t  48, t   4;  .
 2
Ta có u cầu bài tốn:

min M  24

khi

x  y  4
xy2

 xy  4

và

max M 

51
2

khi



9
7
x

y

x  1; y 


2
2 .

x  7 ; y  1

 xy  7

2
2

Bài tập 5: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1, 3  x  y   4 xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu

 1
1 
thức P  x 3  y 3  3  2  2  .
y 
x
Gợi ý:
2
3t
Đặt t  x  y  xy  , t  0 và từ giả thiết ta có: 3  x  y   4 xy   x  y   t  3
4
3t
Mặt khác vì x  1, y  1   x  1 y  1  0  xy   x  y   1  0   t  1  0  t  4. Suy ra
4
1 1 4
t  3; 4 . Mặt khác từ giả thiết:   .
x y 3
2

1 1
6
9
8 16
 t 3  t 2   , t  3; 4  .

Lúc đó: P   x  y   3 xy  x  y   3    
4
t 3
 x y  xy
9
8 16
Khảo sát hàm f  t   t 3  t 2   , t  3; 4 .
4
t 3
 x  1; y  3
65
3
74
Ta có u cầu bài tốn: min M 
khi x  y  và max M 
khi 
.
12
2
3
x

3
;
y

1

3

Bài tập 6: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y  1  2 x  4  y  1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu
thức P   x  y   9  x  y 
2

1
xy

.

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_24